class="bi x0 y0 w1 h1"
mathlinks.vn
Khoỏ giÊi THPT Quậc Gia - Thảy: ng Thnh Nam
Mụn: Toỏn; ú Sằ 01/50
Thèi gian lm bi: 180 phỳt, khụng k thèi gian giao
Liờn hê ng k khoỏ hc: Hotline: 0976 266 202
Cõu 1(4,0 im) Cho hm sậ y =
2x 1
x 1
(1).
1. KhÊo sỏt sá bin thiờn v v th hm sậ (1).
2. Cho hai im A(1; 2) v B(5; 2).Vit phẽng trỡnh tip tuynca (1) cỏch u A, B.
3. Tỡm im M thuẻc (1) cú tng khoÊng cỏch n 2 trctoĐ ẻ Đt giỏ tr nh nhòt.
Cõu 2(4,0 im) GiÊi cỏc phẽng trỡnh
1.
p
2tanx(1 cos x)=
1
cos x
1.
2.
p
4 + ln(x + 1)+x
3
2x
2
+ x 2 = 0.
Cõu 3(1,5 im) Gi S l hỡnh phỉng giểihĐnbi cỏc èng y = x
2
3x + 1; y = 4x + 3. Tớnh th
tớch khậi trũn xoay khi quay S quanh trc honh.

cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng cõn tĐi A, BC = 2a.
Hỡnh chiu vuụng gúc ca A
0
lờn mt phỉng (ABC) l trung imcĐnh AB, gúc gia èng thỉng
A
0
C v mt ỏy băng 60
0
. Tớnh th tớch khậilng tr ABC.A
0
B
0
C
0
v khoÊng cỏch tim B nmt
phỉng (AC C
0
A
0
).
Cõu 7(3,5 im)
1. Trong khụng gian vểihê toĐ ẻ Ox yz cho im A(1; 0; 1) v mt phỉng (P) :2x + 2y z 12 = 0.
Vit phẽng trỡnh èng thỉng d i qua A vuụng gúc vểi (P). Tỡm toĐ ẻ hỡnh chiu vuụng gúc ca
A trờn (P).
2. Trong mt phỉng vểi trctoĐ ẻ Ox y cho hỡnh ch nht ABCD cú ứnh A(4; 8).Gi M l im
thuẻc tia BC thoÊ món CM = 2BC, N l hỡnh chiu vuụng gúc ca B trờn DM. Tỡm toĐ ẻ im B, bit
N(83/13; 1/13)v ứnh C thuẻc èng thỉng 2x + y + 5 = 0.
Cõu 8(1,5 im) GiÊihê phẽng trỡnh
8
<

Khoỏ giÊi THPT Quậc Gia - Thảy: ng Thnh Nam
Mụn: Toỏn; ú Sằ 02/50
Ngy t hi: 25/01/2015
Thèi gian lm bi: 180 phỳt (khụng k thèi gian phỏt )
Liờn hê ng k khoỏ hc: Hotline: 0976 266 202
Cõu 1 (2,0 im). Cho hm sậ y = 2x
3
3x
2
+ 1(1).
1. KhÊo sỏt sá bin thiờn v v th hm sậ (1).Gi A, B l 2 imcác tr ca (1). Chng minh răng
tam giỏc AOB vuụng cõn (vểi O l gậctoĐ ẻ).
2. Vit phẽng trỡnh èng thỉng d tip xỳc vểi (1) tĐi im cú honh ẻ x
1
> 0 v ct (1) tĐi im cú
honh ẻ x
2
thoÊ món 2x
1
x
2
= 1.
Cõu 2 (1,0 im).
1. GiÊi phẽng trỡnh log
2
(x
2
1) log
2
(x + 1)

Cõu 5 (1,0 im). Cho hỡnh chúp S.ABC cú AB = a, AC = a
p
3, BC = 2a, SA = SB = SC v tam giỏc
SBC vuụng. Tớnh th tớch khậi chúp S.ABC v khoÊng cỏch gia hai èng thỉng SA v BC.
Cõu 6 (1,0 im). Trong khụng gian vểi trctoĐ ẻ Oxyz cho mt phỉng (P ) : x + y z + 1 = 0 v
èng thỉng d :
x 2
1
=
y 1
1
=
z 1
3
. Tỡm toĐ ẻ giao im I ca d v (P).Vit phẽng trỡnh èng
thỉng d
0
vuụng gúc vểi (P) v ct d tĐi H sao cho IH =
7
p
3
9
.d(H; (P)).
Cõu 7 (1,0 im). Trong mt phỉng toĐ ẻ Ox y cho tam giỏc ABC cú phẽng trỡnh èng phõn giỏc
trong gúc A l y 3 = 0.Gi M(1; 4), N(3; 1) lảnlềt l cỏc im thuẻc cỏc èng thỉng AB, AC. Tỡm
toĐ ẻ cỏc im B, C bit trng tõm tam giỏc ABC l im G

11
3
;

2

a
3
+ b
3
+ c
3
ab + bc + ca + 5
.
HũT
ng k nhúm 3 hc sinh nhn u ói hc phớ - Chi tittĐi: www.mathlinks.vn
mathlinks.vn
Khoỏ giÊi THPT Quậc Gia - Thảy: ng Thnh Nam
Mụn: Toỏn; ú Sằ 03/50
Ngy t hi: 29/01/2015
Thèi gian lm bi: 180 phỳt (khụng k thèi gian phỏt )
Liờn hê ng k khoỏ hc: Hotline: 0976 266 202
Cõu 1 (2,0 im). Cho hm sậ y = x
4
2x
2
+ 1(1).
1. KhÊo sỏt sá bin thiờn v v th hm sậ (1). Tỡm m phẽng trỡnh x
4
2 x
2
= m cú bận nghiêm
phõn biêt.
2. Vit phẽng trỡnh tip tuyn d ca (1) tip xỳc vểi ( 1) tĐi hai im phõn biêt.

