1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT ĐẶNG THAI MAI
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI: MỘT SỐ KINH NGHIỆM GIẢI BÀI TOÁN ĐẠI SỐ BẰNG
PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC CHO HỌC SINH THPT
Người thực hiện: Lại Duy Tám
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Tổ Toán
SKKN thuộc môn: Toán học

Năm học: 2011 - 2012
Phần A: Đặt vấn đề
I.Lý do chọn đề tài
Trong chương trình toán phổ thông để giải quyết một bài toán chứng minh bất
đẳng thức,tìm GTLN-GTNN của hàm số,giải hệ phương trình vv chúng ta
có thể vận dụng nhiều phương pháp giải khác nhau.Mà mục đích của việc dạy
học toán ở trường phổ thông là làm sao bồi dưỡng cho học sinh cách suy
nghĩ,tìm tòi làm phát triển tư duy nhận thức,tư duy sáng tạo và năng lực vận
dụng của học sinh và cần khuyến khích học sinh tư duy bài toán bằng nhiều
phương pháp khác nhau.Một trong những phương pháp đó là: Vận dụng
phương pháp hình học để giải bài toán đại số,giải tích
Để vận dụng được phương pháp hình học thì giáo viên giúp học sinh nhận
biết những bài toán nào thì nên dùng phương pháp hình học và vận dụng như
thế nào để linh hoạt biến tri thức đó thành tri thức của học sinh
Xuất phát từ những lý do trên tôi lựa chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm
MỘT SỐ KINH NGHIỆM GIẢI BÀI TOÁN ĐẠI SỐ BẰNG
PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC CHO HỌC SINH THPT
II.Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của đề tài là góp phần nâng cao hiệu quả giảng dạy ứng
dụng phương pháp hình học để giải bài toán CM bất đẳng thức,tìm GTLN-

.Điều kiện
để 2 đường tròn tiếp xúc ngoài với nhau là I
1
I
2
= R
1
+ R
2
2.Cho đường tròn tâm I bán kính R và đường thẳng
∆
.Điều kiện để
∆
tiếp xúc với đường tròn là d(
∆
,I)=R
Ví dụ 1:
Cho hệ phương trình
2 2
1x y
x y a

+ =

− =

Tìm a để hệ phương trình có nghiệm
duy nhất
Định hướng tư duy cho học sinh:
3


+ + ≤


+ + ≤


Định hướng tư duy cho học sinh:
+ Tìm tập hợp các điểm M(x;y) thoả mãn BPT (1)
+ Tìm tập hợp các điểm M(x;y) thoả mãn BPT (2)
+Điều kiện để 2 đường tròn tiếp xúc ngoài với nhau?
Từ đó suy ra điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất
Giải
Các điểm M(x;y) thoả mãn BPT (1) nằm trong hình tròn tâm I(-1;0) bán kính
=
a
Các điểm M(x;y) thoả mãn BPT (2) nằm trong hình tròn tâm J(0;-1) bán kính
=
a
4
(1)
(2)
Để hệ có nghiệm duy nhất thì 2 đường tròn phải tiếp xúc nhau
⇔
IJ=
a
+
a
⇔
2

∆
có
PT x-y+a=0
Giả sử a
∈
∆
sao cho x
A
=0 thì A(0;a), B
∈
∆
sao cho x
B
=2 thì B(2;2+a)
Để hệ có nghiệm với mọi x
∈
[0,2] thì đoạn thẳng AB nằm trong đường tròn
(I;R).Lúc đó
2 2
2 2
(0 1) ( 1) 2
0
(2 1) (2 1) 2
IA R a
a
IB R
a

≤ − + − ≤


=1 và đường thẳng x+y=6
5
(1)
(2)
(1)
⇔
( ) ( )
2 2
19 6 2c a d b− + − ≥ −
⇔
( ) ( )
( )
( )
2
2 2 2
2
3 2 1 ( ) 3 2 1c a d b c a d b− + − ≥ − ⇔ − + − ≥ −
2 2
( ) ( ) 3 2 1c a d b⇔ − + − ≥ −
Trên hệ toạ độ nếu M(c,d) thì M nằm trên đường thẳng.N(a,b) thì N nằm trên
đường tròn
M

N K
Từ O kẻ đường thẳng OKI vuông góc
với đường thẳng.Trên đường tròn lấy điểm N,
Trên đường thẳng lấy điểm M bất kỳ thì

