Tãm t¾t kiÕn thøc To¸n Trung häc phỉ th«ng
Lêi ngá cđa T¸c gi¶
T«i biªn so¹n nh»m gióp c¸c em
häc sinh cã thĨ nh×n nhËn kiÕn thøc to¸n cÊp 3 mét c¸ch
toµn diƯn h¬n, ®ång thêi gióp cho thÇy c« gi¸o cđng cè
thªm t liƯu gi¶ng dËy cho m×nh
PHẦN MỘT: ÔN TẬP TÓM TẮT CHƯƠNG TRÌNH THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN
I- GIẢI TÍCH TỔ HP
1. Giai thừa : n! = 1.2 n
0! = 1
n! /(n – k)! = (n – k + 1).(n – k + 2) n
2. Nguyên tắc cộng : Trường hợp 1 có m cách chọn, trường hợp 2 có n cách chọn;
mỗi cách chọn đều thuộc đúng một trường hợp. Khi đó, tổng số cách chọn là :
m + n.
3. Nguyên tắc nhân : Hiện tượng 1 có m cách chọn, mỗi cách chọn này lại có n
cách chọn hiện tượng 2. Khi đó, tổng số cách chọn liên tiếp hai hiện tượng là :
m x n.
4. Hoán vò : Có n vật khác nhau, xếp vào n chỗ khác nhau. Số cách xếp : P
n
= n !.
5. Tổ hợp : Có n vật khác nhau, chọn ra k vật. Số cách chọn :
)!kn(!k
!n
C
k
n
−
=
6. Chỉnh hợp : Có n vật khác nhau. Chọn ra k vật, xếp vào k chỗ khác nhau số
cách :
= =

Trang 1
Tãm t¾t kiÕn thøc To¸n Trung häc phỉ th«ng
k
1n
k
n
1k
n
kn
n
k
n
n
n
0
n
CCC
CC,1CC
+
−
−
=+
===
8. Nhò thức Newton :
*
n0n
n
11n1
n
0n0

n
0
n
C, ,C,C
bằng cách :
- Đạo hàm 1 lần, 2 lần, cho x = ±1, ±2, a = ±1, ±2,
- Nhân với x
k
, đạo hàm 1 lần, 2 lần, cho x = ±1, ±2, , a = ±1, ±2,
- Cho a = ±1, ±2, ,
∫∫
±± 2
0
1
0
hay
hay
β
α
∫
Chú ý :
* (a + b)
n
: a, b chứa x. Tìm số hạng độc lập với x :
k n k k m
n
C a b Kx
−
=
Giải pt : m = 0, ta được k.

hợp (bốc, không xếp), chỉnh hợp (bốc rồi xếp).
* Áp dụng sơ đồ nhánh để chia trường hợp , tránh trùng lắp hoặc thiếu trường
hợp.
* Với bài toán tìm số cách chọn thỏa tính chất p mà khi chia trường hợp, ta
thấy số cách chọn không thỏa tính chất p ít trường hợp hơn, ta làm như sau :
số cách chọn thỏa p.
= số cách chọn tùy ý - số cách chọn không thỏa p.
Cần viết mệnh đề phủ đònh p thật chính xác.
* Vé số, số biên lai, bảng số xe : chữ số 0 có thể đứng đầu (tính từ trái sang
phải).
* Dấu hiệu chia hết :
- Cho 2 : tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8.
Lª Kh¸nh Cêng
–
Gi¸o viªn To¸ n trêng THPT Thn Ch© u
–
S¬n La
Trang 2
Tãm t¾t kiÕn thøc To¸n Trung häc phỉ th«ng
- Cho 4 : tận cùng là 00 hay 2 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 4.
- Cho 8 : tận cùng là 000 hay 3 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 8.
- Cho 3 : tổng các chữ số chia hết cho 3.
- Cho 9 : tổng các chữ số chia hết cho 9.
- Cho 5 : tận cùng là 0 hay 5.
- Cho 6 : chia hết cho 2 và 3.
- Cho 25 : tận cùng là 00, 25, 50, 75.
1. Chuyển vế : a + b = c ⇔ a = c – b; ab = c ⇔




a 0

=
= ⇔ = ± = ⇔

≥




α=⇔=
≥
±=
⇔=
α
a
bbloga,
0a
ab
ba



>
<



<
>


> ∨
< < <


⇔ ⇔
 
< Γ
≥




Γ

p
x a p q
a x b(nếua b)
;
x b
VN(nếua b)
q
Nhiều dấu v : vẽ trục để giao nghiệm.
3. Công thức cần nhớ :
a. : chỉ được bình phương nếu 2 vế không âm. Làm mất phải đặt điều kiện.



