1
TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÀ NỘI AMSTERDAM

ðỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN LỚP 12
Học kì I (năm học 2009 - 2010) ðề số 1:

Bài 1: Cho hàm số y = x
4
+ mx
2
– m – 1 có ñồ thị (C
m
) (m là tham số).
a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số với m = - 1. Từ ñó biện luận theo tham số k, số nghiệm của
phương trình 4x
2
(1 - x
2
) = k
b) Chứng minh rằng (C
m
) luôn ñi qua hai ñiểm A, B cố ñịnh khi m thay ñổi. Tìm m ñể tiếp
tuyến của (C
m

(4x
2
– 12x + 9) – 4 = 0
Bài 3:
a) Tìm giới hạn:
xx
xee
Lim
xx
x
s
in
2
2
0
−
−−
−
→
.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
y =
( ) ( ) ( ) ( )






−++−−++







++
cba
cba
333
.3
ðề số 2:

Bài 1: Cho hàm số y =
mx
xmmx
3
2)23(
22
+
−−+
(1) với m là tham số thực.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số (1) khi m = 1.
b) Tìm các giá trị của m ñể góc giữa 2 ñường tiệm cận của ñồ thị hàm số (1) bằng 45
o
.
c) Tìm m ñể hàm số có cực ñại, cực tiểu và y

2
2
xx −+Bài 3:
a) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của: y =
xx 2cos.cos
2
trên ñoạn
[ ]
π
;0
.
b) Cho hàm số y =
x
e
−
.sinx. Hãy tìm x thỏa mãn:
y” + 2y’ + 2y + ln(
2
x
- 1) > 0

Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác ñều cạnh a, các mặt bên cùng tạo với ñáy
một góc
α
(0
o
<

)
a) Với m = 1:
1) Khảo sát sự biến thiên của (C
1
).
2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C
1
) biết nó ñi qua ñiểm A(-1; -2).
3) Tìm a ñể phương trình: x
3
– 3x
2
– a = 0 có 3 nghiệm phân biệt, trong ñó có 2
nghi
ệm lớn hơn 1.
b) Tìm m ñể (C
m
) nghịch biến trong khoảng (1; 2).
c) Chứng minh rằng (C
m
) luôn có cực ñại và cực tiểu với mọi m≠ 0.

Bài 2: Giải phương trình:
a)
xxxx
27.21812.48.3 −−+
= 0.
b)
)10lg(
4

x
−
→Bài 4: Cho hình chóp tứ giác ñều S.ABCD có cạnh ñáy bằng a, các cạnh bên tạo với ñáy 1 góc
60
o
.
a) Tính thể tích của hình chóp.
b) Gọi E là trung ñiểm của cạnh SC, một mặt phẳng ñi qua AB và ñiểm E chia khối chóp
thành 2 phần. Tính tỉ số thể tích của 2 phần ñó.
c) Xác ñịnh tâm và tính bán kính của hình cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD. Tính diện tích mặt
cầu và thể tích khối cầu ngoại tiếp ñó.
3
Bài 5: Cho hàm số: y =
)12(log)27(log
2
27
2
12
22
−+−
−−



−
2
;
2
ππ
.

Bài 3:
a) Giải bất phương trình:
222
21212
15.34925
xxxxxx −+−+−
≥+
b) Giải hệ phương trình:



+−=−
=+
)2)(log(log
16
22
33
xyxyyx
yx
.


2
≤
1 – x +
)1(2
4
x
x
+ðề số 5:

Bài 1: Cho hàm số: y =
1
1
2
−
+−
x
xx
.
a) Khảo sát hàm số trên và vẽ ñồ thị (C).
b) Tìm các ñiểm trên (C) có tọa ñộ nguyên.
c) CMR: tiếp tuyến với (C) tại 1 ñiểm bất kì trên (C) luôn tạo với 2 tiệm cận 1 tam giác có
diện tích không ñổi.
d) Biện luận theo m số nghiệm phương trình:

1
1
2

9
.

