TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA - MÔN TOÁN
NĂM 2014-2015
****************************
A.CẤU TRÚC ĐỀ THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN NĂM 2014 (Tham khảo)
Câu I (2 điểm):
- Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
- Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số: chiều biến thiên của
hàm số; cực trị; giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số; tiếp tuyến, tiệm cận (đứng và ngang)
của đồ thị hàm số; tìm trên đồ thị những điểm có tính chất cho trước, tương giao giữa hai đồ
thị (một trong hai đồ thị là đường thẳng)
Câu II (1 điểm):
Biến đổi lượng giác, phương trình lượng giác.
Câu III (1 điểm):
Phương trình, bất phương trình; hệ phương trình đại số.
Câu IV (1 điểm):
- Tìm giới hạn.
- Tìm nguyên hàm, tính tích phân.
- Ứng dụng của tích phân: tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay.
Câu V (1 điểm):
Hình học không gian (tổng hợp): quan hệ song song, quan hệ vuông góc của đường thẳng, mặt
phẳng; diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay, hình trụ tròn xoay; thể tích khối lăng trụ,
khối chóp, khối nón tròn xoay, khối trụ tròn xoay; tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu.
Các bài toán về khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng, khoảng cách gữa 2 đường thẳng
chéo nhau.
Câu VI (1 điểm):
Bài toán tổng hợp.(Bất đẳng thức; cực trị của biểu thức đại số)
Câu VII (1 điểm):Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng .
- Xác định tọa độ của điểm, vectơ.
- Đường tròn, đường thẳng, elip.
Câu VIII (1 điểm):Phương pháp tọa độ trong không gian:
- Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu. Tìm điểm thoả điều kiện cho trước.

  
        
       
   
 
   
 
      
    

 


= =
± = ± ± ±
=

=

= ⇔ =


=

= + +
= + +
=
r r
r r
r

r r r r
= − − −
uuur
! ! !
 ! " " # # $ $ 
11.
  
! ! !
! ! " "  # #  $ $ 
= = − + − + −
uuur
12.
r r r

đồng phẳng
( )
. 0a b c⇔ ∧ =
r r r

r r r
khơng đồng phẳng
( )
. 0a b c⇔ ∧ ≠
r r r
14.M là trung điểmcủa AB thì






(1,0,0); (0,1,0); (0,0,1)e e e
= = =
ur uur ur
17.
OzzKOyyNOxxM
∈∈∈
),0,0(;)0,,0(;)0,0,(
18.
OxzzxKOyzzyNOxyyxM
∈∈∈
),0,(;),,0(;)0,,(
19.
  
!    
 
% ! !   
 
∆
= ∧ = + +
uuur uuur
20.
! &

' ! !!&

= ∧
uuur uuur uuur
21.
/
.


2 2 Vò trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu

( ) ( ) ( )
2
r
− + − + − =
2 2 2
(S) : x a y b z c
3,α4!"5 #5$5&6
Gọi d = d(I,(α)) là khỏang cách từ tâm mc(S) đến mp(α ):
 d > r 4%∩α6φ
 d = r 4α)789":%);7<<4)789=78>,α4)789?78@
 d < r 4αA)%)8=)*:ương )*+
( ) ( ) ( )
2
( )

− + − + − =


+ + + =


r
α
2 2 2
(S) : x a y b z c
: Ax By Cz D 0
II. MẶT PHẲNG

$

#

"
=++
3ới a.b.c≠0
*Phương trình các mặt phẳng tọa độ: D#$4"6D"$4#6 ; D"#4$6
4. Vị trí tương đối của hai mp (
α
): A
1
" +B
1
# +C
1
$+& 

6  và ( 
β
) :A 
2
" +B
2
y+C
2
z + &

6


) đến (
α
) : Ax + By + Cz + D = 0

o o o
2 2 2
Ax By Cz D
A B C
α
+ + +
=
+ +
d(M,( ))
6.Góc gi ữa hai mặt phẳng 4
1 2
1 2
n .n
α β
n . n
=
r r
r r
cos( , )
với
1 2
n ; n
r r
là VTPT của 2 mặt phẳng
III. ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN
1.Phương trình tham số của đường thẳng (d) qua M(x