≤≤
≥

0b
ba
Lª Kh¸nh Cêng
–
Gi¸o viªn To¸ n trêng THPT Thn Ch© u
–
S¬n La
Trang 3
Tãm t¾t kiÕn thøc To¸n Trung häc phỉ th«ng
)0b,anếu(b.a
)0b,anếu(b.a
ab
<−−
≥
=
b.
.
: phá
.
bằng cách bình phương :
2
2
aa =
hay bằng đònh nghóa :
)0anếu(a
)0anếu(a
a
<−
≥
=

a 1; a 1/ a ; a .a a
a /a a ; (a ) a ; a / b (a/ b)
a .b (ab) ; a a (m n,0 a 1) a = 1
− +
−
= = =
= = =
= = ⇔ = < ≠ ∨
α
=α
<<>
><
⇔<
a
log
nm
a,
)1a0nếu(nm
)1anếu(nm
aa
d. log : y = log
a
x , x > 0 , 0 < a ≠ 1, y ∈ R
y↑ nếu a > 1, y↓ nếu 0 < a < 1, α = log
a
a
α
log
a
(MN) = log

a
b.log
b
c
log
b
c = log
a
c/log
a
b,
Mlog
1
Mlog
a
a
α
=
α
log
a
(1/M) = – log
a
M, log
a
M = log
a
N ⇔ M = N
a a
0 M N(nếua 1)

chẵn) : không đổi dấu.
b. Biểu thức f(x) vô tỷ : giải f(x) < 0 hay f(x) > 0.
c. Biểu thức f(x) vô tỷ mà cách b không làm được : xét tính liên tục và đơn điệu
của f, nhẩm 1 nghiệm của pt f(x) = 0, phác họa đồ thò của f , suy ra dấu của f.
6. So sánh nghiệm phương trình bậc 2 với α :
f(x) = ax
2
+ bx + c = 0 (a
≠
0)
* S = x
1
+ x
2
= – b/a ; P = x
1
x
2
= c/a
Dùng S, P để tính các biểu thức đối xứng nghiệm. Với đẳng thức g(x
1
,x
2
) = 0
không đối xứng, giải hệ pt :








>
>
>∆
0S
0P
0
x
1
< x
2
< 0 ⇔





<
>
>∆
0S
0P
0
* Dùng ∆, af(α), S/2 để so sánh nghiệm với α : x
1
< α < x
2
⇔ af(α) < 0
α < x

0
Lª Kh¸nh Cêng
–
Gi¸o viªn To¸ n trêng THPT Thn Ch© u
–
S¬n La
Trang 5
Tãm t¾t kiÕn thøc To¸n Trung häc phỉ th«ng
α < x
1
< β < x
2
⇔
a.f( ) 0
a.f( ) 0
β <


α >


α < β

; x
1
< α < x
2
< β ⇔



x
3
= c/a , x
1
.x
2
.x
3
= – d/a
Biết x
1
+ x
2
+ x
3
= A , x
1
x
2
+ x
1
x
3
+ x
2
x
3
= B , x
1
.x


≠α
=∆
∨



=α
>∆
0)(f
0
0)(f
0
1 nghiệm ⇔
( )
∆

∆

α

= 0
< 0hay
f = 0
• Phương trình bậc 3 không nhẩm được 1 nghiệm, m tách được sang 1 vế : dùng
sự tương giao giữa (C) : y = f(x) và (d) : y = m.
• Phương trình bậc 3 không nhẩm được 1 nghiệm, m không tách được sang 1 vế
: dùng sự tương giao giữa (C
m
) : y = f(x, m) và (Ox) : y = 0