.
Cõu 3 (1,0 im). Tớnh tớch phõn I =
4
R
0


x
2
7x + 6


dx.
Cõu 4 (1,0 im).
a). Tỡm sậ phc z thoÊ món
|
z 1 i.z
|
= 1 v z
2
3 l sậ thuản Êo.
b). Cho sậ tá nhiờn n lểnhẽn 2 v khai trin

x
n

nx
2
2


toĐ ẻ im M trờn d tam giỏc MAB cú diên tớch nh nhòt.
Cõu 7 (1,0 im). Trong mt phỉng toĐ ẻ Ox y cho hỡnh vuụng ABCD.Gi F l im trờn cĐnh AB thoÊ
món 7BF = 5FA, èng thỉng i qua trung im E cacĐnh AD v trng tõm G ca tam giỏc ABC cú
phẽng trỡnh l 11x 7y + 6 = 0 . Bit F


13
6
;
3
2

v ứnh B cú tung ẻ õm. Tỡm toĐ ẻ cỏc ứnh hỡnh
vuụng ABCD.
Cõu 8 (1,0 im). GiÊihê phẽng trỡnh
8
<
:
(x y +
p
2xy)( y x)x
2
= 1
q
2xy +(y 2x)(x +
p
2xy 4)+
p
y x = 2x +
p

+ a
2
)
16.
ab + bc + ca
ab + bc + ca + 1
.
HũT
mathlinks.vn
Khoỏ giÊi THPT Quậc Gia - Thảy: ng Thnh Nam
Mụn: Toỏn; ú Sằ 04/50
Ngy t hi: 01/02/2015
Thèi gian lm bi: 180 phỳt (khụng k thèi gian phỏt )
Liờn hê ng k khoỏ hc: Hotline: 0976 266 202
Cõu 1 (2,0 im). Cho hm sậ y =
(m 1)x m
2
x m
(1),(m 6= 1; m 6= 0).
1. KhÊo sỏt sá bin thiờn v v th hm sậ (1) vểi m = 2.
2. Tỡm m èng thỉng y = 2x 1 ct (1) tĐi hai im phõn biêt A, B sao cho tam giỏc OAB cú diên
tớch băng
p
3 (vểi O l gậctoĐ ẻ).
Cõu 2 (1,0 im).
a). GiÊibòt phẽng trỡnh log
2
x log
x
64 < 1.

Cõu 8 (1,0 im). GiÊibòt phẽng trỡnh (3 +
3
p
7x 6)(4 +
p
7 3x) x
2
+ 4x + 21.
Cõu 9 (1,0 im). Cho x, y, z l cỏc sậ thácdẽng thoÊ món x
2
y
2
+ y
2
z
2
+ z
2
x
2
= 3. Tỡm giỏ tr nh nhòt
ca biuthc P = 64

x + y
x + y + z + 1

3
+
96z
2

= 8.
Cõu 2 (1,0 im). GiÊi cỏc phẽng trỡnh
a) cos 2x sin x =
p
3(1 + 2sinx) cos x; b) 8log
9
(2x + 5) log
p
3
(3x 6)
2
+ 4 = 0.
Cõu 3 (1,0 im). Tớnh diên tớch hỡnh phỉng giểihĐnbi cỏc èng y = x
2
+ 4x 3; y = 3x 9.
Cõu 4 (1,0 im).
a) Cho sậ tá nhiờn n v sậ phc z thoÊ món (2 + 3i)( z + 2z)=2 + 7z. Chng minh w = z
n
+ z
n
l sậ
thác.
b) cú th dá thi vo hê c nhõn s phĐm Toỏn camẻt trèng Đihcs phĐm trèng ra yờu cảubt
buẻc thớ sinh lm bi thi riờng ậivểi mụn Toỏn gm 9 cõu hi trong ú cú 3 cõu hid (gm 1 cõu 2,0
im v 2 cõu 1,0 im); 4 cõu hi trung bỡnh khỏ (mẩi cõu 1,0 im) v 2 cõu hi khú (mẩi cõu 1,0 im).
Thớ sinh Đt yờu cảunu ềc ớt nhòt 8,0 im trong úbt buẻc phÊi hon thnh mẻt cõu hi khú. Hi
cú bao nhiờu cỏch mẻt thớ sinh vềt qua bi thi riờng.
Cõu 5 (1,0 im). Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh thoi cĐnh 2a,
[
BAD = 60

2
;
3
2

l im thuẻc oĐn BD thoÊ món DM = 3BM. èng thỉng CD i qua
im N(1; 1). Tỡm toĐ ẻ cỏc ứnh B, D bit x
D
> 2.
Cõu 8 (1,0 im). GiÊihê phẽng trỡnh
8
<
:
(x y)
2
= 2y
2
+ 8x + 1
(x 2y)( x y)
2
=(y + 1)
2
2x
(x, y 2 R).
Cõu 9 (1,0 im). Cho x, y, z l cỏc sậ thác thay i thoÊ món (x y)
2
+(y z)
2
+(z x)
2

8
5

. Tỡm m (1) cú 3 imcác tr A, B, C v IA = IB = IC.
Cõu 2 (1,0 im). GiÊi cỏc phẽng trỡnh
a) tan x.cot

x +

4

= 1 tan x; b) 6
2xx
2
+ 2 = 2
2xx
2
+ 2.3
2xx
2
.
Cõu 3 (1,0 im). Tớnh tớch phõn I =
6
R
3
x +
p
x 2
x 2
dx.

