GV: Lê Hoàng Vĩnh Bài toán liên quan đến Khảo sát hàm số
Trang 1
PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN PHẦN KHẢO SÁT HÀM SỐ
CÙNG MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG
1. BÀI TOÁN VỀ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN
Bài toán 1.1. Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
+ Tìm tập xác định.
+ Tính đạo hàm
'
y
. Cho
' 0
y
, tìm các nghiệm (nếu có).
+ Lập bảng biến thiên.
+ Dựa vào bảng biến thiên kết luận hàm số đồng biến, nghịch biến.
Bài 1. Xét sự đồng biến và nghịch biến của các hàm số:
a)
3 2
3 2
y x x
b)
2 3
3 8
y x x
y
x
h)
1
2 1
y
x
i)
3 2
x
y
x
j)
2
1
2
x x
y
x
k)
c)
2
3
y x x
d)
2
18 2
y x
e) 3
y x x
f)
2
1
y x x
g)
10
x
y
x
h)
3
2
6
cos
y x x
trên
e)
2sin tan 3
y x x x
trên
0;
2
f)
1
sin
2
y x x
trên
[0;2 ]
.
Bài toán 1.2. Tìm m để hàm số đa thức bậc 3 đồng biến (nghịch biến) trên tập xác định (trên
)
+ Tập xác định:
a
y x
+ Hàm số nghịch biến trên
0
' 0,
0
a
y x
Tìm m và kết hợp cả 2 trường hợp để kết luận.
Nếu a không chứa tham số m:
+ Hàm số đồng biến trên
GV: Lê Hoàng Vĩnh Bài toán liên quan đến Khảo sát hàm số
Trang 2
Bài 4. Tìm m để hàm số sau đồng biến với mọi
x
:
a)
3 2
1
( 1) 9
3
y x x m x
b)
3 2
3(2 1) (12 5) 2
y x m x m x
c)
3 2 2
(2 1) ( 2 4) 3
y x m x m m x
d)
3
2
3
( 6) 3
3 2
1
( 1) ( 1) 3 5
3
y m x m x x
i)
2 3 2
( 2 3) ( 3) 2
y m m x m x x m
j)
3 2
1
( 3) ( 2) 2( 1)
3
y m x m x m x m
Bài 5. Với giá trị nào của m thì hàm số nghịch biến trên tập xác định:
a)
3 2
(2 5) 1
y x x m x
b)
3 2
(6 3) (12 5) 2
y x m x m x
g)
3 2
1
( 1) (2 4) 2( 2) 7
3
y m x m x m x
h)
2 3 2
1
( 4) ( 2) 4 1
3
y m x m x x
Bài 6. Chứng minh rằng với m mọi thì hàm số:
a)
3 2 2
( 1) ( 2)
y x m x m x m
luôn nghịch biến.
b)
3 2 2
1
( 2) (2 4 5) 2
3
y x m x m m x
Cách 2. Dùng phương pháp biến thiên hàm số.
Hàm số đồng biến trên khoảng K ' 0,
y x K
+ Đưa biểu thức về dạng ( ) ( ),
g m h x x K
+ Tính
'( )
h x
và lập bảng biến thiên của hàm số
( )
h x
trên K.
+ Suy ra giá trị
( )
g m
rồi kết luận m.
Hàm số nghịch biến trên khoảng K ' 0,
y x K
+ Đưa biểu thức về dạng ( ) ( ),
g m h x x K
+ Tính
'( )
0;3
.
c)
3 2
3(2 1) (12 5) 2
y x m x m x
trên
2;
; trên
( ; 1)
.
GV: Lê Hoàng Vĩnh Bài toán liên quan đến Khảo sát hàm số
Trang 3
d)
3 2
1 1
( 1) 3( 2)
3 3
y mx m x m x
trên
2;
. h)
2
2 (2 1) 1
2
x m x k
y
x
trên
3;
.
