Số phức Trần Só Tùng
1. Khái niệm số phức
• C
•dạng đại số
z a bi= +
a, b
R∈
, ab ii
2
= –1)
•z ⇔z !b = 0
z ⇔z !a = 0
!"
•#$
%
& & % %
%
a a
a bi a b i a b a b R
b b
=
+ = + ⇔ ∈
=
2. Biểu diễn hình họcz = a + bia, b
R∈
$'()$'*$$'(+M(a; b),
$
•
k a bi ka kbi k R+ = + ∈
5. Số phức liên hợpz = a + bi
z a bi= −
•
4 4
5 5
- % %- " % " %-
z z
z z z z z z z z z z
z z
= ± = ± = =
÷
-
5 5
"z z a b= +
•z⇔
z z=
- z⇔
z z= −
6. Môđun của số phứcz = a + bi
•
5 5
z a b zz OM= + = =
uuuur
•
! ! !z z C z z≥ ∀ ∈ = ⇔ =
•
z
−
= = =
•
%
%
z
w z wz
z
= ⇔ =
Trang 102
CHƯƠNG IV
SỐ PHỨC
CHƯƠNG IV
SỐ PHỨC
I. SỐ PHỨC
I. SỐ PHỨC
Số phức Trần Só Tùng
8. Căn bậc hai của số phức
•
z x yi= +
6$
w a bi= +
⇔
5
z w=
⇔
5 5
5
− ± δ
=
δ
46$∆
•
!∆ =
;4 $'+='
4 5
5
B
z z
A
= = −
Chú ý: Nếu z
0
∈
C là một nghiệm của (*) thì
!
z
cũng là một nghiệm của (*).
10. Dạng lượng giác của số phức
•
$ z r i= ϕ+ ϕ
(r > 0) ) $z = a + bi (z
≠
0)
5 5
[ ]
" % %" % $ %z z rr i= ϕ+ϕ + ϕ+ϕ
•
[ ]
% $ %
% %
z r
i
z r
= ϕ− ϕ + ϕ−ϕ
12. Công thức Moa–vrơ
•
[ ]
$ $
n
n
r i r n i nϕ+ ϕ = ϕ+ ϕ
;
n N∈
•
( )
$ $
n
i n i nϕ+ ϕ = ϕ+ ϕ
13. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác
•
2 $ z r i= +
ϕ ϕ
n n
+ +
+ = −
÷
ϕ π ϕ π
VẤN ĐỀ 1: Thực hiện các phép toán cộng – trừ – nhân – chia
Trang 103
Trần Só Tùng Số phức
Áp dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia hai số phức, căn bậc hai của số phức.
Chú ý các tính chất giao hoán, kết hợp đối với các phép toán cộng và nhân.
Bài 1. 1+
i i i: 3 5 ? 3@ + + +
4
5 5
?
i i
− + −
÷
( )
5 @
5 ?
? :
i i
− 2
1
3
i21
3
+
$
i
i
−
+
1
1
=
mi
m
aia
aia
−
+
+
)1)(21(
3
ii
i
+−
+
?
4
?
5
i
−
÷
'
22
22
)2()23(
)1()21(
ii
ii
+−+
−−+
A
i
C
5 −
3 3
( 1 ) (2 )i i− + −
4!!
4 i−
$
4Ca +
A
?
5Ga −
?
Ha +
: 5
4a a+ +
Bài 5. 1+6$
4 : ?i− +
: C @i+
4 5 Ci− −
)
@ 45i
− +
'
: @
? 5
i− −
A
G 5:i
−
:! :5i
− +
0
2
=− zz
'
2 1 8z z i− = − −
A
i z i: @ 5− = +
Trang 104
Số phức Trần Só Tùng
1
4
=
−
+
iz
iz
i
i
z
i
i
+
− = +
÷
? @
5 :
i
i
z
+
= −
z i z z
5
? 5 @ !+ − + =
B
z z z
5 5
F 4 !+ − + =
.
