TRẦN ĐỨC NGỌC – YÊN SƠN ĐÔ LƢƠNG NGHỆ AN – GV TRƢỜNG THPT TÂN KỲ I – NGHỆ AN

1

Chuyên đề 5:
PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Chuyên đề:Tìm giá trị của tham số m để phƣơng trình f(x) = m có nghiệm
1/Các bƣớc giải bài toán:Tìm giá trị của tham số m để phương trình f(x) = m (1) có nghiệm
Bƣớc 1: Nêu tập xác định của phương trình,giả sử x  D.
Bƣớc 2 : Đặt ẩn phụ t = g(x) (nếu cần)-Tìm điều kiện thích hợp đối với ẩn phụ t . Thực chất ở bước này
là tìm gtln, gtnn của hàm số t = g(x) .Chẳng hạn: t 

; 

,Với x  D
Bƣớc 3: -Biến đổi đưa phương trình đã cho thành phương trình ẩn t .Ta gọi là phương trình (2)
- Lập luận:Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x  D tương đương tìm m để phương trình (2)
có nghiệm t 

; 


Bƣớc 4: Tiến hành tìm m để phương trình (2) có nghiệm thỏa mãn t 

; 

.
- Phương trình f(t) = m có nghiệm t 

; 


- Đặt t =

+ 2 +

6  Thì ta có: 2

2) t 4
(Để có kết quả này ,có thể dùng bđt côsy,có thể dùng Bđt Bunhiacopxky, có thể dùng công cụ đạo hàm
để tìm gtln, gtnn của hàm số t = g(x) =

+ 2 +

6  )
Nghĩa là “Kính thưa các kiểu”.Làm theo cách nào cũng được, miễn làm sao nhanh chóng đi đến kết quả
. -Phương trình trở thành: f(t) = t
2
+ t - 3 = m (2)
- Tìm m để phương trình (1) có nghiệm thỏa mãn - 2  x 6 tương đương Tìm m để phương trình
(2) có nghiệm t thỏa mãn 2

2) t 4
-Ta tìm được gtln, gtnn của hàm số y = f(t) = t
2
+ t – 3 ứng với 2

2) t 4 .
- Hàm số y = f(t) đồng biến trên

2



3


TRẦN ĐỨC NGỌC – YÊN SƠN ĐÔ LƢƠNG NGHỆ AN – GV TRƢỜNG THPT TÂN KỲ I – NGHỆ AN

2

Hƣớng dẫn :
Cách giải 1 :-Đặt t = cosx , ta có x  
 
6
;

3
 thì
1
2
 1
( Nhiều người nhầm đk của t .Hãy vẽ vòng tròn lượng giác, thì thấy ngay đk của t như trên.)
-Ta có pt ẩn t : f(t) = 2t
2
+ 6t + 1 = 2m (2)
- Phương trình (1) có nghiệm x  
 
6
;

3
 khi và chỉ khi pt (2) có nghiệm t thỏa mãn

 
6
;

3

)
f‟(x) 0 khi x 

 
6
;

0


và f‟(x) 0 khi x 

0 ;

3


-Như vậy trên đoạn: x 

 
6
;

3


3 f(

3
) =
9
2
)
-Suy ra :Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi : :
9
2
2 9 Tức là :
9
4

9
2

Chú ý : Nếu bài toán 3 có thêm câu :Giải phương trình khi m = m
0
(Với m
0
là

giá trị đã cho ) thì phải
giải cách1, không nên giải như cách giải 2
Bài toán 4:Tìm giá trị của mR để phương trình: x
2
+ cosx
2

2

hàm số đồng biến.
Do đó : Minf(x) = f(0) = 0 và Maxf(x) = f(


2
) =

4
+ cos

4
– 1 =

4
+

2
2
– 1 =
2+2

2
4

Suy ra : Phương trình có nghiệm x 

0 ;


4
) TRẦN ĐỨC NGỌC – YÊN SƠN ĐÔ LƢƠNG NGHỆ AN – GV TRƢỜNG THPT TÂN KỲ I – NGHỆ AN

3

BÀI TẬP: TÌM GIÁ TRỊ CỦA THAM SỐ m ĐỂ PHƢƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM

1/ Xác định m để pt sau có nghiệm:
m(

1 + 
2
–

1 
2
+2) = 2

1 
4
+

1 + 
2
–

1 


2
++2
+2
= m (2)
-Tìm Max ,Min của f(x) trên

0;

2

.Đk Min f(x) m Max f(x)
2/ Tìm m để pt sau có 2 nghiệm phân biệt:
2
2 2 1x mx x   
(1)
Hd: x -
1
2
Bình phương hai vế viết pt thành: f(x) =
3
2
+41

