




!"#"$
%# &
'"()&
"$*%+,
-./012



!"#"$
%# &
'"()&
3445467894:5;<=4;>;?@4ABCDEF4G>4
HIJ6K/120111
"$*%+,
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
1L%L%LMN
/L%L"#ON"$
-./012
 
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi.
Các số liệu, kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố
trong bất kỳ công trình nào khác.
>P?@894>4
Thái Thị Hồng Lam

(Q8QP16(*"RS,*TLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL1KU

diện giáo dục và đào tạo, đáp ứng yêu cầu công nghiệp hóa, hiện đại hóa trong điều
kiện kinh tế thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế” [4]. Trong
Chương trình hành động của ngành Giáo dục, có những nội dung triển khai các dự
án, đề án về đổi mới phương pháp dạy học, hướng dẫn và thu hút nhiều học sinh
Trung học phổ thông nghiên cứu khoa học kỹ thuật, tổ chức nhiều “sân chơi” trí tuệ cho
học sinh.
Như vậy, đổi mới giáo dục nói chung và đổi mới phương pháp dạy học môn
Toán nói riêng đang trở thành một yêu cầu bức thiết của giáo dục phổ thông nước ta,
nhằm tạo ra nguồn lực phục vụ sự nghiệp công nghiệp hóa, hiện đại hóa nước nhà.
Để đáp ứng được những yêu cầu trên, ở nhà trường dạy học các môn học
không chỉ đơn thuần là giúp cho học sinh có được một số kiến thức cụ thể nào đó.
Điều cơ bản hơn, quan trọng hơn là trong quá trình dạy học các tri thức cụ thể đó,
rèn luyện cho học sinh tiềm lực để khi ra trường họ có thể tiếp tục tự học tập, có khả
năng nghiên cứu, tìm tòi sáng tạo giải quyết vấn đề, đáp ứng được những đòi hỏi đa
dạng của hoạt động thực tiễn không ngừng phát triển. Nói cách khác, hệ thống giáo
dục phải linh hoạt hơn, cần phải quan tâm hơn nữa đến việc dạy cách học, cách tư
duy, tạo điều kiện cho học sinh có phương pháp tư duy tốt để các em có thể tiếp tục
tự học suốt đời.
1L/LGiáo sư Nguyễn Cảnh Toàn cho rằng: “ Làm khoa học gì cũng đụng
chạm đến kiến thức, tư duy và tính cách con người một cách sâu đậm. Kiến thức, tư
duy, tính cách con người chính là mục tiêu giáo dục” [101, tr.7]. Tuy nhiên, thực
tiễn dạy học cho thấy vẫn còn không ít giáo viên chưa quan tâm thích đáng đến việc
phát triển tư duy cho học sinh. Chẳng hạn như “ Cách dạy phổ biến hiện nay là
thầy đưa ra kiến thức (khái niệm, định lý) rồi giải thích, chứng minh, trò cố gắng
tiếp thu nội dung khái niệm, nội dung định lý, cố gắng tập vận dụng các công thức,
các định lý để tính toán, để chứng minh ” [102, tr.4], hoặc “Dạy toán ở trường phổ
thông còn nhiều điều chưa ổn”[106, tr.38].
Nhu cầu đào tạo nguồn nhân lực phục vụ cho công cuộc công nghiệp hóa,
hiện đại hóa đất nước đòi hỏi phải nâng cao chất lượng dạy học. “Việc giải quyết
triệt để các vấn đề dạy học của nhà trường hiện đại, đòi hỏi phải thay đổi kiểu tư

cạnh của tư duy thuận nghịch, mà chỉ thể hiện một phần nào đó của tư duy thuận
nghịch. Những tình huống đó là phổ biến, nhưng không phải là dễ dàng thực hiện
đối với học sinh.
Thực tiễn dạy học cũng cho thấy, trong quá trình dạy học, giáo viên chưa
quan tâm nhiều đến mối liên hệ hai chiều này. Một số giáo viên đã có tìm hiểu, khai
thác mối liên hệ này trong dạy học, nhưng chưa thành hệ thống và thường xuyên.
Hầu hết chỉ khi nào trong nội dung dạy học có chứa đựng tường minh mối liên hệ
7
đó thì giáo viên mới đặt vấn đề xem xét, chẳng hạn khi trong sách giáo khoa yêu
cầu xét định lý đảo, điều kiện cần và đủ,
Từ những lý do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của Luận án là:
“Bồi dưỡng tư duy thuận nghịch cho học sinh trong dạy học môn Toán ở trường
Trung học phổ thông”.
/L `Ta"
Mục đích của luận án là nghiên cứu để xác định nội hàm của khái niệm tư
duy thuận nghịch trong môn Toán trên cơ sở nêu lên và làm sáng tỏ các thành tố của
năng lực tư duy thuận nghịch của học sinh, chứng minh sự cần thiết và có thể bồi
dưỡng loại hình tư duy này cho học sinh trong quá trình dạy học môn Toán ở các
lớp bậc Trung học phổ thông bằng việc xây dựng các biện pháp phù hợp.
_L- Ta"
Để đạt được mục đích nghiên cứu trên, đề tài có nhiệm vụ:
_L1LTổng hợp những cơ sở lý luận và thực tiễn về tư duy, tư duy toán học và
việc phát triển tư duy toán học cho học sinh.
_L/L Làm sáng tỏ khái niệm tư duy thuận nghịch của học sinh trong môn Toán ở
các lớp bậc Trung học phổ thông thông qua việc xác định các thành tố của năng lực tư
duy thuận nghịch của học sinh.
_L_LĐề xuất một số biện pháp sư phạm góp phần bồi dưỡng tư duy thuận
nghịch cho học sinh Trung học phổ thông trong dạy học môn Toán.
_L2LTổ chức thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi và hiệu quả của
các biện pháp đã đề xuất.

jL_LMột số định hướng cơ bản và các biện pháp sư phạm đã đề xuất góp
phần bồi dưỡng tư duy thuận nghịch cho học sinh trong dạy học môn Toán ở trường
Trung học phổ thông.
mLn"oe"$
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, danh mục các Tài liệu tham khảo, nội dung
Luận án được trình bày trong 3 chương:
<=416c%'S"$pO
1.1. Một số vấn đề chung về tư duy.
1.2. Tư duy toán học.
1.3. Tư duy thuận nghịch.
1.4. Mối quan hệ của tư duy thuận nghịch với một số loại hình tư duy.
1.5. Vai trò của tư duy thuận nghịch.
1.6. Đặc điểm tâm lý của học sinh Trung học phổ thông.
1.7. Thực trạng về việc bồi dưỡng tư duy thuận nghịch cho học sinh trong
9
dạy học môn Toán ở trường Trung học phổ thông.
Kết luận Chương 1.
<=4/6 DIJC?q4;>;r;;[4Cs?A<t4<A944uP
PGvPI?4w4vP;xF4wG4ABvPEF4G>4
2.1. Định hướng xây dựng và thực hiện biện pháp.
2.2. Một số biện pháp góp phần bồi dưỡng tư duy thuận nghịch cho học sinh
trong dạy học môn Toán ở trường Trung học phổ thông.
Kết luận Chương 2.
<=4_6hP4?qEI<;BE
3.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm.
3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm sư phạm.
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm
3.4. Kết luận chung về thực nghiệm sư phạm.
,X894
<=41