Bài 9. Với giá trị nào của m thì hàm số nghịch biến trong khoảng cho trước:
a)
3 2
3 3
y x x mx m
trong
0;3
. b)
3 2
1 1 7
trong
(1; )
e)
2
2 3
2 1
x x m
y
x
trong
1
;
2
. e)
3
2
( 1) ( 6)
3
x
y m x m x
trong (1;4).
f x
.
+ Chứng minh hàm số
( )
f x
đơn điệu trên K (đồng biến hoặc nghịch biến trên K).
+ Dựa vào tính đơn điệu của
( )
f x
trên K để suy ra điều cần chứng minh.
Bài 11. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
sin
x x
với
0
x
. b) khi
0
x
thì
sin 2012 2013
x x
. c)
2
, 0
2
x
.
g)
3
tan
3
x
x x ,
0;
2
x
. h)
sin tan 2
x x x
,
0;
2
x
Bài toán 1.5. Giải và biện luận phương trình, bất phương trình bằng tính đơn điệu của hàm số.
+ Đưa phương trình, bất phương trình về dạng ( ) , ( )
f x m f x m
.
+ Lập bảng biến thiên của hàm số
( )
f x
.
+ Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.
Bài 12. Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm duy nhất:
a)
2
2 . 2 144
x x b)
2
4 1 4 1 1
x x
c)
5 5
x x , tìm nghiệm duy nhất
đó.
Bài 13. Cho phương trình
2
3 1
x m x
' 0
y
, tìm các nghiệm (nếu có).
+ Lập bảng biến thiên.
+ Dựa vào bảng biến thiên kết luận cực đại, cực tiểu của hàm số.
Bài 16. Tìm cực trị của các hàm số:
a)
3 2
2 9 12 3
y x x x
b)
3 2
3 3 7
y x x x
c)
4 2
1 1 1
4 2 4
y x x
d)
4 3
27
y x x
j)
2
2 5
1
x x
y
x
k)
2
5
1
x x
y
x
l)
2
1
8
x
y
x
2 3 12 1
y x x x
b)
4 3
4 2
y x x
c)
2 3
5 3
y x x
d)
3 2
9 27
y x x x
e)
4
y x
x
f)
1
x
y
x
0;
k)
sin cos , ;
2
y x x x
l)
sin 2
y x
m)
2
sin
y x
n)
cos sin
y x x
o)
sin .cos
Tìm m và kết luận.
Bài 18. Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu:
a)
3 2
1
(3 2) 1
3
y x mx m x
b)
2 2
1
( 3) 2 4
3
y m x x mx
c)
3 2
( 2) 3 5
y m x x mx
0
a
:
Để hàm số có cực đại và cực tiểu
phương trình
' 0
y
có 2 nghiệm phân biệt.
0 ( ' 0)
hay
Tìm m. Kết hợp cả 2 trường hợp để kết luận.
Bài toán 2.4’. Tìm m để hàm số bậc 3 không có cực trị.
Bài 19. Tìm m để hàm số sau có cực trị:
a)
3 2
1
( 3) 2 ( 4)
3
y m x x mx m m
b)
3 2
2 1
y x x mx
Bài toán 2.5. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại
0
x x
+ Tìm TXĐ.
+ Tính
'
y
.
Cách 1
+ Tìm m để hàm số có cực trị (BT 2.4) (*)
+ Hàm số đạt cực trị tại
0
x x
thì
0
'( ) 0
y x
Tìm m.
+ So với điều kiện (*) để kết luận m thỏa đề bài.
Cách 2
+ Hàm số đạt cực trị tại
0
x x
Tìm m và kết luận.
Bài 21. Tìm m để hàm số:
a)
3 2
(2 1) ( 5) 1
y x m x m x
đạt cực trị tại
1
x
.
b)
3 2 2 2 2
1
( 2) (3 1) 2
3
y x m m x m x m
đạt cực trị tại
2
x
.
c)
3 2
2
'( ) 0
''( ) 0
y x
x x
y x
+ Để hàm số đạt cực tiểu tại
0
0
0
'( ) 0
''( ) 0
y x
x x
y x
Tìm m và kết luận.
y mx m x m
có một cực đại là
1
2
x
.
d)
2 3 2
( 5 ) 6 6 6
y m m x mx x
đạt cực đại tại
1
x
.
e)
sin 3 sin
y x m x
đạt cực đại tại
3
x
. f)
4 2
2 5 3
với giá trị cực đại là 5.
