1 Nguyễn Thanh Huyền - Phú Thọ
MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của đề tài
Giải tích hàm là một trong những ngành toán học đóng vai trò quan
trọng trong giải tích cũng như trong việc nghiên cứu các cấu trúc toán học.
Trong đó người ta đã giành một mảng để nghiên cứu không gian Hilbert.
Không gian Hilbert là một dạng tổng quát của không gian Euclid mà không bị
giới hạn về vấn đề hữu hạn chiều. Đó là một không gian có tích vô hướng,
nghĩa là trong đó có khái niệm về khoảng cách và góc. Các không gian
Hilbert cung cấp một khung để hệ thống hóa và khái quát hóa khái niệm chuỗi
Fourier theo một hệ bất kỳ của các hàm số trực giao và của phép biến đổi
Fourier, đó là những khái niệm trung tâm của giải tích hàm.
Trong chương trình học bộ môn Giải tích hàm sinh viên đã được tìm
hiểu các tính chất của toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Banach, đó
là một trong những vấn đề cơ bản của Giải tích hàm. Tương tự như trong
không gian Banach thì trong không gian Hilbert các toán tử tuyến tính bị chặn
cũng được nghiên cứu với các tính chất tương tự. Chẳng hạn như các tính chất
của toán tử tuyến tính liên hợp, toán tử compact, phổ của toán tử, hay nếu một
toán tử tuyến tính là bị chặn theo định lý đồ thị đóng trong lý thuyết về không
gian Banach thì toán tử đó có đồ thị đóng và được định nghĩa trên toàn bộ
không gian Hilbert
Các tính chất của các toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian
Hilbert này đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả. Chẳng hạn như tác giả Đậu
Thế Cấp, Nguyễn Xuân Liêm, Lê Mậu Hải, Nguyễn Văn Khuê, Hoàng Tụy,
Tuy nhiên có tác giả nghiên cứu về toán tử này, có tác giả lại nghiên cứu về
toán tử khác, hay mỗi tác giả nghiên cứu một vài tính chất khác nhau. Chưa ai
tổng hợp lại tất cả các tính chất của các toán tử ấy.
Để biết được các toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Hilbert có

và hình thức của khóa luận.
6. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng: Các tính chất của toán tử tuyến tính
Phạm vi: Toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert
3 Nguyễn Thanh Huyền - Phú Thọ
Chương 1. Không gian Hilbert
1.1. Khái niệm không gian Hilbert
1.1.1. Dạng Hermite
Định nghĩa 1.1. Cho E là một  – không gian vectơ. Một dạng Hermite trên
E là một hàm φ: E×E →  thỏa mãn:
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
1 2 1 2
1 2 1 2
φ x x , y φ x , y φ x ,y
ii)
φ x, y y φ x, y φ x, y

Nguyễn Thanh Huyền - Phú Thọ
Nếu


=
ℝ
thì v) trở thành φ(x, y) = φ(y, x) do đó dạng Hermite trên
không gian vectơ thực chính là dạng song tuyến tính đối xứng đã biết.
Bổ đề 1.1.
Giả sử φ là một dạng Hermite trên E và
n
i i
i 1
x x ,
=
= α
∑
m
j j
j 1
y y
=
= β
∑

là các t
ổ
h
ợ
p tuy


T
ừ

đ
ó theo iii) và iv)
n m
j
i i j
i 1 j 1
(x,y) (x ,y )
= =
ϕ = α β ϕ
∑∑
.
Bổ đề 1.2.
Gi
ả
s
ử
E là m
ộ
t không gian vect
ơ
h
ữ
u h
ạ
n chi
ề

ị

α
ij
=
φ
(a
i
, a
j
), trong
đ
ó
α
ij
=
ij
α
, i, j = 1, …, n.