đầu từ nhận thức cảm tính, trên cơ sở nhận thức cảm tính mà nảy sinh “tình huống
có vấn đề”. Dù tư duy có khái quát và trừu tượng đến đâu thì nội dung của tư duy vẫn
chứa đựng những thành phần cảm tính (cảm giác, tri giác, hình tượng trực quan, ).
X. L. Rubinstêin đã khẳng định rằng: “Nội dung cảm tính bao giờ cũng có trong tư
duy trừu tượng, tựa hồ như làm thành chỗ dựa cho tư duy” [108].
* Tư duy là một quá trình: Tư duy là hoạt động trí tuệ với một quá trình bao
gồm bốn bước cơ bản sau:
+ Xác định vấn đề, biểu đạt nó thành nhiệm vụ tư duy.
+ Huy động tri thức, vốn kinh nghiệm, liên tưởng, hình thành giả thuyết.
11
+ Xác minh tính đúng sai của giả thuyết. Nếu giả thuyết đúng thì qua bước
sau, nếu sai thì phủ định nó và hình thành giả thuyết mới.
+ Đánh giá kết quả, đưa ra sử dụng [29], [30], [78], [107].
Quá trình tư duy được diễn ra bằng cách chủ thể tiến hành những thao tác trí
tuệ nhất định. Có rất nhiều thao tác trí tuệ tham gia vào một quá trình tư duy cụ thể
với tư cách một hành động trí tuệ: phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, khái
quát hóa,
1L1L_LfIh;|48GB?<A
Có nhiều loại hình tư duy đã được nhiều tác giả trong và ngoài nước nghiên
cứu như tư duy lôgic, tư duy trừu tượng, tư duy sáng tạo, tư duy lý luận, Về bản
chất, tư duy chỉ có một, đó là sự hình thành mới hoặc tái tạo lại các liên kết giữa các
phần tử ghi nhớ. Sự phân chia ra các loại hình tư duy nhằm mục đích hiểu sâu và
vận dụng tốt tư duy trong hoạt động của hệ thần kinh.
Theo [89], [108], có ba loại tư duy: Tư duy trực quan, hành động; Tư duy
trực quan hình tượng; Tư duy trừu tượng (tư duy ngôn ngữ, lôgic).
Theo A.V. Pêtrôvxki và L. B. Itenxơn, có bốn loại tư duy: tư duy hình tượng,
tư duy thực hành, tư duy khoa học, tư duy lôgic [74, tr.126-130].
J. Piaget thường nói đến 2 loại tư duy: tư duy cụ thể, tư duy hình thức.
Trong [20], V. V. Đavưđôv nói đến tư duy lý luận, tư duy kinh nghiệm.
Trong một số công trình của V. A. Cruchetxki đề cập đến: tư duy tích cực, tư

lý toán học, chúng ta không chỉ quan tâm định lý thuận, mà còn quan tâm đến mệnh
đề đảo của định lý, nghĩa là xem xét định lý trong mối liên hệ hai chiều, tạo khả
năng cho kiểu tư duy xem xét sự vật hiện tượng theo hai chiều ngược nhau.
Nhân tố thứ hai - Tính chất của bài toán là nhân tố sản sinh ra sự cần thiết của
kiểu tư duy. Mỗi bài toánmuốn giải được đòi hỏi phải phát hiện và sử dụng những
mối liên hệ xác định của các dữ kiện xuất phát. Chẳng hạn, những bài toán về chứng
minh trong toán học đòi hỏi phải phát hiện và sử dụng những mối liên hệ lôgic của
các dữ kiện tất yếu, do đó tư duy lôgic là cần thiết, còn việc giải các phương trình
(chẳng hạn như
82
2
=+
xx
) thường chỉ đòi hỏi những biến đổi hợp qui tắc, vì thế tư
duy thực hành là cần thiết. Như vậy, bản thân bài toán buộc tư duy phải dựa trên kiểu
mối liên hệ này hay kiểu mối liên hệ kia trong các dữ kiện xuất phát và do đó nó cũng
quyết định kiểu tư duy nào được thực hiện khi giải bài toán đó. Hơn thế nữa, bằng
cách biến đổi tính chất của bài toán có thể bồi dưỡng cho các em những kiểu tư duy
khác nhau.
Ví dụ 1.1: a) So sánh 2
10
với 10
3
;
13
b) Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để 2
n
> n
3
.

nhận thức các hiện tượng của thế giới hiện thực, cũng như bởi chính các phương
thức chung của tư duy mà nó sử dụng.
Nội dung của tư duy toán học là những tư tưởng phản ánh hình dạng không
gian và những quan hệ số lượng của thế giới hiện thực [59, tr.16-17].
Về đặc điểm của tư duy toán học, A. M. Phriđman viết: “Tư duy toán học là
tư duy lý thuyết trừu tượng cao nhất, các đối tượng của nó có thể được hình thức
14
hóa vứt bỏ tất cả các tính vật chất và chỉ giữ lại những quan hệ đã cho giữa chúng”
(dẫn theo [12, tr.13]).
Giáo dục Toán học cho HS là một quá trình phức tạp, nhằm đạt các mục tiêu [115]:
- Truyền thụ cho HS một hệ thống nhất định những kiến thức cơ bản của
Toán học.
- Rèn luyện cho HS những kỹ năng, kỹ xảo Toán học.
- Phát triển tư duy toán học cho HS.
“Tư duy toán học không chỉ là thành phần quan trọng trong quá trình hoạt
động toán học của HS, nó còn là thành phần mà, nếu thiếu sự phát triển một cách có
phương hướng thì không thể đạt hiệu quả trong việc truyền thụ cho HS hệ thống các
kiến thức và kỹ năng toán học” (dẫn theo [98, tr.13]).
Đến nay, đã có nhiều tài liệu đề cập (theo các mức độ khác nhau) đến các
khía cạnh xung quanh vấn đề về tư duy toán học: [12], [41], [42], [43], [61], [63],
[65], [68], [75], [97], [98], [113], [119],
1L/L/L DIJ€{4Z?zE:f4}454;[4P\{<AG>4vP:5
4•48hPG>4vP
Để hỗ trợ cho việc xác định các thành tố cơ bản của tư duy thuận nghịch trong
môn Toán, chúng tôi đã tham khảo một số quan điểm về những thành phần của tư
duy toán học. Nhiều nhóm tác giả đưa ra các quan điểm khác nhau về vấn đề này.
- Trong cuốn sách Phương pháp giảng dạy Toán ở trường phổ thông của
nhóm tác giả: Iu. M. Kôliagin, V. A. Ôganhexian, V. Ia. Xannhixki và G. L.
Lucankin (cuốn sách này được ấn hành lần đầu tiên vào năm 1975 [118] và được tái
bản lần thứ nhất vào năm 1980 [119]), các tác giả đã trình bày rất cụ thể về những

