Mục Lục
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài khóa luận
2. Mục tiêu của khóa luận
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
4. Giả thuyết khoa học
5. Phương pháp nghiên cứu
6. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
7. Cấu trúc của khóa luận
Chương I: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Quan điểm hoạt động trong phương pháp dạy học
1.2. Tư duy thuật giải
1.2.1. Khái niệm tư duy
1.2.2. Khái niệm tư duy thuật giải
1.2.3. Quy trình thuật giải
1.3. Các hoạt động hình thành tư duy thuật giải
1.3.1. Các hoạt động hình thành tư duy thuật giải
1.3.2. Mối quan hệ giữa các tình huống diển hình trong dạy học toán
1.4. Vị trí vai trò của thuật giải trong chương trình Toán học ở phổ thông
1.4.1. Đối với bộ môn Toán học
1.4.2. Một số vấn đề thuật giải trong các lĩnh vực khác
1.5. Những định hướng đổi mới phương pháp dạy học Toán nhằm phát triển
tư duy thuật giải
Kết luận chương I
Chương II: BỒI DƯỠNG TƯ DUY THUẬT GIẢI THÔNG QUA DẠY
GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC BẰNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ
2.1. Vị trí vectơ trong chương trình phổ thông
2.2. Cơ sở lý thuyết vectơ
2.2.1. Ưu điểm, hạn chế của việc sử dụng công cụ vectơ trong hoạt động giải
toán
2.2.2. Không gian vectơ

3.3.4. Kết luận chung về thử nghiệm
KẾT LUẬN CHUNG
TÀI LIỆU THAM KHẢO
PHỤ LỤC

2
MỘT SỐ CỤM TỪ VIẾT TẮT
Chữ viết tắt Giải nghĩa
THPT
S
V
mp
SL
SGK
SBT
ĐLTT
PTTT
ĐC
TN
Trung học phổ thông
Diện tích
Thể tích
Mặt phẳng
Số lượng
Sách giáo khoa
Sách bài tập
Độc lập tuyến tính
Phụ thuộc tuyến tính
Đối chứng
Thực nghiệm

phù hợp với khả năng của học sinh.
Bồi dưỡng tư duy thuật giải trong các hoạt động giải toán, đặc biệt là trong
quá trình dạy toán sẽ thúc đẩy sự phát triển các thao tác trí tuệ khác cho học sinh
như: Phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hoá, tương tự hoá. Hơn nữa còn hình

4
thành cho học sinh những phẩm chất trí tuệ như: Tính cẩn thận chi tiết, tính linh
hoạt, tính độc lập, sáng tạo, Qua đó từng bước giúp học sinh thích nghi được yêu
cầu của xã hội, của đất nước đang trên con đường công nghiệp hoá, hiện đại hoá.
Tuy nhiên ở trường phổ thông hiện nay, vấn đề bồi dưỡng và phát triển tư duy
thuật giải chưa được quan tâm đúng mức. Do đó, giáo viên chưa khai thác tốt các
tình huống và các nội dung dạy học nhằm bồi dưỡng tư duy thuật giải cho học
sinh. Khi giải toán, học sinh thường bộc lộ những sai sót về tri thức toán học như
về phương pháp suy luận, chứng minh trong hoạt động toán học, thuật giải hay quy
trình tìm ra thuật giải.
Qua thực tế dạy và học giải toán bằng phương pháp vectơ trong chương
trình hình học lớp 10 và lớp 12 - THPT cho thấy học sinh có những khó khăn trong
khi vận dụng, nhiều khi dạy bài toán nếu giải bằng những phương pháp hình học
thông thường thì khá phức tạp. Một phần vì lí do là các em chưa nắm rõ kiến thức
cơ bản, một phần vì học sinh chưa biết cách tư duy tìm ra thuật giải hay quy trình
thuật giải để giải các bài toán, cụ thể là thuật giải các bài toán bằng phương pháp
vectơ.
Vì vậy, trong nhà trường, việc bồi dưỡng và phát triển tư duy thuật giải cho
học sinh là việc làm cần thiết.
Với những lí do trên nên chúng tôi lựa chọn đề tài nghiên cứu: “Bồi dưỡng
tư duy thuật giải cho học sinh THPT thông qua dạy giải bài toán hình học bằng
phương pháp vectơ”.
2. Mục tiêu của khoá luận
Xây dựng quy trình tựa thuật giải theo các dạng bài toán để góp phần giải
quyết khó khăn và bỡ ngỡ của học sinh trong quá trình giải các bài toán hình học