Bài 3: Giải các phương trình và bất phương trình sau:
a) 239
cotcot
−+
xx
= 0. b) )55(log).15(log
1
255
−−
+xx
= 1.
c) (log
2
x)
4
-
2
3
2
1
8
log







Bài 4: Cho tam diện ba mặt vuông Oxyz. Lấy lần lượt trên Ox, Oy, Oz các ñiểm P, Q, R khác O.
Gọi A, B, C theo thứ tự là trung ñiểm của PQ, QR, RP.
a) CMR các mặt của khối tứ diện O.ABC là những tam giác bằng nhau.
b)
Cho OP = a, OQ = b, OR = c. Tính thể tích tứ diện O.ABC.
c) Tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện O.ABC.
d) CMR tồn tại một mặt cầu tiếp xúc với cả 4 mặt của tứ diện O.ABC. Tìm tâm mặt cầu ñó.
Bài 5: Cho hàm số y =
6
15
15
2
3
.5
255
255
4
9
+








+
−

4
– 3x
2
+ 2| = k có 6 nghiệm phân biệt.
c) Tìm tất cả các giá trị của m ñể hàm số có ñúng 3 cực trị.

Bài 2: Tính ñạo hàm các hàm số sau trên khoảng xác ñịnh của chúng:
a) y =
)ln(sin. xe
x
b) y = ln
(
)
1
2
++ xx

c) y =













(2
x + 3
– 6)
c) log
x
2. log
2x
2. log
2
4x > 1

Bài 4: Cho tam giác AIB có IA = IB = 2a, ∠ AIB = 120
o
. Trên ñường thẳng ∆ vuông góc với
mp (AIB) tại I, lấy các ñiểm C và D sao cho ABC là tam giác vuông, ABD là tam giác ñều.
a)
Tính thể tích và diện tích toàn phần của tứ diện ABCD.
b) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
c) Tính bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD.

Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

5
P = x




xy
z 1
2
, với x, y, z là các số dương.

ðề số 7:

Bài 1: Cho hàm số: y = x
3
– 3x.
a)
Khảo sát ñồ thị (C) của hàm số.
b) CMR khi m thay ñổi, họ ñường thẳng (d) có phương trình: y = mx + m + 2 luôn cắt (C)
tại ñiểm A cố ñịnh.
c) Tìm m ñể (d) cắt (C) tại 3 ñiểm phân biệt A, B, C sao cho các tiếp tuyến của (C) tại B và
C vuông góc với nhau.

Bài 2:
a) Giải phương trình: log
2
[(x
2
– x)(x + 1)
2
] = log
2
(x
2
– x).log
2

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình chữ nhật tâm O. AB = a, BC = 2a,
SO⊥ (ABCD) và góc giữa SB với (ABCD) bằng 60
o
.
a) Xác ñịnh tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
b) Tính khoảng cách giữa AB và (SCD).
c)
Tính tan của góc giữa SA và (SCD).
Bài 5 :
a) Cho hàm s
ố y = x
2
+ lnx + cos2x. Tính y’, y’’, y
(n)
.

b) Cho y = e
ax+b
. Tính y
(n)
.
c) Cho y = ln(ax + b). Tính y
(n)
.

ðề số 8:

Bài 1: Cho hàm số: y =
mx
mmmxxm

.

Bài 2: Cho phương trình:
07.47
3
2
1
3
=−−
+−
+−
m
x
x
. (1)
a) Giải phương trình với m = -3
b) Tìm tất cả các giá trị của m ñể phương trình (1) có nghiệm.
6
Bài 3:
a) Tìm tiệm cận ngang và tiệm cận xiên của ñồ thị hàm số: y =
32
2
++ xx
- x

−+
xxx
>
)5(log
347
−
+
axðề số 9:

Bài 1: Cho hàm số y = x
4
– mx
2
+ m – 2 có ñồ thị (C
m
).
a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số với m = 2.
b) CMR khi m thay ñổi thì ñồ thị (C
m
) luôn ñi qua 2 ñiểm cố ñịnh M
1
, M
2
.
c) Tìm m ñể các tiếp tuyển với (C
m
) tại M

.

Bài 4: Cho hình chóp S. ABCD có ñáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bằng a, mặt bên SAB
là tam giác ñều và vuông góc với mặt phẳng ñáy. Gọi M là trung ñiểm của AB.
a) Xác ñịnh ñường cao của hình chóp. CMR: (SBC)⊥ (SAB).
b) Xác ñịnh tâm và tính bán kính của hình cầu ngoại tiếp hình chóp.
c) (
α
) là mặt phẳng ñi qua AB và vuông góc với mp(SCD). Xác dịnh thiết diện của hình
chóp bị cắt bởi mp(
α
). Tính tỉ số thể tích của 2 khối ña diện do (
α
) cắt hình chóp tạo
ra.

