SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG III

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Đề tài
SỬ DỤNG MỐI LIÊN HỆ GIỮA ĐƯỜNG TRÒN, HÌNH TRÒN VÀ MIỀN
NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN ĐỂ GIẢI MỘT
SỐ BÀI TOÁN VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
CHỨA THAM SỐ NHẰM NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG
ĐỐI VỚI HỌC SINH LỚP 10
Người thực hiện: Nguyễn Thị Hiền
Chức vụ: Giáo viên
SKKN môn: Toán
THANH HOÁ NĂM 2013
1
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
Hiện nay, chúng ta đang tiến hành đổi mới giáo dục phổ thông. Mục tiêu của
các cấp học đều hướng đến việc hình thành năng lực nhận thức, năng lực hành
động, năng lực giải quyết vấn đề, năng lực thích ứng cho học sinh, phát huy tính
tích cực, chủ động, độc lập sáng tạo trong nhận thức của người học, bồi dưỡng
năng lực tự học, gắn học với hành, tác động đến tình cảm đem lại niềm vui hứng
thú học tập cho học sinh.
Trong môn Toán ở trường phổ thông các bài toán về giải bất phương trình và
hệ bất phương trình chứa tham số ngày càng được quan tâm đúng mức và có sức
hấp dẫn mạnh mẽ nhờ vào vẻ đẹp, tính độc đáo của các phương pháp giải chúng.
Bài tập về bất phương trình và hệ bất phương trình chứa tham số rất phong phú và
đa dạng cả về nội dung và phương pháp giải.
Để tìm nghiệm hoặc điều kiện có nghiệm của bất phương trình và hệ bất
phương trình chứa tham số có thể xuất phát từ nhiều kiến thức khác nhau và giải
bằng nhiều phương pháp khác nhau, trong đó có phương pháp đồ thị dùng để tìm
nghiệm hoặc điều kiện có nghiệm của bất phương trình và hệ bất phương trình

hình học và hình thành kỹ năng giải bài toán về bất phương trình và hệ bất phương
trình chứa tham số.
3
II. CƠ SỞ LÝ LUẬN
1. Kiến thức cơ bản
Khi sử dụng phương pháp đồ thị: Sử dụng mối liên hệ giữa đường tròn, hình
tròn và miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn để giải một số bất
phương trình và hệ bất phương trình chứa tham số các em học sinh cần ôn lại các
kiến thức về đường tròn, biểu diễn hình tròn, biểu diễn miền nghiệm của bất
phương trình bậc nhất hai ẩn để có thể nhanh chóng nhận dạng và tiếp cận được
với phương pháp này.
*Đường tròn

* Hình tròn
O
b
a x
I
Là tập hợp những điểm
(x;y) thỏa mãn:
(x – a)
2
+ (y – b)
2
= R
2
(I)
là đường tròn tâm I(a;b), bán
kính R
4

* Chú ý: Đối với các bất phương trình dạng ax + by +c
≤
0, ax + by + c
≥
0 thì
miền nghiệm là nửa mặt phẳng kể cả bờ (là đường thẳng (d)).
2. Các bước thực hiện
Bước 1: Xác định rõ bất phương trình hoặc mỗi bất phương trình trong hệ
được viết dưới dạng nào. Hoặc mổi phương trình hay bất phương trình đó sau khi
đặt ẩn phụ được đưa về dạng nào, dạng (I), (II), hay (III).
Bước 2: Thực hiện vẽ hình và xét mối liên hệ giữa các hình vừa vẽ.
3. Các dạng thường gặp
O
Ib
a
y
x
Là tập hợp những điểm
(x;y) thỏa mãn:
(x – a)
2
+ (y – b)
2
R
2
(II)
là hình tròn tâm I(a;b), bán
kính R
5
(III)

phương trình đường tròn tâm O bán kính R =
a
, với a
≥
0 (hiển nhiên khi a < 0 hệ
vô nghiệm).
6
Nửa mặt phẳng xác định bởi (1) được biểu diễn bằng miền gạch chéo trong
hình vẽ.
Xét vị trí mà đường tròn (2) tiếp xúc với đường thẳng
∆
: 3x – 4y – 2 = 0
d(O,
∆
) = R =
a
aa =⇔=
−+
⇔
5
2
)4(3
2
22
.
Hệ có nghiệm khi đường tròn và miền gạch chéo có điểm chung hay bán
kính của đường tròn không nhỏ hơn khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng
∆
,
tức là:

