ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ VIỆN CƠ HỌC
TRẦN THANH HẢI PHÂN TÍCH ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU KHUNG PHẲNG
KỂ ĐẾN HIỆU ỨNG P-

BẰNG PHƯƠNG PHÁP
TÍCH PHÂN TRỰC TIẾP DẠNG SAI PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ


LUẬN VĂN THẠC SĨ NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: Ts. Đào Như Mai
Hà Nội – 2008

Luận văn thạc sĩ Cơ học Học viên Trần Thanh Hải
i
MỤC LỤC
MỤC LỤC i
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT iii
DANH MỤC CÁC BẢNG v
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ vi
MỞ ĐẦU 1
Chương 1. TỔNG QUAN 3
1.1 Tổng quan các nghiên cứu về phi tuyến hình học 3
1.2 Phân tích ảnh hưởng của lực dọc trục 4
1.3 Hiệu ứng P-Delta 5
Kết luận chương 1: 7
Chương 2. XÂY DỰNG MÔ HÌNH PHẦN TỬ 8
2.1 Ma trận độ cứng tiếp tuyến 8
2.1.1 Xây dựng ma trận chuyển đổi hệ trục tọa độ 8
2.1.2 Trường hợp phần tử dầm-cột tổng quát chịu lực nén (Q > 0) 10
2.1.3 Trường hợp phần tử dầm-cột tổng quát chịu lực kéo (Q < 0) 13

4.2.1. Mô hình kết cấu 43
4.2.2. Tải trọng sóng 44
4.2.3. Kết quả phân tích 45
Kết luận chương 4 49
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 50
Danh mục công trình của tác giả 52
TÀI LIỆU THAM KHẢO 53
PHỤ LỤC 56
PL1. Một số hàm của Matlab 56
PL2. Một số hàm của Maple 7 – tính biểu thức ở dạng chữ symbolic 57
PL3 Kết quả tính toán cho giàn tự nâng 61
PL4. Chương trình viết trên Matlab cho ví dụ cột 64

Luận văn thạc sĩ Cơ học Học viên Trần Thanh Hải
iii
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT
A – Diện tích mặt cắt ngang của phần tử.
A
1
, A
2
, A
3
, A
4
– Các hằng số tích phân.
B
– Ma trận chuyển đổi.
c
1

i, j – Kí hiệu nút i, nút j.
 – Khối lượng riêng của vật liệu phần tử.
k
t
, K
t
– Lần lượt là ma trận độ cứng địa phương, tổng thể.
L
0
– Chiều dài ban đầu của phần tử dầm-cột.
L – Chiều dài của phần tử dầm cột lúc biến dạng.
M
c
, M
L
– Ma trận khối lượng của phần tử.
m, n – Kí hiệu các cosin, sin chỉ phương.
M
1
, M
2
– Mômen uốn tại các nút.

1
, 
2
– Góc quay tương đối tại nút.
R – Ma trận chuyển đổi hệ trục tọa độ địa phương sang tổng thể.
Q – Lực dọc trục trong phần tử dầm cột.
Q

Bảng PL.2. Moment nội lực tại chân đế giàn tự nâng 62 Luận văn thạc sĩ Cơ học Học viên Trần Thanh Hải
vi
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ
Hình 1.1. Minh họa ảnh hưởng của hiệu ứng P-delta trong khung phẳng 6
Hình 2.1. Các thành phần biến dạng và hệ tọa độ. 8
Hình 2.2. a) Lực trong hệ tọa độ tổng thể, b) Lực trong hệ tọa độ địa
phương. 9
Hình 2.3. Quan hệ lực và biến dạng. 9
Hình 2.4. (a) Biến dạng của phần tử dầm chịu tác dụng lực dọc trục ở hai
đầu, (b) Chuyển vị theo các trục tọa độ. 11
Hình 3.1. Các kỹ thuật tính toán chung. 25
Hình 3.2. Phương pháp Newtow – Raphson. 26
Hình 3.3. Phương pháp ứng suất ban đầu. 29
Hình 3.4. Phương pháp Newton – Raphson cải tiến. 29
Hình 3.5. Sơ đồ khối chương trình phân tích động phi tuyến bằng phương
pháp tích phân trực tiếp 32
Hình 4.1.Mô hình tính toán. 35
a) Mô hình cột. 35
b) Mô hình tính cột được chia làm 04 phần tử. 35
Hình 4.2. Đáp ứng các chuyển vị ngang của cột theo thời gian 36
F
13
= 200sin(2t)(N), F
14
= -2000sin(2t)(N), bước thời gian t = 0.01s. 36
a) không kể đến ảnh hưởng P-Delta. 36
b) kể đến ảnh hưởng P-Delta. 36

