TRNG THCS AMA TRANG LNG GV: TRN NGC V
Đại số
CHủ đề 1: Căn thức - rút gọn biểu thức
I. căn thức:
Kiến thức cơ bản:
1. Điều kiện tồn tại :
A
Có nghĩa

0A
2. Hằng đẳng thức:
AA =
2
3. Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phơng:
BABA =

)0;0( BA
4. Liên hệ giữa phép chia và phép khai phơng:
B
A
B
A
=

)0;0( > BA
5. Đa thừa số ra ngoài căn:

2
BABA =

)0( B

Tìm điều kiện xác định: Với giá trị nào của x thì các biểu thức sau đây xác định:
1)
32 + x
2)
2
2
x
3)
3
4
+x
4)
6
5
2
+

x
5)
43 +x
6)
2
1 x+
7)
x21
3

8)
53
3

25
1
25
1
+
+

11)
234
2
234
2
+


12)
21
22
+
+
13)
877)714228( ++
14)
286)2314(
2
+
15)
120)56(
2


)2()44(2
222
yxyxyxyx
++
Sách vở hôm nay cuộc sống ngày mai
1
TRNG THCS AMA TRANG LNG GV: TRN NGC V
Bài2:
1)
( ) ( )
22
2323
++
2)
( ) ( )
22
3232
+
3)
( )
( )
2
2
3535 ++
4)
1528 +
-
1528
5)
(

=x
7)
6144
2
=++ xx
8)
3)12(
2
=x
9)
64
2
=x
10)
06)1(4
2
= x
11)
21
3
=+x
12)
223
3
= x
II. các bài toán rút gọn:
A.các b ớc thực hiên :
Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (rồi rút gọn nếu đợc)
Tìm ĐKXĐ của biểu thức: là tìm TXĐ của từng phân thức rồi kết luận lại.
Quy đồng, gồm các bớc:

0 ; a

4 )
1) Rỳt gn biu thc P.
2) Tỡm giỏ tr ca a sao cho P = a + 1.
Bi 3: Cho biu thc A =
1 2
1 1
x x x x
x x
+ +
+
+
1/.t iu kin biu thc A cú ngha
2/.Rỳt gn biu thc A
3/.Vi giỏ tr no ca x thỡ A< -1
Bài 4: Cho biu thc A =
(1 )(1 )
1 1
x x x x
x x
+
+
+
( Vi
0; 1x x
)
a) Rỳt gn A
b) Tỡm x A = - 1
Sách vở hôm nay cuộc sống ngày mai


+
+
+
+

+
4
52
2
2
2
1
a; Tìm TXĐ
b; Rút gọn P
c; Tìm x để P = 2
Bài 7: Cho biểu thức: Q = (
)
1
2
2
1
(:)
1
1
1

+







112
1
2
a
aa
a
aa
a
a

a/ Tìm ĐKXĐ của M.
b/ Rút gọn M
Tìm giá trị của a để M = - 4
Bài 9 : Cho biểu thức : K =
3x
3x2
x1
x3
3x2x
11x15
+
+


+
+

1. Xác định x để G tồn tại
2. Rút gọn biểu thức G
3. Tính số trị của G khi x = 0,16
4. Tìm gía trị lớn nhất của G
5. Tìm x Z để G nhận giá trị nguyên
6. Chứng minh rằng : Nếu 0 < x < 1 thì M nhận giá trị dơng
7. Tìm x để G nhận giá trị âm
Bài 11 : Cho biểu thức: P=
2
1x
:
x1
1
1xx
x
1xx
2x










+
++
+

a1
1a
a22
1
a22
1
2
2
Sách vở hôm nay cuộc sống ngày mai
3
TRNG THCS AMA TRANG LNG GV: TRN NGC V
a. Tìm a dể Q tồn tại
b. Chứng minh rằng : Q không phụ thuộc vào giá trị của a
Bài 13: Cho biểu thức :
A=
x
x
xxyxy
x
yxy
x


+
+
1
1
.
22
2

1:
a16
2a4
4a
a
4a
a3
(Với a 0 ; a 16)
1)Rút gọn P 2)Tìm a để P =-3 3)Tìm các số tự nhiên a để P là số nguyên tố

CHủ đề 2: hàm số - hàm số bậc nhất
I. hàm số:
Khái niệm hàm số
* Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng x sao cho mỗi giá trị của x, ta luôn xác định đợc chỉ một giá trị tơng
ứng của y thì y đợc gọi là hàm số của x và x đợc gọi là biến số.
* Hàm số có thể cho bởi công thức hoặc cho bởi bảng.
II. hàm số bậc nhất:
Kiến thức cơ bản:
Định nghĩa:
Hàm số bậc nhất có dạng:
baxy +=
Trong đó a; b là các hệ số
0

a
Nh vậy: Điều kiện để hàm số dạng:
baxy +=
là hàm số bậc nhất là:
0


b

.
+ Từ đặc điểm đó ta có cách vẽ đồ thị hàm số y= ax+b:
Cho x=0 => y=b => điểm (0;b) thuộc đồ thị hàm số y= ax+b
Cho y=0 => x=-b/a => điểm (-b/a;0) thuộc đồ thị hàm số y= ax+b
Đờng thẳng qua hai điểm (o;b) và (-b/a;0) là đồ thị hàm số y= ax+b
Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số : y = 2x + 1
Giải: Cho x=0 => y=1 => điểm (0;1) thuộc đồ thị hàm số y = 2x + 1
Cho y=0 => x=-1/2 => điểm (-1/2;0) thuộc đồ thị hàm số y = 2x + 1
Đờng thẳng qua hai điểm (0;1) và (-1/2;0) là đồ thị hàm số y = 2x + 1
Điều kiện để hai đờng thẳng: (d
1
): y = ax + b; (d
2
): y = a
,
x + b
,
:
Sách vở hôm nay cuộc sống ngày mai
4
TRNG THCS AMA TRANG LNG GV: TRN NGC V
+ Cắt nhau: (d
1
) cắt (d
2
)
,
aa