CTCĐ
'y
c. Phương trình bậc 3 có 3 nghiệm lập thành CSC :
⇔



=
>∆
0y
0
uốn
'y
d. So sánh nghiệm với α :
• x = x
o
∨ f(x) = ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) : so sánh nghiệm phương trình bậc 2
f(x) với α.
Lª Kh¸nh Cêng
–
Gi¸o viªn To¸ n trêng THPT Thn Ch© u
–
S¬n La
Trang 6
Tãm t¾t kiÕn thøc To¸n Trung häc phỉ th«ng
• Không nhẩm được 1 nghiệm, m tách được sang 1 vế : dùng sự tương giao của
f(x) = y: (C) và y = m: (d) , đưa α vào BBT.
• Không nhẩm được 1 nghiệm, m không tách được sang 1 vế : dùng sự tương

α <

x
1
< α < x
2
< x
3
⇔







<α
>α
<
>∆
CT
CTCĐ
'y
x
0)(y
0y.y
0
x
1
< x

CĐ CT
CT
0
y .y 0
y( ) 0
x
∆ >


<


α >


< α

8. Phương trình bậc 2 có điều kiện :
f(x) = ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0), x ≠ α
2 nghiệm ⇔



>∆
≠α
0
0)(f
, 1 nghiệm ⇔



=
≥=
0)t(f
0xt
2
t = x
2
⇔ x = ±
t
Lª Kh¸nh Cêng
–
Gi¸o viªn To¸ n trêng THPT Thn Ch© u
–
S¬n La
Trang 7
α
x
1
x
2
x
3
α
x
1
x
2
x



>
=
0S
0P
2 nghiệm ⇔



>
=∆
<
02/S
0
0P
; 1 nghiệm ⇔



=
=∆



<
=
02/S
0
0S

<<
12
21
t3t
tt0
Giải hệ pt :





=
+=
=
21
21
12
t.tP
ttS
t9t
b. ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ bx + a = 0. Đặt t = x +
x
1
. Tìm đk của t bằng BBT :

=+
=+
'cy'bx'a
cbyax
. Tính :
D =
'b
b
'a
a
, D
x
=
'b
b
'c
c
, D
y
=
'c
c
'a
a
D ≠ 0 : nghiệm duy nhất x = D
x
/D , y = D
y
/D.
D = 0, D

Phương trình này đối xứng với phương trình kia. Trừ 2 phương trình, dùng các
hằng đẳng thức đưa về phương trình tích A.B = 0.
Nghiệm duy nhất làm như hệ đối xứng loại 1.
13. Hệ phương trình đẳng cấp :



=++
=++
'dy'cxy'bx'a
dcybxyax
22
22
Xét y = 0. Xét y ≠ 0 : đặt x = ty, chia 2 phương trình để khử t. Còn 1 phương
trình theo y, giải ra y, suy ra t, suy ra x. Có thể xét x = 0, xét x ≠ 0, đặt y = tx.
14. Bất phương trình, bất đẳng thức :
* Ngoài các bất phương trình bậc 1, bậc 2, dạng cơ bản của
.,
, log, mũ có
thể giải trực tiếp, các dạng khác cần lập bảng xét dấu. Với bất phương trình
dạng tích AB < 0, xét dấu A, B rồi AB.
* Nhân bất phương trình với số dương : không đổi chiều
số âm : có đổi chiều
Chia bất phương trình : tương tự.
* Chỉ được nhân 2 bất pt vế theo vế , nếu 2 vế không âm.
* Bất đẳng thức Côsi :
a, b ≥ 0 :
ab
2
ba

f(x) ≥ m : (C) trên (d) (hay cắt)
III- LƯNG GIÁC
1. Đường tròn lượng giác :
Lª Kh¸nh Cêng
–
Gi¸o viªn To¸ n trêng THPT Thn Ch© u
–
S¬n La
Trang 9
+
2
π
0
2
− π
Tãm t¾t kiÕn thøc To¸n Trung häc phỉ th«ng
Trên đường tròn lượng giác, góc α đồng nhất với cung AM,
đồng nhất với điểm M. Ngược lại, 1 điểm trên đường tròn
lượng giác ứng với vô số các số thực x + k2π.
Trên đường tròn lượng giác, nắm vững các góc đặc biệt :
bội của
6
π
(
3
1
cung phần tư) và
4
π
(