2 v ct Ox, Oy, d lảnlềt theo cỏc oĐnthỉng
AB, CD, MN thoÊ món S
IMN
= 1; AB = CD(x
I
> 0).
Cõu 8 (1,0 im). GiÊihê phẽng trỡnh
8
>
>
<
>
>
:
x(x +
p
(x y)(x 2y)) =
q
y(y + 3)
2
12x + y + 7(
p
y(x y)+
p
y(x 2y)) = 8
s
(y + 3)
2
y
.

HũT
Hotline: 0976 266 202 - ng k nhúm 3 hc sinh nhn u ói hc phớ
mathlinks.vn
Khoỏ giÊi THPT Quậc Gia - Thảy: ng Thnh Nam
Mụn: Toỏn; ú Sằ 07/50
Ngy t hi: 11/02/2015
Thèi gian lm bi: 180 phỳt (khụng k thèi gian phỏt )
Liờn hê ng k khoỏ hc: Hotline: 0976 266 202 - Chi tit: www.mathlinks.vn
Cõu 1 (2,0 im). Cho hm sậ y = x
3
(m + 2)x
2
+(2m + 1)x 1(1) .
1. KhÊo sỏt sá bin thiờn v v th hm sậ (1) vểi m = 1.
2. Gi A l giao imca (1) vểi Oy.Vit phẽng trỡnh tip tuynca (1) tĐi A v cỏch im B(1; 2) mẻt
khoÊng băng
p
2.
Cõu 2 (1,0 im).
a) GiÊihê phẽng trỡnh
8
<
:
log
x
y = log
y
p
xy
x y = 3(xy 1)

|
Đt giỏ tr lển nhòt.
b) Cho tp A gm n phảnt phõn biêt trong ú cú phảnt x.Gi S l tphềp cỏc tp con ca A. Tớnh sậ
phảnt ca S,lòy ra ngđu nhiờn mẻt phảnt t S tớnh xỏc suòt phảntú cú cha x.
Cõu 5 (1,0 im). Cho hỡnh chúp S.ABC cú AB = AC = a,
[
BAC = 120
0
.Gi I l trung imcĐnh AB,
hỡnh chiu vuụng gúc ca S trờn mt phỉng (ABC) l trung imca oĐn CI; gúc gia SA v mt ỏy
băng 60
0
. Tớnh th tớch khậi chúp S.ABC v khoÊng cỏch tim A nmt phỉng (SBC).
Cõu 6 (1,0 im). Trong khụng gian vểihê trctoĐ ẻ Oxyz cho hai im A(3; 2; 3), B(5; 10; 1) v
mt phỉng (P) :2x + y + 2z 1 = 0. Chng minh A, B năm khỏc phớa vểimt phỉng (P). Tỡm toĐ ẻ
im M thuẻc (P) sao cho MA + MB = 4
p
14.
Cõu 7 (1,0 im). Trong mt phỉng vểi trctoĐ ẻ Ox y cho tam giỏc ABC cú B

21
5
;
3
5

. Phẽng trỡnh
tip tuyntĐi A ca èng trũn ngoĐi tip tam giỏc ABC l x + 2y 7 = 0. èng phõn giỏc ngoi ca
gúc A ct BC kộo di tĐi im E(9; 3). Tỡm toĐ ẻ cỏc ứnh A, C bit A cú tung ẻ dẽng.
Cõu 8 (1,0 im). GiÊibòt phẽng trỡnh (x 3 +

,
|
cos z
|}
.
HũT
mathlinks.vn
Khoỏ giÊi THPT Quậc Gia - Thảy: ng Thnh Nam
Mụn: Toỏn; ú Sằ 08/50
Ngy t hi: 15/02/2015
Thèi gian lm bi: 180 phỳt (khụng k thèi gian phỏt )
Liờn hê ng k khoỏ hc: Hotline: 0976 266 202 - Chi tit: www.mathlinks.vn
Cõu 1 (2,0 im). Cho hm sậ y =
x + 1
2x 1
(1).
1. KhÊo sỏt sá bin thiờn v v th hm sậ (1).
2. Cho im I

1
2
;
1
2

.Vit phẽng trỡnh èng thỉng d i qua I v ct (1) theo mẻt oĐnthỉng cú ẻ
di nh nhòt.
Cõu 2 (1,0 im).
a) GiÊibòt phẽng trỡnh log
6

z 2i
+
z 2i
z + 2i
= 0.
b) Cú hai hẻp áng bỳt, hẻpth nhòt áng 4 bỳt en v 6 bỳt xanh; hẻpth hai áng 5 bỳt en v 8 bỳt
xanh. T mẩihẻplòy ngđu nhiờn ra hai chic bỳt, tớnh xỏc suòt lòy ềc hai cp bỳt khỏc mu.
Cõu 5 (1,0 im). Cho hỡnh hẻp ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
cú ỏy ABCD l hỡnh ch nht, AB = a, AD = AA
0
=
2a. Hỡnh chiu vuụng gúc ca A
0
trờn mt phỉng (ABCD) l trung im oĐnthỉng BC. Tớnh th tớch
khậihẻp ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
v khoÊng cỏch gia hai èng thỉng AB


