SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
"GIẢI TOÁN HÌNH HỌC BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ"
1
PHẦN MỞ ĐẦU
1/ Lý do chọn đề tài:
Trong những năm gần đây, bộ môn Toán của Tỉnh Hưng Yên đã có những tiến bộ
và thành tích trong những kỳ thi học sinh giỏi cấp Quốc gia ngày càng tốt hơn. Qua quá
trình nghiên cứu, theo dõi các đề thi học sinh giỏi và những lần dạy ôn thi học sinh giỏi
đã khẳng định kiến thức vectơ, toạ độ là cần thiết và không thể thiếu được trong chương
trình toán THPT và thi học sinh giỏi.
Trong các kì thi Olympic, bài toán hình học cổ điển luôn là một trong những bài
toán hay. Cài hay của bài toán không chỉ ở mức độ khó của bài mà còn ẩn chứa trong kết
quả của bài toán, những đặc trưng, tích chất hình học được khai thác.
Về mặt nguyên tắc, bất kì bài toán hình học nào cũng có thể giải được bằng phương
pháp toạ độ (phương pháp đại số). Tuy nhiên, nhiều bài toán hình học giải bằng phương
pháp tổng hợp thông thường lại đi đến kết quả một cách khá nhanh chóng và đương
nhiên lời giải cũng đẹp hơn nhiều. Cũng vậy, nhiều bài toán hình học được giải một cách
nhanh chóng, gọn gàng nếu sự dụng phương pháp toạ độ.
Có thể nói rằng, phương pháp toạ độ là một phương pháp vạn năng, có thể giải
được mọi bài toán hình học. Các bạn đã quen với hình học suy luận đôi khi không thích
đến phương pháp dựa nhiều vào tính toán này. Tuy nhiên, thế mạnh của phương pháp
toạ độ là giúp ta giải quyết được các bài toán quỹ tích khó, hoặc các bài chứng minh mà
ta không giải được bằng suy luận. Phương pháp này là cứu cánh mỗi khi ta bí, và hiệu
quả trong lúc còn ít thời gian vì dù phải tính toán hơi rắc rối nhưng không cần phải suy
nghĩ nhiều. Việc giải nhanh hay chậm của phương pháp này phụ thuộc nhiều vào phương
2
pháp, kĩ năng tính toán của chúng ta, phụ thuộc vào việc chọn hệ trục lúc ban đầu như thế
nào.
Do vậy, tôi viết chuyên đề này nhằm phần nào đáp ứng những yêu cầu trên cũng

Quốc Gia.
6. Những đóng góp mới của đề tài.
- Về mặt lý luận, chuyên đề hệ thống lý thuyết cần thiêt và tư duy phương pháp
trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi toán. Đồng thời thông qua chuyên đề cũng cung cấp
cho học sinh một phương pháp “đa năng” cho việc giải toán, không chỉ với các bài toán
hình học phẳng.
- Về mặt thực tiễn, chuyên đề là một tài liệu tham khảo đối với giáo viên dạy đội
tuyển toán đồng thời là một tài liệu học tập đối với học sinh chuyên toán.
4
PHẦN NỘI DUNG
A. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
I. Các kiến thức cơ bản về toạ đô, véc tơ.
I.1: Kiến thức toạ độ
1. Toạ độ của vectơ và của diểm trên trục
Cho
u
r
nằm trên trục (O,
i
r
) ⇒
a∃ ∈¡
sao cho:
u a.i=
r r
. Số a như thế được gọi là
toạ độ của vectơ
u
r
đối với trục (O,

3. Các phép toán
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho 2 vectơ
1 1
u(x; y), v(x ;y )
r r
và số thực k:
5

1 1
1 1
u v ( x x ;y y );
u v (x x ;y y );
ku ( kx;ky); k
+ = + +
− = − −
= ∈
ur r
ur r
ur
¡
4. Phương trình của đường thẳng, đường tròn:
Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng toạ độ Oxy có dạng:
ax + by + c = 0 ,
2 2
a b 0+ ≠
.
Đường tròn tâm I (a; b ) bán kính R có phương trình là: (x - a)
2
+ (y - b)
2

R
khi đó phương trình trục đẳng phương của hai đường tròn là:
( ) ( )
2 2
1 2 1 2 1 2
2 a a x 2 b b y R R 0− + − + − =