lập luận [37, tr.127].
Theo A. I. Marcusêvich‚những kỹ năng cần phải bồi dưỡng cho học sinh
trong dạy học toán là: Kỹ năng loại bỏ những chi tiết không căn bản để chỉ giữ lại
những cái bản chất của vấn đề, chẳng hạn kỹ năng trừu tượng hóa; Kỹ năng rút ra
hệ quả lôgic từ những tiền đề đã cho; Kỹ năng phân tích một vấn đề thành những
trường hợp riêng, phân biệt khi nào đã bao quát được mọi khả năng, khi nào chỉ là
ví dụ chưa bao quát hết mọi khả năng; Kỹ năng khái quát hóa các kết quả nhận
được và đặt ra những vấn đề mới ở dạng khái quát; Kỹ năng xây dựng sơ đồ của
hiện tượng, sao cho, trong đó chỉ giữ lại những yếu tố cần thiết cho việc giải thích
vấn đề về mặt Toán học; Kỹ năng vận dụng các kết luận được rút ra từ các suy luận,
biết đối chiếu các kết quả đó với các vấn đề đã dự kiến, kỹ năng đánh giá ảnh
hưởng của việc thay đổi các điều kiện đến độ tin cậy của các kết quả [61].
- Theo quan điểm của V. A. Cruchetxki, ông chỉ ra cấu trúc NL toán học của
HS bao gồm các thành phần sau:
Thu nhận những thông tin toán học: NL tri giác hình thức hóa tài liệu toán
16
học, NL nắm được cấu trúc hình thức của bài toán.
Chế biến thông tin toán học, đó là: NL tư duy lôgic trong lĩnh vực các quan
hệ số lượng và các quan hệ không gian, các kí hiệu dấu, các kí hiệu số, NL suy nghĩ
với các kí hiệu toán học; NL khái quát nhanh chóng và rộng rãi các đối tượng, quan
hệ, các phép toán của toán học; NL rút ngắn quá trình suy luận toán học và hệ thống
các phép toán tương ứng, NL suy nghĩ với những cấu trúc được rút gọn; Tính mềm
dẻo của quá trình tư duy trong hoạt động toán học; Khuynh hướng vươn tới sự rõ
ràng, sự đơn giản, tính tiết kiệm và tính hợp lý của lời giải; NL thay đổi nhanh
chóng, dễ dàng hướng suy nghĩ, dạng tư duy thuận chuyển qua tư duy ngược.
Lưu trữ thông tin toán học, đó là trí nhớ toán học tức là trí nhớ khái quát về
các quan hệ toán học, về các đặc điểm điển hình, về các sơ đồ suy luận và chứng
minh, về các phương pháp giải toán, nguyên tắc, đường lối giải toán.
Thành phần tổng hợp chung là khuynh hướng toán học của trí tuệ [13,
tr.167-168]; [37, tr.129-130].

