MỞ ĐẦU
Cơ cấu trục khuỷu - thanh truyền hiện đã được thừa nhận là một trong những
cơ cấu có mức rung động và tiếng ồn khá cao. Nhiều công trình nghiên cứu đã
được thực hiện trong lĩnh vực động lực học, với mục đích giảm sự rung động của cơ
cấu, để bảo đảm sự làm việc êm dịu của động cơ.
Lực tương tác gây ra bởi sự va đập của pittông với thành xilanh là một trong
những nguồn ồn cơ khí chính của động cơ điêzen. Đặc biệt, ngày nay vấn đề cường
hoá cho động cơ là hết sức cần thiết, một trong những biện pháp được coi là tối ưu
nhất là dùng biện pháp tăng áp cho động cơ. Đây chính là tính thực tiễn và cấp thiết
của đề tài.
Chính vì vậy tác giả lựa chọn đề tài: “Nghiên cứu sự tương tác và biến
dạng của cặp pittông - xilanh động cơ đốt trong khi tăng áp” làm đề tài luận văn
cao học.
Mục đích của đề tài được thể hiễn rõ qua tên đề tài là nghiên cứu sự tương
tác và biến dạng của cặp pittông - xilanh động cơ đốt trong khi tăng áp, trên cơ sở
đó đánh giá được sức bền và khe hở của cặp pittông - xilanh động cơ tăng áp.
Cấu trúc của luận văn gồm: Phần mở đầu; chương 1, 2, 3 và 4; tài liệu tham
khảo; phụ lục.
Nội dung chính của luận văn:
Chương 1: Chủ yếu nghiên cứu tổng quan về động cơ tăng áp và sự tương
tác của cặp pittông - xilanh động cơ đốt trong.
Chương 2: Nghiên cứu cơ sở lý thuyết của việc xây dựng mô hình tính toán
nhiệt động của động cơ khảo sát và mô hình khảo sát sự tương tác giữa chúng.
Chương 3: Đi sâu tính toán sự tương tác và biến dạng của cặp pittông -
xilanh động cơ D6 sau tăng áp.
Chương 4: Trình bày về kết luận và kiến nghị của luận văn.
1
CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ TĂNG ÁP ĐỘNG CƠ, SỰ TƯƠNG TÁC
CỦA CẶP PITTÔNG - XILANH ĐỘNG CƠ ĐỐT TRONG
VÀ TỔNG QUAN VỀ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
1.1. Tổng quan về động cơ tăng áp.

Dựa vào nguồn năng lượng để nén không khí trước khi đưa vào động cơ,
người ta chia các phương pháp tăng áp thành bốn nhóm sau đây:
2
1.1.2.1. Tăng áp dẫn động cơ khí :
Phương pháp tăng áp bằng dẫn động cơ khí được trình bày trên hình 1.1
Truyền động từ trục khuỷu động cơ, qua bánh răng, xích hoặc dây đai dẫn
động máy nén khí kiểu li tâm, kiểu roto, phiến gạt hoặc kiểu trục vít v.v
1.1.2.2. Tăng áp nhờ năng lượng khí thải.
Nguồn năng lượng để nén không khí được lấy từ khí thải. Nhóm này được
chia làm hai loại:
Tăng áp tua bin khí: được trình bày như trên hình 1.2
Máy nén K được dẫn động bởi tua bin khí T, hoạt động nhờ năng lượng khí
thải của động cơ. Không khí từ ngoài trời qua máy nén được nén tới áp suất p
k
> p
o
rồi vào xi lanh của động cơ. Do tăng áp tua bin khí được dẫn động nhờ năng lượng
khí thải không phải tiêu thụ công suất của động cơ như tăng áp cơ khí nên dẫn tới
có thể làm tăng tính kinh tế của động cơ, giảm suất tiêu hao nhiên liệu khoảng 3 -10
%. Động cơ tăng áp cao thường nắp két làm mát trung gian để giảm nhiệt độ, qua
đó nâng cao mật độ không khí tăng áp đi vào động cơ.Khi hoạt động ở những vùng
cao, công suất của động cơ tăng áp tua bin khí chỉ giảm rất ít so với trường hợp
3
Hình 1.1: Tăng áp dẫn động cơ khí
1- Máy nén ; 2 - Hệ thống truyền động ;
3- làm mát trung gian ;
4- bộ chế hòa khí; 5 - xăng
Hình 1.2: Các phương pháp tăng áp tua bin khí
[10]
a) Phương pháp tăng áp động cơ điêden

