Nguyễn Đăng Công Trường THCS Việt Hùng
PHẦN THỨ NHẤT – MỞ ĐẦU
I. Lí do chọn đề tài:
Đối với những người làm công tác gió dục trong nhà trường, đứng trươc
vận mệnh của đất nước trong tương lai đòi hỏi mỗi thày cô giáo phải luôn cố
gắng vươn lên bằng chính năng lực của mình và sự đổi mới không ngừng để bắt
kịp với tình hình phát triển mới của giáo dục của đất nước góp phần thực hiện
tốt nhiệm vụ giáo dục của mình trong sự nghiệp đổi mới giáo dục của đất nước.
Ngoài trau dồi phương pháp dạy học , người giáo viên phải trau dồi về kiến
thức. Ngoài kiến thức trong sách giáo khoa thì người giáo viên phải phát triển
kiến thức của mình để bắt nhịp với cuộc sống hiện tại và có kiến thức giảng dạy
cho các em học sinh.
Là giáo viên dạy môn toán trong trường phổ thông, tôi ý thức được rằng.
Toán học là môn học tự nhiên, nó có vai trò vô cùng quan trọng trong sự phát
triển tư duy của con người, nó là chìa khoá để con người khám phá ra các lĩnh
vực khác như tin học, vật lý, hoá học, y học
Sau nhiều năm trực tiếp giảng dạy học sinh, tôi đã không ngừng học hỏi
nâng cao tay nghề, học hocir đồng nghiệp và những người có kinh nghiệm. Tôi
nhận thấy trong việc giảng dạy môn số học còn nhiều mảng kiến thức mà học
sinh thêm hơn nữa như: Các bài toán chia hết, các bài toán về cấu tạo số, so
sánh phân số, đặc biệt là bài toán tính giá trị của “Dãy số viết theo quy luật”.
Đay là dạng bài toán tương đối khó đối với học sinh lớp 6. Học sinh khó hiểu
khi đứng trước dạng bài toán này, học sinh còn lúng túng, chưa định ra phương
pháp giải bài tập (chưa tìm ra quy luật của dãy số). Trong khi đó dạng toán này
trong sách giáo khoa lớp 6 chỉ đưa ra một vài bài toán dạng sao (*), không đưa
ra phương pháp giải cụ thể, bắt buộc học sinh tự vận động kiến thức của mình.
1
Nguyễn Đăng Công Trường THCS Việt Hùng
Dạng toán “Dãy số viết theo quy luật” là dạng toán tương đối khó đối với học
sinh lớp 6, tổng hợp nhiều kiến thức, đối với học sinh phải phân tích, phán xét,
nhận dạng nhanh bài toán để đưa ra quy luật của dãy số. Vì vạy tôi mạnh dạn

1. Phương pháp đọc tài liệu: Đây là phương pháp chủ yếu trong suốt quá
trình nghiên cứu đề tài này.
2. Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết kinh nghiệm qua một số
năm giảng dạy, đồng thời tiếp thu kinh nghiệm qua việc trao đổi với các giáo
dạy giỏi toán.
PHẦN THỨ HAI - NỘI DUNG ĐỀ TÀI
CHƯƠNG I – Cơ sở lý thuyết
Để giải được các bài toán “Dãy số viết theo quy luật” ta phải dựa vò các
kiến thức sau:
3
Nguyễn Đăng Công Trường THCS Việt Hùng
1. Quy đồng mẫu số nhiều phân số:
- Tìm mẫu số chung (tìm BCNN của các mẫu)
Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu.
- Nhân tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng.
2. Các phép tính của phân số:
a. Cộng, trừ phân số cùng mẫu:
M
BA
M
B
M
A +
=+
(M
≠
0)
M
BA
M

:
B
A D
=
(B, C, D
≠
0)
3. Tính chất cơ bản của phép cộng và nhân phân số:
a. Tính chất giao hoán:
- Phép cộng:
bdd
c
b
a ac
+=+
(b, d
≠
0)
- Phép nhân:
b
.
dd
c
.
b
a ac
=
(b, d
≠
0)







=






n
m
.
d
c
.
bn
.
d
c
.
b
a am
(b, d, n
≠
0)
c. Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép công (trừ):

