1.3. CHUỖI SỐ CÓ DẤU BẤT KỲ
Nếu chuỗi số
1.3.1. Định lý
1
n
n
u
∞
=
∑
hội tụ thì chuỗi
1
n
n
u
∞
=
∑
hội tụ và
1 1
n n
n n
u u
∞ ∞
= =
≤
∑ ∑
1.3.2. Định nghĩa
Nếu chuỗi
1

∑
phân kỳ thì ta nói
1
n
n
u
∞
=
∑
bán hội tụ
chuỗi

Chú ý:
Để xét sự hội tụ tuyệt đối ta có thể áp dụng các tiêu chuẩn

hội tụ đối với chuỗi số dương
1
n
n
u
∞
=
∑
1
n
n
u
∞
=
∑

∑
Nói chung là chưa biết
Tuy nhiên, nếu chuỗi
1
n
n
u
∞
=
∑
xét theo tiêu chuẩn D’Alembert hoặc Cauchy
phân kỳ
thì kết luận được chuỗi
1
n
n
u
∞
=
∑
phân kỳ

Ví dụ 1: Xét sự hội tụ của chuỗi
1
sin
(ln 3)
n
n
nx
∞

n
n
∞
=
−
+
 
 ÷
−
 
∑

Ví dụ 4: Xét sự hội tụ của chuỗi
1
( 1)
sin
1
n
n
n
n n
∞
=
−
+
∑

Ví dụ 5: Xét sự hội tụ của chuỗi
1
1

Hoặc

Định lý (Leibnitz):
Nếu dãy
{ }
1
n
n
a
≥
đơn điệu giảm và
lim 0
n
n
a
→∞
=
thì chuỗi đan dấu hội tụ và tổng S của nó thỏa
1
| |S a
≤
1
| |
n n
R a
+
≤
Nhận xét:
{ }
1

− < ∀ ≥
Chứng tỏ
1
0
1,
n
n
a
n n
a
+
< ∀ ≥

Cách 2:
Chứng tỏ
Lấy hàm số

Cách 3:
( )y f x
=
thỏa
( ) ,
n
f n a n= ∀
và chứng tỏ rằng
0
'( ) 0, (n , )f x x
< ∀ ∈ +∞

Ví dụ 1: Xét sự hội tụ của chuỗi

1
1 ( 1)
1
n
n
n
n
∞
=
+ −
+
∑

Ví dụ 4: Với giá trị nào của
0
α
>
, chuỗi số
1
1
( 1)
(2 1)
n
n
n
α
+
∞
=
−