- Phạm vi nghiên cứu: Dạy giải bài toán hình học bằng phương pháp vectơ.
7. Cấu trúc của khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận và phụ lục khóa luận bao gồm 3 chương:
Chương 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương 2. Bồi dưỡng tư duy thuật giải thông qua dạy giải bài toán hình học
bằng phương pháp vectơ
Chương 3. Thử nghiệm sư phạm

6
CHƯƠNG I
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Quan điểm hoạt động trong phương pháp dạy học
Chúng ta biết rằng quá trình dạy học là một quá trình điều khiển hoạt động
giao lưu của học sinh nhằm thực hiện những mục đích dạy học. Còn học tập là một
quá trình xử lý thông tin. Quá trình này có các chức năng: đưa thông tin vào, ghi
nhớ thông tin, biến đổi thông tin, đưa thông tin ra và điều phối. Học sinh thực hiện
các chức năng này bằng những hoạt động của mình. Thông qua hoạt động thúc đẩy
sự phát triển về trí tuệ ở học sinh làm cho học sinh học tập một cách tự giác, tích
cực.
Xuất phát từ một nội dung dạy học ta cần phát hiện những hoạt động liên hệ
với nó rồi căn cứ vào mục đích dạy học mà lựa chọn để tập luyện cho học sinh một
số những hoạt động đã phát hiện. Việc phân tích một hoạt động thành những hoạt
động thành phần giúp ta tổ chức cho học sinh tiến hành những hoạt động với độ
phức hợp vừa sức.
Việc tiến hành hoạt động nhiều khi đòi hỏi những tri thức nhất định, đặc biệt
là tri thức phương pháp. Những tri thức này lại là kết quả của một quá trình hoạt
động khác. Trong hoạt động, kết quả rèn luyện được ở một mức độ nào đó có thể
lại là tiền đề để tập luyện và đạt kết quả cao hơn. Do đó cần phân bậc những hoạt
động theo những mức độ khác nhau làm cơ sở cho việc chỉ đạo quá trình dạy học.
Trên cơ sở việc phân tích trên về phương pháp dạy học theo quan điểm hoạt động.

+ Ngoài ra ngôn ngữ còn mang tính khái quát (phản ánh những thuộc tính
chung, những mối quan hệ có tính quy luật của hàng loạt sự vật, hiện tượng), tính
trừu tượng (thoát ly nội dung có tính chất đặc thù của sự vật và hiện tượng). Tư
duy có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính mà nảy sinh tình huống có vấn đề.
Ngược lại tư duy và những kết quả của nó chi phối khả năng phản ánh của cảm
giác, tri giác, làm cho khả năng cảm giác của con người tinh vi, nhạy bén hơn, làm
cho tri giác của con người mang tính lựa chọn, tính ý nghĩa.
* Con người chủ yếu dùng ngôn ngữ để nhận thức vấn đề, để tiến hành các
thao tác trí tuệ và để biểu đạt kết quả của tư duy, vì vậy ngôn ngữ được xem như là
phương tiện của tư duy.
* Sản phẩm của tư duy là những khái niệm, phán đoán, suy luận được biểu
đạt bằng từ ngữ, câu,…, ký hiệu, công thức.
* Các giai đoạn của tư duy: Tư duy là hoạt động trí tuệ với một quá trình bao
gồm 4 bước cơ bản:
+ Xác định được vấn đề, biểu đạt nó thành nhiệm vụ tư duy (tức là tìm được
câu hỏi cần giải đáp).
+ Huy động tri thức, vốn kinh nghiệm, liên tưởng, hình thành giả thiết về cách giải
quyết vấn đề, cách trả lời câu hỏi.