Ch
ứ
ng minh.
Gi
ả
s
ử

φ
là m

α
ij
th
ỏ
a mãn
ij ij
α = α
, v
ớ
i i, j = 1, …, n.
Gi
ả
s
ử
x và y
∈
E,
n n
i i j j
i 1 j 1
x a , y a
= =
= λ = µ
∑ ∑
.
Đặ
t
n
i j ij
i 1


Nguyễn Thanh Huyền - Phú Thọ
Định nghĩa 1.2. D
ạ
ng Hermite trên E
đượ
c g
ọ
i là d
ươ
ng n
ế
u
(
)
x, x 0
ϕ ≥
với
mọi x
∈
E.

Bổ đề 1.3.
(B
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c Cauchy - Schwartz). N

i
λ

∈

ta có:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
x y, x y x, x x, y x, y y, y 0,
ϕ + λ + λ = ϕ + λϕ + λ ϕ + λλϕ ≥

trong
đ
ó,
(
)
x,x
ϕ
và
(
)
y,y

)
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( )
2
φ x,x φ y, y φ x, y φ x, y 0
φ x, y φ x,x φ y, y
− ≥
⇔ ≤Tr
ườ
ng h
ợ
p
(
)
0
x,x
ϕ
>
hoàn toàn t
ươ
ng t
ự

2 2
2
φ x, y 0 φ x, y 0 φ x, x φ y,y .
− ≥ ⇔ = =Bổ đề 1.4.
(B
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c Minkowski). N
ế
u
φ
là d
ạ
ng Hermite d
ươ
ng thì
(
)
(
)
(
)
φ x y,x y φ x, x φ y, y
+ + ≤ +


đ
ó theo i) và ii) ta
đượ
c:
6 Nguyễn Thanh Huyền - Phú Thọ
(x y,x y) (x, x) (x, y) (y, x) (y, y)
ϕ + + = ϕ + ϕ + ϕ + ϕ(x, x) 2Re (x, y) (y, y)
= ϕ + ϕ + ϕ(x,x) 2 (x, x) (y, y) (y, y)
= ϕ + ϕ ϕ + ϕ2
( (x,x) (y, y)) .
= ϕ + ϕ

1.1.2. Tích vô hướng và không gian Hilbert
Định nghĩa 1.3.
M
ộ
t d

t d
ạ
ng Hermite xác
đị
nh d
ươ
ng còn
đượ
c g
ọ
i là m
ộ
t tích vô h
ướ
ng.
Bổ đề 1.5.
M
ộ
t d
ạ
ng Hermite d
ươ
ng
φ
trên E là m
ộ
t tích vô h
ướ
ng n
ế

t tích vô h
ướ
ng thì
(
)
x, x 0
ϕ >
v
ớ
i m
ọ
i
x 0
≠
. Vì v
ậ
y
n
ế
u
(
)
x, y 0
ϕ =
v
ớ
i m
ọ
i y thì
(

ồ
n t
ạ
i y
để
(
)
x, y 0
ϕ
≠
. Theo b
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c Cauchy – Schwartz ta có:
( ) ( ) ( )
2
φ
x,x
φ
y, y
φ
x, y 0
≥ >
.
Vì v
ậ
y

x, y
ϕ
b
ở
i
x, y
và g
ọ
i là tích vô h
ướ
ng c
ủ
a hai
vect
ơ
x và y.
V
ớ
i m
ọ
i
x E
∈
ta
đặ
t
x x, y
=
. Ta ch
ứ

x, y E
∀ ∈
.
Còn b
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c Minkowski
đượ
c vi
ế
t là:
x y x y .
+ ≤ +

M
ặ
t khác, hi
ể
n nhiên
7 Nguyễn Thanh Huyền - Phú Thọ
i)
x 0, x E
≥ ∀ ∈
và vì là tích vô h

.
Chứng minh. Cho
(
)
0 0
x , y
E E
∈ ×
tùy ý.
B
ất đẳng thức Cauchy – Schwartz cho ta:
0 0 0 0 0 0
x, y x , y x, y x , y x , y x , y
− = − + −0 0
x x , y x, y y
= − + −0 0 0
x x y x y y 0,
≤ − + − →

khi x
→ x
0
, y → y
0

n

E
∈
với
i j
x x 0
⊥ =
với mọi i j thì
2
n n
2
i i
i 1 i 1
x x
= =
=
∑ ∑
.
Chứng minh.

