Sở giáo dục & đào tạo thanh hoá
trờng THPT Ba đình nga sơn
***

Rèn luyện
Cho học sinh sử dụng đạo hàm để
chứng minh bất đẳng thức Họ và tên tác giả : Nguyễn Văn Kế
Chức vụ : Giáo viên
Đơn vị công tác : Trờng THPT Ba Đình
SKKN thuộc môn: Toán
SKKN thuộc năm học 2010 -2011

1
Phần I: đặt vấn đề
Bất đẳng thức là một mảng kiến thức khó , thờng gặp trong các đề thi học
sinh giỏi các cấp và đề thi tuyển sinh vào các trờng Đại học và Cao đẳng.
Cùng với định nghĩa đạo hàm, các kết quả trong việc khảo sát sự biến thiên
của hàm số đợc sử dụng để giải quyết nhiều bài toán toán học và nhiều bài
toán trong các nghành khoa học khác. Do đó việc hớng dẫn học sinh sử dụng
đạo hàm để chứng minh bất dẳng thức là một điều cần thiết, giúp học sinh
hiểu sâu sắc, chắc chắn những kiến thức về đạo hàm; đồng thời giúp các em
không chỉ giải đợc những bài toán có sẵn một lợc đồ giải chung, mà còn giải
đợc nhiều bài toán đòi hỏi nhiều đến kỹ năng t duy, tổng hợp các kiến thức
rút ra từ các nội dung khác nhau. Hơn nữa một thực tế là rất nhiều học sinh
cha thấy hết đợc ứng dụng của đạo hàm trong các bài toán về phơng trình,
bất phơng trình ,hệ phơng trình và đặc biệt là bài toán chứng minh bất đẳng
thức. Việc sử dụng việc khảo sát sự biến thiên của hàm số để chứng minh

sách giáo khoa , sách bài tập và trong các đề thi học sinh giỏi , các đề thi
tuyển sinh vào các trờng Đại học và Cao đẳng . các bài tập đợc chọn hớng
vào yêu cầu cơ bản và bài tập có nhiều kiến thức cần khai thác , qua đó khắc
sâu , hệ thống và nâng cao các kiến thức cơ bản về ứng dụng của đạo hàm
cũng nh bất đẳng thức .
Dạng 1: Bất đẳng thức có chứa một biến
* Phơng pháp : Chọn luôn biến đó làm biến của hàm số cần khảo sát
* Các ví dụ:
Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi x thuộc đoạn
[ ]
0;1
ta luôn có :

2
1 1
2
x
x
x e x

+
(Trích đề tuyển sinh trờng Đại học Kiến trúc năm 2000)
Bài giải:
Ta cần chứng minh 2 bất đẳng thức
2
(1) (2)
1 0 , 1 0
2
x x
x

=
Suy ra f(x) đồng biến trên đoạn
[ ]
0;1
Do đó với x thuộc đoạn
[ ]
0;1
thì:
f(x)

f(0)
1 0 1
x x
x e e x

+

Do đó (1) đợc chứng minh .
* Với x thuộc đoạn
[ ]
0;1
thì f(x)

f(0), nên f(x) đồng biến trên đoạn
[ ]
0;1
.
Suy ra: với x thuộc đoạn
[ ]
0;1

f x x x= +
trên
Ă
Ta có f(x) = 5x
4
-5(1-x)
4
= 5[x
2
+(1-x)
2
](2x-1)
f(x) = 20[x
3
+(1-x)
3
]
f(x) = 0
1 1 1
'' 0
2 2 16
x f

= = >
ữ

Do vậy hàm số f(x) đạt cực tiểu duy nhất tại
1 1
, 0
2 2

Xét hàm số
2
4 4 8
( ) 3 3 2
a a
f a
+
= +
trên
Ă
Ta có
2
4 4 8
'( ) 2 .3 .ln3 4.3 .ln 3
a a
f a a
+
= +
'( ) 0 2f a a= =
Lại có
2
2 4 2 4 8 2
''( ) 4 .3 .ln 3 16.3 .ln 3 0
a a
f a a
+
= + >
Suy ra f(a) là hàm số đồng biến trên
Ă
,nên f(a)>0 khi a>-2 và f(a)< 0 khi

2 3
1
2! 3! !
n
x
x x x
e x
n
> + + + + +

( Trích đề 101- Bộ đề tuyển sinh )
3.Chứng minh rằng với mọi x thuộc nửa khoảng
0;
2


ữ


ta luôn có:

3
6
x
tanx x +
áp dụng: Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có :

tan tan tan 3
2 2 2
A B C

+ Nếu b=0 : BĐT trở thành
3
0a
, BĐT đúng với mọi a không âm

+ Nếu b>0: Đặt a=tb (với t

0)
Ta đợc
3 3 3 3 3
3 18 17 0 3 18 17 0t b tb b t t + +
Xét hàm số f(t) = 3t
3
-18t+17,
[
)
0;t D = +
2
'( ) 9 18, '( ) 0 2f t t f t t= = =
Bảng biến thiên của hàm số f(t) trên D:

t
0
2

+
f(t) - 0 +

f(t)
17


+ Nếu b=0 , ta có bảng biến thiên của f(a) trên D :

a 0
+
f(a) 0 +

f(a)

0
Suy ra: f(a)
0
, với mọi a thuộc D
+ Nếu b > 0 , Ta có bảng biến thiên của f(a) trên D:
6
a
0 b
2

+
f(a) 0 - 0 +

f(a)
17b
33
(17 12 2)b


3 3 3 3
1 1
a b a b ab
T
a b a b
+ +
= + =
Đặt S = a+b, P = ab với điều kiện
2
4S P