h. Tích thành tổng : đổi tích thành tổng và đổi góc a, b thành a ± b.
5. Phương trình cơ bản : sinα = 0⇔ cosα = – 1 hay cosα = 1⇔ α = kπ,
sinα = 1 ⇔ α =
2
π
+ k2π; sinα = –1 ⇔ α = –
2
π
+ k2π,
cosα = 0 ⇔ sinα = –1 hay sinα = 1 ⇔ α =
2
π
+ kπ,
cosα = 1 ⇔ α = k2π, cosα = – 1 ⇔ α = π + k2π
sinu = sinv ⇔ u = v + k2π ∨ u = π – v + k2π
cosu = cosv ⇔ u = ± v + k2π
tgu = tgv ⇔ u = v + kπ
Lª Kh¸nh Cêng
–
Gi¸o viªn To¸ n trêng THPT Thn Ch© u
–
S¬n La
Trang 10
2
− π
2
π
0
α
0

Đưa các nhóm đối xứng về sin + cos và sin.cos.
Đặt : t = sinu + cosu =
2
t 1
2 sin u , 2 t 2,sinu.cosu
4 2
π −
 
+ − ≤ ≤ =
 ÷
 
8. Phương trình chứa sinu + cosu và sinu.cosu :
Đặt :
2
1
2 0 2
4 2
t
t sinu cos u sin u , t ,sinu.cos u
π
−
 
= + = + ≤ ≤ =
 ÷
 
9. Phương trình chứa sinu – cosu và sinu.cosu :
Đặt :
π −
 
= − = − − ≤ ≤ =

* Bậc 3 và bậc 1 theo sinu và cosu : chia 2 vế cho cos
3
u.
* Bậc 1 và bậc – 1 : chia 2 vế cho cosu.
13. Giải phương trình bằng cách đổi biến :
Nếu không đưa được phương trình về dạng tích, thử đặt :
* t = cosx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi – x.
* t = sinx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi π – x.
* t = tgx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi π + x.
* t = cos2x : nếu cả 3 cách trên đều đúng
* t = tg
2
x
: nếu cả 3 cách trên đều không đúng.
14. Phương trình đặc biệt :
*



=
=
⇔=+
0v
0u
0vu
22
Lª Kh¸nh Cêng
–
Gi¸o viªn To¸ n trêng THPT Thn Ch© u
–






+=+
≤
≤
Bv
Au
BAvu
Bv
Au
* sinu.cosv = 1 ⇔



−=
−=
∨



=
=
1vcos
1usin
1vcos
1usin
* sinu.cosv = – 1 ⇔

=−
=+
byx
ayx
b. Dạng 2 :



=±
=
nyx
m)y(F).x(F
. Tương tự dạng 1, dùng công thức đổi nhân
thành +.
c. Dạng 3 :



=±
=
nyx
m)y(F/)x(F
.
Dùng tỉ lệ thức :
db
ca
db
ca
d
c

Csinab
2
1
ah
2
1
S
a
====
Lª Kh¸nh Cêng
–
Gi¸o viªn To¸ n trêng THPT Thn Ch© u
–
S¬n La
Trang 12
Tãm t¾t kiÕn thøc To¸n Trung häc phỉ th«ng
)cp)(bp)(ap(p −−−=
* Trung tuyến :
222
a
ac2b2
2
1
m −+=
* Phân giác : ℓ
a
=
cb
2
A

∫
;
∫
+=
Cusinuducos
∫
+−= Cgucotusin/du
2
;
∫
+= Ctguucos/du
2
*
= = −
∫
b
b
a
a
f(x)dx F(x) F(b) F(a)
*
∫ ∫ ∫ ∫∫∫
+=−==
b
a
c
a
b
a
c

= xlnu:xlnx
n
c.
∫ ∫
==
dxedvhayeu:xcose,xsine
xxxx
từng phần 2 lần, giải phương trình ẩn hàm ʃ
3. Các dạng thường gặp :
a.
∫
+
xcos.xsin
1n2m
: u = sinx.
Lª Kh¸nh Cêng
–
Gi¸o viªn To¸ n trêng THPT Thn Ch© u
–
S¬n La
Trang 13
Tãm t¾t kiÕn thøc To¸n Trung häc phỉ th«ng
∫
+
xsin.xcos
1n2m
: u = cosx.
∫
xcos.xsin
n2m2

