


: cho a=1,85 với sai số tương đối là
0,12%a
δ
=
Tính sai số tuyệt đối của a
| |
a
a
a
δ
∆
=
0,12%=
|1.85 |
a∆
=>
a
∆
=2,22.10
-3
 Làm tròn đến hai số lẻ sau dấu chấm thập phân của các số trong các biểu thức sau:
a) a = 12.6724 b) a = 1.5476 (c) (d)

a) a ≈ 12.67 b) a ≈ 1.55
Sử dụng khái niệm làm tròn lên và làm tròn xuống
c) khi làm tròn lên ta được
d) khi làm tròn xuống ta được
. Xác định các chỉ số đáng tin trong cách viết thập phân của các số sau

α
∂
.
a
= 0,25 . 3,4167 .
2
10
−
= 0,854175 .
2
10
−
Các chữ số đáng tin là : 3 và 4
Vậy có 2 chữ số đáng tin.
Cho . Hãy tính sai số tuyệt đối của:

 B = 20a - 100b + c
 C = a + b.c


-
-
-

b = 20a - 100b + c = (20.15-100.0.123+137) ± (0.02*20-0.001*100+0.5*1)
=124.7±0.8
Vậy sai số tuyệt đối ∆
b
=0.8
 C = a + b.c

;023
2
=−+− xxe
x

;0132cos
2
=−+− xxxx

;01sin4 =−+ xx

;01
2
=−−
− x
ex

;0824
234
=−+− xxx

;0
2
=+− xxe
x

;0ln3
2
=+ xx


[ ]
1;0
.
c)
0132cos
2
=−+− xxxx
Vậy khoảng cách li
nghiệm là
[ ]
1;0
và
[ ]
2;1
.
d)
01sin4
=−+
xx
Vậy khoảng cách li
nghiệm là
[ ]
0;1−
và
[ ]
3;2
.
e)
01
2

25
6
1
2
−
9
x
2−
1−
0
1
2
3
)(xf
17,14−
54,6
−
1
−
54,0
83,3−
97,12−
x
2
−
1
−
0
1
2

x
2−
1−
0
1
2
3
4
)(xf
48
1−
8
9−
16−
17−
24
g)
0
2
=+− xxe
x
x
2−
1−
0
1
2
)(xf
86,11−
63,9

[ ]
1;00cos =− xx
Đặt :
5,0
2
1
2
1;0
00
0
00
==
+
=
==
ba
x
ba
Ta có :
0)().(
46,0)1(
1)(
17,0)5,0cos(5,0)(
00
0
0
<⇒
=
−=
−=−=

625,0
2
5,075,0
75,0
5,0
2
2
2
2
−=
=
+
=
=
=
xf
x
b
a
⇒
0)().(
22
<bfxf
Đặt :
0)().(
06,0)6875,0(
6875,0
2
75,0625,0
75,0

93,0
−
44,0
−
06,0
57,0
Đặt :
0)().(
02,0)65625,0(
65625,0
2
6875,0625,0
6875,0
625,0
44
4
4
4
<⇒
=
=
+
=
=
=
xfaf
f
x
b
a


 Đặt:

&đặt :

& đặt :
*đặt :

&đặt :
&'()
&'()
 = 0 trong đoạn [0,5: 1,5]
Đặt:
|
f(
Trang 5
Đặt :

|
f(
Đặt :

|
f(
Đặt :

|
f(
Đặt :


-3
của phương trình: x
3
3x
2
5 = 0 trong đoạn [3,4], x
0
= 3,5.
Ta có: x
3
3x
2
5 = 0  x
3
= 3x
2
+ 5
 x = 3 + = g(x)
g(x) liên tục x [3,4] vì g(x
0
) = = 3 + < [3,4]
g’(x) = xác định hay g(x) khả vi ;
x [3,4]; g(x) g’(3) = = = q < 1
Vậy g(x) là hệ số co [3,4], với hệ số co q = < 1
Trang 6
 Với x
0
= 3,5 ta xây dựng dãy lặp như sau:
x
n

• x
4
= 3 + = 3,426267187
x
4
= = = 8,22.10
-4
< 10
-3
(th_a điều kiện).
 Kết luận: Phương trình x
3
3x
2
5 = 0 trong đoạn [3,4], với x
0
= 3,5 ,có hệ số co q=. Nghiệm
gần đúng x
4
= 3,426267187 có sai số = 8,22.10
-4
< 10
-3
 x
3
x 1 = 0 trong đoạn [1,2], chọn x
0
= 1,5
Ta có: x
3