t = 0.0005s. 38
Hình 4.7. Đáp ứng các chuyển vị ngang của cột theo thời gian kể đến ảnh
hưởng P-Delta. F
13
= -200sin(2t)(N), F
14
= -20000sin(2t)(N),
theo Sap 2000. 38
Hình 4.8. Số bước lặp Newton-Raphson tại mỗi bước thời gian.
F
13
= -200sin(2t)(N), F
14
= -20000sin(2t)(N), t = 0.0005s. Tol
= 1e-09. 39
Hình 4.9. Đáp ứng các chuyển vị ngang của cột theo thời gian kể đến ảnh
hưởng P-Delta. F
13
= -200sin(2t)(N), F
14
= -30000sin(2t)(N),
t=0.00005s. 39
Hình 4.10. Đáp ứng các chuyển vị ngang của cột theo thời gian kể đến ảnh
hưởng P-Delta. F
13
= -200sin(2t)(N), F
14
= -30000sin(2t)(N),
theo Sap 2000. 40
Hình 4.11. Số bước lặp Newton-Raphson tại mỗi bước thời gian.F

= -200sin(2t)(N), F
14
= -40000sin(2t)(N), t = 5e-6s. Tol = 1e-09. 42

Luận văn thạc sĩ Cơ học Học viên Trần Thanh Hải
viii
Hình 4.16.Đáp ứng các chuyển vị ngang của cột theo thời gian không kể
đến ảnh hưởng P-Delta, F
13
= -200sin(2t)(N), F
14
= -
40000sin(2t)(N), theo Sap 2000. 43
Hình 4. 17. Mô hình tính toán 44
Hình 4.18. Biểu đồ chuyển vị ngang tại mặt sàn 47
Hình 4.19. Mômen uốn ngang lớn nhất (tại mắt cắt sát chân cột trước) 48
Hình 4.20. Ứng suất lớn nhất (tại mép ngoài mắt cắt sát chân cột trước) 48
Mở đầu
Luận văn thạc sĩ Cơ học Học viên Trần Thanh Hải
1
MỞ ĐẦU
Trong thực tế phân tích động lực học của kết cấu có nhiều trường hợp
không thể dùng các mô hình tuyến tính được. Ngay cả khi kết cấu còn làm việc
trong miền đàn hồi vẫn có thể có phi tuyến hình học. Kết cấu dạng dầm - cột là
một trường hợp như vậy. Khi kết cấu dạng dầm - cột chịu uốn và chịu lực dọc
trục sẽ có các hiệu ứng sau các hiệu ứng.
 Hiệu ứng Euler, khi lực dọc trục làm giảm độ cứng chống uốn của dầm.
 Hiệu ứng P- khi ta kể đến sự thay đổi độ dài của dầm khi chịu uốn.
 Hiệu ứng của lực cắt, khi lực cắt làm tăng đáng kể góc xoay.
Mô hình phần tử dầm-cột có kể đến các hiệu ứng trên sẽ đưa đến bài toán