Trong đề tài này tăng áp cho động cơ sử dụng biện pháp bua bin - máy nén
1.1.3. Sự thay đổi hiệu suất cơ giới của động cơ trước và sau khi tăng áp.
Sau khi tăng áp các thông số chỉ thị của động cơ thay đổi rất ít, nhưng các
thông số có ích như hiệu suất có ích η
e
và suất tiêu hao nhiên liệu có ích g
e
của động
cơ thay đổi rất nhiều so với trước khi tăng áp. Như vậy sự thay đổi các thông số có
ích như η
e
và g
e
là do sự thay đổi của hiệu suất cơ giới η
m
sau khi tăng áp gây ra.
Tính chất thay đổi của hiệu suất cơ giới η
m
sau khi tăng áp chủ yếu phụ thuộc vào
hệ thống tăng áp. Ta đều biết công suất tổn thất của động cơ N
m
rất ít phụ thuộc vào
phụ tải mà chủ yếu phụ thuộc vào số vòng quay của dộng cơ, vì vậy có thể giả thiết
gần đúng rằng: sau khi tăng áp nếu số vòng quay n của động cơ vẫn giữ nguyên
không đổi thì công suất tổn thất cơ giới của động cơ sẽ có giá trị giống như trường
hợp chưa tăng áp η
mT
được tính như sau:
TKmeT
eT

eT
T
N
N
P
P
==
λ
( khi n = const) là mức độ tăng áp của động cơ ( trong đó
p
e
và n
e
là áp suất có ích trung bình và công suất có ích của động cơ chưa tăng áp)
và gọi
i
K
K
N
N
=
'
δ
và
i
T
T
N
N
=

’
K
= η
’
T
do đó :
( )
11 +−
=
Tm
mT
mT
λη
ηλ
η
(1.3)
Qua công thức (1.3) ta thấy khi dùng biện pháp tăng áp bằng thiết bị máy nén
tuốc bin khi quay tự do đã làm cho hiệu suất cơ giới η
mT
tăng lên rõ rệt.
Trong trường hợp tăng áp tuốc bin khí có liên hệ cơ giới hoặc thủy lực hoặc
trường hợp tăng áp hỗn hợp, thì hiệu suất cơ giới của toàn bộ thiết bị sau khi tăng
áp sẽ là:
TKmđ
iT
TKeT
mT
N
NNN
δδηη

Mô hình này được xây dựng để khảo sát bài toán động học và động lực
học cơ cấu khuỷu trục - thanh truyền với giả thiết giữa pittông và xilanh không có
khe hở, pittông và xilanh có độ cứng tuyệt đối, không có sự biến dạng trong quá
trình làm việc (hình 1.5).
x
'
K
p
''
K
N
P
1
T
K
Z
y
0
K
p
A
β
α
B
ω
O
Hình 1.5: Mô hình tương tác giữa pittông - xilanh khi không có khe hở và không
tương tác [7], [10], [12].
Trong trường hợp này, chuyển động của pittông chỉ có một bậc tự do, đó là
chuyển động tịnh tiến qua lại của pittông dọc theo đường tâm xilanh (chuyển động

αλ
β
βα
3
2
cos
cos.
cos
)cos(
+
+
Các công thức (1.1) và (1.2) là công thức chính xác để tính S
y
và J
y
.
Trong thực tế tính toán, người ta thường tính theo công thức gần đúng:
S
y
≈ R[(1- cosα) +
4
λ
(1- cos2α)]
J
y
≈ R.ω
2
(cosα + λ.cos2α) (1.7)
Lực quán tính của các khối lượng tham gia chuyển động tính tiến của cơ cấu khuỷu
trục - thanh truyền giao tâm được tính theo công thức chính xác (1.7) hoặc tính theo

k
-
"
p
k
Hợp lực
1
P
của các lực
p
k
và
j
P
tác dụng lên pittông và đặt tại trọng tâm của khối
lượng chuyển động tịnh tiến (điểm A hình 1.5) và được phân thành 2 thành phần:
Lực vuông góc với đường tâm xilanh:
N =
1
P
.tgβ (1.10
Lực tác dụng theo đường tâm thanh truyền:
K =
1
P
/cosβ (1.11)
Lực K đặt tại tâm chốt khuỷu và được phân thành 2 thành phần:
Lực tiếp tuyến T =
1
P

