Kinh nghiệm giải bài toán đa thức bằng máy tính cầm tay(MTCT) ở bậc THCS
Cập nhật: 12/10/2010 - đọc: 2370 lần
A. MỞ ĐẦU
I.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
“…Với máy tính điện tử, một dạng đề thi học sinh giỏi toán mới xuất hiện: kết hợp hữu cơ giữa suy luận toán học với tính toán trên máy tính điện tử.
Có những bài toán khó không những chỉ đòi hỏi phải nắm vững các kiến thức toán (lí thuyết đồng dư, chia hết, …) và sáng tạo (cách giải độc đáo,
suy luận đặc biệt, …), mà trong quá trình giải còn phải xét và loại trừ nhiều trường hợp. Nếu không dùng máy tính thì thời gian làm bài sẽ rất lâu. Như
vậy máy tính điện tử đẩy nhanh tốc độ làm bài, do đó các dạng toán này rất thích hợp trong các kỳ thi học sinh giỏi toán kết hợp với máy tính điện
tử”.
(Trích lời dẫn của Tạ Duy Phượng - Viện toán học).
- Trong những năm qua việc sử dụng máy tính cầm tay(MTCT) được sử dụng rộng rãi trong học tập, thi cử . Nó giúp cho học sinh rất nhiều trong việc
tính toán và những bài tập không thể giải bằng tay.
- Một trong những dạng bài tập ở trong chương trình THCS có thể dùng MTCT để giải là “các bài toán về đa thức” mà hầu hết các cuộc thi giải toán
trên MTCT đều có .
- Trong thực tế, khi bồi dưỡng các em trong đội tuyển của trường, của huyện sử dụng MTCT để dạy về giải “Một số bài toán về đa thức” thì phần lớn
các em nắm được kiến thức nhưng sau đó việc vận dụng ,cũng như kĩ năng trình bày bài giải chưa hợp lý, chính xác.
Vì vậy tôi nhận thấy giúp cho các em học sinh có kĩ năng sử dụng MTCT để giải các bài toán nói chung và về đa thức nói riêng một cách thành thạo
và chính xác là hết sức cần thiết .
Làm thế nào để cho học sinh nắm được cách giải các bài toán liên quan đến đa thức đặc biệt là các đề thi giải toán bằng MTCT đã và đang diễn ra
hầu hết các tỉnh thành trong cả nước.
Do đó tôi chọn đề tài:“Giải một số bài toán về đa thức ở bậc THCS bằng MTCT ”

II.NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI:
Nhiệm vụ chính:
Nâng cao hiệu quả hướng dẫn học sinh sử dụng MTCT để giải các bài toán liên quan đến đa thức.
Đối với giáo viên:
- Có được nội dung ôn tập cho học sinh khi lồng ghép các tiết giảng dạy với sự hỗ trợ của MTCT và đặc biệt cho đội tuyển đạt hiệu quả hơn.
- Định hướng được các dạng toán cũng như các phương pháp giải các bài toán về đa thức bằng MTCT.
Đối với học sinh:
- Nắm được cơ sở lý luận của phương pháp giải các bài toán về đa thức
- Vận dụng linh hoạt, có kĩ năng thành thạo.