Nếu a > b thì a + c > b + c
- Tính chất đơn điệu của phép nhân:
Nếu a > b thì a . c > b . c (c > 0)
- Cộng từng vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều:
Nếu a > b, c > d thì a + c > b + d
CHƯƠNG II
Phương pháp giải các bài toán “Dãy số viết theo quy luật”
I. Phương pháp tính tổng các dãy số viết theo quy luật:
5
Nguyễn Đăng Công Trường THCS Việt Hùng
Loại toán tìm tổng của một dãy số viết theo quy luật, trong đó thường có 3
phân số đầu là số cụ thể còn các phân số sau cùng cho ở dạng tổng quát. Để
làm dạng toán này ta cần nhận xét, so sánh giữa tử và mẫu, các tử (hay các
mẫu) với nhau, giữa phân số cụ thể và tổng quát để tìm ra cách viết phân số rồi
dần dần tìm ra cách giải.
Để làm dạng toán này người ta dùng phương pháp khử liên tiếp các số
hạng.
1. Ví dụ 1: Tính tổng sau:
S =
101.100
1

4.3
1
3.2
1
2.1
1
++++
* Hướng dẫn cách tìm lời giải:

* Cách giải:
S =
101.100
1

4.3
1
3.2
1
2.1
1
++++
=
101
100
101
1
1
1
101
1
100
1

4
1
3
1
3
1





−
+) Bài toán tổng quát:
6
Nguyễn Đăng Công Trường THCS Việt Hùng
Tính tổng: S =
)1(
1

4.3
1
3.2
1
2.1
1
+
++++
nn
=
11
1
1
1
1
11

4







−+






−
n
n
nnn
2. Ví dụ 2:
Tính tổng: P=
101.99
2

7.5
2
5.3
2
3.1
2
++++
* Phương pháp tìm lời giải:

1
99
1
101.99
2
−=
Nên ta dễ dàng tính được tổng đã cho
* Cách giải:
P=
101.99
2

7.5
2
5.3
2
3.1
2
++++
=
101
1
99
1

7
1
5
1
5

nn
(n lẻ)
=
2
11

7
1
5
1
5
1
3
1
3
1
1
1
+
−++−+−+−
nn
=
2
1
2
1
1
+
+
=

Tích của hai số có số tận cùng là 1 và một số tận cùng là 6.
Trong 2 thừa số của mẫu số có một thừa số hơn thừa số còn lại là 5 đơn vị.
Vậy mẫu số của số thứ n của dãy số có dạng: (5n-4)(5n+1).
=> Mẫu của số thứ 100 của dãy số: (5.100-4)(5.100+1)=496.501
Ta cần tính tổng A=
501.496
1

16.11
1
11.6
1
6.1
1
++++
Tương tự như bài trên ta tách từng phân số thành hiệu của 2 phân số, ta
nhận thấy :
6.1
5
6
1
1
1
=−
=>
6.1
1
)
6
1

1
496
1
=−
=>
501.496
1
)
501
1
496
1
(
5
1
=−
Từ đó ta tính được tổng A một cách dễ dàng
8
Nguyễn Đăng Công Trường THCS Việt Hùng
* Cách giải:
A=
2484966
1

336
1
176
1
66
1

(
5
1
−
+
)
16
1
11
1
(
5
1
−
+…+
)
501
1
496
1
(
5
1
−
=
5
1




501
1
1
=
5
1
.
501
500
=
501
100
*) Bài toán tổng quát:
A=
)15)(45(
1

16.11
1
11.6
1
6.1
1
+−
++++
nn
=
)
6
1

1






+
−
15
1
1
n
=
5
1
.
15
5
+n
n
=
15 +n
n
4. Ví dụ 4:
Tính tổng B=
39.38.37
1

5.4.3







−=>=−

4.3.2
1
4.3
1
3.2
1
2
1
4.3.2
2
4.3
1
23
1
=






−=>=−

1
++
=
++
+
+ nnnnnnn
* Cách giải:
B=
39.38.37
1

5.4.3
1
4.3.2
1
3.2.1
1
++++
=






−
3.2
1
2.1
1

=






−++−+−
39.38
1
38.37
1

4.3
1
3.2
1
3.2
1
2.1
1
2
1
=







.
2
1
=
741
370
.
2
1
=
741
185
* Bài toán tổng quát:
B=
++++
5.4.3
1
4.3.2
1
3.2.1
1
)2)(1(
1
++ nnn
=






