SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
NGHỆ AN
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2010 - 2011

Môn thi: TOÁN - BẢNG B
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (5,0 điểm).
a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì
2
n n 2+ +
không chia hết cho 3.
b) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho
2
n 17+
là một số chính phương.
Câu 2 (5,0 điểm)
a) Giải phương trình:
2
x 4x+5 = 2 2x+3+
b) Giải hệ phương trình:
2
2
2x+y = x
2y+x = y





Câu 3 (3,0 điểm).

1.
a,
(2,5)
*) Nếu
2
n 3 n n 3⇒ +M M
nên
2
n n 2 3
/
+ + M
(1)
*) Nếu
2
n 3 n 2 3
/
⇒ +M M
2
n n 2 3
/
⇒ + + M
(2)
Từ (1) và (2)
n Z⇒ ∀ ∈
thì
2
n n 2 3
/
+ + M
b,

3
2x+3 0 x -
2
≥ ⇒ ≥
(1)
2
x 4x+5-2 2x+3 0⇔ + =

2
x 2x+1+2x+3-2 2x+3 1 0⇔ + + =

2 2
(x 1) ( 2x+3 1) 0⇔ + + − =

x 1 0
2x+3 1 0
+ =


⇔

− =



x 1
2x+3=1
= −

⇔

Ta có:
(1)
(2)
*)
x y x y
x(x 3) 0 x 0
= =
 
⇔
 
− = =
 
Vậy (x; y) = (0;0); (3;3)
*)
2 2 2
x 1 y x 1 y x 1 y
2x+y = x 2 2y y (1 y) y y 1 0
= − = − = −
  
⇔ ⇔
  
− + = − − + =
  
(*)
Vì phương trình
2
y y 1 0− + =
vô nghiệm nên hệ (*) vô nghiệm
Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm (x; y) = (0; 0); (3; 3)
3.

khi x = -2
4.
H
K
E
I
F
O
B
A
C
Gọi I là giao điểm của AH và BC ⇒ AI ⊥ BC
Ta có: ∆BHI ∆BCE (g, g)
BH BI
BH.BE BC.BI
BC BE
⇒ = ⇒ =
(1)
Ta có: ∆CHI ∆CBF (g, g)
CH CI
CH.CF BC.CI
CB CF
⇒ = ⇒ =
(2)
Từ (1) và (2) suy ra BH.HE + CH.CF = BC(BI + CI) = BC
2
Gọi K là điểm đối xứng của H qua BC suy ra
· ·
HCB KCB=
Mà

B
C
I
+ Khi
·
BAC
< 90
0
⇒

·
BIC
> 90
0
.
Gọi K là điểm đối xứng của I qua EF.
·
·
EIF EAF⇒ =
(cùng bù
·
BIC
)
·
·
EKF EIF=
(Do I và K đối xứng qua EF)
· ·
EKF EAF⇒ =
AKFE⇒

E, O, F thẳng hàng.
+ Khi
·
BAC
> 90
0

⇒

·
BIC
< 90
0
chứng minh tương tự.
Vậy đường thẳng EF luôn đi qua điểm O cố định.
- - - Hết - - -