Bài 24. Cho hàm số
3 2
y x ax bx c
. Tìm
, ,
a b c
để hàm số đạt cực trị bằng 0 tại
2
x
và đồ thị
của nó đi qua điểm
(1;0)
M .
Bài toán 2.7. Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của hàm bậc 3.
+ Tìm m để hàm số có 2 cực trị (Bài toán 2.3)
Khi đó:
+ Thực hiện phép chia
y
cho
'
y
(đôi khi ta lấy
3
y
chia cho
.
Bài 25. Tìm m để hàm số sau có cực đại và cực tiểu, viết phương trình đường thẳng đi qua 2 cực trị đó:
a)
3 2 2 3
3 3( 1)
y x mx m x m
b)
3 2
7 3
y x mx x
c)
3 2 2 3 2
3 3(1 )
y x mx m x m m
d)
3 2
2 3( 1) 6( 2) 1
y x m x m x
Bài toán 2.8. Cực trị của hàm trùng phương
4 2
( 0)
y ax bx c a
' 0
y
có 3 nghiệm phân biệt
phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt
0
x
. 0
a b
Lưu ý: Khi đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị A, B, C (với A nằm trên Oy) thì
ABC
cân tại A.
Hàm số có 2 cực đại và 1 cực tiểu
phương trình
' 0
y
có 3 nghiệm phân biệt và
0
a
GV: Lê Hoàng Vĩnh Bài toán liên quan đến Khảo sát hàm số
Trang 7
Hàm số có đúng 1 cực trị
phương trình (*) vô nghiệm hoặc có duy nhất nghiệm
0
x
. 0
0
a b
b
Bài 26. Tìm giá trị tham số m hoặc k để hàm số:
y
.
(Có thể suy ra các hoành độ này hoặc tổng tích của các hoành độ).
+ Tìm m để cực đại và cực tiểu thỏa điều kiện K.
+ So với điều kiện (*) để kết luận m thỏa đề bài.
Bài 27. Xác định giá trị tham số m để đồ thị hàm số:
a)
3 2
3 2
y x x mx
có điểm cực đại và cực tiểu cách đều đường thẳng
1
y x
.
b)
3 2 3
3 4
y x mx m
có các điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng
y x
.
c)
3 2
3 3 1
y x mx m
y x mx x
có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng qua 2 điểm cực trị này vuông
góc với đường thẳng
3 7
y x
.
g)
3 2
3 2
y x x mx
có đường thẳng qua 2 cực trị tạo với đường thẳng
4 5 0
x y
một góc
0
45
.
h)
3 2
3 2
y x x
có đường thẳng đi qua cực đại và cực tiểu tiếp xúc với đường tròn (C) có phương
trình
2 2
( ) ( 1) 5
| | 2
x x
.
b)
3 2
(1 2 ) (2 ) 2
y x m x m x m
đạt cực trị tại
1 2
,
x x
sao cho
1 2
1
| |
3
x x
.
c)
3 2
4 3
y x mx x
có hai điểm cực trị
1 2
,
x x
f)
3 2
1
3 4
3
y x mx mx
đạt 2 cực trị
1 2
,
x x
thỏa điểu kiện
2
2
1 2
2 2
1 2
2 9
2
2 9
x mx a a
a x mx a
.
g)
3 2 2
1 1
( 3)
j)
3 2 2
3 1
y x x m m
có hai điểm cực trị A và B sao cho diện tích
ABC
bằng 7, biết
( 2;4)
C
.
k)
3 2
1
1
3
y x mx x m
có 2 điểm cực trị và khoảng các giữa 2 điểm cực trị là nhỏ nhất.
l)
3 2 3
1 4
( 1) ( 1)
3 3
y x m x m
có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về 2 phía của đường tròn (c) có
phương trình
4 2 2
2
y x mx m m
có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có một góc bằng
0
120
.