pittông và đầu nhỏ thanh truyền mà thân pittông còn thực hiện chuyển động “lắc”
xung quay tâm chốt pittông. Như vậy ngoài chuyển động chính (chuyển động tịnh
tiến dọc theo đường tâm xilanh), thân pittông còn tham gia 2 chuyển động phụ và
chuyển động của thân pittông sẽ có 3 bậc tự do. (hình 1.7)
Hình 1.6: Chuyển động của pittông trong khe hở giữa pittông – xilanh [7].
Để đặc trưng cho các chuyển vị ngang của thân pittông người ta sử dụng hai
toạ độ suy rộng là e
t
và e
b
, mô tả dịch chuyển ngang của các mặt phẳng phía trên của
thân pittông (mặt AD) và mặt phẳng phía dưới của thân pittông (mặt BC). (hình 1.7)
9
Hình 1.7: Lực, mômen tác dụng lên pittông và chuyển động của pittông theo
phương x và hai toạ độ suy rộng e
t
, e
b
[12].
Theo [5], [6], [10] phương trình vi phân mô tả chuyển động phụ của pittông khi có
khe hở và không tương tác có dạng ma trận như sau:
(1 ) (1 )
( )(1 )
p c
P
p
b a
m m
H H
I b

{ }
{
e
e
t
e
b
••
••
••
 
 
 
 
 
=
N f
N f
F
pt
F F tg
M M
φ
 
 
 
 
 
 
+

b a
m m
H H
I b
m a b
H H

− + −



+ − −



( )
p c
p
p
b a
m m
H H
I
b
m a b
H H

+



- Xilanh có kết cấu vỏ trụ mỏng, được định vị trong thân máy bằng vành vai tựa. Bỏ
qua sự biến dạng của các vành vai tựa khi làm việc.
- Màng dầu bôi trơn trong khe hở giữa pittông và xilanh là môi trường trung gian
truyền lực tương tác giữa pittông và xilanh. Chuyển động phụ của thân pittông gây
ra va đập giữa pittông và xilanh.
Phương trình vi phân mô tả chuyển động phụ của thân pittông khi có tương tác
được biểu diễn dưới dạng ma trận [6], [7], [12]:
(1 ) (1 )
( )(1 )
p c
P
p
b a
m m
H H
I b
m a b
H H

− + −



+ − −



( )
p c
p

 
=
{ }
1
.
.
pt
N S f N
N S S f
F
F F F tg F
M F y M
φ
 
+ + +
 
 
+ +
 
 
∑
∑
1 4 4 4 44 2 4 4 4 4 43
;(1.15)
[m
pt
]
trong đó:
F
1N

= F
đh
+ F
C
= - δ
S
[K
d
(l
b
- X
C
)] - C
d
(
b C
e X
• •
−
) (1.17)
trong các biểu thức (1.16) và (1.17):
- F
đh
, F
C
- lực đàn hồi và lực cản nhớt của màng dầu
- K
d
, C
d