- Nếu f(a) = 0 , đa thức f(x) chia hết cho nhị thức x – a
- Dư trong phép chia đa thức f(x) cho (ax + b) là f
- Nếu đa thức P(x) = anxn + an-1xn-1 +….+a1x + a0 ( n TM N) có n nghiệm x1 , x2 …,xn thì đa thức P(x) phân tích được thành nhân tử :
P(x) = a(x – x1)(x – x2) ….(x – xn-1)(x – xn)
Sơ đồ Horner:
Để tìm thương và số dư khi chia đa thức P(x) (từ bậc 4 trở lên) cho (x - c) trong trường hợp tổng quát. P(x) = anxn + an-1xn-1 +…+ a2x2 +
a1x + a0 chia cho (x – c)
ta có sơ đồ:
an an- 1 an - 2 … a1 a0
c bn-1 = an bn -2 =
cbn-1+ an -1
bn -3 =
cbn - 2+ an -2
… b0 = cb1 +a1 r = cb0 + a0
Vậy: P(x)=q(x)(x - c) + r với q(x) = bn-1xn-1 + bn-2xn-2 +…+ b1x + b0 và
r = c(c(…(c(can + an-1)) )) + a0 = cnan + cn -1an-1 + …+ ca1 + a0
B. GIỚI THIỆU CÁC PHÍM CHỨC NĂNG PHỤC VỤ VIỆC GIẢI TOÁN CỦA CHỦNG LOẠI MTCT CASIO:
- Các loại máy được sử dụng hiện nay ở trường phổ thông hầu hết là dòng máy casio fx: 500MS,500ES;500VN-Plus;570MS;570ES.
- Tuỳ theo cách sử dụng nhưng nhìn chung có hai cách cơ bản dành cho hai dòng máy:500ES;500VN-Plus;570ES và 500MS,570MS nhưng đối với
dòng máy 500ES;500VN-Plus;570ES thì việc nhập dữ liệu vào máy cũng như kết quả truy xuất hiển thị giống như phép toán ở sách giáo khoa.
- Các phím chức năng , các hàm cơ bản được bố trí dưới dạng hiển thị menu rất thông dụng
- Trong phạm vi của đề tài này chúng ta xem như học sinh đã biết cách sử dụng MTCT
C. CÁC DẠNG BÀI TẬPỨNG DỤNG :
Dạng 1:Xác định tham số m để đa thức P(x) + m chia hết cho
nhị thức (ax + b)
Khi chia đa thức P(x) + m cho nhị thức (ax + b) ta luôn được: P(x)=Q(x)(ax+b) + m + r.
Muốn P(x) chia hết cho x + thì m + r = 0 hay m = -r = - P( ).
Sử dụng hệ quả của định lý Bezout và chức năng giải phương trình và hệ phương trình của MTCT để giải quyết.
Ví dụ 1:Tìm m để đa thức f(x) = 4x4 – 5x3 + m2 x2 – mx – 80 chia hết cho x – 2
Giải :

g(3) = B(3) –3a + 2b = 318–3a +2b Þ g(3) = 0 <-> –3a +2b = –318
Ta có hệ phương trình :
Vào MODE EQN gọi chương trình giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta được nghiệm
( x = 60 ; y = –69) hay a = 60 , b = –69 .
Bài tập tương tự :
Bài 1: (Bộ GD – ĐT, 2005)
Cho biết đa thức P(x) = x4 +mx3 -55x2 +nx –156 chia hết (x – 2) và chia hết cho (x – 3). Hãy tìm giá trị của m, n và các nghiệm của đa thức.
Giải:
P(x) chia hết cho (x – 2) khi và chỉ khi P(2) = 0
Đặt A(x) = x4 – 55x2 – 156
Ta có P(x) = A(x) + 8m + 2n
P(2) = A(2) + 8m + 2n = -360 + 8m + 2n Þ P(2) = 0 <-> 8m + 2n = 360
P(3) = A(3) +27m + 3n= -570 + 27m + 3nÞP(3) = 0 <-> 27m + 3n = 570
Ta có hệ phương trình :
( n = 172; m = 2; )
Bài 2:Tìm m và n để hai đa thức P(x) và Q (x) cùng chia hết cho (x +4 )
P(x) = 4x4– 3x3 + 2x2 – x + 2m – 3n
Q(x) = 5x5 – 7x4 + 9x3 – 11x2 + 13x – 3m + 2n
HD : Tương tự như ví dụ 2
Đáp số:m = –4128,8 ; n = –2335,2
Dạng 2 : Tìm dư trong phép chia đa thức P(x) cho nhị thức ax + b
Khi chia đa thức P(x) cho nhị thức ax + b ta luôn được P(x)=Q(x)(ax+b) + r, trong đó (vì ax + b bậc 1). Thế ta được
P( ) = r ( Bezout)
Như vậy để tìm số dư khi chia P(x) cho nhị thức ax+b ta chỉ cần đi tính r = P( )
Ví dụ 3: (Sở GD - ĐT TPHCM, 1998) Tìm số dư trong phép chia:
Giải: Đặt P(x) =
thì số dư : r =P(1,624) = 1,62414 - 1,6249 - 1,6245 + 1,6244 + 1,6242 + 1,624 – 723
Qui trình ấn máy :
Ấn các phím:
Đáp số: r = 85,92136979