5. Phương trình các đường cônic
Phương trình chính tắc của parabol:
2
y 2px, p 0= >
Phương trình chính tắc của elip:
2 2
2 2
x y
1, a b 0
a b
+ = > >
Phương trình chính tắc của hypebol:
2 2
2 2
x y
1, a 0,b 0
a b
− = > >
I.2: Xây dựng quy trình giải bài toán hình học bằng phương pháp toạ độ
1. Diễn đạt sự kiện hình học bằng ngôn ngữ vectơ
6
a) Điểm M trùng với điểm N
OM ON⇔ =

,
CD
uuur
là các vectơ chỉ phương của a, b)
e) Ba điểm A, B, C thẳng hàng
AB kBC (k )⇔ = ∈
uuur uuur
¡
f) Đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b
AB .CD 0⇔ =
uuur uuur
(với vectơ
AB
uuur
,
CD
uuur
là các vectơ chỉ phương của a, b)
g) Tính độ dài đoạn thẳng AB: sử dụng công thức
2
AB AB AB= =
uuur uuur
2. Diễn đạt ngôn ngữ vectơ bằng ngôn ngữ toạ độ
Trong hệ trục toạ độ Oxy, cho các điểm A (x
1
; y
1
), B (x
2
; y

 
+ = ⇔
 ÷
 
uur uur r

c)
1 2 3 1 2 3
x x x y y y
GA GB GC 0 G ;
3 3
+ + + +
 
+ + = ⇔
 ÷
 
uuur uuur uuur r
.
d) Vectơ
a
r
và vectơ
b
r
cùng phương
x.y' x 'y 0⇔ − =

e)
a b x.x ' y.y' 0⊥ ⇔ + =
r r

còn rất ngắn gọn.
Việc giải bài tập bằng PPTĐ đòi hỏi học sinh phải được luyện tập vận dụng tổng hợp
các kiến thức liên quan.
Học sinh cần nắm được quy trình :
+ Chọn hệ trục toạ độ thích hợp (đây là vấn đề mấu chốt của bài toán, nếu chọn
thích hợp thì bài toan sẽ được giải quyết nhanh gọn);
+ Phiên dịch bài toán đã cho sang ngôn ngữ vectơ;
+ Chuyển bài toán từ ngôn ngữ vectơ sang ngôn ngữ toạ độ;
+ Dùng các kiến thức toạ độ để giải toán;
+ Phiên dịch kết quả từ ngôn ngữ toạ độ sang ngôn ngữ hình học.
9
II. Vận dụng phương pháp toạ độ vào giải các bài toán hình học phẳng.
1. Các bài toán chứng minh tính chất hình học: thẳng hàng, vuông góc, đồng quy…
Bài 1: Cho ∆ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm của cạnh AB, G là trọng tâm ∆ACM,
I là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC . Chứng minh rằng
GI CM⊥
.
Hướng dẫn
Gọi O là trung điểm cạnh đáy BC. Dựng hệ toạ độ Oxy (như
hình vẽ )
Các điểm A, B, C có toạ độ: A(0; h), B(- a; 0), C(a; 0).
(ở đây giả sử BC = 2a, OA = h ).
Do M là trung điểm của AB nên M
a h
;
2 2
−
 
 ÷
 

0
a h
IM ( ; y ).
2 2
−
⇒ −
uuur
mà
AB
uuur
(-a; - h)
Theo giả thiết
IM AB IM.AB 0⊥ ⇔ =
uuur uuur uuur uuur
⇔
0
a h
( ).( a ) ( y ).( h) 0
2 2
−
− + − − =

10

2 2
0
2 2
0
a h
y h 0

uuuur
2 2 2 2
a h h a
IG.CM 0.
4 4 4 4
−
⇒ = + − + =
uur uuuur
Vậy
IG CM⊥
uur uuuur
(đpcm ).
Nhận xét: + Do ∆ABC cân tại A nên ta chọn hệ toạ độ có trục Oy qua A và vuông góc
BC, Ox qua BC.
+ Cách giải trên không phụ thuộc vào góc A là nhọn, vuông hay tù. Nếu giải
bằng phương pháp toán học thuần tuý, thì khi vẽ hình thì phải xét 3 trường hợp trên. Đó
cũng chính là lợi thế của Phương pháp toạ độ.
Bài 2 (Thi vào chuyên Toán PTNK TP.HCM năm 2009): Cho đường tròn (O) đường kính
AB. C là một điểm thay đổi trên đường tròn (O) sao cho ∆ABC không cân tại C. Gọi H là
chân đường cao của ∆ABC hạ từ C. Hại HE, HF vuông góc với AC, BC tương ứng. Các
đường thẳng EF và AB cắt nhau tại K. Gọi D là giao điểm của (O) và đường tròn đường
kính CH, D khác C. Chứng minh rằng K, D, C thẳng hàng.
Hướng dẫn
11
K
I
D
C
E
F