với nhau.
* Khi so sánh tính hợp lý giữa các cách quan niệm về các loại hình tư duy
cần có quan điểm toàn diện. Có thể quan niệm này phù hợp hơn quan niệm kia nếu
xét ở khía cạnh học sinh Trung học phổ thông, nhưng không phù hợp bằng nếu xét
ở khía cạnh học sinh Trung học cơ sở. Tương tự như vậy nếu xét trên khía cạnh chất
liệu kiến thức (Đại số, Số học, Hình học, Giải tích).
Như vậy, để đánh giá đúng mức vai trò của một loại hình tư duy hay năng
lực, cũng như tìm kiếm các biện pháp phát triển chúng, không nên chỉ đơn thuần
dựa vào tên gọi một cách chung chung, mà trước hết phải có quan niệm cụ thể về
loại hình tư duy hoặc năng lực này. Hợp lý hơn cả là nên làm rõ những thành tố cơ
bản của nó.
1L_L<A944uP
1L_L1Lx4€{4•4•44?34P‡DP8ˆ4:hPP\{Zf5?
Việc nghiên cứu mối quan hệ hai chiều có tính thuận nghịch trong các hiện
tượng tự nhiên, xã hội và tư duy đã được một số tác giả trong và ngoài nước quan
tâm như sau:
'4G5?4<‰P6
*Theo Piaget [16], [71], [72], [78], [79], đối với trẻ em từ 7, 8 tuổi trở lên,
trong tư duy đã xuất hiện khả năng đảo ngược. Đó là khả năng thực hiện các thao
tác ngược nhau (thực ra hành động chỉ xảy ra một chiều, vì thời gian chỉ xảy ra một
chiều, nhưng tính đảo ngược có thể hiểu là trật tự ngược nhau của chuỗi thao tác hai
hành động). Chẳng hạn, ngay từ lớp 1, HS đã thực hiện thao tác 3 + 5 = 8 (trên cở sở
đã thành thục hành động “gộp” 3 với 5 thành 8), thì cũng thực hiện được thao tác
18
ngược lại là “tách” hay là phân tích 8 = 3 + 5. Theo J. Piaget, tính thuận nghịch thể
hiện khi “các thao tác và hành động có thể được triển khai về hai hướng và hiểu được
một trong hai hướng đó gợi ra sự hiểu biết hướng kia” [20, tr.275]. Ông đã đánh giá
cao về vai trò của tính thuận nghịch trong hoạt động nhận thức, điều này được thể
hiện trong nhận xét của Ph. Lêyven: đối với Piaget, tính thuận nghịch – đó là “con
ngươi” của nhận thức, được hình thành trong hệ thống, một tính chất mà trong quan

lôgic, thì dẫn đến chỗ mù quáng hay tới hoang tưởng.
Tác giả Ia. I. Pêtrốp (dẫn theo [90, tr.114]) cũng có quan niệm: hoạt động tư
duy của HS diễn biến theo chiều thuận – nghịch.
* Trong công trình nghiên cứu về tư duy của HS của M. N. Sacđacôp có đề
cập đến tính thuận nghịch trong các mối liên hệ và quan hệ. Ông cho rằng, tính
thuận nghịch là một trong những đặc điểm về chất của các mối liên hệ và quan hệ
giữa các hiện tượng của hiện thực. Nó biểu hiện trong ảnh hưởng lẫn nhau có tính
chất động giữa các thành phần của một hiện tượng hoàn chỉnh. Ông cũng cho rằng
dòng ý nghĩ thuận và nghịch là đặc điểm vốn có của bản thân hoạt động tư duy.
* Các tác giả Tsukasa Hirashima và Megumi Kurayama quan tâm đến việc
dạy HS học tập bằng cách đặt bài toán cho những bài toán tư duy ngược. Các ông
đặc biệt quan tâm “đảo ngược suy nghĩ vấn đề”, và đã tiến hành thực nghiệm trong
một lớp học của HS lớp 1 ở một trường tiểu học, với môi trường học tập dựa trên
máy tính [116].
* Tác giả G. Polya đã đề cập đến phép rút gọn thuận nghịch trong giải toán.
Ông quan niệm: “Việc chuyển bài toán ban đầu sang bài toán phụ sẽ gọi là phép rút
gọn thuận nghịch hoặc hai chiều, hoặc là tương đương nếu như bài toán phụ và bài
toán ban đầu là tương đương nhau” [80, tr.66].
'wG44<‰P6
* Tác giả Nguyễn Bá Kim đã quan tâm đến khả năng đảo ngược quá trình tư
duy, lấy đích của một quá trình đã biết làm điểm xuất phát cho quá trình mới, còn
điểm xuất phát của quá trình đã biết lại trở thành đích của quá trình mới. Ông xem
đó là một thể hiện của tính linh hoạt của tư duy [56]. Các tác giả Nguyễn Bá Kim,
Vũ Dương Thụy, Hoàng Chúng đều cho rằng, trong dạy học, cần chú ý rèn luyện
cho học sinh kĩ năng biến đổi xuôi chiều và ngược một cách song song với nhau
nhằm giúp cho việc hình thành các liên tưởng ngược diễn ra đồng thời với việc hình
thành liên tưởng thuận [11], [54].
* Trên cơ sở nghiên cứu Lý thuyết phát sinh nhận thức của J. Piaget, Phan
Trọng Ngọ [72] cho rằng: thao tác thực chất là hành động vật chất bên ngoài được
chuyển vào trong và cải biến ở trong đó; tính đảo ngược của thao tác là do hai hành