V y = 2 x m (d
2
)
a/ Tìm giá trị của m để đồ thị hai hàm số song song với nhau.
b/ Tìm giá trị của m để đồ thị hai hàm số cắt nhau
c/ Tìm giá trị của m để đồ thị hai hàm số cắt nhau tại một điểm trên trục tung.
Giải:
a/ (d
1
)//(d
2
)

{
1
2
1
2
23
=




=







0
180
)
Ví dụ 1: Tính góc tạo bởi đờng thẳng y = 2x + 1 với trục Ox
Giải:
Ta có:
.63632
00
===

TgTg
Vậy góc tạo bởi đờng thẳng y = 2x + 1 với trục Ox là:
.63
0
=

Ví dụ 2: Tính góc tạo bởi đờng thẳng y = - 2x + 1 với trục Ox.
Ta có:
.11763)180(632)180(
00000
====

TgTg
Vậy góc tạo bởi đờng thẳng y = - 2x + 1 với trục Ox là:
.117
0
=

Các dạng bài tập th ờng gặp:

0
; y
0
) và điểm Q(x
1
; y
1
).
Ph ơng pháp: + Thay x
0
; y
0
vào y = ax + b ta đợc phơng trình y
0
= ax
0
+ b (1)
+ Thay x
1
; y
1
vào y = ax + b ta đợc phơng trình y
1
= ax
1
+ b (2)
+ Giải hệ phơng trình ta tìm đợc giá trị của a và b.
+ Thay giá trị của a và b vào y = ax + b ta đợc phơng tri9nhf đờng thẳng cần tìm.
-Dạng 6: Chứng minh đờng thẳng đi qua một điểm cố định hoặc chứng minh đồng quy:
Ví dụ: Cho các đờng thẳng :

1
;d
2
;d
3
đồng qui
Giải:
a) Gọi điểm cố định mà đờng thẳng d
1
đi qua là A(x
0
; y
0
) thay vào PT (d
1
) ta có :
y
0
= (m
2
-1 ) x
0
+m
2
-5 Với mọi m
=> m
2
(x
0
+1) -(x


phải đi qua điểm B nên ta thay x =1 ; y = 2 vào pt (d
1
) ta có:
2 = (m
2
-1) .1 + m
2
-5
m
2
= 4 => m = 2 và m = -2
Vậy với m = 2 hoặc m = - 2 thì 3 đờng thẳng trên đồng qui.
Bài tập:
Bi 1: Cho hai ng thng (d
1
): y = ( 2 + m )x + 1 v (d
2
): y = ( 1 + 2m)x + 2
1) Tỡm m (d
1
) v (d
2
)

ct nhau .
Sách vở hôm nay cuộc sống ngày mai
- Dng1: Xỏc dnh cỏc giỏ tr ca cỏc h s hm s ng bin, nghch bin, Hai ng thng
song song; ct nhau; trựng nhau.
Phơng pháp: Xem lại các ví dụ ở trên.

)

trờn cựng mt phng ta Oxy ri tỡm ta giao im ca
hai ng thng (d
1
) v (d
2
)

bng phộp tớnh.
Bi 2: Cho hm s bc nht y = (2 - a)x + a . Bit th hm s i qua im M(3;1), hm s ng bin hay
nghch bin trờn R ? Vỡ sao?
Bi 3: Cho hm s bc nht y = (1- 3m)x + m + 3 i qua N(1;-1) , hm s ng bin hay nghch bin ? Vỡ sao?
Bi 4: Cho hai ng thng y = mx 2 ;(m
)0
v y = (2 - m)x + 4 ;
)2( m
. Tỡm iu kin ca m hai
ng thng trờn:
a) Song song.
b) Ct nhau .
Bi 5: Với giỏ tr no ca m thỡ hai ng thng y = 2x + 3+m v y = 3x + 5- m ct nhau ti mt im trờn trc
tung .Vit phng trỡnh ng thng (d) bit (d) song song vi
(d): y =
x
2
1
v ct trc honh ti im cú honh bng 10.
Bi 6: Vit phng trỡnh ng thng (d), bit (d) song song vi (d) : y = - 2x v i qua im A(2;7).
Bi 7: Vit phng trỡnh ng thng i qua hai im A(2; - 2) v B(-1;3).


0
(d
2
) : y = (3m
2
+1) x +(m
2
-9)
a; Với giá trị nào của m thì (d
1
) // (d
2
)
b; Với giá trị nào của m thì (d
1
) cắt (d
2
) tìm toạ độ giao điểm Khi m = 2
c; C/m rằng khi m thay đổi thì đờng thẳng (d
1
) luôn đi qua điểm cố định A ;(d
2
) đi qua điểm cố định B . Tính BA
?
Bi 10: Cho hàm số : y = ax +b
a; Xác định hàm số biết đồ thị của nó song song với y = 2x +3 và đi qua điểm A(1,-2)
b; Vẽ đồ thị hàm số vừa xác định - Rồi tính độ lớn góc tạo bởi đờng thẳng trên với trục Ox ?
c; Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng trên với đờng thẳng y = - 4x +3 ?
d; Tìm giá trị của m để đờng thẳng trên song song với đờng thẳng y = (2m-3)x +2

a
y +=
.
Hệ hai ph ơng trình bậc nhất hai ẩn:
+ Dạng:



=+
=+
)2.(
)1.(
,,,
cybxa
cbyax
+ Nghiệm của hệ là nghiệm chung của hai phơng trình
+ Nếu hai phơng trình ấy không có nghiệm chung thì ta nói hệ vô nghiệm
+ Quan hệ giữa số nghiệm của hệ và đờng thẳng biểu diễn tập nghiệm:
-Phơng trình (1) đợc biểu diễn bởi đờng thẳng (d)
-Phơng trình (2) đợc biểu diễn bởi đờng thẳng (d')
*Nếu (d) cắt (d') hệ có nghiệm duy nhất
*Nếu (d) song song với (d') thì hệ vô nghiệm
*Nếu (d) trùng (d') thì hệ vô số nghiệm.
Hệ ph ơng trình t ơng đ ơng:
Hai hệ phơng trình đợc gọi là tơng đơng với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm
Ii.ph ơng pháp giảI hệ ph ơng trình:
Giải hệ ph ơng trình bằng ph ơng pháp thế :
a) Quy tắc thế :
+ Bớc 1: Từ một phơng trình của hệ đã cho, ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia, rồi thay vào phơng trình thứ hai để
đợc một phơng trình mới (chỉ còn 1 ẩn).

b) Giải hệ :





=
=




=
+=




=++
+=




=++
+=
0
1
0
21




=+
=+
538
24
yx
yx






=+
=
42 yx
myx






=
=+
2
623
yx

2 0
x y
x y
=


+ =


4 2
3 2 4
x y
x y
+ =


+ =




2
2 3 9
x y
x y
=



=
=+
72
33
yx
yx






=
=+
032
852
yx
yx




=
=+
323
223
yx
yx


yx
yx





=
=+
6156
252
yx
yx





=
=
346
423
yx
yx
Đặt ẩn phụ rồi giải các hệ phơng trình sau




=++


=



=

+

1
1
3
2
2
2
1
1
2
1
yx
yx

Các bài tập tự luyện
Bài 1 Giải các hệ phơng trình sau :
a)



=
=

975
432
yx
yx
e)



=++
=+
0386
243
yx
yx
f)







=+
=
8
3
2
4
1
32


+
=


01
2y
1
x
3
2
2y
2
x
1
c)







=

+
+
=



Bài 4 : Cho hệ phơng trình



=+
=
3
2
ayx
yax
a) Giải hệ phơng trình khi a = 1
b) Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất và tìm nghiệm đó
c) Tìm a để hệ phơng trình vô nghiệm
Bài 5 : Cho hệ phơng trình



+=+
=
12
2
ayx
ayax

a) Giải hệ phơng trình khi a = -2
b) Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất, khi đó tính x ; y theo a
c) Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất thoả mãn: x - y = 1
d) Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất thoả mãn x và y là các số nguyên.
Bài 6 :a) Giải và biện luận hệ phơng trình:


.cbh =
+
,,
cba +=

+
cbha =
+
,,2
111
cbh
+=
+
,
,
2
2
,
,
2
2
.;
b
c
b
c
c
b
c
b




TgCotg
CotgTg
=
=
2/Với

nhn thỡ 0 < sin

< 1, 0 < cos

< 1
*sin
2


+ cos
2


= 1 *tg

= sin

/cos

*cotg


Bi 3a: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A cú b = 4, b

= 3.2. Gii tam giỏc ABC?
Bi 3b: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A cú c = 4, b

= 3.2. Gii tam giỏc ABC?
Bi 4: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A cú AH = 4.8, BC =10. Gii tam giỏc ABC?
Bi 5: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A cú h = 4, c

= 3. Gii tam giỏc ABC?
Bi 6: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A cú b = 12, a = 20. Gii tam giỏc ABC?
Bi7: Chotam giỏc ABC vuụng ti A cú h = 4, c = 5. Gii tam giỏc ABC?
Bi 8: Cho tam giỏc ABC vuụng cú A = 90
0
, b = 5, B = 40
0.
Gii tam giỏc ABC?
Bi 9: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A cú a = 15, B = 60
0
. Gii tam giỏc ABC?
Bi 10:Cho tam giỏc ABC vuụng ti A cú AH = 3, C = 40
0
. Gii tam giỏc ABC?
Bi 11: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A cú c

= 4, B = 55
0
. Gii tam giỏc ABC?
Bi 12: Chotam giỏc ABC vuụng ti A, cú trung tuyn ng vi cnh huyn m
a

trong ba điểm đó; Bán kính là khoảng cách từ giao điểm đến một trong 3 điểm đó) .
Tính chất đối xứng:

+ Đờng tròn có tâm đối xứng là tâm của đờng tròn.
+ Bất kì đờng kính vào cũng là một trục đối xứng của đờng tròn.
Các mối quan hệ:

1. Quan hệ giữa đ ờng kính và dây:
Sách vở hôm nay cuộc sống ngày mai
11
TRƯỜNG THCS AMA TRANG LƠNG GV: TRẦN NGỌC VŨ
+ §êng kÝnh (hc b¸n kÝnh)
⊥
D©y
⇔
§i qua trung ®iĨm cđa d©y Êy.
2. Quan hƯ gi÷a d©y vµ kho¶ng c¸ch tõ t©m ®Õn d©y:
+ Hai d©y b»ng nhau
⇔
Chóng c¸ch ®Ịu t©m.
+ D©y lín h¬n
⇔
D©y gÇn t©m h¬n.



1. §Þnh nghÜa: TiÕp tun cđa ®êng trßn lµ ®êng th¼ng tiÕp xóc víi ®êng trßn ®ã
2. TÝnh chÊt: TiÕp tun cđa ®êng trßn th× vu«ng gãc víi b¸n kÝnh t¹i ®Çu mót cđa b¸n kÝnh (tiÕp ®iĨm)
3.DÊu hiƯu nhhËn biÕt tiÕp tun: §êng th¼ng vu«ng gãc t¹i ®Çu mót cđa b¸n kÝnh cđa mét ®êng trßn lµ tiÕp
tun cđa ®êng trßn ®ã.
Bµi TËp tỉng hỵp häc kú I:
Bµi 1 Cho tam gi¸c ABC (AB = AC ) kỴ ®êng cao AH c¾t ®êng trßn t©m O ngo¹i tiÕp tam gi¸c t¹i D
a/ Chứng minh: AD lµ ®êng kÝnh
b/ TÝnh gãc ACD
c/ BiÕt AC = AB = 20 cm , BC =24 cm tÝnh b¸n kÝnh cđa ®êng trßn t©m (O)
Bµi 2 Cho ( O) vµ A lµ ®iĨm n»m bªn ngoµi ®êng trßn . KỴ c¸c tiÕp tun AB ; AC víi ®êng trßn
( B , C lµ tiÕp ®iĨm )
a/ Chøng minh: OA
⊥
BC
b/VÏ ®êng kÝnh CD chøng minh: BD// AO
c/TÝnh ®é dµi c¸c c¹nh cđa tam gi¸c ABC biÕt OB =2cm ; OC = 4 cm?
Bµi 3: Cho ®êng trßn ®êng kÝnh AB . Qua C thc nưa ®êng trßn kỴ tiÕp tun d víi ®êng trßn . G äi E , F lÇn
lỵt lµ ch©n ®êng vu«ng gãc kỴ tõ A , B ®Õn d vµ H lµ ch©n ®êng vu«ng gãc kỴ tõ C ®Õn AB. Chứng minh:
a/ CE = CF
b/ AC lµ ph©n gi¸c cđa gãc BAE
c/ CH
2
= BF . AE
Bµi 4: Cho ®êng trßn ®êng kÝnh AB vÏ c¸c tiÕp tun A x; By tõ M trªn ®êng trßn ( M kh¸c A, B) vÏ tiÕp tun
thø 3 nã c¾t Ax ë C c¾t B y ë D gäi N lµ giao ®iĨm cđa BC Vµ AO .CMR
a/
CN NB
AC BD
=

a/ Chứng minh OM = OP và tam giác NMP cân.
b/ Hạ OI vuông góc với MN. Chứng minh OI = R và MN là tiếp tuyến của đường tròn (O).
c/ Chứng minh AM.BN = R
2
d/ Tìm vò trí của M để diện tích tứ giác AMNB là nhỏ nhất. Vẽ hình minh hoạ.
Bài 8: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Từ một điểm M trên nửa đường tròn ta vẽ tiếp
tuyến xy. Vẽ AD và BC vuông góc với xy.
a/ Chứng minh rằng MC = MD.
b/ Chứng mihn AD + BC có giá trò không đổi khi điểm M chuyển động trên nửa đường tròn.
C¸c d¹ng to¸n vỊ ph¬ng tr×nh bËc hai
bµi mÉu: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau b»ng c¸ch ®iỊn tiÕp vµo chç ( )
1) Gi¶i ph¬ng tr×nh: 3x
2
-27x = 0  3x(x-……) = 0  3x= 0 (1) hc (2)
Gi¶i(1) x=…………
Gi¶i(2) x=…………
VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã…….nghiƯm …………………………
2) Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh: 5x
2
- 45 = 0  x
2
-…… = 0  x
2
= 9  x
1,2
=………………
VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã…….nghiƯm …………………………
3)Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2x
2
-2007x +2005= 0

==
Với y
1
=; y
2
=thoả mãn điều kiện của bài toán
Mà x
2
= y
Nên y
1
==> x
2
= <=>
y
2
==> x
2
= <=>
Vậy Phơng trình (*)có nghiệm.;.;.;
6) Giải phơng trình:
06x5x =+
(*)
Đặt
x

= y (y0)
Lúc đó phơng trình (*)trở thành: y
2
+5y -6 = 0 (1)

-6=0
b)
2
4
53
2
2
=
+
x
x
d) y+
y
=0 f)y-5
y
+4=0
Bài 2: Giải các phơng trình
a) 3x
2
-17x - 20 = 0
b) 2x
2
- 2007x + 2005 = 0
c) x
2
+ x + 1 = 0
d) x
2
- 4x + 4= 0
e) x

+
+=

x
x
x
5)
2
1
1
=
+
+
+
x
x
x
x
6)
( ) ( )
03222
2
2
2
=++ xxxx
7)
( )
( )
0845yy8y5y
2

m
2
-2m - 8 = 0(*)
Sách vở hôm nay cuộc sống ngày mai
14
TRNG THCS AMA TRANG LNG GV: TRN NGC V
Giải (*)Ta có: '= = > 0 =>
'
=
=> phơng trình (*) có hai nghiệm m
1
== ; m
2
==
+)Với m
1
= phơng trình(1) có một nghiệm x
1
=2.
lúc đó theo Vi-et ta có: x
1
+x
2
=-
5
m
.
Mà x
1
=2 ; m

=.=
Vậy

Bài 4 : Với giá trị của b thì các phơng trình
a) 2x
2
+ bx - 10 = 0 có một nghiệm bằng 5. Tìm nghiệm còn lại
b) b
2
x
2
- 15x - 7 = 0 có một nghiệm bằng 7 . Tìm nghiệm còn lại
c) (b-1)x
2
+ (b+1)
2
.x - 72 = 0 có một nghiệm bằng 3. Tìm nghiệm còn lại
Bài 5 : Cho các phơng trình ẩn x. Xác định k để các phơng trình sau có nghiệm kép:
a) x
2
+ 5x + k = 0 c) x
2
- (2k+3) + 4k + 2 = 0
b) x
2
+ kx + 2 = 0 d) (k-1) x
2
+ kx + 1 = 0
Bài 6 : Xác định k để các phơng trình ở bài 5 vô nghiệm.
Bài 7 : Xác định k để các phơng trình ở bài 5 có hai nghiệm phân biệt