. Tỡm toĐ ẻ cỏc ứnh B, C.
Cõu 8 (1,0 im). GiÊi phẽng trỡnh
p
x +
p
8x 2x
2
2 = 3
s
x(x + 1)
2
6x x
2
1
.
Cõu 9 (1,0 im). Cho x, y, z l cỏc sậ thácdẽng. Tỡm giỏ tr nh nhòtca biuthc
P =
x
p
y
2
+ yz + z
2
+
y
p
z
2
+ zx + x

Cõu 2 (1,0 im).
a) GiÊi phẽng trỡnh (1 2cos5x)(2cos2x + 1)=2cosx.
b) GiÊi phẽng trỡnh xln
2
x (3x 1) ln x + 2x 2 = 0.
Cõu 3 (1,0 im). Tớnh tớch phõn I =

2
R
0
sin x
cos x +
p
4 3cosx
dx.
Cõu 4 (1,0 im).
a) Gi z
1
, z
2
l hai nghiêmca phẽng trỡnh z
2
2
p
3z + 4 = 0. Tớnh A = z
4
1
+ z
4
2

SAC cõn tĐi S v năm trong mt phỉng vuụng gúc vểimt ỏy (ABCD).CĐnh bờn SB tĐovểimt ỏy gúc
30
0
.Gi M l im thuẻc oĐn SA thoÊ món AM = 2SM. Tớnh th tớch khậi chúp S.ABCD v khoÊng
cỏch t M nmt phỉng (SC D).
Cõu 6 (1,0 im). Trong khụng gian vểi trctoĐ ẻ Ox yz cho im A(2; 2; 1) v hai èng thỉng
d
1
:
x 1
1
=
y + 1
4
=
z 1
1
; d
2
:
x 3
1
=
y
2
=
z + 1
2
.Vit phẽng trỡnh mt phỉng (P) song song vểi
d

(x, y 2 R).
Cõu 9 (1,0 im). Cho a, b l hai sậ thácdẽng phõn biêt thoÊ món ab > 1. Tỡm giỏ tr nh nhòtca biu
thc P =
(a + b)
2
(ab 1)(a b)
2

16
(a + b)
2
(ab 1)
+ 2
p
a + b.
HũT
mathlinks.vn
Khoỏ giÊi THPT Quậc Gia - Thảy: ng Thnh Nam
Mụn: Toỏn; ú Sằ 10/50
Ngy t hi: 17/02/2015
Thèi gian lm bi: 180 phỳt (khụng k thèi gian phỏt )
Liờn hê ng k khoỏ hc: Hotline: 0976 266 202 - Chi tit: www.mathlinks.vn
Cõu 1 (2,0 im). Cho hm sậ y = x
3
(m + 2)x
2
+(2m + 1)x + 2(1) .
1. KhÊo sỏt sá bin thiờn v v th hm sậ (1) vểi m = 2.
2. Tỡm m (1) Đtcác ĐitĐi im x
1


2x
1
x

ln
2
xdx.
Cõu 4 (1,0 im).
a) Tỡm cỏc sậ thác a, b, c sao cho hai phẽng trỡnh az
2
+ bz + c = 0; cz
2
+ bz + a + 16 16i = 0 (ân z) cú
nghiêm chung l 1 + 2i.
b) Cho n l sậ tá nhiờn thoÊ món C
2
n
+ A
2
n
= n
2
+ 35. Tỡm sậ hĐng khụng cha x trong khai trin

x
2

2
x


3;
2
p
3

l trác
tõm tam giỏc ABG.Vit phẽng trỡnh èng thỉng AD.
Cõu 8 (1,0 im). GiÊihê phẽng trỡnh
8
>
>
<
>
>
:
x
r
y + 1
x + 1
+ y
s
x + 1
y + 1
=
x + y + 2xy
2
x
2
+ y

100
.
HũT
mathlinks.vn
Khoỏ giÊi THPT Quậc Gia - Thảy: ng Thnh Nam
Mụn: Toỏn; ú Sằ 11/50
Ngy t hi: 25/02/2015
Thèi gian lm bi: 180 phỳt (khụng k thèi gian phỏt )
Liờn hê ng k khoỏ hc: Hotline: 0976 266 202 - Chi tit: www.mathlinks.vn
Cõu 1 (2,0 im). Cho hm sậ y =
x 2
x 1
(1).
1. KhÊo sỏt sá bin thiờn v v th hm sậ (1).
2. Tỡm k èng thỉng y = k(x 3) ct (1) tĐi hai im phõn biêt cú honh ẻ lển hẽn 1.
Cõu 2 (1,0 im).
a) GiÊi phẽng trỡnh 3
x
2
.4
x
2x 1
= 12.
b) Tỡm giỏ tr nh nhòt ca hm sậ y =
|
x
|
+



l hai nghiêm phc ca phẽng trỡnh 2x
2
2x + 1 = 0. Tớnh A =





1
x
2
1

1
x
2
2





.
b) Cho tp X =
{
0, 1, 3, 4, 5
}
. Hi t X cú th lp ềc bao nhiờu sậ tá nhiờn gm 5 ch sậ v chia ht
cho 4?
Cõu 5 (1,0 im). Cho hỡnh hẻp ABCD.A