∫
)xcos,x(sinR
, R : hàm hữu tỷ
R(–sinx, cosx) = – R(sinx, cosx) : u = cosx
R(sinx, –cosx) = – R(sinx, cosx) : u = sinx
R(–sinx,–cosx) = R(sinx, cosx) : u = tgx ∨ u = cotgx
R đơn giản :
2
x
tgu =
∫
π
−
π
=
2/
0
x
2
ặtthử:
∫
π
−π=
0
xặtthử:
e.
∫
+=∈++
nqq/pnm
bxau:Zn/)1m(,)bxa(x

: thử đặt u
n
= a + bx
k
.
4. Tích phân hàm số hữu tỷ :
∫
)x(Q/)x(P
: bậc P < bậc Q
* Đưa Q về dạng tích của x + a, (x + a)
n
, ax
2
+ bx + c (∆ < 0)
* Đưa P/Q về dạng tổng các phân thức đơn giản, dựa vào các thừa số của Q :
n
n
2
21
n
)ax(
A

)ax(
A
ax
A
)ax(,
ax
A

cbxax
dx
cbxax
B
cbxax
)bax2(A
)0(cbxax
22
222
2
5. Tính diện tích hình phẳng :
a. D giới hạn bởi x = a, x = b, (Ox), (C) : y = f(x) :
∫
=
b
a
D
dx)x(fS
f(x) : phân thức hữu tỉ : lập BXD f(x) trên [a,b] để mở .; f(x) : hàm lượng
giác : xét dấu f(x) trên cung [a, b] của đường tròn lượng giác.
b. D giới hạn bởi x = a, x = b , (C) : y = f(x)
(C') : y = g(x) :
∫
−=
b
a
D
dx)x(g)x(fS
Xét dấu f(x) – g(x) như trường hợp a/.
c. D giới hạn bởi (C

Cần biết vẽ đồ thò các hình thường gặp : các hàm cơ bản, các đường tròn, (E)
, (H), (P), hàm lượng giác, hàm mũ, hàm
.
.
Cần biết rút y theo x hay x theo y từ công thức f(x,y) = 0 và biết chọn
+

hay
−
( )
trái: x,phải: x,dưới: y,trên: y −=+=−=+=
6. Tính thể tích vật thể tròn xoay :
a. D như 5.a/ xoay quanh (Ox) :
[ ]
∫
π=
b
a
2
dx)x(fV
Lª Kh¸nh Cêng
–
Gi¸o viªn To¸ n trêng THPT Thn Ch© u
–
S¬n La
Trang 15
x=bx=a
f(x)
g(x)
y=a

∫
−π=
b
a
22
dx)]x(g)x(f[V
d.
∫
−π=
b
a
22
dy)]y(g)y(f[V
e.
∫∫
π+π=
b
c
2
c
a
2
dx)x(gdx)x(fV
f.
∫∫
π+π=
b
c
2
c

−
−
=
b. Hàm lg :
1
u
usin
limthứccôngdùng),0/0dạng(
)x(g
)x(f
lim
0uax
=
→→
c. Hàm chứa căn :
)0/0dạng(
)x(g
)x(f
lim
ax→
, dùng lượng liên hiệp :
a
2
– b
2
= (a – b)(a + b) để phá , a
3
– b
3
= (a – b)(a

g(x
0)
a b
a b
c
f(x) -g(x)
b
c
f(y)
-g(y)
a
Tãm t¾t kiÕn thøc To¸n Trung häc phỉ th«ng
a. Tìm đạo hàm bằng đònh nghóa :
o
o
o
xx
0
xx
)x(f)x(f
lim)x('f
−
−
=
→
Tại điểm x
o
mà f đổi công thức, phải tìm đạo hàm từng phía :
.lim)x(f,lim)x(f
o

)
c. f
/
+ : f ↑ , f
/
– : f ↓
f
//
+ : f lõm , f
//
– : f lồi
d. f đạt CĐ tại M ⇔



<
=
0)x(f
0)x(f
M
//
M
/
f đạt CT tại M ⇔



>
=
0)x(f

xlna
′
=
, (e
x
)
/
= e
x
(a
x
)
/
= a
x
.lna, (sinx)
/
= cosx , (cosx)
/
= – sinx, (tgx)
/
= 1/cos
2
x,
(cotgx)
/
= –1/sin
2
x, (ku)
/