Ta lại có công thức truy hồi Horner: b2 = a3; b1= b2c + a2; b0= b1c + a1; r = b0c + a0.
Vậy: r = a0 +ca1 + c2a2 + c3a3
Tương tự như cách suy luận trên, ta cũng có sơ đồ Horner để tìm thương và số dư khi chia đa thức P(x) (từ bậc 4 trở lên) cho (x - c) trong
trường hợp tổng quát. P(x) = anxn + an-1xn-1 +…+ a2x2 + a1x + a0 chia cho (x – c)
Trước tiên thực hiện phép chia P(x)=q(x)(x - c)+r theo sơ đồ Horner để được q(x) và r với q(x) = bn-1xn-1 + bn-2xn-2 +…+ b1x + b0 ta được
bảng sau:
an an- 1 an - 2 … a1 a0
c bn-1 = an bn -2 =
cbn-1 + an -1
bn -3 =
cbn - 2+ an -2
… b0 = cb1 +a1 r = cb0 + a0
Do đó: r = c(c(…(c(can + an-1)) )) + a0 = cnan + cn -1an-1 + …+ ca1 + a0
Ví dụ5: Tìm thương và số dư trong phép chia x7 – 2x5 – 3x4 + x – 1 cho x – 5.
Giải
Ta có: c = 5; a7 =1; a6 = 0; a5 = -2; a4 = -3; a3 = a5 = 0; a1 = 1; a0 = -1; b6 = a7 = 1.
Qui trình ấn máy
Vậy :
x7 – 2x5 – 3x4 + x – 1 =
= (x - 5)(x6 + 5x5 + 23x4 + 112x3 + 560x2 + 2800x + 14001) + 7004.
( Ta cũng có thể sử dụng biến Ans để tìm các hệ số và số dư)
Ví dụ 6: Phân tích x4 – 3x3 + x – 2 theo bậc của x – 3.
Trước tiên thực hiện phép chia P(x)=q1(x)(x - c)+r0 theo sơ đồ Horner để được q1(x) và r0. Sau đó lại tiếp tục tìm các qk(x) và rk-1 ta được
bảng sau:
Tổng quát: P(x) = rn(x-c)n + rn-1(x-c)n-1 +…+ r2(x-c)2 + r1(x-c) + r0
1 0 -3 1 -2 x4-3x2+x-2
3 1 3 6 19 55 q1(x)=x3+ 3x2 + 6x +19, r0 = 55
3 1 6 24 91 q2(x)=x2+ 6x + 24, r1 = 91
3 1 9 51 q3(x)=x + 9, r2 = 51
3 1 12 q4(x)=1 = a0, r3 = 12

Bài toán:Tính giá trị của đa thức P(x,y,…) khi x = x0, y = y0; …
Phương pháp 1: (Tính trực tiếp) Thế trực tiếp các giá trị của x, y vào đa thức để tính.
Phương pháp 2: (Sơ đồ Horner, đối với đa thức một biến)
Viết dưới dạng
Vậy .
Đặt bn-1 = bnx0 + an; bn-2 = bn-1x0 + an-1; …; b1= b0x0 + a0; bo=a0. Suy ra: P(x0) = bn
Từ đây ta có công thức truy hồi: bk = bk-1x0 + ak với k ≥ 1.
Giải trên máy: - Gán giá trị x0 vào biến nhớ M.
Thực hiện dãy lặp: bk-1 + ak
Ví dụ 8: (Phòng GD - ĐT TÂY SƠN, 2009)
Tính C = . Với
Quy trình:
à C = -101,0981355.
Ví dụ 9 : (Sở GD TP HCM, 1996) Tính khi x = 1,8165
Cách 1: Tính nhờ vào biến nhớ
Aán phím: 1 8165
Đáp số : 1.498465582

Cách 2: Tính nhờ vào biến nhớ
Aán phím: 1 8165
Đáp số: 1.498465582
Phương pháp dùng sơ đồ Horner tương đối phức tạp ít hiệu quả ,đối với máy fx-500 MS;fx-500 ES chỉ nên dùng phương pháp tính trực tiếp
có sử dụng biểu thức chứa biến nhớ, riêng fx-570 MS;fx-570 ES có thể thế các giá trị của biến x nhanh bằng cách bấm , máy
hỏi X? khi đó khai báo các giá trị của biến x ấn phím là xong. Để có thể kiểm tra lại kết quả sau khi tính nên gán giá trị x0 vào một
biến nhớ nào đó khác biến Ans để tiện kiểm tra và đổi các giá trị.
Ví dụ 10 : Tính khi x = 1,8165; x = - 0,235678; x = 865,321
Khi đó ta chỉ cần gán giá trị x1 = - 0,235678 vào biến nhớ X:
235678
Dùng phím mũi tên lên một lần (màn hình hiện lại biểu thức cũ) rồi ấn phím là xong.
Bài tập tương tự :