2
:
x
1
=
y + 1
2
=
z 3
2
. Tỡm toĐ ẻ giao im I ca d
1
, d
2
. Vit phẽng trỡnh èng thỉng d i
qua im M(0; 1; 2) v ct d
1
, d
2
lản lềt tĐi A, B khỏc I sao cho AI = AB.
Cõu 7 (1,0 im). Trong mt phỉng vểi trc toĐ ẻ Ox y cho hỡnh ch nht ABCD cú B(1; 5). Gi
E

3
5
;
9
5

l hỡnh chiu vuụng gúc ca A trờn BD, G

|
y z
|
;
|
z x
|}
2 v
xy + yz + zx = 2. Tỡm giỏ tr lển nhòt ca biu thc
P =(
|
x y
|
+ 1)(
|
y z
|
+ 1)(
|
z x
|
+ 1)
q
x
2
+ y
2
+ z
2
.

Cõu 3 (1,0 im). Tớnh tớch phõn I =
1
R
0
(x 1)
2
+ 1
(x + 1)
2
dx.
Cõu 4 (1,0 im).
a) Cho sậ phc z thoÊ món z 3i +(4 2i).z = 12 4i. Tớnh mụ un casậ phc w =
1 + i + z
z
2
.
b) Gi M l tphềp cỏc sậ tá nhiờn gm 4 ch sậ khỏc nhau. Chn ngđu nhiờn mẻtsậ t M, tớnh xỏc suòt
chn ềcmẻtsậ m ch sậ ng sau lểnhẽn ch sậ ng lin trểc.
Cõu 5 (1,0 im). Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ABCD l hỡnh vuụng cĐnh 2a v cĐnh bờn SA vuụng gúc vểi
mt ỏy (ABCD).Gi E, F lảnlềt l trung im AD, CD.Mt phỉng (SEF) tĐovểimt phỉng (ABCD)
gúc 60
0
. Tớnh th tớch khậi chúp S.ABCD v khoÊng cỏch tim B nmt phỉng (SEF).
Cõu 6 (1,0 im). Trong khụng gian vểihê trctoĐ ẻ Ox yz cho 3 im A( 3; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 3).
Xỏc nh tõm v bỏn kớnh mtcảu (S) ngoĐi tipt diên OABC.Vit phẽng trỡnh mt phỉng (P) tip
xỳc vểi (S) tĐi A.
Cõu 7 (1,0 im). Trong mt phỉng vểi trctoĐ ẻ Oxy cho hỡnh ch nht ABCD cú diên tớch băng 16
v M(4; 7) l trung imcĐnh BC. èng trũn ngoĐi tip tam giỏc CDM ct èng thỉng AC tĐi im
F(
6

2
+ 1 =(2z
2
+ 1)
2
. Tỡm giỏ
tr nh nhòtca biuthc P =
16x
3
(y + z)
3
+
16 y
3
(x + z)
3
+ 3.
xy + 1
z
2
+ 1
.
HũT
class="bi x0 y0 w1 h1"
Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn
!"#$%&'()*+,-) ).*.))))))))))))))))))/0&1)23)#4'")&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))
Page%1/9%
B4"C)1%D%)>E)F!GF)H=I9)J%K)L)F4MN()/O&1)F4P&4)QK6)
RS&()F"C&T)/U)VW)*XYZ*)
F4[%)1%K&)$P6)\P%()X]*)@4^#_)24S&1)2`)#4[%)1%K&)1%K")>E)

y = x
2
− 3x +1; y = −4x + 3
.%Tính%
thể%tích%khối%tròn%xoay%khi%quay%S%quanh%trục%hoành.%%
de=)gfX_Z)>%`6h%Gọi%

z
1
,z
2
%là%hai%nghiệm%của%phương%trình%

(1+ i)z
2
− 2iz −21+ i = 0
.%Tính%

A = z
1
2
− z
2
2
.%%%
de=)ZfX_*)>%`6h%Một%trò%chơi%quay%số%trúng%thưởng%với%mâm%quay%là%một%đĩa%tròn%được%chia%
đều%thành%10%ô%và%được%đánh%số%tương%ứng%từ%1%đến%10.%%Người% chơi%tham%gia%bằng%cách%quay%
liên%tiếp%mâm%quay%2%lần,%khi%mâm%quay%dừng%kim%quay%chỉ%tương%ứng%với%ô%đã%được%đánh%
số.%Người%chơi%trúng%thưởng%nếu%tổng%của%hai%số%kim%quay%chỉ%khi%mâm%quay%dừng%là%một%số%
chia%hết%cho%3.%Tính%xác%suất%để%người%chơi%trúng%thưởng.%%

− x
3
= (x
2
+ y
2
− 4)( x + y −1)
(x − y)(x −1)(y −1)(xy + x + y) = 4
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
(x, y ∈ !)
.%
de=)+fX_Z)>%`6h)Cho%a,b,c%là%các%số%thực%không%âm%thoả%mãn%

a ≥7.max b,c
{ }
;a + b + c =1
.%
Tìm%giá%trị%nhỏ%nhất%của%biểu%thức%

P = a(b −c )
5
+ b(c −a)
5
+ c (a −b)