+=
+=
+=
:
2.Phương trình chính tắc của (d) 
32
a
z-z
a
yy
a
xx
(d)
o
1
o 0
:
=
−
=
−
3.Vò trí tương đối của 2 đường thẳng :
Cho 2 đường thẳng d
1
: có véctơ chỉ phương
a
→
và đi qua M
1
, d


=


=


r r r
r uuuuur r


H  
H B B 
* d
1
cắt d
2
⇔
( )

≠


=


r r r
r r uuuuur




( với a
1
.a
2.
a
3
≠0)
5. Khoảng cách giữa từ M đến đường d
1
:
( )
1
1
;
;
M M a
d M d
a
 
 
=
uuuuur r
r
6. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song: d(d
1
;d
2
)=d(M
1

của z chia (-2)⇒ Tâm mặt cầu là I(-A ;-B ;-C).
• Tím bán kính
2 2 2
A +B +C -Dr =
Ví dụ: Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau:
a)
x y z x y
  
   + + − − + =
Giải:
a/Tâm mặt cầu là I(4;1;0), bán kính của mặt cầu là:
+ + − + + − = ⇔ + + − + + − =
b x y z x y z x y z x y z
     

F            

Tâm mặt cầu là I(1; -4/3; -5/2), bán kính của mặt cầu là:
Dạng toán 2:

Tìm tâm H và bán kính r của đường tròn giao tuyến giữa mặt cầu S(I ;R) và
mp(α):
Phương pháp giải:
+ Tìm tâm H
B1: Viết phương trình đường thẳng d qua I và vuông góc mp(α)
B2: Tâm H là giao điểm của d và mp(α).
+ Bán kính
),(
22
α

( )
α
có một VTCP là
  n = − −
r
⇒ phương trình
tham số là:
 
 

x t
y t
z t

= +

= − −


= −

. Gọi H= d∩
( )
α
⇒ H∈d ⇒ H(3+2t;-2-2t;1-t). Mặt khác H∈mp
( )
α
⇒
ta có: 2(3+2t)-2(-2-2t)-(1-t)+9=0⇔9t=18 ⇔ t=2 ⇒ H(7;-6;-1).Tâm của đường tròn (T) chính là
H(7;-6;-1)

x y z +2Ax +2By+2Cz 0
⇒)*,ặ)
ầ
Bài toán 1: Lập phương trình mặt cầu tâm I đi qua A
Phương pháp giải:
• Tìm bán kính mặt cầu là :
2 2 2
( ) ( ) ( )
A I A I A I
r IA x x y y z z= = − + − + −
• Lập phương trình mặt cầu tâm I bán kính r.
Ví dụ: Lập phương trình mặt cầu đi qua điểm A(5; –2; 1) và có tâm I(3; –3; 1).
Giải:
B¸n kÝnh mÆt cÇu là:
2 2 2
2 1 0 5r IA= = + + =
Vậy phương trình của mặt cầu là : (x-3)
2
+ (y+3)
2
+ (z-1)
2
= 5
Bài toán 2: Lập phương trình mặt cầu đường kính AB
Phương pháp giải:
 Tìm trung điểm I của đoạn AB với
( ; ; )
2 2 2
A B A B A B
x x y y z z

1 1 1
  
! 
A.x
r d(I,( ))
• Lập phương trình mặt cầu tâm I bán kính r.
Ví dụ: Lập phương trình mặt cầu tâm I(1 ; 2 ; 4) tiếp xúc với mặt phẳng (
α
): 2x+2y+z-1=0
Giải:
Bán kính mặt cầu là :
+ + −
= α = =
+ +
r d(I,( ))
I   

  
  
Phương trình mặt cầu là :
2 2 2
( 1) ( 2) ( 4) 1x y z− + − + − =
Bài toán 4: Lập phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D
Phương pháp giải:
Ptr mc có dạng
&
+ + + =
2 2 2
x y z + 2Ax + 2By+2Cz 0
(1). A,B,C,D ∈ mc(S)

⇔
 
− ∈ + − + =
 
 
∈ + + + =
 
.Lấy (1)-(2); (2)-(3); (3)-(4) ta được hệ:

12 6 6 12 2
4 2 14 32 1 3
4 2 2 12 3
A B C A
A B C B D
A B C C
− − = − = −
 
 
− + + = − ⇔ = ⇒ = −
 
 
− − − = = −
 
Vậy phương trình măt cầu là: x
2
+y
2
+z
2
-4x+2y-6z-3=0

 
∈ + + = −
 
⇔
 
− ∈ − + = −
 
 
− − − ∈ − − − =
 
.Lấy (1)-(2); (2)-(3); kết hợp(4) ta được hệ:
7
5
12 6 6 12
11 27
4 2 14 32
5 5
2 2 3
3
A
A B C
A B C B D
A B C
C

= −

− − = −



a)
  
    + + + − − + =x y z x y z

+ + + − + − =
x y z x y z
  
        
c) (x-2)
2
+(y+3)
2
+(z-1)
2
= 9 d) (x+2)
2
+(y+5)
2
+ z
2
= 8
Bài 2: Lập phương trình mặt cầu (S)
a)Đi qua điểm A(3; 2; 4) và có tâm I(2; –1; 1) b)Đi qua điểm A(1; 2; -3) và có tâm I(2; –1;
1).
Bài 3: Lập phương trình mặt cầu có đường kính AB
a) Với A(4; 5; 7), B(2; 1; 3). b) Với A(4; 2; 1), B(0; 4; 7).
Bài 4: Lập phương trình mặt cầu tâm I(1; 2; 4) tiếp xúc với mặt phẳng (P): 2x-2y + z - 4=0
Bài 5: Lập phương trình mặt cầu (S) =7J9=78>,! 2&

Bài 6: Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua ba điểm A(3;-2 ;0), B(0;1;2), C(2; 0;-1 ) có tâm I

,a b
r r
không cùng phương có giá song song hoặc nằm trong mp(α) khi đó
[ ; ]n a b=
r r r
là một
véctơ pháp tuyến của mặt phẳng(α).
Dạng 1: Viết phương trình mp
( )
α
điểm đi qua M
0
(x
0
;y
0
;z
0
) và 1 véctơ pháp tuyến
( ; ; )=
r
n A B C
.
Phương pháp giải:
B1: Nêu rõ mặt phẳng đi qua M
0
(x
0
;y
0

⇒ phương trình là:
2(x-2)-3.(y+1)+5(z-1) = 0 ⇔ 2x-3y+5z-12 =0
Dạng 2: Viết phương trình mp
( )
α
đi qua 3 điểm không thẳng hàng A, B, C.
Phương pháp giải:
B1: Tìm toạ độ
AB, AC
uuur uuur
B2: Tìm
n AB;AC
 
=
 
r uuur uuur
B3: Viết phương trình mp(P) đi qua điểm A và nhận
n
r
làm VTPT.
Ví dụ: Viết phương trình mp(P) qua A(0;1;2), B(2;3;1), C(2;2;-1)
Giải:
Ta có:
AB (2;2; 1), AC (2;1; 3)= − = −
uuur uuur
⇒
n AB;AC ( 5;4; 2)
 
= = − −
 

0
⇒ ta có Ax
0
+ By
0
+ Cz
0
+ m=0⇒ m thoả điều kiện m≠D
⇒ phương trình mp
( )α
Ví dụ:
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(1;3;-2) và song song với mặt phẳng (Q):2x-y+3z+4=0
Giải:
Mặt phẳng (P)//mp(Q): 2x-y+3z+4=0 nên phương trình của mp(P) có dạng 2x-y+3z+D=0
(D≠4). Mặt khác mp(P) đi qua điểm M(1;3;-2) nên ta có: 2.1-3+3(-2)+D=0 ⇔ D=7 (nhận). Vậy
phương trình mp cần tìm là: 2x-y+3z+7=0
Dạng 4: Viết phương trình mp
( )α
song song với mp(
β
): Ax+By+Cz+D=0 cho trước cách
điểm M cho trước một khoảng k cho trước (k>0).
Phương pháp giải:
B1: Do mp
( )α
//mp(
β
): Ax+By+Cz+D=0⇒ phương trình mp
( )α
có

+ +
= ⇔ = ⇔ = ⇔ ± ⇔ = ±
+ + −
(nhận)
⇒ phương trình của mp(α) là:
" # $5   + − ± =
Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
đi qua 2 điểm A, B và song song với đoạn CD
cho trước. (với
AB
uuur
không cùng phương với
CD
uuur
).
Phương pháp giải:
B1: Tìm toạ độ
AB
uuur
và
CD
uuur
.
B2: Tìm
n AB,CD
 