3. BÀI TOÁN TÌM GTLN – GTNN
Bài toán 3.1. Tìm GTLN – GTNN của hàm số
( )
y f x
trên đoạn D = [a;b].
+ Xét hàm số trên
[ ; ]
D a b
+ Tính
'
y
. Cho
' 0
y
, tìm các nghiệm
1 2
1;3
. b)
4 2
1 1
2 2
y f x x x
trên đoạn
0;2
.
c)
3 2
2 3 12 1
y f x x x x
trên
5
2;
2
. d)
1
2
y x
x
trên đoạn
1;2
.
g)
2
2 3
2
x x
y f x
x
trên đoạn
0;3
. h)
2 1
1
.
k)
2
4
y x x
. l)
2
100
y x
trên
[ 8;6]
. m)
2
25
y x
. n)
2
3 4
y x x
.
Bài 31. Tìm GTLN và GTNN của hàm số:
a) sin 2
. d)
2 cos2 4sin
y x x
trên đoạn
0;
2
.
f) sin 2
y x x
trên
;
6 2
. g)
sin
2 cos
x
y
GV: Lê Hoàng Vĩnh Bài toán liên quan đến Khảo sát hàm số
Trang 9
c)
2
2sin cos 1
y x x
trên
0;
2
. d)
3sin 5
sin 2
x
y
x
trên
0;2
đạt GTLN bằng 6 trên
[1;3]
.
b)
2
1
x m m
y
x
đạt GTNN trên
[0;1]
bằng
2
.
c)
3 2 2
1 1
( 1) (2 2 2)
3 3
y x m x m m x
đạt GTLN bằng 1 trên
[-1;2]
D
.
( ; )
max
a b
y
và
( ; )
min
a b
y
.
Bài 34. Tìm GTLN và GTNN của hàm số:
a)
1
2
1
y x
x
tên khoảng
1;
. b)
2
1
1
x
1
y
x x
trên
(0;1)
. f)
2
2
y x
x
,
0
x
.
g)
2
x
y
x
trên
2;4
. i)
(cm) là chiều dài của hình chữ nhật, với
0 6
x
.
Chiều rộng của hình chữ nhật là
6
x
Diện tích của hình chữ nhật là
2
( ) (6 ) 6
S x x x x x
Ta cần tìm
(0;6)
x
để
( )
S x
đạt giá trị lớn nhất.
Xét trên khoảng (0;6), ta có
'( ) 6 2
S x x
y x
có đồ thị (C). Tìm các điểm trên đồ thị (C) sao cho khoảng cách từ điểm
đó đến điểm
(0;2)
A là ngắn nhất.
4. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Bài toán 4.1. Khảo sát và vẽ đồ thị
Hàm bậc 3 và hàm trùng phương.
+ Tập xác định:
D
.
+ Tính đạo hàm
'
y
. Cho
' 0
y
, tìm nghiệm (nếu có).
+ Giới hạn:
lim
x
y
và
'
y
. Nhận xét
' 0
y
hoặc
' 0
y
,
d
x
c
.
+ Giới hạn và tiệm cận:
lim
x
y
= lim
x
y k
Đường thẳng
y k
+ Bảng biến thiên.
Kết luận:
Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên từng khoảng xác định.
Hàm số không có cực trị.
+ Bảng giá trị (4 điểm đặc biệt).
+ Vẽ đồ thị.
Bài 40. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
a)
3 2
3 4
y x x
b)
3 2
1 1
3
3 3
y x x x
c)
3 2
3 3 2
y x x x
d)
3 2
3 4 1
y x x x
Bài 41. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:
a)
4 2
3 6 2
y x x
b)
4 2
2 1
y x x
c)
4 2
1
2
4
y x x
d)
4 2
1
1
2
y x x
e)
4 2
2 3
y x x
2
x
y
x
c)
2 1
1
x
y
x
d)
2
2 1
x
y
x
e)
3
3
y
x
( ) : ( )
C y g x
.