Bài 5: CMR với mọi x
∈
R ta có:

xxx






+



mx
mmxx
−
−+−
22
(C
m
). 7
a) Với m = 1 khảo sát và vẽ ñồ thị (C
1
).
b) Tìm m ñể (C
m
) có cực ñại và cực tiểu. Viết phương trình ñường thẳng ñi qua 2 ñiểm cực
ñại và cực tiểu của (C
m
).
c)
Tìm các ñiểm trên mặt phẳng tọa ñộ sao cho có ñúng 2 ñường của họ (C
m
) ñi qua.

Bài 2: Giải bất phương trình:
a)

= (ac)
b
a
log

b) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: y =
x
x
2
ln
với x∈[1; e
3
]
c) Gi
ải phương trình:
0 0
( os15 ) 2( os75 ) 3.2
x
x x
c c
−
+ =

Bài 4: Cho tam giác cân ABC có góc BAC = 120
o
và ñường cao AH = a 2 . Trên ñường
thẳng ∆vuông góc với (ABC) tại A lấy 2 ñiểm I và J nằm về 2 phía của ñiểm A sao cho IBC là
tam giác ñều và JBC là tam giác vuông cân.
a) Tính theo a ñộ dài các cạnh của tam giác ABC.
b) CMR: BIJ, CIJ là các tam giác vuông.

.

Bài 2:
a) Xác ñịnh tham số a ñể phương trình sau có nghiệm

3 1 9
3
log ( 5 ) log ( 2 ) log 4x a a x+ − + − − =
b) Giải phương trình:
1444
7325623
222
+=+
+++++− xxxxxxBài 3:
a) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y =
x
x
−
− 2).5( xác ñịnh trên [ 0,1− ].

b) Tính ñạo hàm cấp n của hàm số l
og(3 2)
y x=
+
.
z
xzy
y
zyx
x
++
≥
+
+
+
+
+
+++
.
ðề số 12

Bài 1: Cho hàm số 55)2(2
224
+−+−+= mmxmxy (1)
a) Khảo sát và vẽ ñồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
b) Tìm m ñể ñồ thị hàm số (1) có các ñiểm cực ñại, ñiểm cực tiểu tạo thành một tam giác
ñều.
Bài 2:
a) Giải phương trình: )13(log)133(log
45
+=++
xx

x
x
y
.
b)
.
1
12
2
+
−+
=
x
xx
y

Bài 4:
Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình chữ nhật, với AB = a, AD =
2a
, SA = a và SA
vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M và N lần lượt là trung ñiểm của AD và SC, I là giao
ñiểm của BM và AC.
a) Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB).
b) Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB).
c) Tính thể tích của khối tứ diện ANIB.

Bài 5:
a) Giải bất phương trình sau:

)243(log1)243(log

Cho hàm số
2
1
2
+
−+
=
x
xx
y .
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số.
b) Vi
ết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến ñó vuông góc với tiệm cận xiên.
Bài 2:
Giải các phương trình sau:
a)
012log)1716(log)54(
2
2
2
=+−−− xxxx

b)
02.92
2212
22
=+−
+++ xxxx
x


y
y
x
+
+ +

Bài 5:
a) Giải bất phương trình:

4
1
)421(log
)7(log
2
)3(
)421(
2
≥
−+
−
+
−+
xx
x
x
xx
.
b) Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn abc=10. Chứng minh rằng :

cbacba

)(∆
là nhỏ nhất

Bài 2:
Giải các phương trình sau:
a)
02.92
2212
22
=+−
+++
xxxx
x 1
0
b)
2
(8 3 15) 5 19 2(8 3 15) 0
x x x
−
− + + =Bài 3:








+=+
+=+
5
2
loglog20log
2
5
loglog5log
555
222
y
yxx
x
yyx
ðề số 15

Bài 1:
Cho hàm số
323
32 mmxxy +−=
(

2
2
sin
sin
sin
sin

Chứng minh tam giác ABC ñều.

Bài 3:
Trong các nghiệm
),( yx
của hệ:




≤+++
−≤+
11)2()4(
33
yyxx
yx

Tìm nghiệm sao cho biểu thức
2586
22
+−−+= yxyxP
ñạt giá trị nhỏ nhất.


m
2-Tìm m ñể bpt :
0)()6(
1
≥−
−
xfx
x
nghiệm ñúng với mọi
x
[ ]
1,o∈
.