( ) ( )y x a a x b b= − + + − +
Xét 3 điểm A(a;a), B(b;b), M(x;0)
Ta thấy A
∈
đường thẳng: x-y=0 (Góc phần tư thứ III)
B
∈
đường thẳng: x-y=0 (Góc phần tư thứ I)
M di động trên Ox
Ta có MA=
2 2
( )x a a− +
; MB=
2 2
( )x b b− +
Do đó
2 2 2 2
( ) ( )y x a a x b b= − + + − +
=MA+MB
≥
AB=
2
2( ) 2( )a b b a− = −
Vậy Miny=
2( )b a−
đạt được khi M trùng O
Nhận xét: Ta biến đổi 2 biểu thức tronh dấu căn để sử dụng được công thức
tính khoảng cách giữa 2 điểm.Chúng ta phải khéo léo chọn các điểm A,B,M
để thoã mãn công thức tính khoảng cách MA,MB,khi đó ta chuyển bài toán về
bài toán hình học với mô tả trực quan trên hình vẽ

M(1-2t;1+t) khi đó x
2
+y
2
=(1-2t)
2
+(1+t)
2
=5t
2
-2t+2
≥
9
5
Vậy Min(x
2
+y
2
)=
9
5
đạt được khi t=
1
5
⇒
M(
3 6
;
5 5
)


⇔
3 3
( (1 ) (1 ) (1 ))
2 2
a c b a c b− + − + − ≤
⇔
a(1-c)+b(1-a)+c(1-b)
≤
1
⇔
a+b+c
≤
1+ab+bc+ca
Dấu = xảy ra
⇔
1 trong các tam giác AMP,BMN,CNP trùng với tam giác
ABC
Chẳng hạn nếu
∆
AMP
≡
∆
ABC thì M
≡
B và P
≡
C nên a=1,c=0,b tuỳ ý
Ví dụ 8:Cho các số thực a,b,c thuộc khoảng (0;1) chứng minh
a(1-b)+b(1-c)+c(1-a)<1

AMP
+ S
BMN
+ S
CNP
< S
ABC

⇔
2S
AMP
+ 2S
BMN
+ 2S
CNP
< 2S
ABC
⇔

a(1-b)Sin60
0
+ c(1-a) Sin60
0
+

b(1-c) Sin60
0
<1.1 Sin60
0
⇔

2
nên ta dựng 2 tam giác vuông HAB và
HBC có 2 cạnh góc vuông tương ứng là a,c và a,b
+Ta đưa về giải bài toán hình học phẳng
Giải
Ta dựng 2 tam giác vuông HAB và HBC có 2 cạnh góc vuông tương ứng là
a,c và a,b
Khi đó ta có AB=
2 2
a c+
BC=
2 2
a b+
.Do b>c nên BC>AB , HC>AH
a
c b
Bài toán đưa về CM : BC-AB<HC-HA
Trên HC,BC lần lượt lấy các điểm M,N sao cho HM=AH,BN=AB
Ta có AB=BM=BN suy ra tam giác BMN cân tại B nên
1 1
ˆ ˆ
M N=
Mặt khác
0
1 2 1 2 3
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
180N N M M M+ = + + =
nên
2 3
ˆ ˆ

Dấu = xảy ra khi AK=AB
⇔

ˆ ˆ
K B=
⇔
Tam giác
ABC vuông tại B
⇔
b
2
=ac
3.Bài tập áp dụng
1.Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất
2 2
2 1
0
x y x
x y m

+ + ≤


− + =



2.Cho 3 số duơng t/m x.y.z(x+y+z)=4.Tìm GTNN của P=(x+y)(x+z)
Phần C: Kết luận
I. Kết quả

Nhóm 1: ( Tổng số HS :15)
11

Dùng phương pháp đại số
Giỏi Khá TB Yếu Kém
SL % SL % SL % SL % SL %
0 0 4 26,7 9 53,3 3 20 0 0
Nhóm 2: ( Tổng số HS :15)
Dùng phương pháp hình học
Giỏi Khá TB Yếu Kém
SL % SL % SL % SL % SL %
3 20 7 44 5 36 0 0 0 0
II.Kết luận
- Sau khi học sinh học xong chuyên đề này học sinh thấy tự tin hơn, hứng
thú hơn, tạo cho học sinh niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở ra một cách
nhìn nhận, vận dụng linh hoạt, sáng tạo kiến thức đã học.Trang bị cho học
sinh thêm một phương pháp để giải toán,đa số học sinh sau khi học chuyên đề
này khi làm toán đều có định hướng bài toán theo phương pháp này (Tất
nhiên tuỳ từng bài toán có thể áp dụng) vì đưa bài toán phức tạp về bài toán
hình học đơn giản hơn.Tạo niềm đam mê nghiên cứu và học tập cho các em

12
Mục Lục
A.Đặt vấn đề
I.Lý do chọn đề tài
II.Mục đích nghiên cứu
B. Giải quyết vấn đề
I.Thực trạng
II.Phương pháp nghiên cứu
III.Các biện pháp thực hiện