Nếu x
1
⊥
x
2
thì:
8

⊥
x
j
= 0 với mọi
i j.
≠

T
ừ
1 n 1 n 1 n n 1 n
x x x x , x x ,x 0,
− −
+…+ + = + …+ =

áp d
ụng giả thiết
quy n
ạp ta có:
( )
2
2
1 n 1 n 1 n
x x x x x
−
+…+ = +…+ +2 2
1 n 1 n

=
+(
)
2 2
x,y y,x y,y 2 x y .
− − + = +

Nhận xét:
i) Nếu xét hình bình hành có hai cạnh là hai vectơ x và y thì vế trái
c
ủa đẳng thức trên chính là tổng bình phương độ dài hai đường chéo của
hình bình hành còn v
ế phải chính là tổng bình phương các cạnh của hình
bình hành đó.
9 Nguyễn Thanh Huyền - Phú Thọ
ii) Đẳng thức hình bình hành cũng là điều kiện đủ để không gian định
chu
ẩn E là không gian tiền Hilbert, có nghĩa là chuẩn của E sẽ được sinh bởi
tích vô h
ướng.
Ví dụ 1.1.
(Không gian Euclide n – chiều). Xét không gian vectơ
(
)

1
n
2
2
j
j 1
x x x,x
=
 
= =
 
 
∑
, nên
n
C

là
một không gian Hilbert.
Ví dụ 1.2.
(Không gian
2
ℓ
). Xét không gian Banach các dãy số bình phương
khả tổng.

1
n
2
2

n
n 1
x, y x y , x, y
∞
=
= ∈
∑
ℓ

xác định một tích vô hướng trên
2
ℓ
.
M
ặt khác, do
2
x x, x , x
= ∈
2
ℓ
nên
2
ℓ
là đầy với chuẩn này và do
đó
2
ℓ
là một không gian Hilbert.
10


2
(X,
Σ
,

µ
).
xác định một tích vô hướng trên L
2
(X,
Σ
,

µ
).
Vì L
2
(X,
Σ
,

µ
) là không gian Banach với chuẩn sinh bởi tích vô hướng:
( )
1
2
2
2
X
f f d f ,f , f

thông thường.
Ta nói hai vectơ x, y của một không gian Hilbert E trực giao với nhau,
kí hi
ệu x
⊥
y, nếu
x, y 0
=
.
Từ định nghĩa này ta có thể suy ra các tính chất đơn giản sau đây:
i) N
ếu x
⊥
y thì y
⊥
x. Ta có x
⊥
x khi và chỉ khi
x 0
=
.
Vect
ơ 0 trực giao với mọi vectơ x.
ii) N
ếu
1 2 n
x y , y , , y
⊥ …
thì
1 1 2 2 n n

y (
n
→ ∞
) thì x
⊥
y.
12 Nguyễn Thanh Huyền - Phú Thọ
Th
ậ
t v
ậ
y,
n
n
x, y lim x, y 0
→∞
= =
(tính ch
ấ
t liên t
ụ
c c
ủ
a tích vô h
ướ
ng).
Ta nói m

các tính ch
ấ
t ii) iii) ta suy ra: T
ậ
p t
ấ
t c
ả
các vect
ơ

tr
ự
c giao v
ớ
i m
ộ
t t
ậ
p M
⊂
E cho tr
ướ
c làm thành m
ộ
t không gian con
đ
óng
c
ủ

ngh
ĩa là: x
⊥
M x = 0.
Th
ật vậy, vì M trù mật trong E nên mọi
x E
∈
đều là giới hạn của một
dãy
n
x M
∈
:
n
n
x lim x
→ ∞
=
.
V
ậy x
⊥
M kéo theo x
⊥
x
n
với mọi n, và do đó x
⊥
x theo tính chất iii)

n
2 2
i
i 1
x x
=
=
∑
.
vi) N
ếu
{
}
n
x
là một hệ trực giao (nghĩa là các vectơ x
n
trực giao từng
đôi một) thì chuỗi
n
n 1
x x
∞
=
=
∑