8
+ Xác minh giả thiết trong thực tiễn. Nếu giả thiết đúng thì qua bước sau,
nếu sai thì phủ định nó và hình thành giả thiết mới.
+ Quyết định đánh giá kết quả, đưa ra sử dụng.
K.K Platonov đưa ra sơ đồ sau:
* Các thao tác tư duy: Có nhiều thao tác tư duy; phân tích, tổng hợp, so
sánh, khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự hóa,….Theo G.Polya: “Khái quát hóa là
chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho đến việc nghiên cứu một
tập lớn hơn, bao gồm cả tập hợp ban đầu”. Như vậy có thể hiểu khái quát hóa là
thao tác tư duy nhằm phát hiện những quy luật phổ biến của một lớp các đối tượng
hoặc hiện tượng từ một hoặc một số các trường hợp riêng lẻ.

* Tính chất của thuật giải
- Tính đơn trị: Tính đơn trị đòi hỏi các thao tác trong thuật giải phải đơn trị,
nghĩa là những lần thực hiện cùng một thao tác trên cùng một đối tượng phải cho
cùng một kết quả. Nói một cách tổng quát, thuật giải cho phép thực hiện đúng các
thao tác, theo đúng trình tự thì được kết quả hoàn toàn xác định duy nhất. Tính
chất này cho phép tự động hóa thuật giải khi lập trình cho thiết bị giải quyết bài
toán.
Ví dụ: Thuật giải phương trình bậc hai
( )
2
0 0ax bx c a+ + = ≠
- Tính dừng: Tính dừng đòi hỏi thuật giải phải có hữu hạn bước thực hiện để
được kết quả như mong muốn (khi mô tả thuật giải, có thể có các bước vẫn chưa
xác định, nhưng khi thực hiện không được lặp lại mãi).
Ví dụ: Thuật toán Euclide tìm ước số chung lớn nhất của hai số A và B.
Quy trình giải:
+ Bước 1: Phân tích hai số A, B thành tích các thừa số nguyên tố.
+ Bước 2: Tìm thừa số nhỏ nhất của số thứ nhất.
+ Bước 3: Kiểm tra trong số thứ hai có thừa số nào bằng thừa số nhỏ nhất
của số thứ nhất không. Nếu có thì sang bước 4, nếu không thì sang bước 5.
+ Bước 4:
g
Viết riêng thừa số đó.

g
Xóa thừa số đó trong cả hai số.

10
+ Bước 5: Xóa thừa số nhỏ nhất khỏi số thứ nhất.
+ Bước 6: Kiểm tra trong số thứ nhất có còn lại thừa số nào chưa xóa không.

+ Bước 5: Kết thúc.
Quy tắc nêu ở trên đã vi phạm tính đúng đắn vì 3 số thực dương bất kỳ
không phải bao giờ cũng biểu thị số đo 3 cạnh của tam giác. Theo cách này thì với
mọi a, b, c là những số thực dương thì ta luôn tính được diện tích tam giác.
Đây là thuật giải tính giá trị biểu thức S, chứ không phải là thuật giải tính
diện tích của tam giác theo 3 cạnh như ta mong muốn. Để nó trở thành thuật giải
như đã định ta phải bổ sung thêm thao tác kiểm tra điều kiện a, b, c biểu thị số đo 3
cạnh của tam giác.
- Tính phổ dụng: Thuật giải phải áp dụng được cho một lớp các bài toán chứ
không phải cho một bài riêng lẻ. Nói cách khác, tất cả các bài toán cùng loại, cùng
kiểu phải được giải bởi thuật giải.
Ví dụ: Thuật giải phương trình bậc nhất
0ax b+ =
, phương trình bậc hai
( )
2
0 0ax bx c a+ + = ≠
,
- Tính hiệu quả: Thuật giải cho kết quả tối ưu, cụ thể là:
g
Thực hiện nhanh, tốn ít thời gian.
g
Tốn ít thiết bị trung gian.
g
Đáp ứng nhu cầu thực tiễn.
b. Tư duy thuật giải