=
 

) đi qua điểm A (hoặc B) và nhận
n
r
làm VTPT.
Ví dụ: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm A(-1 ,2 , 3), B (0 , -3, 1),
C(2 ,0 ,-1), D(4,1, 0). Lập phương trình mặt phẳng
( )
α
chứa đường thẳng CD và song song
với đường thẳng AB.
Giải
Ta có
( ) ( )
1, 5, 2 ; 2,1,1= − − =
uuur uuur
AB CD

⇒
( )
; 3, 5,11
 
= = − −
 
r uuur uuur
n AB CD
là VTPT của mp
( )
α

Mặt phẳng

uuuuur
B2: Tìm
0
n AM ,u
 
=
 
r uuuuur r
B3: Viết PT mặt phẳng(
α
)đi qua điểm A và nhận
n
r
làm VTPT.
Ví dụ: Lập phương trình mặt phẳng (α) đi qua A(-1 ,2 , 3) và chứa trục 0x.
Giải
Trục 0x đi qua O(0;0;0) và có 1VTCP
i (1;0;0)=
r
,
OA ( 1;2;3)= −
uuur
⇒
n OA;i
 
=
 
r uuur r
=(0;3;-2). Mặt phẳng (
α

Viết phương trình mặt phẳng trung trực (P) của đoạn thẳng AB, với A(1;3;0) và B(3,-1;2)
Giải:
Ta có trung điểm của AB là I(2;1;1),
AB (2; 4;2)= −
uuur
.
Mp(P) đi qua trung điểm I của AB và có 1VTPT là
AB (2; 4;2)= −
uuur
⇒ phương trình mặt phẳng
trung trực (P) là: 2(x-2)-4(y-1)+2(z-1)=0 ⇔ 2x-4y+2z-2=0
Dạng 8:Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M vuông góc với đoạn thẳng AB.
Phương pháp giải:
B1: Tìm toạ độ
AB
uuur
.
B2: Mặt phẳng cần tìm đi qua điểm M và nhận
AB
uuur
làm VTPT.
B3: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và nhận
AB
uuur
làm VTPT.
Ví dụ:
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(1;3;0) vuông góc với đoạn thẳng AB, biết A(1;0;1)
và B(3,-1;2).
Giải:
Ta có

α
đi qua 2 điểm A, B và vuông góc với mặt
phẳng(
β
) cho trước. (AB không vuông góc với
( )
β
).
Phương pháp giải:
B1: Tìm toạ độ
AB
uuur
và VTPT
n
β
uur
của mặt phẳng(
β
).
B2: Tìm
n AB, n
β
 
=
 
r uuur uur
.
B3: Viết phương trình mặt phẳng (
α
)đi qua điểm A (hoặc B) và nhận

) là:
-1(x-3)+13(y-1)+5(z+1)=0 ⇔ -x+13y+5z-5=0 ⇔ x-13y-5z+5=0
Dạng 10:
Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
//
( )
β
: Ax+By+Cz+D=0 và tiếp xúc với mặt cầu (S).
Phương pháp giải:
B1:Xác định tâm I bán kính R của mặt cầu (S).
B2:Do mp(
α
)//mp
( )
β
⇒phương trình mặt phẳng(
α
) có dạng Ax+By+Cz+m=0(*)
(m≠D)
B3: Mặt phẳng
( )
α
tiếp xúc với mặt cầu (S)⇔ d(I,(
α
))=R giải phương trình này tìm
được m thỏa điều kiện m≠D thay vào (*) ta được phương trình mặt phẳng(
α
).