đặt ra cho Phòng mô phòng và tính toán kết cấu nói riêng và Viện Cơ học nói
chung.
Mục tiêu của đề tài: Phân tích động lực học kết cấu khung phẳng dạng dầm - cột
có ứng xử phi tuyến hình học khi kể đến ảnh hưởng của lực dọc trục. Áp dụng
thuật toán Newmark dạng sai phân để giải phương trình động lực phi tuyến.
Bố cục luận văn gồm bốn chương:
Chương 1. Tổng quan – Tổng hợp các kết quả nghiên cứu về bài toán phi tuyến
nói chung và chú ý đến các nghiên cứu về phi tuyến hình học. Ngoài ra các
phương pháp giải bài toán phi tuyến cũng được tổng hợp ở đây.
Chương 2. Xây dựng mô hình phần tử dầm cột. Trong chương này sử dụng cách
tiếp cận của Oran và Kassmilli để xây dựng ma trận độ cứng, xây dựng ma trận
định vị và ma trận độ cứng tiếp tuyến cho phần tử dầm cột có kể đến ảnh hưởng
của lực dọc trục.
Chương 3. Thuật toán Newmark. Trình bày thuật toán tích phân trực tiếp dạng
sai phân với gia số tăng cường để giải phương trình dao động của hệ phi tuyến
không kể đến ma trận cản. Ở đây còn trình bày cụ thể thuật toán lặp Newton
Raphson để giải phương trình cân bằng.
Chương 4. Kết quả và bàn luận. Trình bày các kết quả tính số cho hai ví dụ. Thứ
nhất là dầm đứng chịu lực ngang và lực dọc trục. Thứ hai là chân đế của giàn tự
nâng tải trọng ngang là sóng và tải trọng đứng là tải trọng của phần thượng tầng.
Cuối cùng là kết luận và một số phụ lục.

Chương 1. Tổng quan
Luận văn thạc sĩ Cơ học Học viên Trần Thanh Hải
3
Chương 1. TỔNG QUAN
Phi tuyến là hiện tượng tự nhiên trong các bài toán vật lý. Trong thực tế các
giả thiết tuyến tính chúng ta chỉ làm trong các trường hợp đặc biệt và thường
xuyên liên quan đến một số phép đo nhỏ, ví dụ biến dạng nhỏ, chuyển vị nhỏ,
góc quay nhỏ, sự thay đổi nhỏ của nhiệt độ, vv…

4
lớn tùy ý. Phi tuyến vật liệu cũng được kể đến bằng cách xem xét các quan hệ
vật liệu tương ứng. Cách tiếp cận của Argyris (Argyris và đồng nghiệp, 1982
[5]) dựa trên các dạng dao động riêng và khái niệm góc xoay tựa tiếp tuyến để
tránh khó khăn do từ sự không tích lũy của các góc xoay lớn trong không gian.
Cả hai cách thiết lập bài toán theo Bathe và Argyris đều đòi hỏi phải chia phẩn
tử của kết cấu (như dầm, cột, v.v) làm những phần tử nhỏ để đạt được kết quả
mong muốn. Gần đây, Shi và Atluri (1989) [25] đã sử dụng trường ứng suất giả
định để thiết lập ma trận độ cứng tiếp tuyến dưới dạng hiển. Ma trận độ cứng
này có thể sử dụng để mô hình hóa các phần tử của kết cấu khung không gian
mà không cần chia nhỏ các phần tử. Trong cách thiết lập này chuyển vị nút cho
phép lớn tùy ý, tuy nhiên góc xoay giả thiết từ nhỏ đến lớn vừa phải. Chandra và
đồng nghiệp, 1990 [10] đã đề nghị thuật toán cho dạng phần tử dầm cột, sử dụng
hàm ổn định để thiết lập quan hệ giữa lực phần tử và biến dạng. Ở đây vẫn chấp
nhận giả thiết về góc xoay từ nhỏ đến lớn vừa phải.
Gần đây Kassimali, 1983 [19] và Abbasnia và Kassimali, 1991 [4] đã trình
bày phương pháp phần tử dầm cột cho biến dạng lớn và phân tích ổn định của
khung không gian đàn hồi. Dựa trên công thức Euler tổng quát được Oran, 1973
[21] phát triển, phương pháp này tách biệt phần đóng góp của dịch chuyển như
một cố thể, chúng có thể lớn tùy ý, với biến dạng tương đối của phần tử nhận
được từ lý thuyết dầm cột. Bản chất không tích lũy của góc xoay của nút được
giải quyết bằng cách sử dụng khái niệm về ma trận định vị của nút. Thông qua
một loạt nghiên cứu số trên các lớp bài toán kết cấu đàn hồi chỉ ra rằng phương
pháp này khá chính xác ngay cả khi biến dạng ở dạng tích lũy.
Chính vì những ưu điểm cách tiếp cận này mà luân văn đã chọn công thức
Euler và các hàm ổn định để xây dựng ma trận độ cứng tiếp tuyến.
1.2 Phân tích ảnh hưởng của lực dọc trục
Một trong những ứng dụng của phần tử dạng dầm-cột là trong phân tích
chân đế của giàn tự nâng. Giàn tự nâng được sử dụng phục vụ mục đích khai
thác như một giàn cố định nên thời gian làm việc ở ngoài khơi cũng kéo dài hơn.