. f
/
(x)
* Đạo hàm lôgarit : lấy log (ln : cơ số e) 2 vế , rồi đạo hàm 2 vế; áp dụng với
hàm [f(x)]
g(x)
hay f(x) dạng tích, thương, chứa
n

f. Vi phân : du = u
/
dx
3. Tiệm cận :
∞=
→
ylim
ax
⇒ x = a : tcđ
Lª Kh¸nh Cêng
–
Gi¸o viªn To¸ n trêng THPT Thn Ch© u
–
S¬n La
Trang 17
x a
y
∞

∞

++=
, tcx
là y = ax + b. Nếu Q = x – α, có thể chia Honer.
* Biện luận tiệm cận hàm bậc 2 / bậc 1 :
c
y ax b
dx e
= + +
+
( d ≠ 0 )
• a ≠ 0, c ≠ 0 : có tcđ, tcx
• a = 0, c ≠ 0 : có tcn, tcđ.
• c = 0 : (H) suy biến thành đt, không có tc.
4. Đồ thò các hàm thường gặp :
a/ y = ax + b :
b/ y = ax
2
+ bx + c
c/ y = ax
3
+ bx
2
+ c + d
a> 0 :
a < 0 :
Lª Kh¸nh Cêng
–
Gi¸o viªn To¸ n trêng THPT Thn Ch© u
–
S¬n La

ad - bc > 0 ad - bc < 0
f/ y =
edx
cbxax
2
+
++
(ad ≠ 0)
ad > 0
ad < 0
5. ĐỐI XỨNG ĐỒ THỊ :
g(x) = f(–x) : đx qua (Oy)
g(x) = – f(x) : đx qua (Ox)
(C
/
) : y =
)x(f
: giữ nguyên phần (C) bên trên y = 0, lấy phần (C) bên dưới y =
0 đối xứng qua (Ox).
(C
/
) : y =
)x(f
: giữ nguyên phần (C) bên phải x = 0, lấy phần (C) bên phải x =
0 đối xứng qua (Oy).
6. ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA (Cm) : y = f(x, m)
a/ Điểm cố đònh : M(x
o
, y
o

Gi¸o viªn To¸ n trêng THPT Thn Ch© u
–
S¬n La
Trang 19
ab < 0
ab > 0
< 0
> 0
= 0
x < a
x > a
a
x = a
y < b
y > b
b
y = b
Tãm t¾t kiÕn thøc To¸n Trung häc phỉ th«ng
b/ Điểm (Cm) không đi qua, ∀m : M(x
o
, y
o
) ∉ (Cm), ∀m ⇔ y
o
≠ f(x
o
,m), ∀m ⇔
y
o
= f(x

0A
). Giải hệ , được M.
Chú ý :
C
B
A
=
VN ⇔ B = 0 ∨



=
≠
VNBCA
0B
c/ Điểm có n đường cong của họ (Cm) đi qua : Có n đường (Cm) qua M(x
o
, y
o
)
⇔ y
o
= f(x
o
, m) có n nghiệm m. Cần nắm vững điều kiện có n nghiệm của các
loại phương trình : bậc 2, bậc 2 có điều kiện x ≠ α, bậc 3, trùng phương.
7. TIẾP XÚC, PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN :
a. (C) : y = f(x), tx (C
/
) : y = g(x) khi hệ phương trình sau có nghiệm :

o
, y
o
): viết phương trình đường thẳng qua M : (d) : y = k(x – x
o
) + y
o
.
Dùng điều kiện tx tìm k. Số lượng k = số lượng tiếp tuyến (nếu f bậc 3 hay bậc
2 / bậc 1 thì số nghiệm x trong hệ phương trình đk tx = số lượng tiếp tuyến).
* // (∆) : y = ax + b : (d) // (∆) ⇒ (d) : y = ax + m. Tìm m nhờ đk tx.
* ⊥ (∆) : y = ax + b (a ≠ 0) : (d) ⊥ (∆) ⇒ (d) : y =
a
1
−
x + m. Tìm m nhờ đk tx.
c. Bài toán số lượng tiếp tuyến : tìm M ∈ (C
/
) : g(x, y) = 0 sao cho từ M kẻ được
đến (C) đúng n tiếp tuyến (n = 0, 1, 2, ), M(x
o
,y
o
) ∈ (C
/
) ⇔ g(x
o
,y
o
) = 0; (d)