11
Tư duy toán học là hình thức biểu lộ của tư duy biện chứng trong quá trình con
người nhận thức khoa học toán học hay thông qua hình thức áp dụng toán học vào

các quy tắc mà rèn luyện cho học sinh một loại hình tư duy quan trọng đó là thuật
giải.
1.2.3. Quy trình thuật giải (quy tắc tựa thuật giải)
Trong quá trình dạy học, ta cũng thường gặp một số quy tắc tuy chưa mang
đủ các đặc điểm đặc trưng cho thuật giải nhưng có một số trong các đặc điểm khác
và đã tỏ ra có hiệu lực trong việc chỉ dẫn hành động và giải toán. Đó là những quy
tắc tựa thuật giải được hiểu như một dãy hữu hạn những chỉ dẫn thực hiện được
theo một trình tự xác định nhằm biến đổi thông tin vào của một lớp bài toán thành
thông tin ra mô tả lời giải của lớp bài toán đó.
Ví dụ: Theo quy trình 4 bước của G.Polya để tìm ra lời giải của một bài toán.
+ Bước 1: Tìm hiểu đề toán.
+ Bước 2: Xây dựng chương trình giải.
+ Bước 3: Thực hiện chương trình giải.
+ Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải.
Mỗi quy trình có thể chia thành các bước, mỗi bước là một hoạt động nhằm
một mục đích nhất định. Một hoạt động có nhiều thao tác như hoạt động tìm hiểu
nội dung đề toán có thao tác sau: Vẽ hình, chọn kí hiệu, phân tích giả thiết, kết
luận bài toán,…
Quy trình 4 bước của G.Polya được mỗi người vận dụng theo một cách khác

12
nhau và đạt được mức độ thành công khác nhau, nên đây chưa phải là một thuật giải.
Quy tắc tựa thuật giải phân biệt với thuật giải như sau:
+ Mỗi chỉ dẫn trong quy tắc có thể chưa mô tả hành động một cách xác định.
+ Kết quả thực hiện mỗi chỉ dẫn có thể không đơn trị.
+ Quy tắc không bảo đảm chắc chắn rằng sau một số hữu hạn bước thì đem
lại kết quả là lời giải của lớp bài toán.
Mặc dầu có một số hạn chế nói trên so với thuật giải, quy tắc tựa thuật giải
cũng vẫn là những tri thức phương pháp có ích cho quá trình hoạt động và giải toán.
Sau đây ta đưa ra một ví dụ minh họa về quy tắc tựa thật giải để thấy được

Bước 3 không mô tả một cách xác định việc tìm
0x
y
lim
x
∆ →
∆
∆
. Vì vậy, có những
học sinh tuy áp dụng quy tắc nêu trong ví dụ này nhưng vẫn không tính được đạo
hàm của một hàm số cụ thể nào đó, mặc dầu đạo hàm này tồn tại.
Quy trình thuật giải là quy trình gồm một số hữu hạn các hoạt động có mục
đích rõ ràng, cụ thể, được sắp xếp theo một trình tự nhất định, nhằm đi đến kết quả
là giải được một loại công việc nào đó theo đúng yêu cầu đã định.
Ví dụ: Giải phương trình bậc hai
( )
2
0 0ax bx c a+ + = ≠
+ Bước 1: Xác định a, b, c.
+ Bước 2: Tính
2
4b ac∆ = −
.
+ Bước 3:
g
Nếu
0∆ <
thì phương trình vô nghiệm.

g

13
+ Sau khi thực hiện xong tất cả các bước thì đi đến kết quả. Quy trình thuật
giải được thể hiện dưới nhiều hình thức như: Ngôn ngữ tự nhiên, ngôn ngữ phỏng
trình, ngôn ngữ lập trình,
Ví dụ: Giải phương trình bậc hai
( )
2
0 0ax bx c a+ + = ≠
g
Dạng 1: Ngôn ngữ tự nhiên (Trình bày ở trên)
g
Dạng 2: Sơ đồ khối.
g
Dạng 3: Ngôn ngữ phỏng trình.