Xét phương trình hồnh độ giao điểm
( ) ( )
f x g x
(1)
Số nghiệm của phương trình (1) bẳng số giao điểm của hai đồ thị.
Điều kiện để hai đồ thị tiếp xúc là hệ phương trình sau có nghiệm
( ) ( )
'( ) '( )
f x g x
f x g x
.
Bài tốn 4.2.1. Dựa vào đồ thị
( ): ( )
C y f x
đã vẽ, biện luận theo m số nghiệm của phương
trình
( , ) 0
F x m
(1).
3 2
y ax bx cx d
có cực đại, cực tiểu thoả y
CĐ
.y
CT
< 0.
VẤN ĐỀ. Biện luận số nghiệm của phương trình bậc ba bằng đồ thò
Cơ sở của phương pháp: Xét phương trình bậc ba:
3 2
0
ax bx cx d
(a
0) (1)
Gọi (C) là đồ thò của hàm số bậc ba:
3 2
( )
y f x ax bx cx d
Số nghiệm của (1) = Số giao điểm của (C) với trục hoành
Dạng 1: Biện luận số nghiệm của phương trình bậc 3
Trường hợp 1: (1) chỉ có 1 nghiệm
2
( .2)
. 0
CĐ CT
f có cực trò
h
y y
Trường hợp 3: (1) có 3 nghiệm phân biệt
(C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt
2
( .3)
. 0
CĐ CT
f có cực trò
y
CĐ
x
0
x'
0
B
(C)
y
CĐ
y
A
x
0
o
x
1
B
x'
0
(y
x
2
y
CT
y
CĐ
GV: Lê Hồng Vĩnh Bài tốn liên quan đến Khảo sát hàm số
Trang 12
Dạng 2: Phương trình bậc ba có 3 nghiệm cùng dấu
Trường hợp 1: (1) có 3 nghiệm dương phân biệt
(C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương
2
. 0
0, 0
. (0) 0 ( 0)
CĐ CT
CĐ CT
f có cực trò
y y
x x
x x
a f hay ad
Bài 43. Cho hàm số
2
2
x
y
x
có đồ thị (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ (C).
b) Tìm tọa độ giao điểm của (C) và đường thẳng d:
1
y x
45.1. (C):
2 1
2
x
y
x
và đường thẳng d: 2
y x m
.
45.2. (C):
1
1
x
y
x
và đường thẳng d: 2
y x m
.
Bài 46. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C):
1
1
x
o
x
2
x
a > 0
y
CT
B
f(0)
x
1
x
A
x
B
x
C
C
(C)
y
C
(C)
y
CĐ
y
A
o
x
2
x
a > 0
y
CT
B
f(0)
x
C
x
2
x
Bài 47. Cho hàm số
3 2
2 3 1
y x x
có đồ thị (C)
a) Khảo sát và vẽ (C).
b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình
3 2
2 3 0
x x m
.
c) Với giá trị nào của k thì phương trình:
3 2
4 6 3 0
x x k
* Có đúng 2 nghiệm.
* Có 3 nghiệm phân biệt.
* Có đúng 1 nghiệm âm.
Bài 48. Cho hàm số
4 2
4 3
y x x
, (C)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C).
b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo a số nghiệm của phương trình
)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị khi
1
m
.
b) Tìm m để đồ thị (C
m
) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt.
Bài 51. Cho hàm số
3 2
2 3 2 1
y x mx m
(C
m
)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị khi
1
m
.
b) Tìm m để đồ thị (C
m
) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt.
c) Tìm m để đồ thị (C
m
) cắt Ox tại 1 điểm duy nhất.
d) Tìm m để đồ thị (C
m
cắt Ox tại 3 điểm phân biệt.
b)
3 2
3 2
y x x mx m
cắt d:
2
y x
tại 3 điểm phân biệt.
c)
3 2
3 (1 2 ) 1
y mx mx m x
cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
d)
3 2
2 2 2 1
y x x x m
cắt (P):
2
2 2
y x x
tại 3 điểm phân biệt.