(1)
. Khi đó theo giả thiết bài toán
ta có SP=S
2
-3P , dễ thấy
0, 3S S
, do đó
2
3
S
P
S
=
+
và điều kiện (1) trở
thành
2
2
1

)
2
2
6 9
( ) , ; 3 1;
S S
f S S D
S
+ +
= = +

3
6( 3)
'( )
S
f S
S
+
=
Bảng biến thiên của f(S) trên D

S

-3 1
+
f(S) - -

f(S)
1
0

3
=(t
2
-t+1)b
2


2 2
1 1
,
( 1) 1
t t t t
b a
t t t
+ +
= =
+ +
Do đó
2
2
2
2
1 1 2 1
1
t t
T
a b t t

+ +


f(t) - 0 + 0 -

f(t)
1 4
0 1
Suy ra f(t)

4
Do đó:
16T
, Đẳng thức xảy ra khi a=b=
1
2
.
Ví dụ 3 :
Chứng minh rằng ,nếu a,b,c là ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3
thì : 3a
2
+3b
2
+3c
2
+4abc

13.
( Trích đề tuyển sinh trờng Đại học Vinh năm 2001)
Bài giải : Đặt T= 3a
2
+3b
2

= 3[(a+b)
2
-2ab] +3c
2
+4abc -13
= 3(3-c)
2
+3c
2
-2ab(3-2c)-13
8
Do 3-2c>0 và từ bất đẳng thức ab

2
2
a b+

ữ

suy ra :

( ) ( ) ( )
2 2
2
1
3 3 3 2
2
T c c a b c

+ +


ữ


Vậy: T

f(x)

f(1) = 0 đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1.
Nhận xét: Nhờ sự đánh giá ta đã ớc lợng đợc một bất đẳng thức chỉ chứa
một biến.
Cách 2: (Khảo sát lần lợt từng biến)
Do vai trò của a,b,c nh nhau, không mất tính tổng quát, giả sử a

b

c ,suy
ra: a+b

2c (1)
Lại có a+b+c=3 và a+b>c (2)
Từ (1) ,(2) suy ra 3-c

2c và 3-c>c

1

c<
3
2

ữ

3 2
3 1
2 2
c c= +
=g(c)
Lại có g(c)=3c
2
-3c =3c(c-1)

0 với mọi c

3
1;
2

ữ


Vậy: T

g(c)

g(1)=0
Nhận xét :
- Nếu ba số thực dơng có tổng bằng a thì ít nhất một trong các số đó
thuộc nửa khoảng
0;
3

sinA+sinB + sinC + tanA+ tanB + tanC >2

Bài giải :
BĐT đã cho tơng đơng với BĐT :
(sinA+ tanA -2A)+ (sinB + tanB -2B)+( sinC+ tanC-2C) > 0 (1)
(vì A+B+C=

)
Xét hàm số f(x)= sinx+tanx -2x trên D=
0;
2


ữ

,

2
2
( 1)( 1
'( )
cosx cos x cosx
f x
cos x

=
Do
2 2
1 0
'( ) 0

+c
2
= 1 Chứng minh rằng:

2 2 2 2 2 2
3 3
2
a b c
b c c a a b
+ +
+ + +
( Trích đề 26- Bộ đề Tuyển sinh).
Bài giải :
BĐT (1) đã cho tơng đơng với BĐT:
10
( ) ( ) ( )
2
2 2 2
2 2 2
3 3 3 3
1 1 1 2 2
1 1 1
a b c a b c
a b c
a a b b c c
+ + + +


Xét hàm số
( )

3
1
f(x) - 0 +
f(x)3 3
2

Suy ra
( )
( )
0;1
3 3 3
2 3
x
min f x khi x

= =
( ) ( )
3 3
, 0;1
2
f x x
.
Với x=a
( )
( )
2 2
2

2
=1,ta đợc điều cần chứng
minh , đẳng thức xảy ra khi a=b=c=
3
3
Bài tập tơng tự:
1-Cho a,b,c là các số thực dơng thoả mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng:

a b c ab bc ca+ + + +
2-Cho a,b,c là các số thực thoả mãn a>c, b>c, c>0 . Chứng minh rằng:

( ) ( )c a c c b c ab +
( Trích đề thi Đại học khối A năm 1980).
3-Cho tam giác ABC không tù . Chứng minh rằng :
11

( ) ( )
1 1
3 3 3 2 2 2
3 2
5
4
cos A cos B cos C cos A cos B cos C
cosA cosB cosC
+ + + + +
+ + +

4- Cho các số thực dơng a,b,c thoả mãn a
2
+ b




Câu 2: ( 3 điểm)
Cho a, b là các số thực không âm. Chứng minh rằng :
3 3 2
3 7 9a b ab+
Câu 3: ( 2 điểm)
Cho ba số thực dơng a,b,c thoả mãn x+y+z=3 . Chứng minh rằng:

2 2 2
4x y z xyz+ + +
Kết quả thu đợc nh sau:
Lớp Sỹ số
Điểm < 5
Số lợng %
Điểm 5

<8
Số lợng %
Điểm

8
Số lợng %
12 B
45 11 24,4% 30 66,7% 4 8,9%
12I
44 3 6,7% 27 60,9% 14 32,4%
12
2.Bài học kinh nghiệm: