Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2011

MÔN: TOÁN (Vòng 1)
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề)
Câu I. 1) Giải hệ phương trình


2
2
1 3
( 2) 1.
x y x y
y x y x





   
   

2) Giải phương trình
2
3 7
.
2( 1)

90 .
BAD 

Đường phân giác của góc

BCD

cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác
BCD
tại
O
khác
C
. Kẻ đường thẳng
( )
d
đi qua
A
và vuông góc với
CO
. Đường thẳng
( )
d
lần lượt cắt các đường
thẳng
,
CB CD
tại
,
E F

x y
P
x y y x y
 
  
. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2011

ĐÁP ÁN MÔN: TOÁN (Vòng 1)
Câu I. 1) Hệ phương trình tương đương với

2
2
( 1) ( 1) 2
( 2) ( 2) 1
x y x y
y x y x

    



y
  
2
2 ( 2)( 1) 0
y y x
     
do đó
từ
(2)
1 0
x
  
1
x
 
mâu thuẫn.
+) Nếu
1
x

, tuơng tự suy ra
1
x

mâu thuẫn.
+) Nếu
1 2
x y
  
(thỏa mãn).

      
3 3 2
( 2) ( ) 0
x x
x x x
     

+) Giải
2
3 3
2 4 4 3 0
x x x x
x x
        
1
3
x
x






.
+) Giải
3
2
3 2 3 4
3 4 0

Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội

4 4 4
4
0,1,2,3 (mod 8)
8 5 5(mod 8)
x y z
z

  



 



Mâu thuẫn với
(1)
. Vậy không tồn tại
( , , )
x y z
thỏa mãn đẳng thức.
2) Phương trình tương đương với
2 2 2 2 3
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
x x x x y
  
      
  

x
  
mâu
thuẫn.
+) Nếu
0 0
x y
  
(thỏa mãn).
Vậy
0
x y
 
là nghiệm duy nhất.
Câu III
1) Tứ giác
OBCD
nội tiếp và
CO
là phân giác góc

BCD





OBD OCD OCB ODB OBD
     
cân tại





AEB AFC EAB
 
ABE
 
cân tại
B
BE BA CD
  

(3).
Từ
(1),(2),(3)
suy ra
( )
OBE ODC c g c
    
(đpcm). 2) Từ câu 1)


3) Theo (3)
BE CD
 
mà
CE CF

BC DF
 
. Ta có
CI
là đường phân giác
góc

BCD
. .
IB CB DF
IB BE ID DF
ID CD BE
     .
Mà
CO
là trung trực
EF
và
I CO

IE IF
 
.

2 2
2
x y xy
   (đúng).
Ta chứng minh
3 2
3 3 2 2
( ) 2
y y
y x y x y

  
(2)
3 4
3 3 2 2 2
( ) ( 2 )
y y
y x y x y
 
  

2 2 3 3
( 2 ) ( ( ) )
x y y y x y
    
2 2 2 4 3
( 2 ) ( )
x y y y x y
    
2 2 2 2 3

. Dấu bằng xảy ra
x y
 
. Vậy
min
1
P

. Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2011

MÔN: TOÁN (Vòng 2)
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề)
Câu I. 1) Giải phương trình





và ký hiệu là


a
. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương
n
, biểu thức
2
3
1 1
27 3
n n
 
 
 
 
   không biểu diễn được dưới dạng lập phương của một số
nguyên dương.
2) Với
, ,
x y z
là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức
5
xy yz zx
  
, tìm giá
trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2 2
.
3 3 2

là điểm bất kỳ trên đoạn thẳng
BC
(
P
không trùng với
,
B C
). Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác
BIP
cắt
đoạn thẳng
PA
tại
M
khác
P
và đường tròn ngoại tiếp tam giác
CIP
cắt đoạn
thẳng
PD
tại
N
khác
.
P

1) Chứng minh rằng năm điểm
, , , ,
A M I N D

.

Tập
A
có phần tử nhỏ nhất là
1,

phần tử lớn nhất là
100
và mỗi
x
thuộc
A



1 ,
x

luôn tồn tại
,
a b
cũng thuộc
A

sao cho
x a b
 
(
a

3( 1 1) 3
x x x
     

Nếu


0 1 3 1 1 3
x x
     
đồng thời
3 1 4 3
x x
    

Suy ra VT

VP. (loại).
Thử lại ta thấy
1
x

là nghiệm.
2)
0
x y
 
là nghiệm. Xét
0, 0
x y

1
x y
x y
xy

 

 

  

 
 




1
x y
  

Câu II.
1) Ký hiệu
3
1 1
,
27 3
K n
 
  

3 3 3
K
K n K K K K
       
3 2 3
( 1)
K n K K
    

Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội

Suy ra
2
2
3
1 1
27 3
n K n n
 
    
 
 
không biểu diễn được dưới dạng lập phương của một số
nguyên dương.

2) Ta có





   
Suy ra
2 2 2
3 3 2 2
.
3
6( 5) 6( 5) 5
x y z
P
x y z
 
 
    
Đẳng thức xảy ra
1, 2.
x y z
   

Vậy
min
2
.
3
P


Câu III.
1) Tứ giác
BPIM
nội tiếp và

 


tứ giác
MINQ
nội tiếp.
Mà


, ,
M I N K



Tứ giác
MINQ
nội tiếp đường tròn


K
.
Vậy
Q
thuộc đường tròn


K
(đpcm)
3) Khi
, ,

INDQ
nội tiếp )



AIQ QID
 
IQ

là phân giác

DIA
nên
IP
là phân giác góc

.
BIC

K
Q
N
M
I
B
C
A
D
P


n
x x x x     


Suy ra với mỗi


1,2,3, , 1
k n
 

ta có


1
2 2
i j
k k k k
x x x x x x

     với
1 , .
i j k
 

Áp dụng kết quả


2
ta thu được


Vì
5 5 5
4 6
25
2
8 16 24 25 2x x x x x        

(mâu thuẫn).
+)
9
n

ta có tập


1,2,3,5,10,20,25,50,100
thỏa mãn yêu cầu bài toán .
Đáp số:
9
n