Bài 54. Tìm m để đồ thị hàm số
a)
4 2
cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp
số nhân.
d)
3 2
3 2( 1) 9 192
y x m x mx cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số nhân.
Bài 56. Tìm m để đồ thị hàm số
a)
3 1
4
x
y
x
cắt đường thẳng
: 2
d y x m
tại 2 điểm phân biệt A, B. Với giá trị nào của m thì đoạn
AB có độ dài ngắn nhất.
b)
4 1
2
x
y
x
b)
3
3 2 0
x mx m
c)
3 2
3 3(1 ) 3 1 0
x x m x m
Bài 59. Tìm m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt
a)
3 2 2 2
3 3( 1) ( 1) 0
x mx m x m
b)
3
1
0
3
x x m
Bài 60. Tìm m để phương trình
a)
3 2
k
.
+ Gọi
0 0
( ; )
M x y
là tiếp điểm và tiếp tuyến
có dạng
0 0
( )
y k x x y
.
+ Ta có
0
'( )
y x k
. Giải tìm
0
x
và
0
y
.
+ Kết luận phương trình tiếp tuyến.
Chú ý: Hệ số góc k của tiếp tuyến
có thể được cho gián tiếp như sau:
Tiếp tuyến đi qua điểm
( ; )
A A
A x y
.
+ Gọi
là tiếp tuyến qua A và có hệ số góc k : ( )
A A
y k x x y
+
tiếp xúc với
( )
C
khi hệ
( ) ( ) (1)
'( ) (2)
A A
f x k x x y
f x k
C y x x
tại giao điểm của (C) với trục hồnh.
Bài 62. Cho hàm số
3 2
1
3
y x x
có đồ thị (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ (C).
b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) và d:
1
3
y x
.
Bài 63. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
a)
3 2
( ): 2 3 5
C y x x
biết hệ số góc của tiếp tuyến là
12
k
.
b)
2 1
C y
x
biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng :
d y x
.
GV: Lê Hoàng Vĩnh Bài toán liên quan đến Khảo sát hàm số
Trang 15
e)
3 2
( ):
1
x
C y
x
biết tiếp tuyến tạo với chiều dương trục Ox góc
0
45
.
f)
3
2
( ): 2 4
3
C y
x
, tiếp tuyến tạo với đường thẳng :
d y x
một góc
0
60
.
Bài 64. Cho hàm số
4 2
1
1
8
y x x
có đồ thị (C)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C).
b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến đi qua điểm
(2; 5)
A
.
c) Viết phương trình đường thẳng đi qua
1
1;
8
biết tiếp tuyến đi qua
(2;3)
A .
c)
4 2
1 3
( ): 3
2 2
C y x x
biết tiếp tuyến xuất phát từ
3
0;
2
M
.
Bài 66. Tìm m để đồ thị hàm số
a)
3 2
( ): (3 ) 2
C y x m x mx
tiếp xúc với trục Ox.
b)
3
( ): 1
C y x x
tiếp xúc
2
( ):
P y x m
.
Bài 67. Cho đồ thị hàm số (C):
3 2
10
y x x x
. Tìm các điểm M trên (C) sao cho tiếp tuyến tại M
a) Song song với đường thẳng
1
: 2
d y x
. b) Vuông góc với đường thẳng
2
:
d y x
.
Bài 68. Tìm các điểm trên đường đường thẳng
: 2
d y
: 2
d x
.
c)
3
( ): 3 2
C y x x
và d là trục Ox.
Bài toán 4.4. Đồ thị hàm số chứa dấu trị tuyệt đối.
Cho đồ thị
( ): ( )
C y f x
. Dựa vào đồ thị (C), vẽ đồ thị:
( ') : (| |)
C y f x
.
Ta có
( ) 0
(| |)
( ) 0
f x khi x
y f x
f x khi x
Đồ thị
( ')
C
gồm 2 phần:
+ Phần 1: là phần đồ thị (C) nằm phía trên trục Ox.