M (m;
2m −1
m −1
),m ≠ 1
.Tiếp%tuyến%có%dạng:%

y = −
1
(m −1)
2
(x − m) +
2m −1
m −1
.%
Để%d%cách%đều%A,B%có%2%trường%hợp:%
+%Nếu%d//AB%khi%đó%

k
d
= k
AB
⇔ −
1
(m −1)
2
= 0
(vô%nghiệm).%
+%Nếu%d%đi%qua%I%khi%đó%

2 = −

+ m
.%
+%Nếu%

m >
1
2
⇒ P > m >
1
2
.%
+%Nếu%

m < 0 ⇒ P >
2m −1
m −1
>1
.%
+%Nếu%

0 ≤ m ≤
1
2
⇒ P =
2m −1
m −1
+ m =
m
2
+ m −1

⎟
⎟
.%%%%%
Vậy%điểm%cần%tìm%là%

M 1/ 2;0
( )
.%
YZ=).\c]*)>%V6^%Giải%các%phương%trình%%
1.

2 tan x (1− cos x ) =
1
cos x
−1
.%
2.

4 + ln(x +1) + x
3
− 2x
2
+ x − 2 = 0
.%%%
1. Điều%kiện:%

cos x ≠ 0 ⇔ x ≠
π
2
+ k 2π

+ k 2π
x =
3π
4
+ k 2π
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
.%%
Vậy%nghiệm%của%phương%trình%là%

x = k2π;x =
π
4
+ k 2π;x =
3π
4
+ k 2π,k ∈ !
.%%%
2. Điều%kiện:%

x > −1

,%pt%vô%nghiệm.%%%%
Nhận%thấy%

x = 0
%thoả%mãn.%Vậy%phương%trình%có%nghiệm%duy%nhất%

x = 0
.%
B4C)3D%Có%thể%giải%bằng%pp%hàm%số.%%
BE=)7FGHI)>%J6K%Gọi%S%là%hình%phẳng%giới%hạn%bởi%các%đường%

y = x
2
− 3x +1; y = −4x + 3
.%Tính%
thể%tích%khối%tròn%xoay%khi%quay%S%quanh%trục%hoành.%%
Phương%trình%hoành%độ%giao%điểm:%

x
2
−3x +1 = −4x + 3 ⇔ x
2
+ x − 2 = 0 ⇔
x = −2
x = 1
⎡
⎣
⎢
⎢
.%

2
1
∫
=
7856
15
−
847 33
10
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
π
.%%%
B4C)3D%Thể%tích%khối%tròn%xoay%sinh%ra%khi%quay%hình%phẳng%giới%hạn%bởi%đồ%thị%của%hai%hàm%số%

y = f (x); y = g(x)
và%các%đường%thẳng%



(1+ i)z
2
− 2iz −21+ i = 0
.%Tính%

A = z
1
2
− z
2
2
.%%%
Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn
!"#$%&'()*+,-) ).*.))))))))))))))))))/0&1)23)#4'")&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))
Page%4/9%
Ta%có%

Δ' = i
2
−(1+ i )(−21+ i ) = 21+ 20i = (5+ 2i )
2
.%
Suy%ra%

z = −3+ 2i; z = 4−i
.%
Vì%vậy%

A = (−3+ 2i )

BC = 2a
.%Hình%chiếu%vuông%góc%của%A’%lên%mặt%phẳng%(ABC)%là%trung%điểm%cạnh%AB,%góc%giữa%
đường%thẳng%A’C%và%mặt%đáy%bằng%60
0
.%Tính%thể%tích%khối%lăng%trụ%ABC.A’B’C’%và%khoảng%
cách%từ%điểm%B%đến%mặt%phẳng%(ACC’A’).%
%
Gọi%H%là%trung%điểm%cạnh%AB%theo%giả%thiết%ta%có%

A' H ⊥ (ABC )
.%
Tam%giác%ABC%vuông%cân%tại%A,%suy%ra%

AB = AC = a 2
.%
Tam%giác%AHC%vuông%có:%
%

HC = AC
2
+ AH
2
= 2a
2
+
a
2
2
=
a 10

2
=
a
3
30
2
(đvtt).%%%%
Kẻ%HK%vuông%góc%với%AA’%tại%K%có%

AC ⊥ (ABB ' A ') ⇒ AC ⊥ HK
.%
Suy%ra%

HK ⊥ (ACC ' A'),HK = d (H ;(ACC ' A'))
.%
Ta%có%

1
HK
2
=
1
AH
2
+
1
A' H
2
=
2


CM = 2BC
,%N%là%hình%chiếu%vuông%góc%của%B%trên%DM.%Tìm%
toạ%độ%điểm%B,%biết%

N 83/13;−1/13
( )
và%đỉnh%C%thuộc%đường%thẳng%

2x + y + 5 = 0
.%%%%%%
1. Đường%thẳng%d%vuông%góc%với%(P)%nên%d%nhân%vtpt%

n
!
= (2;2;−1)
%của%(P)%làm%véc%tơ%chỉ%
phương.%%Vì%vậy%

d :
x = 1+ 2t
y = 2t
z = −1−t
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩

⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
.%Tam%giác%BDN%vuông%tại%N%có%I%là%trung%
điểm%BD%nên%

IN =
BD
2
= IB = IA
.%
Ta%có%pt:%

83
13
−
t −4
2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞

⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
2
+ 8 −
−2t + 3
2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
2
⇔ t = 1
.%
Suy%ra%