Độ lớn của hiệu ứng P-delta liên quan tới:
 độ lớn của tải dọc trục P,
 độ cứng/độ mảnh của kết cấu cũng như của toàn bộ kết cấu,
 độ mảnh của từng phần tử riêng lẻ.
Bằng cách điều khiển độ mảnh, độ lớn của hiệu ứng P-delta thường được
hạn chế sao cho có thể xem như là nhỏ và sau đó “bỏ qua” trong thiết kế; chẳng
hạn tại vị trí phần tử làm tăng kích thước…
Trong khung phẳng P-Delta được hiểu như sau:
 Khung dịch chuyển; Delta.
 Tải P được đặt lệch khung đưa gây ra thêm mômen hoặc “hiệu ứng bậc 2”.
Chương 1. Tổng quan
Luận văn thạc sĩ Cơ học Học viên Trần Thanh Hải
6
Tuy nhiên, ở đây chỉ minh họa hiệu ứng P-Delta (P-)(P-“BIG” delta) chỉ
là một phần của hiệu ứng bậc 2.
Ở đây chúng ta hiểu hiệu ứng của cả P-“BIG” delta (P-) và P- “little” P-
như hình 1.1 sau:

Hình 1.1. Minh họa ảnh hưởng của hiệu ứng P-delta trong khung phẳng
Công thức tọa độ đồng hành của phần tử và phương pháp số cho phân tích
phi tuyến của khung phẳng. Dựa trên lý thuyết dầm-cột, phương trình phần tử
được xây dựng trong hệ tọa độ của phần tử (góc quay và dịch chuyển), sau đó
được chuyển sang hệ tọa độ tổng thể để ghép nối.
Trong phân tích động lực học phi tuyến giả sử ma trận khối lượng không
phụ thuộc vào các chuyển vị, còn ma trận độ cứng tiếp tuyến là hàm của chuyển
vị. Do đó tìm nghiệm của phương trình cân bằng động lực học phi tuyến ta sử
dụng thuật toán tích phân số trực tiếp Newmark dạng sai phân. Hoặc phương
pháp sai phân - lặp dựa trên tích phân trực tiếp Newmark và phương pháp
Newton – Raphson.
Ý tưởng của phương pháp lặp Newton-Raphson là tìm một nghiệm tiếp