đúng 1,324939363 có sai số 0,0002510259419
 x = trong đoạn [0,1], chọn x
0
= 0,5
Ta có: g(x) =
 g(x) liên tục x 0,1] vì g(x
0
) =
g’(x) = xác định (0,1) hay g(x) khả vi (0,1)
 Khảo sát hàm g’(x) trên đoạn [0,1] cho ta
= -0,2394272762
=
Từ đây ta được (0,1) , = q < 1, do đó g(x) là hàm co (0,1) với hệ số co q = < 1
 Với x
0
= 0,5 ta xây dựng dãy lặp như sau:
x
n
=
với sai số: x
n
=
Ta có:
• = = = 0,20042662431
= = = 0,1497866878
• = = 0,2727489608
= = = 0,03616116825
Trang 7
• = = 0,2536071899
= = =0,1316614361

d) (x-2)
2
– ln x = 0 trong đoạn [1,2] và [e,4].

A f(x) =
2 2cos 6 0
x x
e x
−
+ + − =
f’(x)=
2
2
2( sinx)
x
e
x
− + −
=
2
2
2sinx
x
e
x
− −
f”(x)=
2
2 2sinx
x x

3
0
1
2 2
0
2 1
2.2 1 15
3 3 3.2 3 9
x
x
x
−
−
= = =
− −
3
3
1
2
2
2
1
15
2. 1
2 1 223
9
3 3 144
15
3. 3
9

x
x
x
 
−
 ÷
−
 
= = = =
−
 
−
 ÷
 
3
3
3 3
3
| 3 1|
0,68.10
0,688
x x
x
−
− +
∆ = =
b) ln(x-1)+cos(x-1)=0 trong đoạn [1,3;2]
Trang 8
f(x)=ln(x-1)+cos(x-1)
f’(x)=

3 3 3.2 3 9
x
x
x
−
−
= = =
− −
3
3
1
2
2
2
1
15
223
2. 1
2 1
9
27
1,5486
16
3 3
15
3. 3
3
9
x
x

−
= = = =
−
−
6
3
0,38.10x
−
∆ =
d) (x-2)
2
– ln x = 0 trong đoạn [1,2] và [e,4].
Ta có f (x)= (x-2)
2
-lnx = 0  x
2
- 4x +4 – lnx
 ;
∗Trên đoạn [1,2]

25 ≤≤ 3

Chọn x
o
=a =1
Ta xây dựng dãy theo công thức :



Khi đó :


d)

Ta có:
Trang 10
n x
n
∆x
n
0 4
1 330301183 048530671
2 308462441 004764536
3 305753575 733062138.
4 305710366 186515929.
b) Ta có:
 Phương trình Van der Waals đối với chất khí có dạng:
với R = 0.082054 L.atm/(mol.K), a, b là các hằng số phụ thuộc vào chất khí cụ thể; plàáp
suất; T là nhiệt độ; V là thể tích; n là số mole, v = V/nlà thể tích mole. Hãy xácđịnh thể tích
mole v của hai chất khí là carbon dioxide (CO
2
) và oxygen (O
2
) dưới áp suất 1, 10 và 100 atm
vàở nhiệt độ 300, 500 và 700K. Biết rằng đối với carbon dioxide ta có a = 3.592, b = 0.04267;

+ p =1atm, T= 300
o
K
(1) ⇒
⇒v = 24.51258813
+ p = 1atm, T= 500
o
K
(1) ⇒
⇒v = 40.98211326
+ p = 1atm, T= 700
o
K
(1) ⇒
⇒v = 57.41795766
+ p = 10atm, T= 300
o
K
(1) ⇒
⇒v = 2.354495581
+ p = 10atm, T= 500
o
K
(1) ⇒
⇒v = 4.057779535
+ p = 10atm, T= 700
o
K
(1) ⇒
⇒v = 5.724166276

2
): a = 1.360, b = 0.03183
+ p = 1atm, T= 300
o
K
(1) ⇒
⇒v = 24.59280084
+ p = 1atm, T= 500
o
K
(1) ⇒
⇒v = 41.02570577
+ p = 1atm, T= 700
o
K
(1) ⇒
⇒v = 57.4459687
+ p = 10atm, T= 300
o
K
(1) ⇒
⇒v = 2.438403865
+ p = 10atm, T= 500
o
K
(1) ⇒
⇒v = 4.101629762
+ p = 10atm, T= 700
o
K

Trang 12

, /#$%0

Sử dụng phương pháp phần tử trội giải các hệ phương trình sau đây:

b)
c)