Ta giả sử k(x) = ax2 + bx + c và gán cho k(x) nhận các giá trị k(1) = 11 k(2) = 14 , k(3) = 19
(nhận 3 trong 5 giá trị của P(x) đã cho)
ta có hệ phương trình :
nhập các hệ số vào máy tìm được nghiệm a = 1 , b = 0 , c = 10
Þ k(x) = x2 + 10 . Thử tiếp thấy k(4) = 26 và k(5) = 35
Vậy k(x) = x2 + 10 là đa thức phụ cần tìm . Tất nhiên khi thử k(4) 26 hoặc k(5) 35 thì buộc phải tìm cách giải khác .
Ở câu b) việc tìm số dư quá đơn giản đây là bài toán ở dạng 2 ở trên.
Quy trình: Dư trong phép chia P(x) cho 10x -3 là P( )
CALC…X? à à r = - 45,78407.
Bài tập tương tự :
Bài 1:(Thi khu vực 2002, lớp 9)
• Cho đa thức P(x) = x5 +ax4 +bx3 +cx2 +dx + e .
Biết P(1) = 1 ; P(2) = 4 ; P(3) = 9 ; P(4) = 16 ;
P(5) = 25 . Tính các giá trị của P(6) ; P(7) , P(8) , P(9)
HD:Ta giả sử k(x) = ax2 + bx + c và cho gán cho k(x) nhận các giá trị
k(1) = 1; k(2) = 4 , k(3) = 9
(nhận 3 trong 5 giá trị của P(x) đã cho)
ta có hệ phương trình :
nhập các hệ số vào máy tìm được nghiệm a = 1 , b = 0 , c = 0
Þ k(x) = x2 . Thử tiếp thấy k(4) = 16 và k(5) = 25
Vậy P(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) + x2
ÞP(6) = 36;P(7)=49;P(8) = 64;P(9)=81.
• Cho đa thức Q(x) = x4 + mx3 + nx2 + px + q và biết Q(1) = 5 , Q(2) = 7 ,
Q(3) = 9, Q(4) =11
Tính các giá trị Q(10) , Q(11) Q(12) , Q(13)
HD:Ta giả sử k(x) = ax2 + bx + c và cho gán cho k(x) nhận các giá trị
k(1) = 1; k(2) = 4 , k(3) = 9
(nhận 3 trong 5 giá trị của P(x) đã cho)
ta có hệ phương trình :
nhập các hệ số vào máy tìm được nghiệm a = 0 , b = 2 , c = 3

Biết P(1) = 8 , P(2) = 11 , P(3) = 14 , P(4) = 17 Tính P(15)
Giải :
Xét đa thức phụ k(x) = 3x + 5
Ta có k(1) = 8 ; k(2) = 11 ; k(3) = 14 ; k(4) = 17
Đặt g(x) = P(x) – k(x)
Ta có g(1) = g(2) = g(3) = g(4) = 0 hay g(x) có 4 nghiệm là 1 , 2 , 3 , 4 .
Từ đó suy ra g(x) phân tích được thành nhân tử :
g(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)
mà g(x) = P(x) – k(x) Þ P(x) = g(x) + k(x)
= (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4) + 3x + 5
àP(15) = 24074!
Chúng ta đã làm đúng theo qui trình của phương pháp vừa đưa ra nhưng kết quả nhận được là một đáp án sai. Vậy chúng ta đã nhầm lẫn ở bước
nào?
Ở bài toán trên khi chúng ta đặt đa thức g(x) = P(x) – k(x) thì kết quả nhận được là đa thức bậc 5 (Cùng bậc với P(x) vì k(x) là bậc 2 mà g(x) = P(x) –
k(x) ) và có hệ số cao nhất là 1 . Nên kết quả của bài sai là do đa thức g(x) tìm được chỉ là một đa thức bậc 4.
Vậy ta cần giải quyết bài toán này như thế nào?
Đa thức g(x) phải có hệ số cao nhất là hệ số cao nhất của P(x) nên g(x) được phân tích thành nhân tử như sau g(x) = (x + I) (x – 1)(x – 2) (x – 3) (x –
4) .
Vấn đề còn lại là tìm số I như thế nào ?
Vì g(x) = P(x) – k(x) Þ P(x) =g(x) + k(x)
Hay P(x) = (x + I) (x – 1)(x – 2) (x – 3) (x – 4) + 3x + 5
Þ Hệ số tự do của P(x) là I.(–1)(–2).(–3).(–4) + 5 = 132005
hay 24I = 132000
Þ I = 132000:24 = 5500
Vậy P(x) = (x + 5500)(x – 1) (x – 2) (x – 3) (x – 4) + 3x + 5
Þ P(15) = 132492410
Ví dụ 13:(Bộ GD – ĐT,2005)
Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + 132005. Biết rằng khi x lần lượt nhận các giá trị 1,2,3,4 thì giá trị tương ứng của đa thức P(x) lần lượt
là 8,11,14,17.
Tính giá trị của đa thức P(x) với x = 11,12,13,14,15