g(x). Số nghiệm pt = số điểm chung.
* Tìm m để (C
m
) : y = f(x, m) và (C
/
m
) : y = g(x, m) có n giao điểm : Viết
phương trình hoành độ điểm chung; đặt đk để pt có n nghiệm. Nếu pt hoành độ
điểm chung tách được m sang 1 vế : F(x) = m : đặt điều kiện để (C) : y = F(x)
và (d) : y = m có n điểm chung.
* Biện luận sự tương giao của (C
m
) và (C
/
m
) :
Lª Kh¸nh Cêng
–
Gi¸o viªn To¸ n trêng THPT Thn Ch© u
–
S¬n La
Trang 20
Tãm t¾t kiÕn thøc To¸n Trung häc phỉ th«ng
• Nếu pt hđ điểm chung dạng : F(x) = m : lập BBT của F; số điểm chung của
(C
m
) và (C
/
m
) = số điểm chung của (C) và (d).

=
0)x(f
0)x(f
o
//
o
/
* f bậc 3 (hay bậc 2 / bậc 1) có cực trò ⇔ f có CĐ và CT ⇔
/
f
∆
> 0
* f bậc 3 (hay bậc 2 / bậc 1) có cực trò :
• Bên phải (d) : x = α ⇔ y
/
= 0 có 2 nghiệm α < x
1
< x
2
.
• Bên trái (d) : x = α ⇔ y
/
= 0 có 2 nghiệm x
1
< x
2
< α .
• 1 bên (Ox) ⇔
0
0

VN (có 2 nghiệm.).
* Tính y
CĐ
.y
CT
:
• Hàm bậc 3 : y = y
/
(Ax + B) + (Cx

+ D)
y
CĐ
.y
CT
= (Cx
CĐ
+ D).(Cx
CT
+ D), dùng Viète với pt y
/
= 0.
• Hàm bậc 2/ bậc 1 :
v
u
y =
y
CĐ
.y
CT

1
, x
2
với x
1
< x
2
Lª Kh¸nh Cêng
–
Gi¸o viªn To¸ n trêng THPT Thn Ch© u
–
S¬n La
Trang 21
Tãm t¾t kiÕn thøc To¸n Trung häc phỉ th«ng
⇒ hàm số đạt cực đại tại x
1
và đạt cực tiểu tại x
2
.
Ngoài ra ta còn có :
+ x
1
+ x
2
= 2x
0
với x
0
là hoành độ điểm uốn.
+ hàm số tăng trên (−∞, x

là hoành độ
điểm uốn). Ta cũng có :
+ hàm số giảm trên (−∞, x
1
)
+ hàm số giảm trên (x
2
, +∞)
+ hàm số tăng trên (x
1
, x
2
)
b. Biện luận sự biến thiên của y =
1bậc
2bậc
i) Nếu a.m > 0 và y
/
= 0 vô nghiệm thì hàm tăng ( đồng biến) trên từng khỏang xác đònh.
ii) Nếu a.m < 0 và y
/
= 0 vô nghiệm thì hàm giảm ( nghòch biến) trên từng khỏang xác
đònh.
iii) Nếu a.m > 0 và y
/
= 0 có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
thì hàm đạt cực đại tại x

2
và
1 2
x x
p
2 m
+
=−
.
c. Tìm m để hàm số bậc 3, bậc 2/bậc 1 đồng biến (nghòch biến) trên miền x ∈ I :
đặt đk để I nằm trong miền đồng biến (nghòch biến) của các BBT trên; so sánh
nghiệm pt bậc 2 y
/
= 0 với α.
11. BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PT BẰNG ĐỒ THỊ :
a. Cho pt : F(x, m) = 0; tách m sang 1 vế : f(x) = m; lập BBT của f (nếu f đã khảo
sát thì dùng đồ thò của f), số nghiệm = số điểm chung.
b. Với pt mũ, log,
.,
, lượng giác : đổi biến; cần biết mỗi biến mới t được mấy
biến cũ x; cần biết đk của t để cắt bớt đồ thò f.
12. QUỸ TÍCH ĐIỂM DI ĐỘNG M(x
o
, y
o
) :
Dựa vào tính chất điểm M, tìm 2 đẳng thức chứa x
o
, y
o