11( )
m n
m n
=


= −

. Vậy có 2 mặt phẳng (R) thỏa yêu cầu bài toán phương
trình là:
2 1 0x y z+ + + =
và
2 11 0x y z+ + − =

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1: Viết phương trình mặt phẳng (
α
) đi qua A(-2;3;1) và có một VTPT là
n (3; 2;1)= −
r
Bài 2: Viết phương trình mp(P) qua A(-2;1;0),B(3;0;1),C(5;5;5)
Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(1;3;2) và song song với mặt phẳng (Q):3x+5y-
2z+4=0
Bài 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mp(
β
):2x+y-2z+3=0. Viết phương trình
mp(α) //mp(
β
) và cách điểm A(1;2;3) một khoảng bằng 2.
Bài 5: Lập phương trình mặt phẳng (α) đi qua A(1, 0, 2) và chứa đường thẳng

và
2
1 2 '
: 2
3 3 '
x t
d y
z t
= −


=


= −


a) Chứng minh
1
d
cắt
2
d
b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng
1
d
và
2
d


2
d
b)Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d
1
và d
2
Bài 11: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S), và mặt phẳng (P) lần lượt có phương trình (S):
2 2 2
2 4 2 3 0+ + − + + − =x y z x y z
, (P): 2x +2y – z + 5 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (Q)
song song với (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S).
Bài 12: Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng
2 1
:
2 3 4
− −
= =
−
x y z
d
và góc mặt phẳng
( )
: 1 0Q x y z
+ + − =
Bài 13: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua
( )
0;1;2A
và song song với hai đường thẳng
1
1 1

0;
z
0
) và có 1 véctơ chỉ phương
( ; ; )u a b c=
r
phương
trình tham số là:
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct
= +


= +


= +

. Nếu a.b.c ≠ 0 thì phương trình chính tắc là:
0 0 0
x x y y z z
a b c
− − −
= =
-Nếu chưa tìm được ngay 1 véctơ chỉ phương của đường thẳng d, ta đi tìm 2 véctơ
,a b

2 3 1
x y z
− − −
= =
−
. Phương trình tham số là
5 2
4 3
1
x t
y t
z t
= +


= −


= +

Dạng 2: Đường thẳng d đi qua 2 điểm A, B.
Phương pháp giải:
B1 : Tìm véctơ
AB
uuur
B2 : Viết phương trình đường thẳng d qua A có VTCP
AB
uuur
Ví dụ : Viết PTTS của đường thẳng d đi qua hai điểm A(1; 2; 3), B(4; 4; 4)
Giải:

B2:Viết phương trình đường thẳng d qua A có VTCP
r
a
Ví dụ : Viết PTTS của đường thẳng d đi qua B(2; 0; –3) và song song với ∆:
x t
y t
z t
 
 


= +

= − +


=

Giải:
Đường thẳng ∆ có 1 VTCP là
(2; 3; 4)a =
r
Đường thẳng d đi qua B(2; 0; –3), có 1 VTCP là
(2; 3; 4)a =
r
⇒ phương trình là:

= +

=

= −
r
⇒ phương trình chính
tắc là:
2 1 3
1 1 1
x y z
− + −
= =
−

Dạng 5: Đường thẳng d qua A và vuông góc d
1
, d
2
( d
1
không song song hoặc trùng d
2
)
Phương pháp giải:
B1:Tìm véctơ chỉ phương
a
r
của (d
1
),véctơ chỉ phương
b
r
của (d

x y z− − +
= =
−
Giải:
Đường thẳng d
1
có 1 VTCP là
( 2; 1; 1)a
= − −
r
.
Đường thẳng d
2
có 1 VTCP là
(2; 1; 3)b = −
r
⇒
[ ; ] (2;4;0)u a b= =
r r r
.
Đường thẳng d có 1 VTCP là
(2;4;0)u =
r
và đi qua M(1;1;4) ⇒ phương trình là:
1 2
3
x t
y t
z t
= −

B4:Viết phương trình đường thẳng d qua A có VTCP
u
r
Ví dụ :
Viết phương trình đường thẳng d là giao tuyến của 2 mặt phẳng:(P):x-2y+z+5=0,(Q):2x-z+3=0.
Giải:
Mặt phẳng (P) có 1 VTPT là
1
( 1; 2; 1)n = −
ur
.
Mặt phẳng (Q) có 1 VTPT là
2
(2; 0; 1)n
= −
r
. ⇒
1 2
[ ; ] (2;3;4)u n n= =
r ur uur
.
Cho x=0 thế vào phương trình mp(P) và mp(Q) ta được hệ :
2 5 4
3 3
y z y
z z
− + = − =
 
⇔
 

điểm M(3; 1; 5) và song song với hai mặt phẳng (P): 2x + 3y - 2z +1 = 0 và (Q): x – 3y + z -2
= 0.
Giải .
Ta có
n
r
P
= (2; 3; -2);
n
r
Q
=(1; -3; 1) lần lượt là VTPT của hai mp (P) và (Q). Do d //(P) và
d//(Q) nên vectơ chỉ phương của d là
u
r
= [
n
r
P
,
n
r
Q
] = (-3; - 4; -9).