12
⇒ Toạ độ
( )
2
b 1 a
b
E ;
2 2
 − 
−
 ÷
 
Phương trình EF:
( )
2
2
b
y
x b
2
ax by 0
b 1 a
b
2
b
2
2 2
−
= ⇔ − + =
−

Phương trình BD: cx – y – bc = 0.
Phương trình CE: bx – y – bc = 0.
⇒ Toạ độ điểm
2 2
2 2
bc c c bc
D ;
c 1 c 1
 
+ −
 ÷
+ +
 

2 2
2 2
b c b b bc
E ;
b 1 b 1
 
+ −
 ÷
+ +
 
⇒
2
2
bc c
F ;0
c 1

=
+ + −
−
+ + +
M = DG ∩ Oy ⇒ y
M
=
bc
bc 1−
Ta thấy biểu thức trên đối xứng với b,c nên nếu gọi M’ = EF ∩ Oy thì M’ trùng với M.
Do đó, EF cắt DG tại M thuộc trục Oy. Vậy AM ⊥ BC (đpcm)
14
M
F
D
G
E
H
≡
O
C
B
A
Nhận xét: + Dựa vào đề bài có nhiều yếu tố vuông góc và dựa vào hình vẽ ta thấy bài
toán này rất thuận lợi cho việc áp dụng toạ độ.
+ Chú ý đến tính đối xứng của biểu thức toạ độ để việc tính toán thuận lợi hơn.
Bài 4: Cho hai hình vuông ABCD và AB’C’D’ cùng chiều. Chứng minh các đường thẳng
BB’, CC’, DD’ đồng quy.
Hướng dẫn
Chọn hệ trục toạ độ Oxy sao cho A(0; 0); B(0; 1); D(1; 0).

Bài 5 (Đề thi HSG quốc gia 2007-2008): Cho tam giác ABC với trung tuyến AD, đường
thẳng (d) vuông góc với đường thẳng AD. Xét điểm M trên (d). Gọi E, F lần lượt là trung
điểm của MB và MC. Đường thẳng đi qua E và vuông góc với (d) cắt đường thẳng AB
tại P, đường thẳng đi qua F và vuông góc với (d) cắt đường thẳng AC tại Q. Chứng minh
rằng đường thẳng đi qua M và vuông góc với PQ luôn đi qua một điểm cố định, khi M di
động trên (d).
Hướng dẫn
Chọn hệ trục toạ độ Oxy như hình vẽ
O D,Oy DA≡ ≡
.Khi đó
Ox
song song (d). Khi đó,
toạ độ các điểm: A(0;a), B(b; c) , C(-b; -c)
Phương trình đường thẳng
AB : (a c)x by ab 0− + − =
AC : (a c)x by ab 0+ − + =
Gọi toạ độ
M
M(x ;d)
Khi đó phương trình (d
1
) qua E và vuông góc với d là:
M
1
b x
(d ) : x
2
+
=


M
bc b
b x (ax bc) y d 0
a a
 
 
− − − − + =
 ÷
 ÷
 
 
Suy ra đường thẳng đi qua điểm cố định
2
bc b
; d
a a
 
−
 ÷
 
(đpcm)
Bài 6: Cho đường tròn (C) đường kính AB, đường thẳng (d) vuông góc với AB tại C cố
định. H là điểm thay đổi trê (d). AH và BH cắt đường tròn (C) tại D và E. Chứng minh
răng DE luôn đi qua một điểm cố định.
Hướng dẫn
Xét hệ trục toạ độ Oxy sao cho C trùng với gốc
toạ độ; B(1 – c; 0); A(-1 – c; 0) và d trùng với Oy
Đường tròn đường kính AB: (x + c)
2
+ y

2 2 2 2
2
1 c m 1 c m
x y
2m 2m
   
− + − −
+ − =
 ÷  ÷
   
Khi đó, DE là trục đẳng phương của hai đường tròn đường kính IH và đường tròn đường
kính AB
⇒ phương trình DE:
2 2
2 2 2 2 2 2
2
1 c m 1 c m 1 c m
2cx y 1 c
m 2m 2m
   
− + − − − +
+ = − − +
 ÷  ÷
   
⇔
2 2
2
1 c m
2cx y 2 2c
m

với một đường tròn cố định.
Hướng dẫn
Gọi O là trung điểm của AB.
18
Chọn hệ trục Oxy với
Ox
≡ ∆
, ta xét các điểm
A( -1; 0), B( 1; 0), I (0;2).
M di động trên Ox: M( x; 0),
x ∈¡
.
Ta có:
MA (x 1), MB 1 x= − + = −
(x 1) x 1
k
1 x x 1
− + +
= =
− −
.
N
N
x 1 2(x 1)
BN .BA x 1
x 1 x 1
(x 3) (x 3)
x N ;0
x 1 x 1
+ − +