++
−++
nn
nn
5. Ví dụ 5:
Tính tổng: A= 1.2 +2.3 + 3.4 +…+ 98.99
*Hướng dẫn giải:
Ta thấy số hạng của A là tích của hai số tự nhiên liên tiếp. Nếu để áp dụng
phương pháp khử liên tiếp như những bài toán trên ta phải nhân mỗi số hạng
10
Nguyễn Đăng Công Trường THCS Việt Hùng
của A với 3 thừa số 3 này được viết dưới dạnh (3-0) ở số hạng thứ nhất, (4-1) ở
số hạng thứ 2, (5-2) ở số hạng thứ 3 và (100-97) ở số hạng cuối cùng.
* Cách giải:
A= 1.2 +2.3 + 3.4 +…+ 98.99
3A=1.2.(3-0) +2.3.(4-1) + 3.4.(5-2) +…+ 98.99.(100-97)
3A=1.2.3 – 0.1.2 + 2.3.4 – 1.2.3 + 3.4.5 – 2.3.4 + + 98.99.100 - 97.98.99
3A=98.99.100
A=
323400
3
100.99.98
=
*) Bài toán tổng quát:
A=1.2 +2.3 + 3.4 +…+ n(n+1) =
3
)2)(1( ++ nnn
II. Phương pháp tính tích “ Dãy số viết theo quy luật”
1. Ví dụ 1: Tính tích sau
A=

3
Vấn đề đặt ra là ta phải phân tích cảu các phân số trên thành một tích như
thế nào đó để có thể rút gọn được. Ở đây ta cần tách mỗi số của tử thành tích
của hai thừa số hơn kém nhau 2 đơn vị.
11
Nguyễn Đăng Công Trường THCS Việt Hùng
VD:
22
2
3.1
2
3
=

22
3
4.2
3
8
=

22
4
5.3
4
15
=22

4.2
.
2
4
5.3
…
2
100
101.99
=
100 4.3.2
101 5.4.3
.
100 4.3.2
99 3.2.1
=
200
101
2
101
.
100
1
=
*) Bài toán tổng quát:
A=
2
2
3.1
.





−






−






−






−
1326
1
1
36

mẫu của 3 phân số với 2 ta được:
72
70
.
56
54
.
42
40
hay ta có thể viết là:
9.8
10.7
.
8.7
9.6
.
7.6
8.5
Đến đây ta thấy tử của phân số có 2 thừa số hơn kém nhau 3 đơn vị.
Nhân tử và mẫu của phân số cuối cùng với 2, rồi dựa vào nhận xét trên về tử và
mẫu của 3 phân số đầu, ta có :
52.51
53.50
2652
2650
=
Như vậy tích đã cho được viết thành :
9.8
10.7
.






−






−
1326
1
1
36
1
1
28
1
1.
21
1
1
=
1326
1325

36

.
51
5
=
III. Ứng dụng.
1. Ví dụ 1 Tìm số tự nhiên x biết rằng:
2000
1998
)1(
2

10
1
6
1
3
1
=
+
++++
xx
*) Hướng dẫn cách tìm lời giải:
Trước hết ta xét phân số
)1(
2
+xx
ta nhận thấy phân số này có tử là 2, có
mẫu là tích của 2 số liên tiếp, nên có thể viết:
)1(
2

3.2
2.1
3
1
==
;
4.3
.2
2.6
2.1
6
1
==
;
5.4
2
2.10
2.1
10
1
==
Như vậy vế trái của đẳng thức gồm các phân số có dạng tử là 2 còn mẫu là
14
Nguyễn Đăng Công Trường THCS Việt Hùng
tích của 2 số tự nhiên liên tiếp. Cần tính tổng của các phân số ở vế trái để đưa
bài toán về dạng tìm x đơn giản mà ta đã biết.
*) Cách giải: Tìm x,
biết
2000
1998







+
++++
)1(
1

5.4
1
4.3
1
3.2
1
xx
=
2000
1998
2.






+
−++−+−−

x
=
2000
1998
1
1
2
1
+
−
x
=
2000
1998
:2
1
1
2
1
+
−
x
=
2000
999
1
1
+x
=
−

101
*) Hướng dẫn tìm lời giải:
15
Nguyễn Đăng Công Trường THCS Việt Hùng
Ta thấy vế bên trái của đẳng thức là các phân số có cùng tử số là 1 còn
mẫu số là tích của 2 số hơn kém nhau 3 đơn vị.
Ta xét
8
1
5
1
−
=
8.5
3
=>
3
1






−
8
1
5
1
=

1
−
=
14.11
3
=>
3
1






−
14
1
11
1
=
14.11
1
1
11
+
−
xx
=
)3(
3

)3(
1
+xx
=
1540
101
Ta có thể viết đẳng thức đã cho như sau:
3
1






−
8
1
5
1
+
3
1






−

11
xx
=
1540
101
3
1
.