O
0243
≥−−
yx
7
Tìm những giá trị a > 0 để hệ có nghiệm.
Nhận xét: Hiển nhiên hệ có nghiệm khi
01
2
≥− a
. Phương trình (3) là phương
trình đường tròn có tâm là gốc tọa độ O, bán kính là R =
2
1 a−
. Bất phương trình
(4) là bất phương trình bậc nhất hai ẩn, có nghiệm là nửa mặt phẳng có bờ là đường
thẳng x + y – a = 0. Hệ có nghiệm khi nửa mặt phẳng và đường tròn có điểm
chung.
Giải
Phương trình (3) là phương trình đường tròn có tâm là gốc tọa độ, bán kính
là R =
2
1 a−
(dĩ nhiên ta chỉ xét khi
01
2
≥− a
hay
11
≤≤−

a
x
O
x + y – a = 0, (a > 0)
H
8
3
6
0 ≤<⇔ a
(do a > 0)
Vậy hệ phương trình có nghiệm khi
3
6
0 ≤< a
.
Bài 3. Cho hệ:



=+
<++++
4
024)25(
22
22
ax
aaxax
Tìm a để hệ có nghiệm.
Nhận xét: Xét trong hệ tọa độ Oxa, bất phương trình thứ nhất đưa về tích của
hai bất phương trình bậc nhất hai ẩn (ẩn x và ẩn a), phương trình thứ hai là phương


>++
>+
024
0
ax
ax
.
Phương trình (6) là phương trình đường tròn có tâm là gốc tọa độ O, bán kính R=2.
Những điểm M(x ; a) thỏa mãn (5) nằm trong hai góc đối đỉnh
∠
AO
1
B và
∠
CO
1
D (không kể cạnh). Những điểm M(x ; a) thỏa mãn (6) là đường tròn tâm O,
bán kính R = 2. Từ hình vẽ suy ra nghiệm của hệ (5), (6) chính là cung AB và CD
của đường tròn (không kể 4 đầu mút (A, B, C, D) của cung).
9
Do A, D là giao điểm của đường thẳng x + a = 0 với đường tròn x
2
+ a
2
= 4,
hai điểm B, C là giao điểm của đường thẳng x + 4a + 2 = 0 với đường tròn
x
2
+ a

.
Bài 4. Cho hệ:
)8(
)7(
4
024)25(
22
22



≤+
<++++
ax
aaxax
Tìm a để hệ có nghiệm.
Nhận xét: Hệ (7), (8) được suy ra từ hệ (5), (6). Hệ có nghiệm khi phần hình
tròn tâm O bán kính R = 2 thỏa mãn (7).
Giải
Làm tương tự như bài 3, ta thấy các điểm M(x ; a) thỏa mãn hệ đã cho được
biểu diễn bằng miền gạch trong hình vẽ.
-2
2
2
-2
a
x
O
B
A

