ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN
Phan Hữu Phước – CH1301106
TIỂU LUẬN
TOÁN HỌC CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH
ỨNG DỤNG TẬP MỜ VÀ SỐ MỜ TRONG BÀI TOÁN QUYẾT ĐỊNH
GIẢNG VIÊN: TS. Dương Tôn Đảm
TP HỒ CHÍ MINH – 11/2014
LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, em xin gửi lời chân thành cảm ơn đến trường Đại học công nghệ thông
tin TP HCM đã tạo điều kiện cho em được tiếp cận với bộ môn Toán học cho Khoa
học Máy tính.
Em xin cảm ơn thầy TS. Dương Tôn Đảm đã tận tình truyền đạt kiến thức bổ ích hỗ
trợ cho em thực hiện bài tiểu luận này.
Em cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến quý thầy cô trong Khoa Công nghệ Thông
tin cùng các bạn bè thân hữu đã nhiệt tình đóng góp ý kiến, cũng như động viên để
em xây dựng bài tiểu luận của mình.
Mặc dù đã rất cố gắng nhưng đề tài khó tránh khỏi những thiếu sót và sai lầm, em
mong thầy cô và bạn bè cho ý kiến để bài tiểu luận này ngày càng hoàn thiện hơn.
Một lần nữa, em xin chân thành cảm ơn!
Tp. HCM, tháng 11 năm 2014
Phan Hữu Phước
CH1301106
MỤC LỤC
CH1301106-Phan Hữu Phước Trang 3
Toán học cho Khoa học máy tính GVHD: TS. Dương Tôn Đảm
I. KHÁI NIỆM TẬP MỜ
Định nghĩa 1: Cho một tập vũ trụ U. Tập hợp được xác định bởi đẳng thức
được gọi là tập hợp mờ trên tập U.
Biến u lấy giá trị trong U được gọi là biến cơ sở và vì vậy U được gọi là tập
tham chiếu hay miền cơ sở. Hàm được gọi là hàm thuộc và giá trị tại u được

Định nghĩa 3: Cho tập mờ trên tập vũ trụ U và α ∈ [0,1]. Tập lát cắt α (hoặc
α+) của tập là một tập kinh điển, ký hiệu (hoặc ), được xác định bằng đẳng
thức sau:
Như vậy, mỗi tập mờ sẽ cảm sinh một họ các tập kinh điển, ta có ánh xạ:
(1*)
Để đơn giản ký hiệu, ta viết họ các tập kinh điển như vậy bằng =
. Họ các tập hợp như vậy có tính chất sau:
Định lý 1: Cho , ∈ F(U), h là ánh xạ được cho trong (1*) và =
. Khi đó:
Mỗi họ như vậy là dãy đơn điệu giảm, nếu α < β, thí ;
Nếu thì
Nghĩa là tồn tại một song ánh từ họ các tập mờ F(U) vào họ của những họ tập
kinh điển P(U) ở dạng (1*).
III. MỘT SỐ KHÁI NIỆM ĐẶC TRƯNG CỦA TẬP MỜ
Định nghĩa 4
Giá của tập mờ: Giá của tập mờ , ký hiệu là Support(), là tập con của U trên đó, ,
Support() = {u: }.
Độ cao của tập mờ: Độ cao của tập mờ , kiếu hiệu hight(), là cận trên đúng của
hàm thuộc trên U, hight() = sup{}.
Tập mờ chuẩn: tập mờ được gọi là chuẩn nếu hight() = 1. Trái lại, tập mờ được
gọi là dưới chuẩn.
Lõi của tập mờ: lỗi của tập mờ , ký hiệu Core(), là một tập con U được xác định
như sau:
CH1301106-Phan Hữu Phước Trang 5
Toán học cho Khoa học máy tính GVHD: TS. Dương Tôn Đảm
Ví dụ: Giả sử U là tập vũ trụ về số đo nhiệ độ thời tiết, chẳng hạn U=[0,50] tính
theo thang độ C. Chúng ta sẽ xác định tập mờ biểu thị khái niệm mờ thời tiết
NÓNG và LẠNH. Trong ví dụ này, ta sử dụng một hàm số mẫu, gọi là S-hàm vì
đồ thị của nó có hình chữ S. Chúng ta ký hiệu hàm này là S(u, a, b, c), trong đó
a, b và c là những tham số. Nó là hàm từng khúc bậc 2 và được định nghĩa như