14
Hỏi giá trị
0
∆ >
0
=∆
Có 2 nghiệm
phân biệt ,
Có nghiệm kép Vô nghiệm

Kết thúc
2
4b ac
∆ = −
1,2

= = −
Kết thúc
Nếu
0∆ >
thì bắt đầu trả lời:
⇒
Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
1 2
;
2 2
b b
x x
a a
− − ∆ − + ∆
= =
Kết thúc
* Kết thúc.
1.3. Các hoạt động hình thành và bồi dưỡng tư duy thuật giải
1.3.1. Các hoạt động hình thành và bồi dưỡng tư duy thuật giải
Tư duy thuật giải là một loại hình thức tư duy toán học. Nó là phương thức
tư duy biểu thị khả năng tiến hành các hoạt động sau:
a. Thực hiện những thao tác theo một trình tự xác định phù hợp với một
thuật giải cho trước, hay chính là thực hiện thuật giải theo quy tắc tựa thuật giải đã
biết.
b. Phân tích một quá trình thành những thao tác được thực hiện theo những
trình tự xác định.
c. Khái quát hóa một quá trình diễn ra trên một số đối tượng riêng lẻ thành
một quá trình diễn ra trên một lớp đối tượng.
d. Mô tả chính xác quá trình tiến hành một hoạt động.
e. Phát hiện thuật giải tối ưu để giải quyết bài toán.

Mặc dù mỗi tình huống có những đặc điểm khác nhau nhưng thực ra không
hoàn toàn độc lập với nhau, mà chúng có liên quan mật thiết với nhau, hỗ trợ nhau
trong quá trình dạy học.
* Phát triển tư duy thuật giải trong khi dạy học khái niệm: Để nhận dạng và thể
hiện khái niệm ta có thể hướng dẫn học sinh vận dụng tư duy thuật giải.
- Trong trường hợp các dấu hiệu đặc trưng của khái niệm có cấu trúc hội của
nhiều thuộc tính, các phản ví dụ thường được xây dựng khi có một thành phần
trong cấu trúc hội không được thỏa mãn và do đó đối tượng đang xét không thuộc
vào khái niệm.
Ví dụ: Dạy khái niệm cấp số cộng (Đại số và giải tích 11)
“Một cấp số cộng là một dãy số, trong đó mỗi số hạng đứng sau bằng số
hạng đứng trước nó cộng với một số d không đổi” (d là công sai của cấp số cộng).
+ Ta có thể hướng dẫn học sinh như sau:
+ Để xây dựng một cấp số cộng ta làm các bước:
g
Bước 1: Chọn một số làm số hạng đầu tiên
1
u
.
g
Bước 2: Chọn một số (khác không) làm công sai.
g
Bước 3: Viết dãy số:
1 1 1 1
, , 2 , 3 , u u d u d u d+ + +
Dãy số đó là một cấp số cộng.
* Phát triển tư duy thuật giải trong dạy học các định lí.
Theo GS.TSKH Nguyễn Bá Kim “Dạy học các định lí toán học nhằm đạt
được các yêu cầu sau đây:
- Học sinh nắm được hệ thống định lí và những mối liên hệ giữa chúng, từ

0∆ >
: Giả sử
1 2
,x x
là nghiệm của phương trình
( )
0f x =
với giả
thiết
1 2
x x<
thì
( )
0f x >
với
( )
1
2
; 0
x x
f x
x x
<