Như vậy tùy thuộc vào hệ số lựa chọn phương pháp Newmark sẽ là phương
pháp tích phân trực tiếp hiển hoặc ẩn.
Ở trong luận văn này sử dụng Maple để xây dựng các biểu thức cho ma
trận độ cứng tiếp tuyến. Dựa trên toolbox Cafem cho bài toán tuyến tính ở trong
Matlab đã xây dựng và phát triển một số hàm để tạo một toolbox phi tuyến.
Kết luận chương 1:
Nêu tổng quan về tính chất phi tuyến của kết cấu khung phẳng, sự phát
triển của phân tích phi tuyến kể đến hiệu ứng P-delta và phương pháp số dùng
để giải phương trình động lực học phi tuyến.
Chương 2. Xây dựng Mô hình phần tử
Luận văn thạc sĩ Cơ học Học viên Trần Thanh Hải
8
Chương 2. XÂY DỰNG MÔ HÌNH PHẦN TỬ
Trong khuôn khổ nghiên cứu này phi tuyến hình học được xem xét. Cụ thể
xây dựng mô hình phần tử phi tuyến kể đến biến dạng nhỏ nhưng dịch chuyển
lớn. Như đã trình bày trong phần tổng quan ở đây sử dụng công thức Euler và
các hàm ổn định để xây dựng mô hình phần tử chịu ảnh hưởng của lực dọc trục.
Các phi tuyến hình học ở đây gồm ảnh hưởng của lực dọc trục đến độ cứng
chống uốn và hiệu ứng P- được kể đến.
Trong phân tích dao động phi tuyến hình học khung phẳng, mô hình của
kết cấu được rời rạc và tính toán theo phương pháp phần tử hữu hạn. Do vậy
chúng ta cần phải thiết lập được véc tơ nội lực của từng phần tử (là hàm của các
chuyển vị nút) từ đó tính được các ma trận độ cứng tiếp tuyến cũng là hàm của
các chuyển vị này. Ma trận khối lượng sử dụng ma trận khối lượng tập trung
như ở phần tử dầm thông thường.
2.1 Ma trận độ cứng tiếp tuyến
2.1.1 Xây dựng ma trận chuyển đổi hệ trục tọa độ
Một phần tử trụ với mặt cắt ngang không đổi, trong mặt phẳng X0Y. Xét
hai trạng thái tải và chuyển vị là “ban đầu” và “biến dạng”. Mỗi trạng thái này
có một hệ trục tọa độ riêng. Trong trạng thái “ban đầu” phần tử thẳng, chiều dài

F
1

F
3

F
4

F
5F
6


v
2

v
4

v

Hệ tọa độ đồng hành Oxy trên hình 2.1 được miêu tả như sau: trục Ox được
nối thông qua nút i và nút j ở vị trí hiện thời. Trục Oy được đặt vuông góc với
trục Ox. Công thức hệ tọa độ đồng hành được phát triển dựa trên các tham số
trên hình 2.1. Trong hệ tọa độ tổng thể nút i và nút j của phần tử được biểu diễn
lần lượt là (X
i
, Y
i
) và (X
j
, Y
j
).

a) b)
Hình 2.2. a) Lực trong hệ tọa độ tổng thể, b) Lực trong hệ tọa độ địa phương.

Hình 2.3. Quan hệ lực và biến dạng.
Dưới dạng hình học ta có các quan hệ sau:

;




















6
54
54
3
21
21
6
5
4
3
2
1
F
mFnF
nFmF
F
mFnF
nFmF
F
F













100
0
0
mn
nm
r][
(2.3)
Q
M
1

Q
L=L
0
- u = L
0
(1+ )
M

2
F

1
F

3
F
F
3

4
F

5
F

6
F

L
Chương 2. Xây dựng Mô hình phần tử
Luận văn thạc sĩ Cơ học Học viên Trần Thanh Hải
10

 sin;cos nm
(2.4)

,
)(

1 vvYYvvXXLL
ijij

(2.6)
Tương tự theo hình 2.1, hình 2.2 a và hình 2.2b ta có,

 
 
 
;SBF 
 
 
 
,vRv
T

vBu
T

(2.7)

 









1
1
1
1
100
00
00
)()(
)()(
LL
LL
B
(2.8)
với

,
0
L
u


 









Chú ý rằng
)1(
0

L
biểu diễn chiều dài trong cấu hình biến dạng (chịu nén).
2.1.2 Trường hợp phần tử dầm-cột tổng quát chịu lực nén (Q > 0)
Phương trình vi phân tổng quát dịch chuyển theo hướng y của phần tử AB
chịu một lực nén Q và chịu ràng buộc bất kỳ tại hai đầu là (Ghali A. vad Neville
A. M. (1989) [17]:

0
2
2
4
4

dx
yd
EI
Q
dx
yd
(2.10)

4321
AxA
L
x
A

góc xoay tại các đầu nút). Các chuyển vị
 
*u
tại nút:

01
)(


x
yu
,
,
0
12








x
dx
dy
u

Lx
yu
































L
u
u
u
u
sincos
cossin
(2.14)