Bài 8 : Chứng minh rằng các phơng trình sau có nghiệm với mọi giá trị của m.
a)x
2
+(m+1)x+m=0 b) x
2
-mx + m - 4 = 0
c) -3x
2
+ 2(m-2)x+ 2m + 5 = 0 d) x
2
+ 4x - m
2
+ 4m - 9 = 0
e) (m+1)x
2
+ x - m = 0
bài mẫu:Tìm m để phơng trình bậc hai: x
2
+(3m+59)x - 5m + 30 = 0 có hai nghiệm trái dấu.
Giải: phơng trình bậc hai: x
2
+(3m+59)x - 5m + 30 = 0 (1)
Để phơng trình (1) có hai nghiệm trái dấu thì a.c < 0 Hay 1.(30-5m) < 0
30-5m < 0 .<=> m > 6
Vậy m.
Chú ý:Trong dạng toán này Với những phơng trình có chứa tham số ở hệ số a ta
không phải xét hai trờng hợp a=0 và a 0
Bài 9: Tìm m để các phơng trình bậc hai sau có hai nghiệm trái dấu.
Sách vở hôm nay cuộc sống ngày mai
15

2
+ 2(m-2)x +m = 0(*)
( a=.; b=; c=)
+) Xét a= 0 hay m - 3 = 0 m = lúc đó phơng trình(*) trở thành:
.x+1=0 x=
=> m = thì phơng trình(*) có một nghiệm x=.
+) Xét a 0 hay m - 3 0 m
Ta có: '== = -m +4
-Khi '>0 hay -m+4 >0 m<4 kết hợp vơí điều kiện ta đợc
lúc đó phơng trình(*) có hai nghiệm phân biệt x
1
=
3m
m4)2m(

+
;.
-Khi '=0 hay -m+4 =0 m= 4
lúc đó phơng trình(*) có nghiệm kép x
1
=.=
3m
)2m(


=2 (do m= 4)
-Khi '>0 hay -m+4 <0 . kết hợp vơí điều kiện ta đợc.
lúc đó phơng trình(*) vô nghiệm
Vậy m = thì phơng trình(*) có một nghiệm x=.


1
và
ba

1
với a b
bài mẫu: Lập phơng trình ẩn x có hai nghiệm là: 1-
5
và 1 +
5
Giải: Đặt x
1
=3-
5
và x
2
= 3 +
5
Ta có: x
1
+x
2
=+= 6
x
1
.x
2
=(.).( )=.= 4
áp dụng định lý Vi-et đảo ta có x
1

2
+ 1
Bài 14:Cho phơng trình : x
2
- 2010
2005
x +1 = 0
Có 2 nghiệm x
1
và x
2
.Lập phơng trình ẩn y có hai nghiệm y
1
và y
2
thoả mãn :
y
2
= x
1
2
+ 1 và y
1
= x
2
2
+ 1
Bài 15: Giải hệ phơng trình :
a)


- 7x + 2 = 0
Giải: phơng trình: 5x
2
- 7x+2 = 0
(a= ; b=.; c=.)
Ta có : =.= 9 > 0
áp dụng hệ thức Vi-et ta có:
.


=
=
=> phơng trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu dơng
c) x
2
+ 11x + 5 = 0
Giải: phơng trình: x
2
+11x+5 = 0
(a= ; b=.; c=.)
Ta có : =.= . > 0
áp dụng hệ thức Vi-et ta có:
.


bài mẫu: Cho phơng trình : x
2
- 2x + m-3 = 0 (m là tham số ) tìm m để phơng trình có
hai nghiệm cùng dấu dơng ?
Giải : phơng trình : x
2
- 2x + m-3 = 0 (*)
(a= ; b=.; c=.)
Để phơng trình(*)có hai nghiệm cùng dấu dơng thì:
.
0x.x
0xx
0'
21
21





>
>+
>
hay
.
.
)3 (
)2 (
)1 (


c) x
2
- 2x + 2m -30 = 0 Có 2 nghiệm trái dấu.
Bài 19 : Cho phơng trình : 5x
2
- 6x - 8 = 0
Không giải ph ơng trình hãy tính giá trị của các biểu thức sau(x
1
; x
2
là nghiệm của phơng trình)
1) S = x
1
+ x
2
; P = x
1
. x
2

2) A = x
1
2
+ x
2
2
; B =
21
x
1

- x
2
3
Bài 20 : Cho phơng trình : x
2
- 8x + n = 0 (1) n là tham số
a) Giải phơng trình với n = 1
b) Tìm điều kiện của n để phơng trình (1) có nghiệm
c) Gọi x
1
; x
2
là nghiệm của phơng trình ; tìm n để phơng trình có nghiệm thoả mãn
1) x
1
- x
2
= 2 ; 3) 2x
1
+ 3x
2
= 36
2) x
1
= 3x
2
; 4) x
1
2
+ x

1
2
theo m
từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của A.
bài mẫu: dạng toán về tìm giá trị lớn, nhất nhỏ nhất của một biểu thức nghiệm
Ví dụ 1: Cho phơng trình x
2
+ 2(m-3)x + 2m -15= 0 (1) (ẩn x)
a) Chứng minh rằng phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b) Hãy m để biểu thức A= x
2
1
x
2

+ x
2
2
x
1
đạt giá trị Lớn nhất tìm giá trị Lớn nhất đó
Giải: a) phơng trình: x
2
+ 2(m-3)x + 2m -15= 0 (ẩn x)
(a= ;b==>b'=;c=.)
Ta có : '=
= m
2
-8m+24
= m