+ Phần 2: lấy đối xứng của phần đồ thị (C) phía dưới Ox qua trục Ox.
Minh họa:
Bài 70. Khảo sát và vẽ đồ thị (C). Suy ra đồ thị (C’). Dựa vào (C’), biện luận theo m số nghiệm của
phương trình (1) đã cho:
a) (C):
3 2
3 6
y x x
; (C):
3 2
3 6
y x x
;
3 2
2 2
2
x
y
x
;
2 2
2
x
m
x
(1)
d) (C):
3 2
2 9 12 4
y x x x
; (C):
3
2
2 9 12 4
y x x x
;
y x x x
a) Khảo sát và vẽ (C).
b) Vẽ đồ thị (C):
3
2
6 9
y x x x
.
GV: Lê Hồng Vĩnh Bài tốn liên quan đến Khảo sát hàm số
Trang 17
c) Tìm m để phương trình
3
2
6 9 3 0
x x x m
có 6 nghiệm phân biệt.
Bài 72. Cho đồ thị hàm số (C):
4
2
5
3
2 2
x
y x
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C).
có ít nhất 6 nghiệm.
VẤN ĐỀ. Tìm điểm cố đònh của họ đồ thò (C
m
): y = f(x, m)
Cách 1:
Gọi M(x
0
; y
0
) là điểm cố đònh (nếu có) của họ (C
m
).
M(x
0
; y
0
)
(C
m
),
m
y
0
= f(x
A
B
(2a)
0
0
0
A
B
C
(2b)
Giải hệ (2a) hoặc (2b) ta tìm được toạ độ (x
0
; y
0
= f(x
0
, m),
m (1)
Đặt F(m) = f(x
0
, m) thì F(m) = y
0
không đổi
F
(m) = 0 (3)
Giải (3) tìm được x
0
. Thay x
0
vào (1) tìm được y
0
. Từ đósuy ra được các điểm cố đònh.
Bài 74. Tìm điểm có định của họ đồ thị (C
m
) có phương trình:
có đồ thị (C
m
). CMR khi m thay đổi thì (C
m
) ln đi qua 2
điểm cố định A, B. Tìm m để tiếp tuyến tại A và B vng góc nhau.
VẤN ĐỀ. Tìm điểm trên đồ thò (C): y = f(x) có toạ độ nguyên
Tìm các điểm trên đồ thò hàm số hữu tỉ
( )
( )
P x
y
Q x
có toạ độ là những số nguyên:
Phân tích
( )
( )
P x
y
Q x
thành dạng ( )
( )
a
y A x
Q x
, với A(x) là đa thức, a là số nguyên.
2
x
y
x
c)
2
2
x
y
x
d)
2
2
1
x x
y
x
GV: Lê Hồng Vĩnh Bài tốn liên quan đến Khảo sát hàm số
Trang 18
VẤN ĐỀ. Tìm cặp điểm trên đồ thò (C): y = f(x) đối xứng qua đường thẳng d: y = ax + b
Tìm điều kiện của m để
cắt (C) tại 2 điểm
phân biệt A, B. Khi đó x
A
, x
B
là các nghiệm của (1).
Tìm toạ độ trung điểm I của AB.
Từ điều kiện: A, B đối xứng qua d
I
d, ta tìm
được m
x
A
, x
B
y
A
, y
B
A, B đối xứng nhau qua đường thẳng y = b
2
A B
A B
x x
y y b
A, B đối xứng nhau qua đường thẳng x = a
2
A B
A B
x x a
y y
a) Khảo sát và vẽ (C).
b) Tìm trên (C) hai điểm phân biệt M và N đối xứng nhau qua trục tung.
Bài 79. Tìm trên đồ thị
3
( ): 3 2
C y x x
hai điểm sao cho chúng đối xứng nhau qua
( 1;3)
I
.