= m (2)
-Hàm số f(x) đồng biến với mọi x : 
0

1
2

4
ta có 0 t 1 được phương trình f(t) = - 3t
2
+ 2t = m (2)
- Pt (1) có nghiệm t/mãn x 1 Khi pt (2) có nghiệm t/mãn: 0 t 1.
Đkiện Minf(x)  Maxf(x) Ta thấy trên nửa đoạn

0; 1)

hàm số f(t) có Max= f(
1
3
) và không có Min
Do đó suy ra : f(1) m f(
1
3
) Tức là : - 1 m
1
3
(chú ý với mọi x 1 thì 0 t 1)
4/ Cmr với m > 0, phương trình sau có 2 nghiệm thực phân biệt
2
2 8 ( 2)x x m x   
(1)
Hd: Đk x 2 .Viết pt thành (x -2)
2
+ 6(x-2) =

 .


23 + 3m + 3 .
Đặt t =

 
2
+ 2+ 3
Thì 0  2 Ph/trình trở thành : - t
2
+ t = 3m + 3  f(t) = -
1
3
t
2
+
1
3
t - 1 = m (2)
-P/trình (1) có nghiệm t/mãn – 1 x 3 khi và chỉ khi p/trình (2) có nghiệm t/mãn 0  2
- Ta có trên

0; 2

:Maxf(t) = f(
1
2
) = -
11
12
; Minf(t) = f(2) = -
5

3 6 (3 )(6 )x x x x m      
(1)
TRẦN ĐỨC NGỌC – YÊN SƠN ĐÔ LƢƠNG NGHỆ AN – GV TRƢỜNG THPT TÂN KỲ I – NGHỆ AN

4

Hd: Đkiện: – 3 x 6 Đặt t =

3 + +

6  thì 0 t

6 ; Ta có :


3 + 

(6 ) =

2
9
2
.
Do đó ta có pt : f(t) =
1
2
t
2
– t -
9


4
13+ 
4
= 1 – x .Đkiện : x 1
- Nâng luỹ thừa bậc 4 cả hai vế được : x
4
– 13x + m = x
4
– 4x
3
+ 6x
2
– 4x + 1
Hay là f(x) = – 4x
3
+ 6x
2
+ 9x + 1 = m . (2)
-Tính đạo hàm f „(x) = - 12x
2
+12x +9 = 0 khi x
1
= -
1
2
, x
2
=
3

2
0
với

3
0

Suy ra :Phương trình luôn có nghiệm ,với mọi m  R
10/ Xác định m để pt sau có nghiệm :
mxxxx  11
22

Hd: Txđ : R .Tính đạo hàm ,lập bbt với hàm số f(x) =


2
+ + 1 -


2
+ 1 để suy ra kết quả
mong muốn
11/ Xác định m để pt sau có nghiệm duy nhất :
3
22
1 2 1x x m   
(1)
Hd: Đkiện: – 1 x 1 .Đặt t =

1 

= 9 + 2


2
+ 9 


2
+ 9 =

2
9
2

Ta có ptrình : t =

2
9
2
+ m . Hay là f(t) = -

2
2
+ t +
9
2
= m (2)
-Tìm m để pt (1) có nghiệm : 0 x 9 tương đương tìm m để pt (2) có nghiệm 0 t  3
-Đ/kiện : Minf(t) m Maxf(t) trên


.(*)
Suy ra :- Đk cần : m 0 .
TRẦN ĐỨC NGỌC – YÊN SƠN ĐÔ LƢƠNG NGHỆ AN – GV TRƢỜNG THPT TÂN KỲ I – NGHỆ AN

5

-Đk đủ:Từ pt (*) có

 =

2 +
1
3

1




 = 2 +
1
3

1

 =  2 
1
3

1



4 ;+∞)

0

- Vậy m 

0 ;

+ ∞) thì pt có nghiệm
15/Cho phương trình : 4

1
2
2
1

1
2
= m với m là tham số. (1)
- Xác định m để phương trình đã cho có nghiệm.
Hd: Đk : -1 x 1 Đặt t = 2

1
2
thì ta có 1 t 2 , phương trình trở thành: f(t) = t
2
-
2

có 2 nghiệm dương phân biệt .Vì ứng với mỗi giá trị t 0 cho một giá trị x .( x = log
2
 suy ra từ t = 2
x
)
– Dựa vào đồ thị ( hoặc bbt ) ta có : f(2) = - 4 m 0
(Lúc đó đường thẳng y = m cắt đồ thị y = f(t) = t
2
– 4t tại hai điểm với hoành độ dương )

- Đón đọc kỳ tới với chủ đề :
Tìm giá trị của tham số m  R để Bất phƣơng trình: f(x) > m ; f(x) m ;
f(x)< m ; f(x)  m có nghiệm x 

 ; 