0
= 15
o
C. Khi động cơ làm việc, các chi tiết pittông và xilanh
động cơ bị nung nóng và gây nên sự giãn nở dài vì nhiệt của vật liệu, làm cho khe
hở nhiệt giữa pittông và xilanh thay đổi, đặc biệt là trong trường hợp pittông và
xilanh chế tạo bằng các loại vật liệu khác nhau. Trong luận văn tác giả sẽ nghiên
cứu về ảnh hưởng của phụ tải nhiệt, phụ tải cơ học ( áp suất khí cháy) của động cơ
sau tăng áp đến sự tương tác giữa pittông và xi lanh động cơ đốt trong.
12
1.3. Một số kết quả nghiên cứu trong nước.
Từ những năm 90 của thế kỷ trước, các nhà khoa học Việt Nam đã bắt đầu
chú ý đến nghiên cứu về dao động cơ cấu và máy. Trong đó có thể kể đến các công
trình nghiên cứu của GS. Nguyễn Văn Khang và các cộng sự (ĐHBK Hà Nội). Các
tác giả chủ yếu đưa ra các mô hình lý thuyết nghiên cứu động lực học máy. Việc
thiết lập và giải các phương trình vi phân chuyển động và dao động chủ yếu được
tiến hành bằng giải tích với mô hình các cơ cấu hệ thống đơn giản, các cụm và cơ
cấu phức tạp hơn chưa được đề cập nhiều.
Đối với động cơ đốt trong, việc nghiên cứu hoàn thiện các cụm, cơ cấu cũng
được đề cập trong một vài năm trở lại đây. Trong đó, có thể kể đến đề tài nghiên
cứu của Lương Công Nhớ (2000), Đại học Hàng hải Hải Phòng. Nghiên cứu giảm
rung cho động cơ D12 lắp trên tàu thuyền cỡ nhỏ, tác giả nghiên cứu lý thuyết cùng
với thực nghiệm. Về lý thuyết, nghiên cứu rà soát sự không đồng đều về khối lượng
của pittông khi thiết kế động cơ, xác định các lực quán tính cấp 1, 2 của khối lượng
các chi tiết chuyển động của pittông trong bốn xilanh và tính dao động của động cơ
tổng thành do nguồn kích thích này trước và sau rà soát thiết kế. Kết quả được chỉ
ra là sự không đồng đều của khối lượng nhóm pittông là một trong các nguyên nhân
gây ra dao động động cơ.
Năm 2001, Chu Văn Đạt ứng dụng mô hình siêu phần tử phẳng nghiên cứu
động lực học cơ cấu tay quay con trượt có xét đến biến dạng đàn hồi của thành

công cụ hiện đại để giải quyết vấn đề này là có ý nghĩa khoa học và thực tiễn.
14
1.4. Kết luận chương 1 và tổng quan về vấn đề nghiên cứu.
Qua việc tổng quan về vấn đề nghiên cứu, ta có thể rút ra một số kết luận sau:
 Chuyển động thực của pittông trong xilanh động cơ là chuyển động phức tạp,
ngoài chuyển động chính, còn các chuyển động trong khe hở giữa chúng (chuyển
động phụ) sinh ra lực va đập giữa pittông với thành xilanh. Trong nhiều trường hợp,
chuyển vị, vận tốc, gia tốc chuyển động phụ của pittông lớn lặp lại theo thời gian
gây rung ồn cơ khí, mài mòn và ăn mòn xâm thực cụm pittông - xilanh, giảm tuổi
thọ động cơ. Đây là vấn đề trong thực tế kỹ thuật đặt ra nhiều bài toán cơ học cho
các nhà thiết kế và khai thác sử dụng cần quan tâm nghiên cứu.
 Việc nghiên cứu chuyển động phụ của pittông trong xilanh động cơ và sự tương
tác giữa chúng được phát triển mạnh vào những năm 90 của thế kỷ trước, do sự phát
triển của động cơ cao tốc, công suất trên một đơn vị công tác lớn và trọng lượng
nhẹ. Đã có nhiều công trình được công bố với những mô hình khác nhau. Mỗi mô
hình đều chấp nhận những giả thiết nhất định và đáp ứng các mục đích nghiên cứu
riêng lẻ của từng tác giả và mang tính chất công bố nên không có được các thuật
toán chi tiết, và được tạm chia theo ba mô hình đã nêu. Tuy nhiên, với mô hình
tương tác, hầu hết các nghiên cứu lý thuyết đều mô hình hoá dao động ngang của
cụm pittông - xilanh bằng các mô hình tương đương, chưa có lực thực của pittông
đặt lên thành xilanh.
 Dựa trên mô hình có khe hở và không tương tác, tác giả phát triển mô hình tính
toán tương tác bằng việc bổ sung lực tương tác giữa chúng thông qua môi trường
trung gian là màng dầu, xilanh coi là vỏ trụ mỏng kết cấu đàn hồi tuyến tính.
 Như chúng ta đã biết, sau khi nâng cao công suất của động cơ, một trong những
việc cần quan tâm nhất là sự tương tác và biến dạng của cặp pittông - xilanh như thế
nào? Đây chính là nội dung mà luận văn tập trung giải quyết.
 Với những kết luận rút ra ở trên, trong nội dung luận văn của mình tác giả tập
trung giải quyết những vấn đề sau: Đó là với sự tăng áp cho động cơ như vậy, nhiệt
độ môi chất có thay đổi không? Với nhiệt độ khí cháy thì khe hở giữa pittông và