? 5
5 ? @ ? ? !z z z i− + + − =
Bài 2. I$$ .1(ẩn x)
01.3
2
=+− xx
02.32.23
54 : 5 !+ + + + =
+
x i x i
5
55 4H : !− − + + =
5
: : !ix x i+ + − =
x i x
5
5 ? !+ − =
Bài 3. 1+$$'( E
5 ? 4 ?i và i+ − +
5 : :i và i− +
Bài 4. 1+ .1$$'α+ $'+
? :i
= +
α
G ?iα = −
5 @i
= −
α
)
5 ?iα = − −
4 5 4 5
4 ! 4z mz m đk z z z z− + + = + = +
5 ? ?
4 5
? @ ! 4Hz mz i đk z z− + = + =
5 5 5
4 5
? ! Hx mx i đk z z+ + = + =
Bài 6. 9
4 5
z z
$ $'+ .1
( )
i z i z i
5
4 5 ? 5 4 !+ − + + − =
"E $
.$'(
5 5
4 5
A z z= +
5 5
4 5 4 5
B z z z z= +
.25
.55.
2
2
2
1
21
3 5
1 2
2 4
1 2
0
.( ) 1
z z
z z
+ =
=
)
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1
1
. . 1
−
A
1
1
3
1
z
z i
z i
z i
−
=
−
−
=
+
5 5
4 5
4 5
@ 5
:
+ + =
+ =
Trang 105
Trần Só Tùng Số phức
Bài 8. I$$' .1
5 4 5
?
x y i
x y i
+ = −
+ = −
5 5
@
H H
x y i
x y i
+ = −
+ = −
x y
x y
+ = −
+ =
A
? 5
4 4 4G 4
5C 5C
x y i
i
x y
+ = +
+ = +
5 5
@
4 5
x y i
x y i
A
? 4z + =
5 ?z i z i+ = − −
?
4
z i
z i
−
=
+
$
4 5z i− + =
=
5 z i z+ = −
1 1z + <
+
1 2z i< − <
Bài 2. L$'(+M. +NO $'()$'*z+J
+*$$'=$'
5z i
+
5z i
− +
" Fz z
@ "$ "? "$
C C : :
i i
π π π π
+ +
÷ ÷
( ) ( )
3 cos120 sin120 cos 45 sin 45+ +
o o o o
i i
)
5 cos sin 3 cos sin
6 6 4 4
+ +
÷
÷
π π π π
i i
'
( ) ( )
2 cos18 sin18 cos 72 sin 72+ +
o o o o
i i
)
2
sin.
2
(cos2
)
3
2
sin.
3
2
(cos2
ππ
ππ
i
i
+
+
=
2 2
2 cos sin
3 3
2 cos sin
2 2
+
÷
+
2 2i+
$
1 3i+
=
3 i−
3 0i
+
+
@
H
i
π
+
Bài 4. P$')$) $
cos45 sin 45
o o
i+
2 cos sin
6 6
+
÷
π π
i
$
:!
G
4 ?
5 5 "
4
i
i
i
+
−
÷
−
=
4 ? ?
$
: :
5
i
+
÷
π π
4!!
4
$
)3( i−
)
( )
G
! !
5 ?! $?!i
+
'
5
(cos15 sin15 )
o o
i+
A
5!!H 5!!H
4 4 i i+ + −
21
321
335
−
=
5 7
(cos sin ) .(1 3 )
3 3
i i i
π π
− +
5!!H
5!!H
4 4
4z biết z
z
z
+ + =
Bài 6. 9 +$
@ ?
$@ 4C$ 5!$ @$t t t t= − +
@ ?
@ 4C 5! @t t t t= − +
5 ?
$? ? $t t t= −
)
?
? : ?t t t= −
Bài 1. $''E
5 ? 5 ?
i i
i i
+ −
+
+ −
'
5 : @ 5 ? : C i i i i− + + + − −
A
5 ? 5!!F
4 """i i i i+ + + + +
5!!! 4FFF 5!4 H5 :G
i i i i i+ + + +
5
4 """ 4
n
i i i n+ + + + ≥
$
5 ? 5!!!
" " """i i i i
=
@ G 4? 4!! F:
i i i i i
− − −
− + − + + −
Bài 2. 9
4 5 ?
4 5 5 ? 4z i z i z i= + = − + = −
: ? 5
4 5 ? 4 ? 5 ?A z iz i z z i với z i= + − + + + + = +
( )
B z z z z z với z i
5 ? 5
4
5 5 ?