hội tụ khi và chỉ khi chuỗi số
2
n

− →
khi và chỉ khi
n m
σ
0
σ
−
→

Nhưng không gian Hilbert là không gian đủ, cho nên điều này cũng có
nghĩa là
n
s
có giới hạn khi và chỉ khi
n
σ
có giới hạn.
1.2.2. Hệ trực giao
Định nghĩa 1.5.
Một hệ trực giao trong không gian tiền Hilbert E là một tập
con A các vectơ khác 0 của E sao cho hai vectơ khác nhau bất kì của A đều
trực giao với nhau.
Bổ đề 1.7.
Một hệ trực giao trong không gian tiền Hilbert là độc lập tuyến
tính.
Chứng minh.
Giả sử A là một hệ trực giao và
n
i i
i 1

,
n i 1
> ≥
sao cho các vectơ
i
n 1
n n i n
i 1
y x x
−
=
= α +
∑
là trực giao
và thỏa mãn điều kiện: Không gian con sinh
bởi x
1
, …, x
n
trùng với không gian con sinh bởi y
1
, …, y
n
.

Chứng minh.
Với
n 1
=


i j
n 1
2
n j n i n j n j n j
i 1
0 y , y y x , y y x ,y ,
−
=
= = λ + = λ +
∑

tức là
j
j
n
2
n
j
x , y
λ .
y
= −
Với vectơ y
n
như vậy y
n
⊥
y
j
với j = 1, …, n – 1.

Nguyễn Thanh Huyền - Phú Thọ
1.3. Hệ trực chuẩn
1.3.1. Hệ trực chuẩn
Định nghĩa 1.6.
Một hệ trực giao A được gọi là hệ trực chuẩn nếu
x 1
=
với
mọi
x A.
∈

Nếu A là hệ trực giao thì B =
1
x : x A
x
 
 
∈
 
 
 
là h
ệ
tr
ự
c chu
ẩ
n. H
ệ

n toàn v
ẹ
n c
ủ
a không gian Hilbert E
đượ
c g
ọ
i là h
ệ

tr
ự
c chu
ẩ
n
đầ
y
đủ
hay là m
ộ
t c
ơ
s
ở
tr
ự
c chu
ẩ
n c

y
đủ
n
ế
u và ch
ỉ
n
ế
u
x,a 0
=
v
ớ
i
m
ọ
i
x A
∈

kéo theo
x 0
=
.
Định lí 1.4.
N
ế
u E là không gian Hilbert h
ữ
u h

a E và E
đẳ
ng c
ấ
u
Hilbert v
ớ
i không gian Euclide n – chi
ề
u

n
.

Chứng minh.
N
ế
u A là m
ộ
t h
ệ
tr
ự
c chu
ẩ
n
đầ
y
đủ
thì A

s
ử
e
1
, …, e
n
là m
ộ
t c
ơ
s
ở
tr
ự
c chu
ẩ
n c
ủ
a E.
V
ớ
i
(
)
1 n
a a , , a
=
∈



ọ
i
(
)
1 n
a a , , a
=
và
(
)
1 n
b , b ., b
=
∈


n
ta có:
n n n
i i j j i j
i 1 j 1 i 1
(a), (b) a e , b e a b a,b
= = =
ϕ ϕ = = =
∑ ∑ ∑

V
ậ
y
φ


n
2
2
i
i 1
x,e x
=
≤
∑
v
ớ
i m
ọ
i
x E
∈
(b
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c Bessel).
b)

V
ớ
i m
ọ

V
ớ
i m
ọ
i
n N
∈
ta có:
17 Nguyễn Thanh Huyền - Phú Thọ
2
n n n
i i i i j j
i 1 i 1 j 1
0 x c e x c e ,x c e
= = =
≤ − = − −
∑ ∑ ∑n n n
i i j j i j
i 1 j 1 i 1
x, x c x,e c x,e c c
= = =
= − − +
∑ ∑ ∑


b) Vì không gian E
đầ
y
đủ
nên ta ch
ỉ
c
ầ
n ch
ứ
ng minh dãy các t
ổ
ng
riêng
n i i
i 1
s e
∞
=
= λ
∑

th
ỏ
a mãn tiêu chu
ẩ
n Cauchy.
Vì chu
ỗ
i


n p
2
i
i n 1
+
= +
λ < ε
∑
.
Theo
đị
nh lí Pythagore:
2
n p n p
2
2
n p n i i i
i n 1 i n 1
s s e
+ +
+
= + = +
− = λ = λ < ε
∑ ∑
.
Định lí 1.5.
Gi
ả
s