 Dùng Phương pháp Doolittle Phân tích các ma trận sau thành tích LU.
a)
b)
c)


Ta có: A = LU
L = U =
A = LU  = .
• u
11
= a
11
= 4 => u
11
=4
• u
12
= a

 1 + u
22
= 5 =>U
22
= 4
Trang 13
• l
21
u
13
+ u
23
= a
23
 -2 + u
23
= 1 =>u
23
= 3
• l
31
u
11
= a
31
 l
31
.4 = 8 => l
31
= 2

33
=5,5.
Vậy ta có: L = U =
b)
Ta có: A = LU
L = U =
A = LU  =.
• u
11
= a
11
= 2 => u
11
=2
• u
12
= a
12
= 2 => u
12
= 2
• u
13
= a
13
= -1 => u
13
= -1
• l
21

 -0,5.(-1) + u
23
= 1 =>u
23
= 0,5
• l
31
u
11
= a
31
 l
31
.2 = -2 => l
31
= -1
• l
31
u
12
+ l
32
u
22
= a
32
-1.2 + l
32
.3 = 1 => l
32 = 1

12
= a
12
= 1 => u
12
= 1
• u
13
= a
13
= -3 => u
13
= -3
• u
14
= a
14
= 2 => u
14
= 2
• l
21
u
11
= a
21
 l
21
.1 = -1 => l
21

24
= a
24
 -1.2 + u
24
= 4 => u
24
=6
• l
31
u
11
= a
31
 l
31
= => l
31
= 2
• l
31
u
12
+ l
32
u
22
= a
32
 2.1 + l

34
= a
34
 4 + (-2) + u
34
= -2 => u
34
= -4
• l
41
u
11
= a
41
 l
41
= =>l
41
=2
• l
41
u
12
+ l
42
u
22
= a
42
 2 + l

24
+ l
43
u
34
+u
44
= a
44
 4 + 0 + ( - 4) + u
44
= 1
 u
44
=-
Vậy ta có:
L = U =
123
 Tìm các giá trị của
α
để các ma trận sau đây là xác định dưong
a)
1 1
1 2 1
1 1 4
α
−
 