f(2) = f(-3). Tìm b,c,d.
Với b,c,d vừa tìm được ,Hãy tìm tất cả các số nguyên n sao cho
f(n)= n4 +bn3 +cn2 + dn + 43 là một số chính phương.
HD: Ta có: f(0) = f(-1)
f(1)= f(-2)
f(2) = f(-3).
Giải hệ pt :
Đáp số: b = 2; c = 2; d = 1
Khi xác định b, c, d ta có đa thức f(x) = x4 +2x3 +2x2 + x + 43 để tìm n sao cho f(n) là một số chính phương ta làm như sau :
Vì f(n)= n4 +2n3 + 2n2 + dn + 43=(n2 + n + 1)(n2 + n) +43 > 0,
Gán n vào biến nhớ thực hiện dãy tăng ,giảm của biến nhớ để tìm nếu kết quả nhận được một số nguyên thì ta xác định được n
để f(n) là một số chính phương.
Đáp số : n = -7; - 2; 1; 6.
Bài 2:
Cho f(2x – 3) = x3 + 3x2 – 4x + 5
a) Xác định f(x)
b) Tính f(2,33)
Giải:
a) Đặt t = 2x – 3 Þ
Þ f(t) =
Þf(x)
b)f(2,33)
Qui trình ấn phím :
Đáp số :34,57410463
Bài 3:
Cho đa thức P(x) =
a) Tính f(–4) , f(–3) , f(–2) , f(–1) ,f(0) , f(1) , f(2) ,f(3) , f(4)
b) Chứng minh rằng với mọi xTM Z thì P(x) nhận giá trị nguyên .
Giải :
a) Tính được f(–4) = f(–3) = f(–2) = f(–1) = f(0) = f(1) = f(2) = f(3) = f(4) = 0

Bài 5: (Thi khu vực 2002, lớp 9) Cho P(x) = x4 + 5x3 – 4x2 + 3x + m và
Q(x) = x4 + 4x3 – 3x2 + 2x + n.
a. Tìm giá trị của m, n để các đa thức P(x) và Q(x) chia hết cho x – 2.
b. Với giá trị m, n vừa tìm được chứng tỏ rằng đa thức R(x) = P(x) – Q(x) chỉ có một nghiệm duy nhất.
HD:P(x) , và Q(x) cùng chia hết cho (x – 2) khi và chỉ khi P(2) =Q(2) = 0
Đặt A(x) = x4 + 5x3 – 4x2 + 3x và B(x) = = x4 + 4x3 – 3x2 + 2x
Ta có f(x) = A(x) + m
g(x)=B(x) + n
P(2) = A(2) + m= 46 + m Þ P(2) = 0 <->m = - 46
Q(2) = B(2) + n = 40 + nÞ Q(2) = 0 <->n = - 40
-> R(x) = P(x) – Q(x) = x3 – x2 + x – 6 -> R(x) = 0 <-> x3 – x2 + x – 6 = 0
<->(x – 2)( x2 + x + 3) = 0 có nghiệm duy nhất x = 2
Bài 6: (Thi khu vực, 2003, lớp 9)
a. Cho P(x) = x5 + 2x4 – 3x3 + 4x2 – 5x + m.
1. Tìm số dư trong phép chia P(x) cho x – 2,5 khi m = 2003
2. Tìm giá trị m để P(x) chia hết cho x – 2,5
3. P(x) có nghiệm x = 2. Tìm m?
b. Cho P(x) = x5 + ax4 +bx3 + cx2 + dx + e. Biết P(1) = 3, P(2) = 9, P(3) = 19, P(4) = 33, P(5) = 51. Tính P(6), P(7), P(8), P(9), P(10), P(11).
HD:a) Dựa vào các ví dụ 1;3
b)Dựa vào các ví dụ 11
Bài 7: (Sở GD - ĐT Cần Thơ 2002)
Cho f(x)= x3 + ax2 + bx + c. Biết . Tính giá trị đúng và gần đúng của ?
HD: Dựa vào bài tập 1(Bài tập tổng hợp)
Bài 8: (Sở GD - ĐT Lâm Đồng, 2005)
Tìm m để P(x) chia hết cho (x -13)
biết P(x) = 4x5 + 12x4 + 3x3 + 2x2 – 5x – m + 7
HD : Đặt g(x) = 4x5 + 12x4 + 3x3 + 2x2 – 5x + 7 ta có P(x) = g(x) – m
P(x) M (x – 13 ) <-> P(13) = 0 hay g(13) – m = 0
Ta có g(13) = 1834775 Þ P(13) = 0 khi 1834775 – m = 0 <-> m = 1834775
Đáp số: m = 1834775