với các bài toán khác như bài toán ngược, bài toán đặc biệt, bài toán khái quát, bài
toán tương tự, Đồng thời, ngay trong mỗi bài toán cũng cần xem xét mối quan hệ
giữa giả thiết và kết luận của nó.
Tất cả các sự vật, hiện tượng trên thế giới đều có tính hai mặt của nó. Hai
mặt của một vấn đề vừa có tính thống nhất, vừa mâu thuẫn, sẽ không có mặt này
21
nếu không có mặt kia, sẽ không có cái toàn bộ nếu không có mối liên hệ giữa hai
mặt đó. Chẳng hạn, phân tích và tổng hợp là hai hoạt động trí tuệ trái ngược nhau
nhưng lại là hai mặt của một quá trình thống nhất.
Vì vậy, trong khi xem xét, đánh giá một sự vật, hiện tượng, chúng ta không
chỉ xem xét theo lối suy nghĩ hoặc thói quen thường làm, mà hãy nhìn nhận vấn đề
theo cả chiều ngược lại. Bởi vì, việc xem xét mặt kia của vấn đề sẽ tăng tính bao
quát, toàn diện, đầy đủ, có thể giúp chúng ta linh hoạt trong suy nghĩ, trong cách
giải quyết vấn đề. Sự đảo ngược sẽ phá vỡ lối tư duy thông thường của chúng ta,
khắc phục sức ì tâm lý và kích thích lối tư duy mới. Theo tác giả Đào Văn Trung,
nghĩ ngược có thể giúp chúng ta mở ra bầu trời mới [104]. Việc tư duy theo hai
chiều ngược nhau sẽ góp phần khắc phục khó khăn, hạn chế sai lầm của lối tư duy
một chiều. Chẳng hạn, trong hoạt động chứng minh, nếu chứng minh trực tiếp mệnh
đề gặp khó khăn thì người giải toán phải linh hoạt chuyển hướng suy nghĩ, có thể
nghĩ đến chứng minh gián tiếp bằng cách chứng minh mệnh đề phản đảo hoặc bác
bỏ phủ định của mệnh đề cần chứng minh.
1.3.2.2. Căn cứ vào kết quả nghiên cứu về tính thuận nghịch của tư duy
Dựa vào một số kết quả nghiên cứu của J. Piaget, V. A. Cruchetxki, Edgar
Morin, M. N. Sacđacôp, Phan Trọng Ngọ, Nguyễn Bá Kim, … về tính thuận nghịch
của tư duy trong mục 1.3.1, có thể nhận thấy tính thuận nghịch của tư duy được đặc
trưng bởi khả năng của trí tuệ vận động theo cả chiều thuận và nghịch và tư duy
trong sự vận động là một dạng thức đối lôgic phức hợp của những hoạt động và
những thao tác. Đó là những đặc tính quan trọng của tư duy, có vai trò quan trọng
trong hoạt động nhận thức và có thể bồi dưỡng được trên cơ sở thực hiện các hành
động có chiều hướng ngược nhau. Vì vậy, trong dạy học GV cần quan tâm tập

xfxf =
?
Một số HS do không nắm vững khái niệm, không nắm vững các quy tắc suy
luận nhưng vẫn đi tới kết quả
21
xx =
. Rất có thể họ đã lập luận như sau: Nếu
21
xx =
thì
)()(
21
xfxf =
, mà
)()(
21
xfxf =
, nên
21
xx =
.
Thực ra, kết quả
21
xx =
là đúng nhưng suy luận thì không đúng. Những HS
này đã lầm tưởng rằng có quy tắc suy luận:
A
BBA ,⇒
.
Ví dụ 1.4: Một học sinh tính