BN
! "!!
=
83−13a
13
;−
1+13b
13
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
,MN
! "!!!
=
44 + 26a
13
;
272+ 26b
13
⎛

3
2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
2
+ b −
1
2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟

+ b
2
+ 3a −b = 60
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⇔
a = −4,b = −7
a =
83
13
,b = −
1
13
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
.%
Đối%chiếu%B%khác%N%suy%ra%B(Ç4;Ç7).%%%%
Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn
!"#$%&'()*+,-) ).*.))))))))))))))))))/0&1)23)#4'")&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))
Page%6/9%
BC=)DEFGH)>%I6J%Giải%hệ%phương%trình

− 4) = 0 ⇔
x + x + y −1 = 0
x
2
+ y
2
= 4
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
.%
+%Với%

x + x + y −1 = 0 ⇔
x = 0
y = 1
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
(thử%lại%thấy%không%thoả%mãn).%
+%Với%

x
2

−1)x
2
+ y
3
− y
2
− 4 = 0
⇔ ( y
2
−1)x
2
−( y
3
−1)(4− y
2
) + y
3
− y
2
− 4 = 0
⇔ ( y
2
−1)x
3
+ y
2
( y − 2)( y +1)
2
= 0
⇔ ( y

⎢
.%
Ta%xét%phương%trình:%

y
2
( y +1) = ( y −1)( y + 2)x ⇔ y
2
( y +1) = ( y −1)( y + 2) 4− y
2
.%
Mặt%khác:

1 ≤ y ≤ 2
%suy%ra%:%%
%

y
2
= y
2
+ y −2 + (2− y) ≥ y
2
+ y −2;
y +1= y
2
+ 2y +1 = (4− y
2
) + (2y
2

2
+ 2y)
2
4
=
( y −1)(4− y
2
+ 2y)
2
4
=
4( y −1)
2
.(5−( y −1)
2
)
4
8
≤
4( y −1)
2
+ 4(5−(y −1)
2
)
5
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜

⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⇔ x = 0; y = 2
.%%
Chú)ý.%Bước%cuối%có%thể%chứng%minh%

( y −1)(4− y
2
+ 2y)
2
4
≤ 4
bằng%biến%đổi%tương%đương%hoặc%
hàm%số.%%%
Cách)3:%Khi%đó%để%hệ%(1)%có%nghiệm%ta%phải%có:%

(x − y)(x −1) ≥ 0 ⇔
x ≥ y ≥1
x ≤1≤ y
⎡
⎣
⎢
⎢

(x −1)
3
4
(xy + x + y)
.%
Chú%ý%sử%dụng%bất%đẳng%thức%Cauchy%–Schwarz%ta%có:%

(x − y)
2
+ ( y −1)
2
≥
1
2
(x −1)
2
⇒
3
2
(x −1)
2
≤ (x −1)
2
+ (x − y)
2
+ ( y −1)
2
= 10− 2(x + y + xy)
⇒ (x −1)
2

4
3
3
3
(5−t )
3
16
t
2
=
4t
2
(5−t )
3
27
.%
Xét%hàm%số%

f (t ) =
4t
2
(5−t )
3
27
%trên%đoạn%[3;5]%ta%có:%

f '(t ) = −
20t(t − 2)(t − 5)
2
27

2
.%
Lập%luận%tương%tự%trên%ta%có:%
%

P
2
≤
( y − x )
6
16
(xy + x + y) ≤
4t
2
(5−t )
3
27
,t = xy + x + y ∈ 1;3
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
.%
Xét%hàm%trên%đoạn%[1;3]%ta%có%

f (t ) =
4t
2

⎪
⎪
⇔
x = 0
y = 2
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
.%%%%%%%%
Vậy%hệ%phương%trình%có%nghiệm%duy%nhất%

(x; y) = (0;2)
.%%%%
Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn
!"#$%&'()*+,-) ).*.))))))))))))))))))/0&1)23)#4'")&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))
Page%8/9%
BC=)+DEFG)>%H6I)Cho%a,b,c%là%các%số%thực%không%âm%thoả%mãn%

a ≥7.max b,c
{ }
;a + b + c =1
.%
Tìm%giá%trị%nhỏ%nhất%của%biểu%thức%

P = a(b −c )
5

⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
= (a −b)(b − c)(c −a)
2
3
(a
3
+ b
3
+ c
3
)−11abc +
1
3
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
.%
JK<L9)#%M&)94=NH&)OP)Q%H=)#4R9)>S%)TR&1)7)Q%U&)>H)VW)TX)$3Y)
Z[N)#K\)#=N]#)>S%)#^)><_9()

a + b + c
3
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
3
=
1
27
;
2
3
(a
3
+ b
3
+ c
3
) +
1
3

) +1
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
.%
+%Ta%có%các%đánh%giá%cơ%bản:%

(a −b)(b − c)(a − c) ≤ ab(a −b) ≤ b(1−b)(1− 2b);
2(a
3
+ b
3
+ c
3
) = 2b
3
+ 2(a
3
+ c
3
) ≤ 2b
3
+ 2(a + c )
3
= 2b
3
+ 2(1−b)

⎥
⎥
.%
Xét%hàm%số%

f (b) =
b(1− b)(1− 2b)(2b
2
− 2b +1)
3
trên%đoạn%[0;1/8]%ta%có%
%

f '(b) = 20b
4
− 40b
3
+ 30b
2
−10b +1;
f ''(b) = 80b
3
−120b
2
+ 60b −10 = 40b
2
(2b −3) +10(6b −1) < 0,∀b ∈ 0;
1
8
⎡

Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn
!"#$%&'()*+,-) ).*.))))))))))))))))))/0&1)23)#4'")&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))
!"#$%&'&%
()*%+"%

P ≤ f
1
8
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
=
525
8192
⇔ −
525
8192
≤ P ≤
525
8192
,% )%/01#%234%435%

3
+ b(c −a)
3
+ c (a −b)
3
,%%
/G&4)1%G)94=&1)HI)>I)#4%)HF)JF%)$F6)9KL)489):%&4)94")>I):M)*NOP*(%%
Lưu$ý:%!:V1%281:%#58%1G*%nj"%eGI%J:]1%:o5%<="%:_<%H51:%P:5%FGS%/G5,%
bW%4:5%p%Sd<%#<Q&1)>M%)245%ef5%2"%H`%4:K%H51:%eG%1[)%P:U1#%<Q%<8<:%4+m1:%/G*%4`4%Hq%
P:U1#%<Q%2=%4:r5%#5"1%2T%FGS%<8<%<D)%P:Q,%C8<%<D)%4h%9R=)N)>S&),DN%2W%<:I%Sd<%2g%eh"%J:]5%
+5N1#%<Q%9R=)ND7)T)9R=).D.)HF)9R=)P)>U%)4V%)#<)W=X,%6f5%<D)%@,@%<V1%HI%H81:%1#:5XS%ef5%s%t<Q%4:T%
uv4%:GS%H`%4)*%1:5N1%nG5w,%BR=)P%2x5%:;5%<8<%$S%J:]5%4L%n)*%J:D1%<:5"%47J%:MJ%Bs%H`%4:G1:%y%
FI35%%ef5%:M)W<)24%)94%L)94")7D%C:z%{%1[)%*N)%<V)%4:"*%2|5%<:5"%<:I%S%4:m%4"%J:D1%<:5"%47J%:MJ%
4:G1:%<8<%FI35%ef5%H`%nL%P:5%<:5"%<:I%S%t<Q%4:T%#5]5%/01#%JJ%F5X4%PN%H`%P[4%\)]%>%4)*%1:5N1%P:5%
4}1#%H`%FV1%\)"*%FN1%yi~i•%FV1%4:m%Hq%nG5%4:m%4:$I%Fr5%#5]5%4+N1%4"%<Q%<8<:%#5]5%4`5%L)w%,%bD*%FG%
Sg4%/G5%4I81%<€1#%4L•1#%4j%1:L%P:5%4)1#%2o1#%4:r5%<8<%<I1%uz<%H‚<%e7*,%l)*%1:5N1%4:V*%4:.*%
Sg4%H`%/31%4+m1:%/G*%<8<:%nG5%nI%e7*%<:5[S%J:V1%Ff1%4:r5%#5"1%2T%#5]5%\)*[4%<8<%<D)%1G*%SG%
<:L"%<Q%4:r5%#5"1%47J%4+)1#%H)*%1#:ƒ%9G9)JF%)245)#Y)Z,D.)>S&)+[D)BR=),D.)&C#)#4\#%\)"1%4+_1#%
<="%/G5%4I81%FG%J:84%:5X1)]^_]`D%BR=):M)a%eW%:X%J:L•1#%4+m1:%Hq%P:8%F3%ef5%1:5W)%/31,%„V)%
:[4%4mS%2LM<%u…@†*…@‡~%4h%J:L•1#%4+m1:%2V)%4)*%1:5N1%P:U1#%uR%F{%2LM<%e[%<x1%F35t<:5[S%
Asˆ%H`%25TS%<="%<D)%:;5w%‰%Š01#%P‹%1}1#%/5[1%2|5%P[4%:MJ%281:%#58%<•%/]1%4"%<Q%P[4%\)]%/G5%
4I81,%B4C)3)#4b6)9R=)a)$F)>%I=)2%c&)de_*)HF)Xe_N)$F)9f&)#4%S#%2T%:IG1%4:5X1%Fr5%#5]5%<:I%4c)
ZN[D%Œ5N1#%<D)%:M)7%Sg4%H`%/31%S‚<%H"5%FVS%p%<U1#%4:d<%4K1:%4:T%4K<:%P:`5%4+x1%uI"*%eW%25TS%
1G*%<8<%$S%9f&)$<=)3D%BR=)+%4:V*%u).4%J:84%4h%Sg4%{%4Lp1#%<€%†%/G5%4I81%Sf5%4)*%1:5N1%2x5%
:;5%P:vI%FvI%4+I1#%\)8%4+m1:%45[J%<71%eG%:5T)%2W%2[1%4+m1:%/G*%Fr5%#5]5,%%
Bg=)#hC9)>I)94")>I):M)*NOP*)
!"#$%&'()*%)"+$,%"' /%01.%23242354532464789"'(:%;%<'-:=5>%<'-:%?7>@A%
B#$%CD$,/%2364%5354%E4%F4%G32%8G*E%<'-:=5>%<'-:%?6G*E@A%
B#$%CD$,%9HI/%G354;4J%87*E%<'-:=5>%<'-:%?55*E@A%
K"LM%CN%<IO$%:P9%<Q%$"#$%&'()*%)"+$,%"' %$R:%$HM%9"'(:%E>SF>@3%K.M%$"'T$%UV%WX%<Y%W.MZ$%$T$%