Hình 2.4. (a) Biến dạng của phần tử dầm chịu tác dụng lực dọc trục ở hai đầu,
(b) Chuyển vị theo các trục tọa độ.
Phương trình (2.14) có thể được viết lại như sau:

 
 
 
ABu *
(2.15)
trong đó

 






















4
3
2
1
A
A
A
A
A
(2.16)
Các lực
 
S
tại nút A và B là lực cắt và mô men uốn tại
0x
và
Lx 
































































M
V
M
V
S
S
S
S
2
2
2
2
3
3
0
2
2
0
2
2
3
3
0
0
4
3
2
1
(2.17)
Lấy vi phân phương trình (2.11) và thay vào phương trình (2.17) ta được


















00
000
000
000
2
2
2
2
2
2
2
2
2

A
A
A
(2.19)
từ (2.15) véc tơ
 
A
được xác định như sau:

 
 
 
*uBA
1

(2.20)
và thay vào phương trình (2.18) ta được:

 
  
 
*uBCS
1

(2.21)
đặt
    
1
 BCD
(2.22)
































)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)()(
)(
)(
scL
cs
scL
c
scL
s
scL
c
scL
c
scL
s
scL
c
scL
s
scL
s
scL
c

22
1
2222
1
22
2
2
2
2
2
2
3
3
2
2
3
3
2
2
2
2
2
2
3
3
2
2
3
3
(2.24)



22
, (2.25)
Ma trận
 
D
được viết lại như sau

 





















L
ts
t
L
ts
L
ts
L
Q
L
ts
L
ts
L
Q
L
ts
t
L
ts
s
L
ts
L
ts
L
Q
L
ts
L

 






























L
ts
L
ts
L
Q
L
ts
t
L
ts
s
L
ts
L
ts
L
Q
L
ts
L
ts
L
Q
L
ts
S
22
22
22
2
2
L
EI
Q 
(2.29)
2.1.4 Trường hợp phần tử dầm-cột không kể đến ảnh hưởng của biến dạng trượt.
 Khi bỏ qua ảnh hưởng của biến dạng trượt và chỉ kể đến ảnh hưởng hiệu
ứng P-delta. Do đó các lực tổng quát trong phương trình (1.18) được viết
lại cho cả hai trường hợp chịu kéo và chịu nén như sau (Bath K J, 1996
[8]):
Chương 2. Xây dựng Mô hình phần tử
Luận văn thạc sĩ Cơ học Học viên Trần Thanh Hải
14

)(
221111
 cc
L
EI
MS
(2.30)

)(
211222
 cc
L
EI




12
2
(2.34)

e
Q
Q
q 
,
q
22

(2.35)
 Đối với phần tử chịu kéo (q < 0):

,
sinhcosh
sinhcosh
ψψψ)(
ψ)ψψ(ψ
c



12
1
(2.36)

Tham số bowing
b
c
 ảnh hưởng của lực nén đến biến dạng dọc trục:









L
b
dx
dx
dy
c
0
2
2
1
(2.41)

2
212
2
211
)()(  bbc

8







cc
cc
c
b
)(
(2.43)

),(
21
2
1
2 bbc 

)(
21
2
2
2 bbc 

(2.44)
Chương 2. Xây dựng Mô hình phần tử
Luận văn thạc sĩ Cơ học Học viên Trần Thanh Hải

và
u
được định nghĩa bởi

ukS
t

(2.46)
Thành phần ma trận độ cứng tiếp tuyến
 
t
k
trong hệ tọa độ địa phương
được xác định bằng công thức:

,.
j
i
j
i
ij
t
u
q
q
S
u
S
k












HL
L
EI
LH
G
L
EI
LH
G
L
EI
LH
G
L
EI
H
G
L
EI
c

2
21
2
2
2
2
1
2
2
21
2
1
2
21
2
2
2
1
1
(2.48)
với:

)(
)(
11
2
2
1
2
2




 q
q
ccc
u
cu
q
bbbb 
1
2
212
2
211212211
1
2
2
22
















bb
q
bb221
2
121
2
1
2
212
2
211
2
2
2
22 












2
212
2
211
2
2
2
1
1
)()( bb
G
q;
H
G
q
2
1
1




(2.49)