chính là nội dung chính của luận văn.
Việc giải bài toán này dù tiến hành bằng phương pháp nào thì cũng phải dựa
trên cơ sở xây dựng mô hình toán học để tính toán. Trước đây việc xây dựng mô
hình toán học của các chi tiết động cơ thường chỉ dừng lại mô hình bài toán phẳng
(2D). Hiện nay, do sự phát triển của công nghệ thông tin và các phương pháp tính
toán hiện đại, mô hình 3D đã được ứng dụng rất rộng rãi để giải các bài toán kỹ
thuật và có thể dùng cho việc tính toán trường ứng suất của pittông và xilanh động
cơ đốt trong.
2.2. Mô hình hình học cặp pittông và xilanh động cơ khảo sát.
2.2.1. Mô hình hình học pittông.
Pittông động cơ là chi tiết có kết cấu phức tạp, thường được chia thành 3
phần chính: đỉnh, đầu và thân. Đỉnh pittông có nhiệm vụ cùng với xilanh, nắp
xilanh tạo thành buồng cháy, và là phần chịu phụ tải nhiệt rất lớn. Do mức độ quan
trọng của việc tạo xoáy lốc cho dòng khí, nên đỉnh pittông phải có kết cấu phù hợp
với hình dạng buồng cháy. Chính vì thế mà kết cấu của phần đỉnh hết sức phức tạp.
Phần đầu pittông có đường kính nhỏ hơn phần thân, và có các rãnh để lắp xéc măng
17
bao kín. Phần thân có nhiệm vụ dẫn hướng cho pittông chuyển động trong xilanh và
chịu tác dụng của lực ngang N.
Ø149.45
-0.05
R
4
R69
R67.5
120X4
-0.12
-0.35
19.3
+0.2

2.4
+0.09
+0.07
2.4
+0.07
+0.05
2.4
+0.05
+0.03
8.3A7
+0.36
R3
11
+0.2
-0.2
24.38
31.08
Ø137C4
-0.26
Ø42
-0.012
-0.028
38.5
+0.15
-0.15
Ø148.7
-0.05
R3
4.75
+0.5

Ø150A
+0.04
Ø165H20
+0.043
+0.003
Ø164
+0.073
+0.003
3
+0.5
-1
Ø172C4
-0.26
R1
R0.2
3
0
°
+
5
°
-
5
°
R1
0.5x45°
R2
R
2
R

, e
b
. Hình 2.3a.
- Xilanh coi là vỏ trụ mỏng kết cấu đàn hồi tuyến tính, được rời rạc hoá bằng
phương pháp phần tử hữu hạn (PP PTHH) với các phần tử hình chữ nhật, số các
PTHH của kết cấu xilanh nằm trên quỹ đạo di chuyển của lực tương tác ở hai bên
thành xilanh, trực tiếp nhận lực tương tác được chọn sao cho mặt phẳng phần tử
vuông góc với phương tác dụng của lực tương tác (lực tương tác chỉ gây uốn phần
tử). Xilanh được cố định trong khối thân máy với các dạng liên kết khác nhau (vị trí
của các gối tựa của xilanh trên thân máy là bất kì). Bỏ qua biến dạng tại các gối tựa
của xilanh trên thân máy.
- Bao quanh mặt ngoài xilanh là lớp nước làm mát cho động cơ, được mô tả là nền
đàn hồi. PTHH kết cấu xilanh liên kết với nền (áo nước) được mô hình hoá bằng
20
một tấm chữ nhật có liên kết với nền qua phần tử đàn hồi hệ số k
n
(hệ số nền). Phần
tử đàn hồi k
n
có phương vuông góc với mặt phẳng phần tử.
- Màng dầu bôi trơn giữa thân pittông và thành xilanh là môi trường trung gian
truyền lực tương tác giữa chúng. Chuyển động phụ của pittông gây ra lực ép và lực
va đập giữa thân pittông với thành xilanh. Khi không có va đập (khi pittông ép về
từng phía với thành xilanh), lực tương tác giữa chúng truyền qua màng dầu được
thay thế bằng phần tử cản nhớt tuyến tính hệ số c
d
. Hình 2.3a lực tương tác được xét
trong mặt phẳng chứa đường tâm xilanh và vuông góc với trục chốt pittông (mặt
phẳng lắc của thanh truyền - mặt phẳng mà tương tác giữa chúng là lớn nhất [6],
[7], [8], [12]. Hình 2.3b khi có va đập (khi pittông xoay trong khe hở), lực tương tác