<

>

với
1 2

0f x <
với
1
2
x x
x x
<


>

;
( )
0f x >
với
1 2
x x x< <
.
Với quy trình thuật giải thể hiện nội dung định lí sẽ giúp học sinh áp dụng
định lí để làm bài tập một cách dễ dàng.
* Phát triển tư duy thuật giải trong dạy học giải các bài toán.
Giải toán là một hoạt động chủ yếu của hoạt động toán học, thông qua dạy
học giải các bài toán sẽ giúp học sinh nắm vững tri thức, rèn luyện kỹ năng kỹ xảo,
phát triển năng lực tư duy, năng lực ứng dụng toán học vào thực tiễn. Không có
một thuật giải tổng quát nào để giải mọi bài toán. Chúng ta chỉ có thể thông qua
dạy học giải các bài toán cụ thể mà dần dần truyền cho học sinh những kinh
nghiệm để tiến tới nghệ thuật trong việc suy nghĩ, tìm tòi lời giải các bài toán.
Ví dụ: Hướng dẫn giải bài toán sau:
Cho hình chóp S.ABC, các cạnh bên đều bằng a và cùng tạo với đáy một góc
α

Bước 2: Tính BC.
g
Bước 3: Tính AC.
g
Bước 4: Tính
ABC
S
∆
.
g
Bước 5: Tính V.
1.4. Vị trí vai trò của thuật giải trong chương trình Toán học ở phổ thông
cũng như trong các lĩnh vực khác
1.4.1. Đối với bộ môn Toán học
Trong chương trình Toán học nói chung, chương trình toán học ở bậc THPT
nói riêng thuật giải có vai trò rất quan trọng. Không chỉ các nhà nghiên cứu, các
giáo viên giảng dạy mà các em học sinh đều quan tâm và tìm hiểu về vấn đề này.
Thuật giải gúp các em phát triển năng lực trí tuệ, kỹ năng, kỹ xảo. Giúp các em có
một cái nhìn khái quát hơn về cách giải bài toán. Thuật giải gúp các em định
hướng được quy trình giải bài tập và qua đó tạo niềm tin cho các em về việc tìm ra
kết quả của bài toán. Quy trình thuật giải hay tựa tuật giải sẽ giúp các em tư duy
ngắn gọn, logic, chính xác trong khi giải toán.
Đối với bộ môn toán thuật giải được sử dụng rất nhiều như môn đại số, môn
hình học, môn giải tích, , nhất là trong môn hình học thuật giải được áp dụng để
xây dựng quy trình giải một lớp các bài toán với một phương pháp xác định. Tùy
vào từng dạng bài tập mà ta dựa vào các kiến thức có liên quan để xây dựng thuật
giải phù hợp thuận tiện cho người tham gia giải bài toán và người đọc.
Ví dụ: Thuật giải phương trình bậc nhất
0ax b+ =
; với

= −
Thuật giải trên giúp các em rèn luyện cách giải phương trình với quy trình
chặt chẽ, tránh sai lầm về các trường hợp vô nghiệm, vô số nghiệm, có nghiệm.
Ví dụ: Quy trình xác định giao tuyến qua hai điểm chung của hai mặt phẳng:
- Bước 1: Tìm điểm chung sẵn có của hai mặt phẳng đã cho.

18
Điểm chung sẵn có của hai mặt phẳng đã cho thường được biểu hiện bởi các
trường hợp sau:
+ Là điểm đã cho của hai mặt phẳng.
+ Là điểm của mặt phẳng này lại thuộc một đường thẳng của mặt
phẳng kia.
+ Là điểm của mặt phẳng này, thuộc mặt phẳng kia.
- Bước 2: Tìm hai đường thẳng của hai mặt phẳng đã cho, cùng thuộc mặt
phẳng thứ ba.
- Bước 3: Xác định giao điểm của hai đường thẳng đã tìm được ở bước 2 để
được một điểm chung.
- Bước 4: Xác định đường thẳng qua hai điểm chung tìm được để tìm giao
tuyến của hai mặt phẳng đã cho.
Ví dụ: Từ đồ thị hàm số
3 2
6 2 3y x x x= − + +
suy ra cách vẽ đồ thị hàm số
3 2
6 2 3y x x x= − + +
. Từ đồ thị (C) của hàm số
( )
y f x=
suy ra cách vẽ đồ thị
(C’) của hàm số