 ÷
 ÷

α
 
∆ =
 ÷
 
=2
α
-1 > 0 
α
>
1
2

3
1 1
1 2 1
1 1 4
α
−
 
 ÷
∆ =
 ÷
 ÷
−
 
=
1 2 1
4 1 1 2
2 1 8 1 1




<


=>
α
>
8
7
b)
1 2
4 1
2 1 8
α
α
 
 ÷
−
 ÷
 ÷
−
 
1
|1| 1 0∆ = = >
2
2
1 2
4 0

α
-15>0
∆
=2
2
-(8(-15))=4+120=124
1
2 124 1 31
8 4
x
− + − +
= =
2
2 124 1 31
8 4
x
− − − −
= =
```````
1 31 1 31
4 4
α
− − − +
< <
! Sử dụng phương pháp Choleski giải các hệ phương trình sau :






xxx
Trang 15








=++
=+−
=+−+
−=+++
22
12
03
14
421
321
4321
4321
xxx
xxx
xxxx
xxxx





2
12
22
32
321
21
xx
xxx
xx










=





















=










−
−−
−
33
3222
312111
333231
2221
11

2
32
2
31
3232223121
22
2
22
2
21
313111
212111
111111
=⇒=++
−
=⇒−=+
=⇒=+
∗
=⇒=
−
=⇒−=
=⇒=
∗
bbbb
bbbbb
bbb
bbb
bbb
bbb









−
−
=
3
2
00
3
6
2
6
0
0
2
1
2
3
2
3
6
0
0
2
6















−
−
⇔=
2
1
2
3
2
3
6
0
0
2
6
2
1

1
y
y
y


















=








3
2
00
2
6
2
6
0
0
2
1
2
3
2
1
x
x
x
YB
T







=
=
=

=⇒=
yx
yx
yx
b)





=+−−
=−+
=−+
322
4243
123
321
321
321
xxx
xxx
xxx









Vì
A
đối xứng và xác định dương:




















=







5
4
2
54
22.
33.
11.
33
2
33
2
32
2
31
3232223121
22
2
22
2
21
313111
212111
111111
=⇒=++
=⇒−=+
=⇒=+
∗
−=⇒−=
=⇒=
=⇒=














−
⇔=
3
4
1
5
1
5
4
2
053
001
3
2
1
y
y



















=












2
1
i
x
x
x
i
iYB
T






=
=
−=
⇒
29
23
10
3
2
1
x
x
x
Vậy nghiệm phương trình đã cho là :


12
03
14
421
321
4321
4321
xxx
xxx
xxxx
xxxx
Trang 18












−
=





đối xứng và xác định dương:

























=




bb
bbb
bbbb
bbbb
bbb
bb
b

2403,12
2500
209
0
11
13
2
22
113
1
22
115
1
2
11
3
2
1
1.
2
1
1.

212111
111111
=⇒=+++
∗
=⇒=++
=⇒=++
∗
=⇒=+
−
=⇒−=+
=⇒=+
∗
=⇒=
=⇒=
=⇒=
=⇒=
∗
bbbbb
bbbbbbb
bbbb
bbbbb
bbbbb
bbb
bbb
bbb
bbb
bbb












−
=
2403,1000
2500
209
11
13
00
22
113
22
115
2
11
0
2
1
2
1
2
1
2





−
=

























11
2
1
0002
4
3
2
1
y
y
y
y
bB
y










=
=
=
−
=
⇒




−
=


























1
2
1
2
1
2
4
3
2
1
x
x
x
x
YB
T








=
=
=
−=
⇒
35,1

−
=⇒−=
yx
yx
yx
yx
(d)







=+++
=+++
=+++
=+++
8,15,56,15,14,1
7,16,15,54,13,1
6,15,14,15,52,1
5,14,13,12,15,5
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx

6,1
5,1
5,56,15,14,1
6,15,54,13,1
5,14,15,52,1
4,13,12,15,5
4
3
2
1
x
x
x
x
Ax
Vì
A
đối xứng và xác định dương:
Trang 20












41312111
44434241
333231
2221
11
000
00
0
0
00
000
5,56,15,14,1
6,15,54,13,1
5,14,15,52,1
4,13,12,15,5
b
bb
bbb
bbbb
bbbb
bbb
bb
b

1595,25,5
4558,06,1
2259,25,5
5219,05,1
7538,04,1
2887,25,5

212111
111111
=⇒=+++
∗
=⇒=++
=⇒=++
∗
=⇒=+
−=⇒=+
=⇒=+
∗
=⇒=
=⇒=
=⇒=
=⇒=
∗
bbbbb
bbbbbbb
bbbb
bbbbb
bbbbb
bbb
bbb
bbb
bbb
bbb





B












=






















=
=
=
=
⇒
87,0
5078,0
4408,0
5863
3750
4
3
2
1
y
y
y
y










−
⇔=
87,0
5078,0
4408,0
5863
3750
1595,2000
4558,02259,200
5219,07538,02887,20
597,05543,05117,03452,2
4
3
2
1
x
x
x
x
YB
T








11
=⇒=
=⇒=
=⇒=
=⇒=
yx
yx
yx
yx
4 Tính các chuẩn, và số điều kiện theo các chuần 1và vô cùng của các ma trận sau:
a) b) c)
:
 A=
* =
|=
J=1=>=7
J=2=>=11
=>=max{7;11}=11
∗
=max{+}
=>={2;10}=10
b)A=
* =
=
J=1=>=5
J=2=>=4
J=3=>=6
=>= {5;4;6}=6
*=
={

 2+1< 
Vậy các giá trị của là:
c)
A là trội nghiêm ngặt thì:
*Với i=1 ta có:

*Với i=2 ta có:

*Với i=3 ta có:
 4+1< 
Vậy các giá trị của là:
5Sử dụng phương pháp Jacobi tìm nghiệm gần đúng của các hệ phương trình sau với sai số
10
-3
, chọn chuẩn vô cùng:
Trang 23
− + = − =
 
 
+ + = − + − =
 
 
+ + = − + =
 
+ = − + + = −


+ − = − + = −







− =

4
4 1x
Trang 24


1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 1 2 3
2 1 2 3
3 1 2 3
4 1 0,25 0,25 0,25
) 3 8 2 0 0,375 0,25 0
3 3 10 4 0,3 0,3 0,4
0 0,25 0,25 0,25
0,375 0 0,25 0
0,3 0,3 0 0,4
0 0,25 0,
j
x x x x x x
a x x x x x x
x x x x x x
x x x x
x x x x

sè :
j
j
j j
j
Ta T
x T x
Sai
T
x x
∞
∞
∞
   
   
− − =
   
   
− −
   
= <
• = +
−
       
       
= − − + =
       
       
− −
       

       
       
− −
       
Trang 25