khai thác được đầy đủ tiềm năng môn Toán để thực hiện mục tiêu giáo dục toàn diện.
* Về mặt phương pháp, môn Toán được đặc trưng bởi sự kết hợp chặt chẽ
giữa cái cụ thể và cái trừu tượng, giữa phương pháp quy nạp và phương pháp suy
diễn và điều này được thể hiện ở tất cả các bậc học với yêu cầu tăng dần.
Xuất phát từ đặc điểm của môn Toán, trong quá trình dạy học toán phải lưu ý:
- Mỗi khái niệm toán học đều xuất phát từ việc khái quát hóa, trừu tượng hóa
nhiều thực tiễn trong thế giới khách quan (và cả trong toán học), cho nên để đi đến
khái niệm toán học, cần nêu rõ những thí dụ trong thực tiễn (hoặc trong toán học),
đồng thời sau khi đã có khái niệm trừu tượng của toán học rồi, cần vận dụng vào
nhiều tình huống cụ thể khác nhau. Nghĩa là cần khuyến khích và tạo điều kiện cho
học sinh thường xuyên tiến hành hai quá trình thuận nghịch nhưng liên hệ mật thiết
với nhau, đó là trừu tượng hóa và cụ thể hóa.
- Trước lúc đi vào suy diễn để chứng minh một định lý, cần cho HS quan sát, dự
đoán, mò mẫm, quy nạp (không hoàn toàn) những tính chất có thể có của thực tế khách
quan, để từ đó hình thành một phán đoán, sử dụng suy diễn để kiểm tra tính đúng đắn
của nó. Nghĩa là cần khuyến khích và tạo điều kiện để HS được tiến hành hai kiểu suy
luận ngược nhau nhưng tương hỗ lẫn nhau, đó là quy nạp và suy diễn.
* Trong môn Toán có nhiều đối tượng toán học chứa đựng tường minh hay
ẩn tàng mối quan hệ hai chiều. Chẳng hạn:
- Tính có thể đảo ngược của định nghĩa là một đặc tính quan trọng của định
nghĩa [104, tr.28]. Dù được phát biểu ở dạng nào, định nghĩa luôn là một điều kiện
cần và đủ. Nếu khi dạy định lý ta thường xuyên phải lưu ý để học sinh không nhầm
lẫn điều kiện cần với điều kiện đủ, thì khi dạy định nghĩa, lại cần làm cho họ hiểu
rằng, cách phát biểu của định nghĩa có cấu trúc lôgic theo kiểu điều kiện cần và đủ.
Nói cách khác, tất cả các định nghĩa đều có thể đảo ngược được.
- Mỗi đẳng thức toán học đều gồm hai vế được liên hệ với nhau bởi dấu
bằng: A = B. Nếu thay A bằng B ta gọi là chiều thuận thì thay B bằng A gọi là chiều
nghịch. Bởi vậy, trong dạy học môn Toán, GV cần phải lưu ý cho HS sử dụng theo
cả hai chiều. Hơn nữa, với mỗi chiều, có thể phải kèm theo một điều kiện nhất định.
24

=
−∞→
, có một số HS đã làm như sau:
x
x
I
x
2
15
lim
2
+
=
−∞→
=
x
x
x
x
x
2
15
lim
2
2
+
−∞→
=
2
1

x
x
x
x
2
15
lim
2
2
+
−
−∞→
=
2
1
5
lim
2
x
x
+
−
−∞→
=
2
5
−
Trong dạy học môn Toán, các đẳng thức thường được vận dụng theo một
chiều nhất định, còn chiều ngược lại ít gặp hơn và việc sử dụng nó thường phải
“tinh tường”hơn.

−−
”, HS sẽ gặp khó
khăn hơn. HS phải biến đổi:
nnnn
n
n
n
n
nn
n
n
nn
n
n
nn
CCCC
CCCCS
5)41(4 4141
44 441
2221110
11221
=+=++++=
+++++=
−−
−−
Như vậy, việc dạy hoàn thành một công thức và ứng dụng nó theo chiều
thuận và chiều ngược lại sẽ làm cho sự hiểu biết của HS về công thức đó sâu sắc
hơn, toàn diện hơn, tránh được những khó khăn sai lầm trong khi vận dụng công
thức vào giải toán.
- Khi học định lý toán học, cấu trúc thông thường của định lý có dạng: A