∈
(chu
ỗ
i Fourier).
b)

i i
i 1
x, y x,e y,e
∞
=
=
∑
v
ớ
i m
ọ
i
x, y E
∈
(
đẳ
ng th
ứ
c Parsenal).
Chứng minh.
a) Theo b
ổ

đề

ng minh
x y
=
. Th
ậ
t v
ậ
y, v
ớ
i m
ọ
i j ta có:
18 Nguyễn Thanh Huyền - Phú Thọ
j i i j j j
i 1
x y,e x x,e e ,e x,e x,e 0
∞
=
− = − = − =
∑
.
Do h
ệ

{
}
j

lim x,e e , x,e e
→∞
= =
=
∑ ∑n
i i i i
n
i 1 i 1
lim x,e y,e x,e y,e .
∞
→∞
= =
= =
∑ ∑Định lí 1.6. N
ế
u
{
}
n
e
là m
ộ
t dãy tr
ự

x x,e e ,
∞
=
=
∑

v
ớ
i m
ọ
i
x E
∈

c)

i i
i 1
x, y x,e y,e ,
∞
=
=
∑
v
ớ
i m
ọ
i
x, y E
∈

Ta còn ph
ả
i ch
ứ
ng minh b) ⇒ a) và d) ⇒ a). T
ừ
b) ho
ặ
c d) ta
đề
u suy ra
i
x,e 0
=
v
ớ
i m
ọ
i i thì x = 0, do
đ
ó ta có b) ⇒ a) và d) ⇒ a).
Định lí 1.7. Trong m
ộ
t không gian Hilbert E vô h
ạ
n chi
ề
u các
đ
i

ở
tr
ự
c chu
ẩ
n
đế
m
đượ
c
d)
E
đẳ
ng c
ấ
u v
ớ
i
2
ℓ

Chứng minh.

a) ⇒ b): Do E là không gian
đị
nh chu
ẩ
n nên ta có E kh
ả
li thì trong E

ng minh các ph
ầ
n còn l
ạ
i ta kí hi
ệ
u = (0, …, 0, 1, 0, … 0) (1
ở

v
ị
trí th
ứ
n), ta
đượ
c c
ơ
s
ở
tr
ự
c chu
ẩ
n
{
}
n
e
c
ủ

c chu
ẩ
n c
ủ
a E.
V
ớ
i m
ỗ
i a = (a
n
)
∈
2
ℓ
theo b
ổ

đề
8b)
i i
i 1
a e E
∞
=
∈
∑
. Vì th
ế


=
∑
kéo theo a
i
= 0 v
ớ
i m
ọ
i i, do
đ
ó là
đơ
n ánh.
V
ớ
i m
ọ
i x
∈
E theo
đị
nh lí 1.5a):
( )
i i 2
i 1
x x,e , z x,e .
∞
=
= = ∈
∑

ả
s
ử
{E
n
} là m
ộ
t dãy các không gian Hilbert,
n n
x , y
là tích vô
h
ướ
ng trong E
n
. Gi
ả
s
ử
E là t
ậ
p t
ấ
t c
ả
các dãy x = (x
1
, x
2
, …) trong

λ
x , E
… ∈
với mọi λ
∈

.