• với mọi x
• (Tính giao hoán)
• (Tính kết hợp)
• (Tính không giảm)
Ví dụ về các loại hợp giữa hai tập mờ
• (Hợp theo max) (2.1)
• . (Hợp theo Lukasiewicz) (2.2)
• (Hợp trực tiếp) (2.3)
• (Hợp theo Einstein) (2.4)
• (2.5)
IV.2. Phép hợp hai tập mờ không cùng nền
Hàm thuộc của hợp giữa hai tập mờ A với định nghĩa trên nền M và B với định
nghĩa trên nền N là một hàm hai biến xác định trên nền thỏa mãn các điều kiện:
•
CH1301106-Phan Hữu Phước Trang 7
Toán học cho Khoa học máy tính GVHD: TS. Dương Tôn Đảm
• (tính giao hoán)
• (tính kết hợp)
• (tính không giảm)
Một hàm hai biến thỏa mãn các điều kiện trên được gọi là hàm t-đối chuẩn (t-
conorm).
IV.3. Khái niệm phép hợp hai tập mờ không cùng nền
Các công thức (2.1) (2.5) sẽ được mở rộng để áp dụng cho việc xác định hợp của
hai tập mờ không cùng nền bằng cách đưa cả hai tập mờ về chung một tập nền là
tích của hai tập nền đã cho. Chẳng hạn cho tập mờ A (định nghĩa trên tập nền
M),và tập mờ B (định nghĩa trên tập nền N). Hai tập nền M và N độc lập với
nhau. Tập mờ A như vậy được định nghĩa trên hai tập nền M và , ta ký hiệu là
tập mờ A trên tập nền tương tự ta ký hiệu là tập mờ B trên tập nền khi đó:
• với mọi ,
• với mọi .

• (Giao theo Lukasiewicz) (2.7)
• (Giao trực tiếp – Tích đại số) (2.8)
• (Giao theo Einstein)(2.9)
• (2.10)
IV.5. Khái niệm phép giao hai tập mờ không cùng nền
Các công thức (2.1) (2.5) sẽ được mở rộng để áp dụng cho việc xác định giao
của hai tập mờ không cùng nền bằng cách đưa cả hai tập mờ về chung một tập
nền là tập tích của hai tập nền đã cho. Chẳng hạn cho tập mờ A (định nghĩa trên
tập nền M), và tập mờ B (định nghĩa trên tập nền N). Hai tập nền M và N độc lập
với nhau.Tập mờ A như vậy được định nghĩa trên hai tập nền M và , ta ký hiệu
là tập mờ A trên tập nền tương tự ta ký hiệu là tập mờ B trên tập nền khi đó:
• với mọi ,
• với mọi .
CH1301106-Phan Hữu Phước Trang 9
Toán học cho Khoa học máy tính GVHD: TS. Dương Tôn Đảm
Sau khi đã đưa hai tập mờ về chung môt nền là , thành và thì hàm thuộc của
tập mờ được xác định theo các công thức (2.6) (2.10). Cụ thể là:
Giao hai tập mờ theo luật min
Giao của hai tập mờ A với hàm thuộc (định nghĩa trên tập nền M) và tập mờ B
với hàm thuộc (định nghĩa trên tập nền N) theo luật max là tập mờ xác định trên
tập nền với hàm thuộc:
Trong đó:
• với mọi ,
• với mọi .
Giao hai tập mờ theo luật tích đại số
Giao của hai tập mờ A với hàm thuộc (định nghĩa trên tập nền M) và tập mờ B
với hàm thuộc (định nghĩa trên tập nền N) theo luật tích đại số là tập mờ xác
định trên tập nền với hàm thuộc:
Trong đó:
• với mọi ,