vuông góc với phương tác dụng của lực tương tác (chỉ gây uốn phần tử). Điểm đặt
lực tương tác trên thành xilanh, trong hệ toạ độ cục bộ của phần tử vị trí (ξ, η) (với
ξ=const, η(t)) theo quỹ đạo là đường thẳng.
22
Hình 2.5: Tương tác giữa thân pittông với phần tử kết cấu xilanh.
Trong biểu thức (1.16), X
D
,
D
X
•
tương ứng là dịch chuyển và vận tốc theo
phương vuông góc với mặt phẳng phần tử kết cấu xilanh, điểm D (điểm đặt lực
tương tác trên thành xilanh – khi điểm D trên thân pittông tiếp xúc với thành
xilanh). Hình 2.4, sử dụng hàm dạng của phần tử kết cấu xilanh (phần tử vỏ, thành
phần uốn), ta có:
X
D
= [N(ξ, η(t))]{q
e
};
D
X
•
= [N(ξ, η(t))]{
e
q
•
}; (2.1)
Thay (2-1) vào (1-16) ta được:

thẳng đứng về hai phía với thành xilanh (phương Oy, toạ độ ξ=const), quy luật
chuyển động của điểm đặt được mô tả bằng hàm η(t), phụ thuộc vào hành trình
chuyển động chính của pittông theo phương y, đã được xác định ở mục trên.
23
Từ phương trình (1.14), ký hiệu:
[m
pt
] =
(1 ) (1 )
( )(1 )
p c
p
p
b a
m m
H H
I
b
m a b
H H

− + −



+ − −



( )

 
 
+ +
 
 
∑
∑
; (2.4)
[m
1
] =
(1 ) (1 )
p c
b a
m m
H H

− + −


p c
b a
m m
H H

+


; (2.5)
{ }

1
] - lần lượt là ma trận khối lượng của pittông, ma trận hàng thứ
nhất của pittông
+ {F
0
},
{ }
e
••
- tương ứng là véc tơ các lực tác dụng lên pittông, véc tơ gia tốc
của pittông theo các toạ độ suy rộng
+ f
1
- tổng lực tác dụng lên pittông có phương vuông góc với thành xilanh.
Lực tương tác F
1N
được tính như sau:
F
1N
= [m
1
].
{ }
e
••
- f
1
; (2.8)
Lực tương tác (2.8) là lực tập trung tại vị trí (ξ, η(t)) được mô tả bởi lực phân bố
p(x, y, t) có dạng:

Theo PP PTHH, véc tơ lực nút của phần tử được xác định từ lực phân bố p(x,
y, t) trên phần tử theo công thức:
{F
e
} =
[ ]
0 0
( , ) ( , , )
a b
T
N x y p x y t dxdy
∫∫
=
=
[ ]
1
0 0
( , ) ( ). ( , )
a b
T
N
N x y F t x y dxdy
δ ξ η
− −
∫∫
(2.14)
trong đó: [N(ξ, η(t))] là ma trận các hàm dạng của phần từ ở trạng thái uốn.
Theo tính chất của hàm Delta-Dirac (2.13), thì (2.14) trở thành:
{F
e

1
; (2.16)
Phương trình vi phân dao động của phần tử kết cấu xilanh khi chịu uốn do tác dụng
của véctơ lực nút {F
e
} có dạng:
{ } { }
0 0 0
e e e e e e e
M q C q K q F
•• •
   
     
+ + =
   
     
   
; (2.17)
Từ phương trình vi phân dao động của pittông (1.15), với F
1N
xác định theo
(2.8), và phương trình vi phân dao động uốn của phần tử kết cấu xilanh xác định
theo (2.17) với véctơ lực nút (2.16), ta có:
{ }
0 0 0
e e e e e e
M q C q K q
•• •
   
     

0
e
K
 
 
,
[ ]
( , ( ))N t
ξ η
tương ứng là ma trận khối lượng, ma trận
cản, ma trận độ cứng của bản thân phần tử kết cấu xilanh chịu uốn, cấp 12x12 và
hàm dạng ma trận các hàm dạng của phần tử đối với chuyển vị uốn của phần tử, đã
được xác định trong các tài liệu về phần tử hữu hạn.
25

Trích đoạn Phương pháp phần tử hữu hạn.

---