)9(
1
12



≤+
≥+++
yx
mxyyx
.
Giải
Hệ (9), (10) được viết lại dưới dạng:
)'10(
)'9(
1
)(12



≤+
+−≥+
yx
yxmxy
Do (10’) nên
0)(1 ≥+− yx
.
Hệ (9’), (10’)
)"10(
)"9(

C
D
O
2
−
x+4a+2=0
x+a=0
O
1
3
2
−
2
a = m
11
Khi đó, các điểm (x;y) thỏa mãn (9’’) nằm trong đường tròn tâm I(1; 1), bán
kính
1+= mR
(kể cả đường tròn), các điểm (x ; y) thỏa mãn (10’’) nằm ở nữa mặt
phẳng xác định bởi đường thẳng
1: =+∆ yx
(kể cả bờ
∆
), (là miền gạch chéo trong
hình vẽ).
Hệ (9’’), (10’’) có nghiệm duy nhất khi đường thẳng x + y = 1 tiếp xúc với
đường tròn (x – 1)
2
+ (y – 1)
2

≥+
)13(02084
)12(93
)11(22
22
myxyx
yx
yx
x+y=1
x
1
I
1
O
12
y
Nhận xét: Miền nghiệm của (11), (12) là nửa mặt phẳng có bờ là các đường
thẳng 2x + y = 2 và x + 3y = 9. Phương trình (13) là một đường tròn. Hệ có nghiệm
khi các cung tròn thỏa mãn (11), (12).
Giải
Hệ đã cho được viết lại thành





=−+−
≤+
≥+
)'13()4()2(

O
x
2
9
1
4
2
A
B
D
I
2x+y=2
x+3y=9
H
13
y
Từ đó suy ra:
65
2
5
65
10
5
≤≤⇔≤≤ mm
.
Vậy hệ có nghiệm khi
65
2
5
≤≤ m


=+−
≥
⇔
222
)(
0
ayax
y
Do đó đồ thị
2
2 xaxy −=
là nửa đường tròn có tâm I(a ; 0), bán kính R = a
(với a > 0).
Khi đó bất phương trình đã cho tương đương với hệ sau:





=+−
−≥
≥
222
)(
0
ayax
xay
y
)3(

Từ đồ thị ta thấy với
0
>∀
a
, bất phương trình đều có nghiệm
axx 2
0
≤≤
(*)
Với x
0
là hoành độ giao điểm của đường thẳng x + y = a với nửa đường tròn
(x – a)
2
+ y
2
= a
2
, (a > 0). Hay x
0
là nghiệm của phương trình:

2
2 xaxxa −=−

⇔





bất phương trình có nghiệm
ax
a
2
2
)22(
≤≤
−
.
Bài 2. Tìm a để bất phương trình sau có nghiệm
2≤−++ xaxa
Giải
Ta chỉ xét
0
≥
a
( vì khi a < 0 thì
xa −
không có nghĩa).
Khi đó đặt:
xau +=
, u
≥
0

xav −=
, v
≥
0.
Bất phương trình đã cho trở thành:

Bài 3. Cho bất phương trình:
xax
3
4
)2(1
2
≥+−
Tìm a để tập hợp nghiệm của bất phương trình là đoạn có độ dài bằng
5
9
.
Giải
Xét bất phương trình
xax
3
4
)2(1
2
≥+−
.
Đặt
2
)2(1 axy +−=
, y
0≥




=++

yx
yax
y
Xét trên hệ trục tọa độ Oxy, các điểm (x; y) thỏa mãn (7), (8) là nửa đường
tròn có tâm I(- 2a; 0), bán kính R = 1 (phần nửa đường tròn không nằm dưới trục
hoành). Gọi L là độ dài tập nghiệm của bất phương trình.
Từ hình vẽ ta thấy tập hợp nghiệm của bất phương trình có độ dài bằng:
=L
2R = 2 >
5
9
. Vậy trường hợp này không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
x
O
I
y
4x – 3y = 0
Trường hợp 1:
Nếu tâm I(-2a; 0) trùng với điểm (-1; 0) hoặc nằm bên trái điểm này trên
trục hoành.
  