21 Nguyễn Thanh Huyền - Phú Thọ
N
ế
u y = (y
1
, y
2
, …) là m
ộ
t dãy n
ữ
a thu
ộ
c E thì theo
đẳ
ng th
ứ
c hình
bình hành ta có:

x y
+
thu
ộ
c E. D
ễ
dàng ki
ể
m
tra E là không gian vect
ơ
v
ớ
i phép c
ộ
ng và phép nhân v
ớ
i vô h
ướ
ng nói trên.
Theo b
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c Cauchy – Schwartz:
(
)
2 2

đố
i.
Đặ
t
x, y
=
n n
n 1
x ,y
∞
=
∑
. D
ễ
dàng ki
ể
m tra r
ằ
ng
(
)
x, y x, y
→
là m
ộ
t
d
ạ
ng Hermite trên E.
B

ậ
y
x, y
là tích vô h
ướ
ng.
Không gian ti
ề
n Hilbert E v
ớ
i tích vô h
ướ
ng
đ
ã ch
ỉ
ra g
ọ
i là t
ổ
ng
Hilbert c
ủ
a các không gian Hilbert E
n
.
Định lí 1.8. T
ổ
ng Hilbert c
ủ

(m)
m
x
là m
ộ
t dãy
Cauchy trong E, ngh
ĩ
a là m
ọ
i ε > 0 t
ồ
n t
ạ
i m
0
sao cho m
ọ
i
0
m m ,
≥
p = 0, 1,
2, …, ta có:
2
(m) (m p)
n n
n 1
x x .
∞

x
là m
ộ
t dãy Cauchy
trong E
n
. G
ọ
i gi
ớ
i h
ạ
n c
ủ
a dãy
( )
{
}
m
n
m
x
trong E
n
là y
n
.
C
ũ
ng theo b

(m)
n n
n 1
x y
=
− ≤ ε
∑
do hàm chuẩn liên tục.
Vì điều trên đúng với mọi N nên:
2
(m)
n n
n 1
x y .
∞
=
− ≤ ε
∑

Đ
i
ề
u này ch
ứ
ng t
ỏ

2
(m)
x y

v
ớ
i m
ọ
i n thì theo
đị
nh ngh
ĩ
a, t
ổ
ng Hilbert trong
tr
ườ
ng h
ợ
p này chính là
2
ℓ
. Nh
ờ

đị
nh ngh
ĩ
a trên ta c
ũ
ng k
ế
t lu
ậ


J
n
: E
n

→
E. D
ễ
dàng th
ấ
y r
ằ
ng J
n
là
đẳ
ng c
ấ
u (Hilbert) E
n
lên m
ộ
t không gian
con
đ
óng E’
n
c
ủ

n n
n 1
J (x ) x.
∞
=
=
∑

Do đó tổng trực tiếp đại số của các không gian E’
n
trù mật trong E.

1.4.2. Tổng Hilbert của các không gian con đóng
M
ỗ
i không gian Hilbert có th
ể
xem là t
ổ
ng Hilbert c
ủ
a các không gian
con
đ
óng c
ủ
a nó.
Định lí 1.9.
Gi
ả


T
ổ
ng
đạ
i s
ố
các F
n
trù m
ậ
t trong F.
24 Nguyễn Thanh Huyền - Phú Thọ
N
ế
u E là t
ổ
ng Hilbert c
ủ
a các không gian F
n
thì t
ồ
n t
ạ
i duy nh
ấ

ổ
ng
đạ
i s
ố
c
ủ
a các F
n
trong F.

V
ớ
i m
ọ
i x
∈
G ta có x = x
1
+ … + x
k
trong
đ
ó x
i

∈
F
i
. Do

ng c
ấ
u Hilbert không gian ti
ề
n Hilbert G lên
không gian con
φ
(G) c
ủ
a E và
n
F n
| J .
ϕ =
Ta có
φ
(G) trù m
ậ
t trong E.

Khi
đ
ó t
ồ
n t
ạ
i duy nh
ấ
t ánh x
ạ

(F) c
ủ
a E. V
ậ
y
Φ
là
đẳ
ng c
ấ
u mu
ố
n tìm. Do
φ
là ánh x
ạ

duy nh
ấ
t có tính ch
ấ
t
đ
ã nêu trên nên
Φ
là duy nh
ấ
t.

25

ấ
t
đượ
c th
ừ
a nh
ậ
n và m
ộ
t s
ố
tính ch
ấ
t
đượ
c
ch
ứ
ng minh. Nh
ữ
ng ki
ế
n th
ứ
c
đượ
c trình bày trong ch
ươ
ng này s
ẽ