1.Tính năng của các phím, chủng loại máy,
2.Dạng bài, kiểu bài, … -> định hướng đi.
3.Các phép biến đổi, thuật toán,… -> Dãy lệnh cho máy.
4.Trình bày bài làm(lộ trình đối với những bài tập yêu cầu viết qui trình hoặc kết quả).
Đề tài: “Một số kinh nghiệm về giải các bài toán đa thức ở bậc THCS bằng MTCT ” giúp chúng ta định hướng cho học sinh các dạng bài tập về đa
thức và phương pháp giải những dạng toán đó. Giúp cho học sinh tự tin hơn trong việc giải các dạng bài tập về đa thức một cách sáng tạo, phối hợp
nhịp nhàng giữa tư duy và phương tiện bổ trợ, sử dụng có hiệu quả và khai thác hết chức năng của MTCT.
Kết quả khảo sát ở năm học 2009– 2010
BIẾT SỬ DỤNG MTCT ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐA THỨC
TỐT KHÁ - TBÌNH HẠN CHẾ
LỚP SL SL TL SL TL SL TL
7 30 10 33,3% 18 60% 2 6,7%
8 40 18 45% 22 55% 0 0%
9 90 55 61,1% 25 27,8% 0 0%
 Trường THCS Bình Nghi:
 Kì thi HSG giải toán trên MTCT cấp huyện:1.Nguyễn Lực - lớp 9 trường THCS Bình Nghi giải KK - HSG- MTCT.
 Kì thi HSG giải toán trên MTCT cấp Tỉnh:
1.Nguyễn Lực - lớp 9 trường THCS Bình Nghi giải KK - HSG- MTCT.
2.Nguyễn Quang Sinh- lớp 9 trường THCS Bình Thành giải KK - HSG- MTCT.
3. Lê Văn Đẽ- lớp 9 trường THCS Tây Giang giải KK - HSG- MTCT. ( Đội tuyển Tỉnh dự thi khu vực)
2. lợi ích và khả năng vận dụng:
- Giáo viên định hướng cách giải các bài tập về đa thức bằng MTCT.
- Có được tài liệu về việc giải toán bằng MTCT đan xen trong các tiết dạy chính khoá và sử dụng trong các buổi sinh hoạt ngoại khoá về giải toán trên
MTCT.
- Học sinh nắm được phương pháp giải, vận dụng hợp lý, sáng tạo sử dụng hiệu quả MTCT trong việc giải toán. Kết hợp giữa tư duy và thực hành
bước đầu hình thành nề nếp làm việc với MTĐT phù hợp với xu thế phát triển của CNTT.
3. Đề xuất kiến nghị:
- Giáo viên tự rèn, dạy rộng rãi MTCT nghiên cứu chuyên sâu phục vụ đội tuyển và nâng cao chất lượng các kì thi.
- Thư viện trường cần tổng hợp nhiều nội dung ,kiến thức liên quan đến MTCT phục vụ cho việc giảng dạy.
- Lãnh đạo: Chỉ đạo, kiểm tra, giám sát phát triển rộng khắp việc sử dụng MTCT trong dạy học