+
−++−+−+−
3
11

14
1
11
1
11
1
8
1
8
1
5

x
=
1540
101
.3
3
1
5
1
+
−
x
=
1540
303
3
1
+x
=
−
5
1
1540
303
=
1540
5
16
Nguyễn Đăng Công Trường THCS Việt Hùng
3



++++
*) Hướng dẫn tìm lời giải:
Đây là bài toán chứng minh đẳng thức, ta phải biến đổi vế trái bằng vế
phải. Ở bài này ta thấy vế phải của đẳng thức là tổng của các phân số có mẫu
lớn hơn tử 1 đơn vị. Để tổng mỗi phân số đó với một phân số nào đó bằng 1 thì
ta phải cộng vế phải với biểu thức trong ngoặc của vế trái. Từ đó ta có điều
phải chứng minh.
*) Cách giải:
100 -
100
99

4
3
3
2
2
1
100
1

3
1
2
1
1 ++++=



++++
100
1

3
1
2
1
1
+






++++
100
1

3
1
2
1
1
=










+
2
1
2
1
+






+
3
1
3
2
+






+

2
4
1
+ +
2
100
1
< 1
*) Hướng dẫn tìm cách giải
Ta thấy các phân số trong tổng ở vế trái là các phân số có tử là 1 còn mẫu
là bình phương của một số tự nhiên n. (n
2≥
)
2
2
1
<
2.1
1
=
2
1
1
1
−
;
2
3
1
<

99
1
−
Sau đó áp dụng tính chất:



<
<
dc
ba
=> a+c < b+d
Từ đó ta có điều phải chứng minh:
2
2
1
+
2
3
1
+
2
4
1
+ +
2
100
1
< 1
2

=
4
1
3
1
−
;
2
100
1
<
100.99
1
=
100
1
99
1
−
Vậy
2
2
1
+
2
3
1
+
2
4

100
1
<
2
1
1−
+
3
1
2
1
−
+
4
1
3
1
−
+ +
100
1
99
1
−
2
2
1
+
2
3

2
100
1
< 1 (Điều phải chứng minh)
PHẦN THỨ BA – KẾT LUẬN
Qua thực tế nghiên cứu và giảng dạy môn toán và giảng dạy về các bài
toán “Dãy số viết theo quy luật” trong trường THCS, bằng những kinh
nghiệm của bản thân và đồng nghiệm với mục đính xây dựng một phương pháp
18
Nguyễn Đăng Công Trường THCS Việt Hùng
giảng dạy, tôi đã thể hiện vấn đề này qua đề tài “ Phương pháp giảng dạy bài
toán: Dãy số viết theo quy luật” nhằm thể hiện phương pháp giảng dạy cho
giáo viên và nâng cao chất lượng học tập nhận thức của học sinh.
Trong nội dung của đề tài này tôi đã đưa ra các dạng bài toán “Dãy số
viết theo quy luật”, phương pháp tìm lời giảng của từng bài toán để đưa ra
cách giải cụ thể cho từng bài để có một bài toán tổng quát cho từng dạng bài.
Qua đề tài nỳ tôi muốn đưa đến cho học sinh thói quen suy nghĩ và tìm tòi
lời giải một bài toán trên cơ sở kiến thức đã được học. Đề tài này nhằm nối
giữa lý thuyết với thực hành toán học.
Mỗi bài toán tôi đưa ra:
- Phương pháp tìm lời giải
- Cách giải
- Bài toán tổng quát
Từ cách đưa ra như thế này, giáo viên, học sinh có thể nhận dạng bài toán
thật dễ dàng nếu nhanh có thể đọc được ngay đáp số với những bài toán thuộc
quy luật.
Trên đây là toàn bộ phần trình bày nội dung của đề tài. Mong rằng những
vấn đề được đề cập đến trong đề tài này ít nhiều góp phần vào việc giảng dạy,
bồi dưỡng học sinh giỏi.
19