• Hàm ngưỡng:
• Hàm bù Cosin:
• Hàm bù Sugeno :
IV.8. Tính đối ngẫu của các phép toán
Ta nói rằng t-chuẩn I , và t-đối chuẩn H, đối ngẫu với phép bù mờ C, khi và chỉ
khi nó thỏa tính chất:
• ((,))=((),())
• ((,))=((),())
Khi đó ta nói rằng I,H,C là bộ ba đối ngẫu, ta ký hiệu : < I,H,C >. Người ta
thường gọi bộ ba đối ngẫu trên là bộ ba De Morgan.
CH1301106-Phan Hữu Phước Trang 11
Toán học cho Khoa học máy tính GVHD: TS. Dương Tôn Đảm
Định lý 1: Cho một t-chuẩn I, và phép toán bù C, khi đó một phép toán 2 ngôi G
trên đoạn [0,1], xác định bởi :
(,)=(((),())) , ∈ [0,1]
là một t-đối chuẩn, nghĩa là ta sẽ có : < I,G,C >
Định lý 2: Cho một t-đối chuẩn H, và phép toán bù C, khi đó một phép toán 2
ngôi F trên đoạn [0,1], xác định bởi :
(,)=(((),())) , ∈ [0,1]
là một t-chuẩn, nghĩa là ta sẽ có : < F,H,C >
Chú ý: Bộ ba đối ngẫu<I,H,C> ,nói trong các định lý trên thỏa luật loại trừ,luật
đối nhưng không thỏa luật phân phối :
(,())=1;(,())=0;(,(,))≠((,),(,))
V. SỐ MỜ
V.1. Định nghĩa
Tập mờ A với hàm thuộc A(x) xác định từ R vào [0,1], thỏa 3 điều kiện sau được
gọi là số mờ:
• A là một tập mờ chính tắc.
• là một khoảng đóng ∈ [0,1]
• Miền xác định của A phải bị chặn

tam giác.
Số mờ tam giác thường được ký hiệu là A(a,c,d)≡(a,a,c,d)
V.3. Phép toán số học trên khoảng
Ta ký hiệu (*) để chỉ các phép toán cộng(+), trừ( - ), nhân(.), chia(/).
Khi đó ta định nghĩa phép toán (*)trên khoảng đóng như sau:
( Khi (*) thì ta luôn xét trong trường hợp )
Cụ thể:
• [,]+[,]=[+,+]
• [,]−[,]=[−,−]
• [,].[,]=[(,,,),(,,,)]
CH1301106-Phan Hữu Phước Trang 14
Toán học cho Khoa học máy tính GVHD: TS. Dương Tôn Đảm
• [,]/[,]=[(/,/,/,/),(/,/,/,/)]
Chú ý: Một số thực a là trường hợp đặc biệt của khoảng [a,a],khi đó các phép
toán trên chính là các phép toán trên tập số thực bình thường mà ta đã quen biết.
V.4. Phép toán số học trên số mờ
Cho A và B là 2 số mờ, ta ký hiệu (*) để chỉ một trong 4 phép toán cộng, trừ,
nhân, chia. Khi đó ta định nghĩa phép toán trên tập nền R bởi nhát cắt của nó như
sau: , từ đó suy ra: , trong đó
Ví dụ:
CH1301106-Phan Hữu Phước Trang 15
Toán học cho Khoa học máy tính GVHD: TS. Dương Tôn Đảm
V.5. Quan hệ thứ tự trên tập số mờ
Trên tập rõ các số thực, ta biết rằng có quan hệ thứ tự tuyến tính. Khi đó ta luôn
có hoặc ≤ hoặc ≤. Ta gọi (,≤) là một dàn và 2 phép toán trên dàn là :
CH1301106-Phan Hữu Phước Trang 16
Toán học cho Khoa học máy tính GVHD: TS. Dương Tôn Đảm
Trên số mờ không mở rộng được quan hệ thứ tự tuyến tính, số mờ có quan hệ thứ
tự bộ phận một cách tự nhiên dưới hình thức dàn.
Định nghĩa : Cho x,y,z  ; A và B là 2 số mờ ta xác định 2 phép toán MIN và