Ox
.
Qua những ví dụ trên cho ta thấy vị trí, vai trò to lớn của bộ môn Toán trong
việc phát triển tư duy thuật giải của học sinh. Nếu biết khai thác một cách đúng
đắn thì sẽ góp phần nâng cao chất lượng dạy học Toán trong nhà trường phổ thông.
1.4.2. Một số vấn đề thuật giải trong các lĩnh vực khác
* Trong cuộc sống hằng ngày nhiều hoạt động mang tính chất thuật giải như.
- Xây dựng một ngôi nhà.
- Điều khiển xe máy, ôtô.
- Cách lắp ráp một chiếc laptop,…
Vậy, phát triển tư duy thuật giải trong nhà trường phổ thông là rất cần thiết, vì:
- Tư duy thuật giải giúp học sinh hình dung được việc tự động hóa trong
những lĩnh vực hoạt động khác nhau của con người, góp phần khắc phục sự ngăn
cách giữa nhà trường và xã hội tự động hóa. Nó giúp học sinh thấy được nền tảng
của việc tự động hóa, cụ thể là nhận thức rõ đặc tính hình thức, thuần túy máy móc

19
của quá trình thực hiện thuật giải, đó là cơ sở cho việc chuyển giao một số chức
năng của con người cho máy thực hiện.
- Tư duy thuật giải giúp học sinh làm quen với cách làm việc trong khi giải
bài toán bằng máy tính điện tử. Thật vậy, thiết kế thuật giải là một khâu rất cơ bản
của việc lập trình tư duy thuật giải tạo điều kiện cho học sinh thực hiện tốt khâu đó.
- Tư duy thuật giải giúp học sinh học tập tốt những môn học ở nhà trường
phổ thông, rõ nét nhất là môn Toán. Nó tạo điều kiện thuận lợi cho học sinh lĩnh
hội kiến thức và rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo khi học các phép tính trên những tập
hợp số, giải phương trình bậc nhất, bậc hai v.v…
- Tiến hành các hoạt động tư duy thuật giải có thể dẫn đến hình thành tri
thức phương pháp để giải quyết một số vấn đề, góp phần hình thành năng lực giải
quyết vấn đề ở học sinh trong học tập cũng như ngoài cuộc sống
- Tư duy thuật giải cũng góp phần phát triển những năng lực trí tuệ chung

( )
P
. Ta có
( )
; ;u a b c=
r
,
( )
; ;n A B C=
r
g
Bước 2: Tính
.k u n=
r r
g
Bước 3: Nếu
0k ≠
thì d cắt
( )
P
.

20
Nếu
0k =
thì chuyển sang bước 4.
g
Bước 4: Thay tọa độ điểm
( )
0 0 0 0

+ Quy trình 2:
g
Bước 1: Viết phương trình đường thẳng dưới dạng tham số:
0
0
0
x x at
y y bt
z x ct
= +


= +


= +


g
Bước 2: Thay tọa độ điểm
( )
0 0 0
; ;M x at y bt z ct d+ + + ∈
vào phương
trình tổng quát của mặt phẳng
( )
P
.
Ta có
( ) ( ) ( )

t
m
=
vào phương trình tham số của d, tìm được tọa độ điểm
( )A d P= ∩
.
Trong trường hợp chỉ cần xét vị trí tương đối của đường thẳng (d) và mặt
phẳng
( )
P
thì ta chọn quy trình 1, còn nếu phải tìm tọa độ giao điểm A (nếu có)
của (d) và mặt phẳng
( )
P
thì ta chọn quy trình 2. Ví dụ trên đã rèn luyện cho học
sinh khả năng khái quát hóa một quá trình diễn ra trên một số đối tượng riêng lẻ
thành một quá trình diễn ra trên một lớp đối tượng và phát hiện thuật giải tối ưu để
giải quyết bài toán.
* Định hướng 3: Tập luyện cho học sinh rèn luyện những thao tác theo một trình tự
xác định phù hợp với thuật giải cho trước. Có thể phát biểu một số quy tắc toán
học thành những thuật giải dưới dạng ngôn ngữ tự nhiên, sơ đồ khối, ngôn ngữ
phỏng trình,…