⇒
Phương trình tham số của d là:




.
B2 :Tìm véctơ chỉ phương
u
r
của đường thẳng ∆.
B3: Gọi B= d∩∆ ⇒B(x
0
+at ; y
0
+bt ; z
0
+ct) ⇒
AB
uuur
B4: Do d vuông góc với ∆ ⇔
u
r
.
AB
uuur
= 0 ⇒ t ⇒
AB
uuur
B5:Viết phương trình đường thẳng d qua A có VTCP
u
r
Ví dụ: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng d’ có phương trình
1
2
x t

−
=>
AB
uuur
5 1 2
; ;
3 3 3
 
− −
 ÷
 
Đường thẳng d đi qua A có 1VTCP
3. (5; 1; 2)u AB= − = −
r uuur
Vậy phương trình của d là :
1 2 2
5 1 2
x y z− − +
= =
−
Dạng 9: Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P), cắt và vuông góc với đường
thẳng ∆.
Phương pháp giải:
B1:Tìm giao điểm A của (P) và ∆.
B2 :Tìm véctơ chỉ phương
a
r
của đường thẳng ∆.VTPT
n
r

1 1
2x y – 2z 9 4
2x y – 2z 9 0
x y
x y x
x z
x z y
z
− +

=

−
+ = − =
 

− −
  
= ⇔ + = ⇔ = −
  
−
  
+ = − =
 
+ + =



⇒ A(0 ;-1 ;4)
đường thẳng


= +


BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1: Viết PTchính tắc, tham số của đường thẳng d đi qua M(2; -1; 3) và có VTCP
= − a
r
.
Bài 2: Viết PTTS của đường thẳng d đi qua A(1; -2; 3), B(3; 4; 5)
Bài 3: Viết PTTS của đường thẳng d đi qua B(1; 2; 3) và song song với ∆:

= +

= +


= −


 

x t
y t
z t
Bài 4: Viết PTCT của đường thẳng d đi qua điểm A(1; 2; 3) và vuông góc (P):
+ − + =   x y z
Bài 5: Viết phương trình đường thẳng d đi qua M(1;1;4) và vuông góc với hai đường thẳng
(d
1

y t
z t
= +


=


=

Viết phng trình đờng thẳng dđi qua điểm A, cắt và vuông góc với đờng thẳng d.
Bi 9: Trong khụng gian Oxyz, cho ng thng d:
+
= =
x y 3 z 3
1 2 3
v mp(P): 2x + y 2z + 9 =
0. Vit phng trỡnh ng thng

nm trong (P) vuụng gúc vi d v ct d.
IV/ MT S BI TON V TèM IM:
Daùng 1: Tỡm giao im ca ng thng v mt phng.
Phng phỏp gii:
Cỏch 1: To giao im l nghim ca h
( )
C)* ?
C)*





+ + =



" $


" $ "
# $
# $ # <

" # $ $
" # $
Cỏch 2 :
ng thng cú phng trỡnh tham s l:
x t
y t
z t



= +

= +


=

. Do H=(P)HH(2+t;1+2t;t).

H là hình chiếu vng góc của A lên (P) ⇒ H=d ∩(P)⇒ H∈d ⇒ H(6t;3t;1+2t). Mặt khác
H∈(P) nên ta có phương trình: 6.6t+3.3t+2(1+.2t)-6=0⇒
4
t
49
=
⇒ H
24 12 57
, ,
49 49 49
 
 ÷
 
Dạng3 : Tìm điểm M
/
đối xứng với điểm M qua mp(P)
Phương pháp giải:
• Tìm toạ độ hình chiếu H của M trên mp(P) .
• M
/
đối xứng với M qua (P) ⇔ H là trung điểm của MM
/
nên :
/
/
/
2
2
2
H M

H
 
 ÷
 
(đã giải trong bài tìm hình chiếu của
M trên mp). Vì A’ đối xứng A qua mặt phẳng (P) nên H là trung điểm của AA’⇒
/
/
/
48
2
49
24
2
49
65
2
49
H A
A
H A
A
H A
A
x x x
y y y
z z z