5
= − + − + = −
Bài 4. 1+x, y
4 5 4 5 4i x y i i− + + = +
? ?
? ?
x y
i
i i
− −
+ =
+ −
5 5 5 5
4
: ? ? 5 : ? 5
5
i x i xy y x xy y i− + + = − + −
−
4 5
5 5
i−
i, –i
$
?
4 ?
i
i
−
+
=
4 4
5 5
i+
( )
5 4 ?i− +
+
4 4
4 4i i
+
+ −
Bài 6. 1+6
i
−
5 5 !z iz iz− − − =
A
C ?
4 !z iz i+ + − =
4! @
5 5 !z i z i+ − + − =
Bài 9. I$
4 5
-u u
$6$
4
? :z i= +
4 5
-v v
$6$
5
? :z i= −
"E
4 5
u u+
4 5
v v+ +
R
Bài 10. I$$ .1.'<
5
@ !z + =
5 S5 5 ? !z i z i+ + =
+
?
z z=
5
5
: H Hz z+ =
5
4 5 4 !iz i z+ + + =
5
4 5 44 !i z i+ + + =
Baứi 11. I$$ .1.'<
5
: :
@ C !
z i z i
z i z i
+ +
+ =
ữ
( ) ( )
( )
z i z i
5
$ $ ! + + =
Baứi 12. I$$ .1.'<
x i x i
5
? : @ 4 ! + + =
x i x i
5
4 5 !+ + =
5
? 5 !x x+ + =
)
5
4 !x x+ + =
'
?
4 !x =
Baứi 13. I$$ .1$' + $'+
? 5
5 5 !z iz iz =
z i z i z i
? 5
? : : : : !+ + + =
Baứi 14. 1+m'( .1
( )
z i z i
5
4 5 5 ? ! + + =
"E $.
$'(
5 5
4 5
z z+
5 5
4 5 4 5
z z z z+
? ?
4 5
z z+
)
4 5
5 4 4 5
4 5 4 5
z z
z z z z
+ + +
ữ ữ
ữ ữ
'
Baứi 20. 1+$'(+. +NO $'()$'*+J'
?
z
z i
=
5 5
4z z+ =
4
z
z
=
Baứi 21. #J,E(
5 ? 4
4 """
n
S z z z z
= + + + +
$'.
5 5
$z i
n n
= +
A
5
i+ < <
$ 4 !
5
i+ < <
Baứi 23. 1++<+ +'
( )
( )
H
C
C H
5 ? 5 4
4
5 ? 5
i i
i
i
+ +
+
4 $ !
5
i + < <
4 $
!
4 $ 5
i
i
+ +
< <
+
$
: ?i
Baứi 24. 1++<+ +'
( )
( )
H
C
C H
5 ? 5 4
4
4F G 5! @
F G C
n n
i i
i i
+ +
+
ữ ữ
+
C C
4 ? 4 ?
5 5
i i
+
+
ữ ữ
)
@ @
4 ? 4 ?
5 5
i i
+
+
1+$'()$'*$$'(+T $789T1< "
Baứi 28. I$$ .1$' + $'+
? 5
5 5 @ : 4! !z i z i z i+ + =
? 5
4 4 !z i z i z i+ + + =
? 5
: @ H 5! :! !z i z i z i+ + =
Baứi 29. 9
? 5
? C 4! 4H ?!P z z i z i z i= + + +
"
E
? P i
I$$ .1
!P z =
"
Baứi 30. I$$ .1
5
4
5
G
z
z
z
+
? C 5 ? C ? !z z z z z z+ + + + + − =
?
H
z i
z i
+
=
÷
−
5 : 5 5 5 :
4 C 4 @ !z z z z z z− + − − + + =
)
? 5
4 !
z i z i z i
z i z i z i
− − −
+ + + =
÷ ÷ ÷
+ + +
Bài 33. 9 +$. '
4z ≤
1
5
4 5 4 5 4 5
4 4 4z z z z z z− − − = − −
)U'
4 4
z z c= =
1
5 5
5
4 5 4 5
:z z z z c+ + − =
"
Chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp và các em học sinh đã đọc tập tài liệu này.
Trang 111
Copyright: Tài liệu đại học ©