2
2 2
(x 1) 4 16(x 1) (x 1) 4
x 2x 3 (x 1) 4
IK 4 IK
2(x 1) 4(x 1) 4(x 1) 2 x 1
   
− − + − − +
− − − +
   
= + = = ⇒ =
− − − −
Độ dài MN là:
2
x 3
MN
x 1
+
=
−
. Bán kính của
( )α
là:
2
x 3
R
2 x 1
+
=
−

2
(x 1) 4
IK
2(1 x)
− +
=
−
,
2 2 2 2
x 3 x 3 x 2x 5 (x 1) 4
R R 1 1 IK
2(1 x) 2(1 x) 2(1 x) 2(1 x)
+ + − + − +
= ⇒ + = + = = =
− − − −
Suy ra:
( )α
, (I;1) tiếp xúc ngoài với nhau.
+ Nếu x = 1:
( )α
suy biến thành một tia gốc B, vuông góc Ox, hướng theo chiều dương
của Oy; đó cũng chính là tiếp tuyến của (I; 1).
Vậy nửa đường tròn
( )α
luôn tiếp xúc với đường tròn (I; 1) cố định. Ta có đpcm.
3. Các bài toán quỹ tích.
Bài 8 (Đề chọn ĐT HSGQG trường PTNK TP.HCM năm 2008): Cho góc Ĩy và điểm P
nằm bên trong góc. Đường tròn thay đổi qua I và P cắt hai tia Ix, IY lần lượt tại A, B.
Tìm quỹ tích trọng tâm G và trực tâm H của tam giác IAB.
Hướng dẫn

2 2
2 2
2 2
y ax a
2ma 1 a 2ma 2a
A ;
1 a 1 a
x y 2my 1 0
= +

 
+ − +
⇒

 ÷
+ +
+ − − =
 

Tương tự, toạ độ điểm B
2 2
2 2
2mb 1 b 2mb 2b
B ;
1 b 1 b
 
+ − +
 ÷
+ +
 

A
B
1
m
x 1
a
x 1 1
m
b

≥ −

≥ −


⇒
 
≥ −


≤ −


Vậy quỹ tích trọng tâm G là đoạn thẳng thuộc đường thẳng (1) với
1 1
m ;
a b
 
∈ − −
 

0
0
a x
H x ,
y
 
−
⇒
 ÷
 
Trọng tâm
0 0
x y
G ;
3 3
 
 ÷
 
, suy ra trung điểm
2 2 2
0 0 0
0
2x 3a 3x y
K ;
3 6y
 
− +
 ÷
 
K thuộc đường thẳng BC khi và chỉ khi:

Hướng dẫn
Chọn hệ trục Oxy với O trùng I và trục Ox là
đường thẳng BC.
Đặt
BC 2a 0= >
. Khi đó
B( a; 0); C(a; 0)−
Giả sử tọa độ điểm
0 0
A(x ; y )
với
0
y 0≠
Khi đó trực tâm H là nghiệm hệ phương trình:
2 2
0
0
0
0 0
0
x x
a x
H x ;
(x a)(a x ) y y 0
y

=
 
−


 
với
0
x 0≠
Theo giả thiết, ta có :
IH
→
cùng phương
KC
→
2 2
0 0
0
0 0
y a x
a .x 2a. 0
x y
−
⇔ − =2 2
0 0
2 2
x y
1
a 2a
⇔ + =
23
Vậy quỹ tích A là elip

a h
+ =

Phương trình đường thẳng BC theo đoạn chắn:
x y
1
b h
+ =
.
Giả sử MQ có phương trình y = m
(0 m h )≤ ≤
Toạ độ của điểm Q là nghiệm của hệ phương trình:
y m y m
a
Q( (h m);m)
x y a
h
1
x (h m)
a h
h
= =


 
⇔ ⇒ −
 
+ =
= −
 



⇒ + =

+

= + =


(*)
Từ (1) suy ra
I
2x
m h(1 )
a b
= −
+
(2) suy ra m = 2y
I
. Vì
0 m h≤ ≤
nên
I
I
I
I
a b
2x
0 x
0 h(1 ) h

4
+ MB
4
+ MC
4
không phụ thuộc vào vị
trí của M.
25