21
KẾT LUẬN CHƯƠNG I
Thuật giải là một trong những vấn đề quan trọng nhất của Toán học. Tư duy
thuật giải được thể hiện qua các cấp học, các môn học của bộ môn Toán. Thuật
giải liên hệ chặt chẽ với các tình huống dạy học điển hình như: Dạy học khái niệm,
dạy học định lí, dạy học giải bài tập, chúng hỗ trợ nhau trong quá trình dạy học. Tư
duy thuật giải có vị trí và vai trò quan trọng rất lớn trong nhà trường phổ thông và

* Nội dung chương trình vectơ phổ thông.
- Chương trình vectơ trong phẳng bao gồm những nội dung sau:
+ Đại cương về vectơ: Khái niệm vectơ, vectơ bằng nhau, vectơ không.
+ Các phép toán trên vectơ: Phép cộng, trừ hai vectơ, tích vectơ với một số
thực, tích vô hướng của hai vectơ.
Trong đó các phép toán trên được trình bày theo thứ tự như sau:
g
Định nghĩa phép toán.
g
Các tính chất.
g
Các bài toán ứng dụng.

23
Ứng dụng của vectơ trong mặt phẳng là để làm công cụ nghiên cứu các hệ
thức lượng trong tam giác, trong đường tròn và các phép biến hình.
- Chương trình vectơ trong không gian. Nội dung về cơ bản các vấn đề vectơ
trong không gian được trình bày tương tự như trong mặt phẳng.
Ví dụ:
Trong mặt phẳng
Hai vectơ cộng tuyến
Không cộng tuyến
Quy tắc hình bình hành
Phân tích một vectơ theo 2 vectơ
Tương tự
Trong không gian
Ba vectơ đồng phẳng
Không đồng phẳng
Quy tắc hình hộp
Phân tích một vectơ theo 3 vectơ

của bài toán.

24
Ví dụ 1: Chứng minh công thức
( )
cos cos . cos sin .sina b a b a b− = +
Lời giải: Trên vòng tròn lượng giác ta thấy:
- Góc giữa hai vectơ
OA
uuur
và
OM
uuuur
là a
- Góc giữa hai vectơ
ON
uuur
và
OM
uuuur
là
a b−
- Góc giữa hai vectơ
OA
uuur
và
ON
uuur
là b
- Tọa độ của vectơ

uuur uuur uuur uuur r

( ) ( )
0
0
0
BC AB GA AC AB GB
BC AB
AB BC AC
AC AB
⇔ − + − =
− =

⇔ ⇔ = =

− =

uuur uuur r
Vậy tam giác ABC đều.
Mặt khác việc dùng phương pháp vectơ để giải toán đã chỉ ra cho học sinh
khả năng áp dụng phương pháp với cả một lớp đối tượng rộng rãi. Phương pháp
vectơ chặt chẽ, không dùng các thủ thuật đặc biệt, khi giải toán nhiều khi không
phải dùng đến hình vẽ nên có thể tránh được những sai lầm do trực giác.
Về mặt tư duy, giải toán bằng phương pháp vectơ có tác dụng tích cực phát
triển tư duy trừu tượng, năng lực phân tích, tổng hợp, tư duy thuật toán. Việc giải
toán bằng phương pháp vectơ phải sử dụng các phép toán trên những đối tượng
không phải là số nhưng lại có các tính chất tương tự giúp học sinh thấy được mối
liên hệ sâu sắc giữa các tập hợp gồm các phần tử khác nhau. Từ đó học sinh sẽ
phát triển các phẩm chất trí tuệ như năng lực khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự
hóa, tìm được cái chung nhất, cái quy luật giữa những cái khác nhau, giữa những