1
x
2

+ x
2
2
x
1
= x
1
x
2

(+)
Thay (I)vào A ta đợc :
A= -2(m-3)( )
=. = - 4m
2
+ 42m - 90
-A = 4m
2
- 42m - 90
= (2m)
2
-2.2m( )+(.)
2
-- 90
=(-)
2

2
-17= 0 (1) (ẩn x)
(a= ;b==>b'=;c=.)
Ta có : '=
= 6m+18
Để hpơng trình (1)có nghiệm thì ' 0 hay m
Lúc đó theo Vi-et ta có: A= x
1
+ x
2

=
mà m .=> 6m. 6m+ Hay A.
Dấu "=" xảy ra khi m =
Vậy A có giá trị nhỏ nhất là khi m=
Bạn hãy tự phân chia các bớc của bài toán tìm giá trị lớn nhất ,nhỏ nhất một biểu thức nghiệm của ph ơng
trình bậc hai
Bài 23 : Cho phơng trình x
2
+ (m+1)x + m = 0 (ẩn x)
a) Chứng minh rằng phơng trình có nghiệm với mọi m
b) Hãy tính x
2
1
x
2

+ x
2
2

-x
2
)- x
2
(x
2
+x
1
)
Bài 25 : Cho phơng trình: x
2
- (k+1)x + k = 0 (1) ẩn x tham số k
a) Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có nghiệm với mọi k
b) Gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm của phơng trình (1) Tính biểu thức
A = x
2
1
x
2

+ x
2
2
x
1
+2007 theo m. Tìm giá trị nhỏ nhất của A

+ x
2
2
đạt giá trị lớn nhất
e) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức B = x
1
+ x
2
Sách vở hôm nay cuộc sống ngày mai
19
TRNG THCS AMA TRANG LNG GV: TRN NGC V
Bài 28 : Cho phơng trình : 2x
2
+ 2(m+1)x + m
2
+ 4m + 3 = 0 (ẩn x)
a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x
1
; x
2
b) Tìm giá trị lớn nhất của A = x
1
x
2
- 2x
1
- 2x
2

Bài 29 : Cho phơng trình: x

+ 5m = 0 d) (m-1)x
2
- 2mx + m + 1 = 0
Bài 31 : Cho phơng trình: x
2
- (2m-1)x+ m
2
- m - 2 = 0 (1) (m là tham số)
a) Tính để chứng tỏ phơng trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt . Tìm 2 nghiệm đó
b) Tính A = 2x
1
x
2
+ x
1
+ x
2
theo m
c) Tìm m để A 3
Bài 32 : Cho hai phơng trình : x
2
- 7x + 6 = 0
x
2
+ (m+1)x + 24 = 0
Xác định m để hai phơng trình trên có nghiệm chung
Bài 33 : Cho hai phơng trình : x
2
+ x + m = 0 và x
2

Biết rằng: p
1
p
2
= 2(q
1
+ q
2
) . CMR: ít nhất một trong hai phơng trình có nghiệm.
Bài 37 : Chứng minh rằng hai phơng trình
ax
2
+ bx + c = 0 (1)
và a
1
x
2
+ b
1
x + c
1
= 0 (2)
Có ít nhất một nghiệm chung thì (ac
1
- a
1
c)
2
= (ab
1

2
2
Bài 39: Cho phơng trình: x
2
- (k+1) x +k = 0 (1)
a)Giải phơng trình khi k = 2004
b)CMR phơng trình luôn có nghiệm
c)Gọi x
1
,x
2
là nghiệm của phơng trình .Tính B= x
1
2
+ x
2
2
- 16 x
1
.x
2
theo k.
Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của B.
d)Tìm k để phơng trình có nghiệm thoả mãn x
1
2
+ x
2
2
=5

2
thoả mãn
1
x
1
+
2
x
1
nhận giá trị dơng
Bài 41:Cho phơng trình ẩn x : (m+1)x
2
+ 5 x +m
2
- 1= 0
a) Giải phơng trình với m =-1
b)Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu.
c)Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu trong đó có một nghiệm bằng 4.
Bài 42:Cho phơng trình ẩn x : (a+1)x
2
- 2(a-1) x - a - 3 = 0 (1)
1.Giải phơng trình khi a=1
2. CMR phơng trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi a khác -1.
3. Tìm a để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu.
4. Tìm a để phơng trình có 2 nghiệm cùng dấu và nghiệm nọ gấp đôi nghiệm kia.
5.Tìm a để phơng trình có 2 nghiệm x
1
,x
2
thoả mãn một nghiệm lớn hơn 1 và

2

+
d)Giả sử p+q = 1 .CMR phơng trình (1)và phơng trình ở câu (c) có nghiệm chung .
e)CMR nếu phơng trình (1) và phơng trình: x
2
+ n x +m = 0 có nghiệm chung thì
(n+p)
2
+(m- p)(mq-np) = 0.
Bài 44: Cho phơng trình ẩn x: x
2
+ 2m x +2m-1 = 0 (1)
1)CMR phơng trình (1)luôn có nghiệm với mọi m
2)Giả sử x
1
,x
2
là các nghiệm của phơng trình (1)
a.Tìm hệ thức liên hệ giữa x
1
,x
2
là độc lập với m.
b. Tìm m để x
1
- x
2
=6.
c. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A== x