L
-1
-2
17
Từ hình vẽ ta thấy tập hợp nghiệm của bất phương trình hoặc là tập rỗng
hoặc là có độ dài
5
8
)1(

1
y
4x – 3y = 0
Trường hợp 3 :
Nếu tâm I(-2a ; 0) nằm trong khoảng từ điểm (-1; 0) đến điểm (0; 0)
trên trục hoành.
N
I
(-2a; 0)
x
0
-1-2a
  
L
18
Gọi M là giao điểm của đường tròn tâm I(-2a ; 0), bán kính R = 1 với đường
thẳng 4x – 3y = 0 là N. Gọi x
0
là hoành độ điểm N.
Từ hình vẽ ta thấy nghiệm của bất phương trình đã cho nằm trong khoảng:
- 1- 2a < x < x
0
Khi đó độ dài tập nghiệm của bất phương trình là:
=L
x
0
– (– 1 – 2a) = x
0
+ 1+ 2a.
Hoành độ x

0576225
2
1
0
2
>−⇒<< aaa
).
Suy ra
a
aaa
L 21
25
57622518
2
++
−+−
=
.
Để
5
9
=L

5
9
21
25
57622518
2
=++

40
7
8
5
a
a
. Do
2
1
0 << a
nên giá trị thỏa mãn là
40
7
=a
.
Vậy bất phương trình có độ dài nghiệm thõa mãn yêu cầu bài toán
40
7
=a
.
3. Một số bài tập đề nghị
Bài 1. Cho bất phương trình:
xxa 2
22
≥−
19
Tìm a để tập hợp nghiệm của bất phương trình là đoạn có độ dài bằng 4.
Bài 2. Cho bất phương trình:
842)2)(4(4 −+−≤+−− axxx
Tìm a để bất phương trình trên có nghiệm.

Điểm Giỏi Điểm Khá ĐiểmTB Điểm Yếu Điểm Kém
SL tỷ lệ SL tỷ lệ SL tỷ lệ SL tỷ lệ SL tỷ lệ
10C4 6/45 13,3% 14/45 31,1% 20/45 44,4% 5/45 11,2% 0/45 0%
10C5 1/47 2,1% 8/47 17,0% 19/47 40,4% 17/47 36,2% 2/47 4,3%
20
C. KẾT LUẬN
Thông qua một số ví dụ trên có thể phần nào thấy được vai trò của bất
phương trình và hệ bất phương trình trong việc giải toán Đại số. Tuy nhiên, khi sử
dụng phương pháp này giáo viên cần phải cung cấp cho học sinh một số vốn kiến
thức nhất định và kỹ năng nhận dạng bài tập. Phương pháp này cũng như mọi
phương pháp khác không thể áp dụng được cho tất cả các bài toán về giải bất
phương trình và hệ bất phương trình và chưa hẳn đây đã là một phương pháp tối
ưu, do vậy học sinh cần căn cứ vào đặc điểm của từng bài toán, khai thác giả thiết
đã cho và nhận dạng bài tập để lựa chọn phương pháp giải cho thích hợp, từ đó sẽ
có cách nhìn linh hoạt, uyển chuyển và có sự nhuần nhuyễn về kỹ năng khi giải các
bài tập về bất phương trình và hệ bất phương trình có chứa tham số.
Qua thực tế giảng dạy tôi đã mạnh dạn vận dụng cho các em học sinh tiếp xúc
với phương pháp trên tôi nhận thấy kết quả được nâng lên rõ rệt. Cụ thể đã được
kiểm nghiệm tại lớp 10C4 năm học 2011 – 2012.
Đề tài trên chỉ là một kinh nghiệm nhỏ, kết quả của sự tìm tòi và nghiên cứu
cá nhân, thông qua một số tài liệu tham khảo nên không tránh khỏi những hạn chế,
khiếm khuyết. Vậy rất mong được Hội đồng xét duyệt góp ý để kinh nghiệm giảng
dạy của tôi ngày càng phong phú và hữu hiệu hơn.
Tôi xin trân trọng cảm ơn !
21
XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 06 tháng 05 năm 2013
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.
Người viết