Bài 80. Cho hàm số
4 2
2 1
y x x
có đồ thị (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ (C).
b) Tìm trên (C) hai điểm A, B sao cho đường thẳng AB song song với trục Ox và khoảng cách từ
điểm cực đại của (C) đến đường thẳng AB bằng 8.
Bài 81. Cho đồ thị hàm số
2
( ):
2 1
x
các điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận là nhỏ nhất.
Bài 84. Tìm trên (C):
2
1
x
y
x
điểm M sao cho
6 5
( , )
5
d M biết
: 2 2 0
x y
.
(d)
(C)
()
B
A
I
GV: Lê Hoàng Vĩnh Bài toán liên quan đến Khảo sát hàm số
3 2 2
2 2
2(3 1)
3 3
y x mx m x
(1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi
1
m
.
b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị
1
x
và
2
x
sao cho
1 2 1 2
2( ) 1.
x x x x
CĐ.12. Cho hàm số
2 3
1
x
y
x
1 2
k k
đạt giá trị lớn
nhất.
B.11. Cho hàm số
4 2
2 1
y x ( m )x m
(1), m là tham số.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi
1
m
.
b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C sao cho
OA BC
; trong đó O là gốc tọa
độ, A là điểm cực trị thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại.
D.11. Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
điều kiện
2 2 2
1 2 3
4
x x x
.
B.10. Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Tìm m để đường thẳng
2
y x m
cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác
OAB có diện tích bằng
3
.
D.10. Cho hàm số
4 2
6
y x x
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết rằng tiếp tuyến cắt 2 trục Ox, Oy lần lượt tại 2 điểm
phân biệt A, B sao cho tam giác OAB cân tại O.
B.09. Cho hàm số
4 2
2 4
y x x
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Với giá trị nào của m, phương trình
2 2
2
x x m
có đúng 6 nghiệm thực phân biệt.
D.09. Cho hàm số
4 2
3 2 3
y x m x m
có đồ thị là
m
C
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho khi
B.08. Cho hàm số
3 2
4 6 1
y x x
(1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm
( 1; 9)
M
.
D.08. Cho hàm số
3 2
3 4
y x x
(1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1)
b) Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua
(1;2)
I với hệ số góc
( 3)
k k
đều cắt đồ thị hàm số
(1) tại ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của AB.
CĐ.08. Cho hàm số
1
x
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Tìm tọa độ điểm M trên (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai trục Ox, Oy tại A, B và tam giác
OAB có diện tích bằng
1
4
.
CĐ.07(CĐ KT Đối ngoại). Cho hàm số
2
( 1)( 2 1) (1)
y x x mx m
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi
1
m
.
b) Định m để đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn
1
.
CĐ.07(CĐ Xây dựng). Cho hàm số
3 2
2 8
4
3 3
y x x x
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
GV: Lê Hoàng Vĩnh Bài toán liên quan đến Khảo sát hàm số
Trang 21
D.05. Gọi (C
m
) là đồ thị của hàm số
3 2
1 1
(1)
3 2 3
m
y x x
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 2.
b) Gọi M là điểm trên (C
m
) có hoành độ bằng
1
. Tìm m để tiếp tuyến tại điểm M song song với
đường thẳng
5 0
x y
.
B.04. Cho hàm số
3 2
1
2 3
3
y x x x
có đồ thị (C)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C).
3 2
3 (1)
y x x m
a) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ.
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 2.
A.02. Cho hàm số
3 2 2 3 2
3 3(1 ) (1)
y x mx m x m m
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
b) Tìm k để phương trình
3 2 3 2
3 3 0
x x k k
có ba nghiệm phân biệt.
c) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).
B.02. Cho hàm số
4 2 2
( 9) 10 (1)
y mx m x
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
b) Tìm m để hàm số (1) có ba điểm cực trị.
D.02. Cho hàm số
2
(2 1)
(1)
1
m x m
y
MỘT SỐ CÔNG THỨC CẦN LƯU Ý
ĐẠO HÀM
Đạo hàm cơ bản Đạo hàm của hàm hợp Quy tắc
Copyright: Tài liệu đại học ©