gian đi là 40 phút. Tính quãng đờng lúc đi.
Bài 6 : một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 50 km sau đó 1h30 một ngời đi xe máy cũng đi từ A đến B
và đến B sớm hơn ngời đi xe đạp 1 giờ. Tính vận tốc của mỗi xe. Biết rằng vận tốc của xe máy gấp 2,5 lần vận
tốc xe đạp.
Bài 7 : Hai ngời cùng khởi hành lúc 7 giờ từ hai tỉnh A và B cách nhau 44 km và đi ngợc chiều nhau họ gặp
nhau lúc 8 giờ 20 phút. Tính vận tốc của mỗi ngời. biết rằng vận tốc ngời đi từ A hơn vận tốc ngời đi từ B là 3
km/h.
Bài 8 : Từ hai địa điểm cách nhau 126 km. Có một ngời đi bộ và một ngời đi ô tô cùng khởi hành lúc 6 giờ 30
phút. Nếu đi ngợc chiều nhau họ sẽ gặp nhau lúc 10 giờ, nếu đi cùng chiều(ô tô đi về phía ngời đi bộ) thì ô tô
đuổi kịp ngời đi bộ lúc 11 giờ. Tính vận tốc ngời đi bộ và của ô tô.
Bài 9 : Hai tỉnh A và B cách nhau 150 km. Hai ô tô khởi hành cùng một lúc đi ngợc chiều nhau, gặp nhau ở C
cách A 90 km. Nếu vận tốc vẫn không đổi nhng ô tô đi từ B đi trớc ô tô đi từ A 50 phút thì hai xe gặp nhau ở
chính giữa quãng đờng. Tính vận tốc của mỗi ô tô.
Bài 10 : Một ô tô dự định đi 120 km trong một thời gian dự định trên nửa quãng đờng đầu. Ô tô đi với vận tốc
dự định. Xong do xe bị hỏng lên phải nghỉ 3 phút để sửa. Để đến nơi đúng giờ. xe phải tăng vận tốc thêm 2km/h
trên nửa quãng đờng còn lại. Tính thời gian xe lăn bánh trên quãng đờng.
Bài 11 : Một ô tô đi dự định đi từ A đến B cách nhau 120 km trong một thời gian dự định sau khi đợc 1 giờ. Ô
tô bị chặn bởi một xe lửa 10 phút, do đó để đến B đúng giờ, xe phải tăng vận tốc 6 km/ giờ. Tính vận tốc ô tô lúc
đầu.
Bài 12 : Một quãng đờng AB gồm 1 đoạn lên dốc dài 4 km, đoạn xuống dốc dài 5 km. Một ngời đi từ A đến B
hết 40 phút, còn đi từ B đến A hết 41phút(vận tốc lên dốc lúc đi bằng vận tốc lên dốc lúc về. vận tốc xuống dốc
đi bằng vận tốc xuống dốc về). Tính vận tốc xuống dốc và vận tốc lên dốc.
Bài 13 : Một ngời đi xe đạp từ A đến B gồm một đoạn lên dốc AC và một đoạn xuống dốc CB. Thời gian đi
AB là 4 giờ 20, thời gian về BA là 4 giờ. Tính quãng đờng AC, CB. Biết vận tốc xuống dốc là 15 km/h, vận tốc
lên dốc là 10 km/h (Vận tốc lên dốc lúc đi bằng vận tốc lên dốc lúc về, vận tốc xuống dốc lúc đi bằng vận tốc
xuống dốc lúc về).
Bài 14 : Một chiếc thuyền khởi hành từ một bến sông A sau 5 giờ 20 phút một ca nô chạy từ bến A đuổi theo
và gặp thuyền cách bến A 20 km. Hỏi vận tốc của thuyền. Biết rằng ca nô chạy nhanh hơn thuyền là 12 km một
giờ.
Bài 15 : Một ca nô xuôi một khúc sông dài 90 km, rồi ngợc về 36 km. Biết thời gian xuôi nhiều hơn thời gian

Bài 26. Hai ngời cùng đi quãng đờng AB dài 450 km và cùng khởi hành một lúc . Vận tốc ngời thứ nhất ít hơn
vận tốc của ngời thứ hai.là 30 km/h, nên ngời thứ nhất đến B sau ngời thứ hai là 4 giờ . Tính vận tốc và thời gian
đi quang đờng AB của mỗi ngời.
Bài 27 . Một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 33 km với một vận tốc xác định . Khi từ B về A ngời ấy đi
vòng con đờng khác dài hơn con đờng cũ 29 km nhng với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là 3 km/h . Tính vận tốc
lúc đi .Biết rằng thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 30 phút.
Bài 28.Hai ngời đi xe đạp xuất phát cùng một từ A đến B . Vận tốc của họ hơn kém nhau 3 km/h nên họ đến B
sớm muộn hơn nhau 30 phút . tính vận tốc mỗi ngời , biết rằng quãng đờng AB dài 30 km. Sử dụng tính chất.
Bài 29 . Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B , cùng một lúc đó có một ngời đi bộ từ bến A dọc theo bờ sông h-
ớng đến B. Sau khi đi dợc 24km ca nô quay lại và gặp ngời đó tại một địa điểm cách bến A 8km . Tính vận tốc
của ca nô khi nớc yên lặng , biết rằng vận tốc của ngời đi bộ và vận tốc dòng nớc đều bằng 4km/h.
II. Dạng toán chung - riêng
Bài 1 : Hai đội xây dựng cùng làm chung một công việc và dự định làm xong trong 12 ngày, họ cùng làm với
nhau đợc 8 ngày thì đội 1 đợc điều động làm việc khác, đội 2 tiếp tục làm. Do cải tiến kỹ thuật, năng suất tăng
gấp đôi lên đội 2 đã làm xong phần việc còn lại trong 3,5 ngày. Hỏi mỗi đội làm một mình thì bao ngày xong
công việc trên (với năng suất bình thờng).
Bài 2 : An và Bình cùng làm chung một công việc trong 7 giờ 20 phút thì xong. Nếu An làm trong 5 giờ và
Bình làm trong 6 giờ thì cả hai ngời làm đợc
4
3
công việc. Hỏi mỗi ngời làm một mình làm công việc đó thì
trong mấy giờ xong.
Bài 3 : Hai vòi nớc cùng chảy vào bể thì sau 1 giờ 20 thì bể đầy. Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 10 phút và
vòi thứ 2 chảy trong 12 phút thì đầy
15
2
bể. Hỏi mỗi vòi chảy một mình thì bao nhiêu lâu mới đầy bể.
Bài 4 : Hai vòi nớc nếu cùng chảy thì sau 6 giờ đầy bể. Nếu vòi thứ nhất chảy trong 10 giờ thì đầy bể. Hỏi nếu
vòi thứ hai chảy một mình thì trong bao lâu đầy bể.
Bài 5 : Hai lớp 9A và 9B cùng tu sửa khu vờng thực nghiệm của nhà trờng trong 4 ngày xong. Nếu mỗi lớp tu