–
S¬n La
Trang 22
Tãm t¾t kiÕn thøc To¸n Trung häc phỉ th«ng
b. CM hàm bậc 4 có trục đx // (Oy) : giải pt y
/
= 0; nếu x = a là nghiệm duy nhất
hay là nghiệm chính giữa của 3 nghiệm : đổi tọa độ x = X + a, y = Y; thế vào
hàm số : Y = F(X); cm F(–X) = F(X); suy ra F là hàm chẵn, đồ thò có trục đối
xứng là trục tung X = 0, tức x = a.
c. Tìm trên (C) : y = f(x) cặp điểm M, N đối xứng qua I : giải hệ 4 pt 4 ẩn :
M N I
M N I
M M
N N
x x 2x
y y 2y
y f(x )
y f(x )
+ =


+ =


=


=


∈
+
++=
Zy,x
edx
c
baxy
MM
M
MM
⇔







∈
+
+
++=
Z
edx
c
,x
edx
c
baxy
M

f ≤ g ⇔ a ≤ x ≤ b , f ≥ g ⇔



≥
≤
bx
ax
VI- HÌNH HỌC GIẢI TÍCH
1. Tọa độ , vectơ :
* (a,b) ± (a
/
, b
/
) = (a ± a
/
, b ± b
/
)
k(a, b) = (ka, kb)
Lª Kh¸nh Cêng
–
Gi¸o viªn To¸ n trêng THPT Thn Ch© u
–
S¬n La
Trang 23
a
b
f
g

v . v
=
r r
r r
r r
ABAB),yy,xx(AB
ABAB
=−−=
M chia AB theo tỉ số k ⇔
MBkMA =
⇔
k1
kyy
y,
k1
kxx
x
BA
M
BA
M
−
−
=
−
−
=
(k ≠ 1)
M : trung điểm AB ⇔
2

M
CBA
M
(tương tự cho vectơ 3 chiều).
* Vectơ 3 chiều có thêm tích có hướng và tích hỗn hợp :
)'c,'b,'a(v),c,b,a(v
/
==
[ ]








=
//////
/
b
b
a
a
,
a
a
c
c
,

đồng phẳng
⇔
0v].v,v[
///
=
rrr
[ ]
AC,AB
2
1
S
ABC
=
∆
[ ]
AS.AC,AB
6
1
V
ABC.S
=
/
'D'C'B'A.ABCD
AA].AD,AB[V =
A, B, C thẳng hàng ⇔
AB // AC
uuur uuur
* ∆ trong mp : H là trực tâm ⇔



AC
AB
MB −=
M là chân phân giác ngòai
∧
A
⇔
MC
AC
AB
MB +=
I là tâm đường tròn ngoại tiếp ⇔ IA = IB = IC.
I là tâm đường tròn nội tiếp ⇔ I là chân phân giác trong
∧
B
của ∆ABM với
M là chân phân giác trong
∧
A
của ∆ABC.
2. Đường thẳng trong mp :
* Xác đònh bởi 1 điểm M(x
o
,y
o
) và 1vtcp
v
= (a,b) hay 1 pháp vectơ (A,B) :
(d) :


AB
A
AB
A
yy
yy
xx
xx
−
−
=
−
−
* (d) : Ax + By + C = 0 có
)B,A(n;)A,B(v =−=
* (d) // (∆) : Ax + By + C = 0 ⇒ (d) : Ax + By +
C
′
= 0
* (d) ⊥ (∆) ⇒ (d) : – Bx + Ay + C
/
= 0
* (d), (d
/
) tạo góc nhọn ϕ thì :
cosϕ =
( )
/
/
/

///
22
BA
CyBxA
BA
CByAx
+
++
±=
+
++
/
d
d
n.n
> 0 : phân giác góc tù + , nhọn –
/
d
d
n.n
< 0 : phân giác góc tù – , nhọn +
* Tương giao : Xét hpt tọa độ giao điểm.
3. Mặt phẳng trong không gian :
Lª Kh¸nh Cêng
–
Gi¸o viªn To¸ n trêng THPT Thn Ch© u
–
S¬n La
Trang 25