Bài 11 : Hai ngời thợ dự định cùng làm chung một công việc trong 7 giờ 12 thì xong nhng trong thực tế ngời
1 làm trong 5 giờ và ngời 2 tăng năng xuất lên gấp đôi và làm trong 3 giờ thì cả hai ngời chỉ làm đợc
4
3
công
việc. Hỏi mỗi ngời làm một mình công việc đó trong bao lâu xong công việc.
Bài 12 : Hai ngời thợ cùng làm chung một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu ngời thứ nhất làm 3 giờ, ngời
thứ hai làm 6 giờ thì họ làm đợc 25% công việc. Hỏi mỗi ngời làm công việc đó một mình thì trong bao lâu
xong công việc.
II. tăng năng xuất :
Bài 1 : Một tổ công nhân phải làm 144 dụng cụ do 3 công nhân chuyển đi làm việc khác nên mỗi ngời còn lại
phải làm thêm 4 dụng cụ. Tính số công nhân của tổ lúc đầu (năng suất mỗi ngời nh nhau).
Bài 2 : Hai đội thuỷ lợi gồm 5 ngời đào đắp một con mơng. Đội 1 đào đợc 45 m
3
đất, đội hai đào đợc 40 m
3
.
Biết mỗi công nhân đội 2 đào đợc nhiều hơn ccông nhân đội 1 là 1m
3
. Tính số đất mỗi công nhân đội 1 đào đ-
ợc.
Bài 3 : Một máy kéo dự định mỗi ngày cày 40 ha. Khi thực hiện mỗi ngày đội máy kéo cày đợc 52 ha. Vì vậy
đội không những đã cày xong trớc thời hạn 2 ngày mà còn cày thêm đợc 4 ha nữa. Tính diện tích thửa ruộng mà
đội phải cày theo kế hoạch đã định.
Bài 4 : Một tổ dệt khăn mặt, mỗi ngày theo kế hoạch phải dệt 500 chiếc, nhng thực tế mỗi ngày đã dệt thêm đ-
ợc 60 chiếc, cho nên chẳng những đã hoàn thành kế hoạch trớc 3 ngày mà còn dệt thêm đợc 1200 khăn mặt so
vơí kế hoạch . Tìm số khăn mặt phải dệt theo kế hoạch lúc đầu.
Bài 5 : Một máy bơm muốn bơm đầy nớc vào một bể chứa trong 1 thời gian quy định thì mỗi giờ phải bơm 10
m
3

2
. Tính các kích thớc của vờn.
Bài 3 : Tỉ số giữa cạnh huyền và một cạnh góc vuông của một tam giác vuông là 13/12 cạnh còn lại bằng 15m.
Tính cạnh huyền.
Bài 4 : Tìm hai cạnh của tam giác vuông biết cạnh huyền bằng 13 cm, hiệu hai cạnh góc vuông là 7 cm.
Bài 5 : Một miếng đất hình chữ nhật có chu vi 80 m. Nếu chiều rộng tăng thêm 5 m và chiều dài tăng thêm 3
m thì diện tích sẽ tăng thêm 195 m
2
. Tính các kích thớc của miếng đất.
Bài 6 : Tìm các kích thớc của một hình chữ nhật biết chu vi bằng 120m, diện tíc bằng 875m
2

Bài 7 : Một sân hình tam giác có diện tích 180 m
2
. Tính cạnh đáy của hình tam giác biết rằng nếu tăng cạnh
đáy 4m và giảm chiều cao tơng ứng 1m thì diện tích không đổi.
Bài 8 : Một hình chữ nhật có chu vi 100 m. Nếu tăng chiều rộng gấp đôi và giảm chiều dài 10 m . Thì diện tích
hình chữ nhật tăng thêm 200m
2
. Tính chiều rộng của hình chữ nhật lúc đầu.
Bài 9 : Một tam giác vuông có chu vi 30 m, cạnh huyền 13 m. Tính mỗi cạnh góc vuông.
Bài 10 : tính các cạnh góc vuông của một tam giác vuông biết hiệu của chúng bằng 4 m và diện tích tam giác
bằng 48 m
2
.
Bài 11. Tính độ dài các cạnh của một tam giác vuông , biết rằng chúng là 3 số tự nhiên liên tiếp.
Bài12 . Tính chiều dài và chiều rộng của một hình chữ nhật biết chu vi bằng 34m , đờng cao 13 m.
Bài13. Một tam giác vuông có cạnh huyền là 15 cm và hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 3cm. Tính độ dài các
cạnh của tam giác vuông đó.
Bài14. Tính các cạnh góc vuông của một tam giác vuôngcó cạnh huyền bằng 10. Và một trong các cạnh góc