= − =


( )
C)* ? 
C)* 



α


Cách 2 :
 Phương trình tham số của d là

= +

= +


= +

x x at
y y bt
z z ct



, d có VTCP
a
r
= (a, b, c)
 Do H là hình chiếu của A trên d ⇒ H∈d ⇒ H(x

( )
1; 1; 1u
= − −
r
. Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vng góc d ⇒ (P) có VTPT
( )
1; 1; 1n u= = − −
r r
, phương trình
mặt phẳng (P):
7 0x y z
− − + =
. H l hỡnh chiu ca A lờn d nờn H=d (P) Hd H(2+t;-3-t;-t) mt khỏc H(P) ta cú
phng trỡnh 2+t+3+t+t+7=0 t= -4
( )
2;1;4H

Cỏch 2 :
Gii:
. Phng trỡnh tham s ca d cú VTCP
( )
1; 1; 1u
=
r
.
. H l hỡnh chiu ca A lờn d nờn H=d (P) Hd H(2+t;-3-t;-t)
AH (1 ; 6 ; 5 )t t t
= +
uuur


y y y
z z z

=

=


=

Vớ d: Cho ng thng
2 3
:
1 1 1
x y z
d
+
= =

v im
( )
1;3;5A
. Tỡm ta im A i xng
ca A qua ng thng d.
Gii:
H l hỡnh chiu ca A lờn d, ta cú H(-2;1;4) (Trong vớ d bi toỏn hỡnh chiu ca A trờn d ó
gii).
Vỡ A i xng A qua ng thng d nờn nờn H l trung im ca AA nờn ta cú:
/
/


= +

= +


= +

x x at
y y bt
z z ct



.
B2: Gi Md M(

x at+
;

y bt+
;

z ct+
)
B3: Thit lp phng trỡnh hoc h phng trỡnh theo iu kin bi cho tỡm ra im M.
Vớ d 1. Trong khụng gian Oxyz, cho ng thng d:
1
1 1 2
x y z

=




=

( )
0 M 0;0 1t =
;
4 4 4 13
( ; ; )
5 5 5 5
t M=
Daùng 7 : Tỡm im M thuc mt phng (P) : Ax+By+Cz+D=0, tho mt s iu kin cho
trc.
Phng phỏp gii:
B1: Gọi M(a;b;c) là điểm thuộc mp(P)⇒ A.a+B.b+C.c+D=0(1).
B2: Dựa điều kiện đầu bài lập 2 phương trình khác kết hợp với phương trình (1) ta được hệ
phương trình theo 3 ẩn a, b, c giải hệ tìm được toạ độ M.
Ví dụ. (TNTHPT năm 2014) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
cho điểm
(1; 1;0)A −
và
mặt phẳng (P) có phương trình 2x-2y+z-1=0. Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho
AM vuông góc với OA và độ dài đoạn AM bằng ba lần khoảng cách từ A đến (P).
Giải
Gọi M(a;b;c), ta có
( ) 2 2 1 0 2 2 1M P a b c c b a∈ ⇔ − + − = ⇔ = − +



= − ⇒ − −


=

MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM KHÁC
a) Trên trục Oy tìm điểm M cách đều hai điểm : A(3 ; 1 ; 0) và B(-2 ; 4 ; 1).
HD: M∈Oy ⇒ M(0 ;y ;0). M cách đều hai điểm A, B ⇔AM=BM
b) Trên mặt phẳng Oxz tìm điểm M cách đều ba điểm: A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0) và C(3; 1; -1).
HD: M∈Oxz ⇒ M(x ;0 ;z ). M cách đều 3 điểm A, B, C ⇔AM=BM=CM
c) Cho ba điểm: A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0) và C(3; 1; -1). Tìm điểm D để tứ giá ABCD là
hình bình hành.
HD:Tứ giác ABCD là hình bình hành
AD BC=
uuur uuur
.
d) Cho ba điểm: A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0) vµ C(3; 1; -1) Tìm điểm M sao cho
2 3AM AB BC= −
uuuur uuur uuur
.
HD: Gọi M(x,y,z), tính
, 2 3AM AB BC−
uuuur uuur uuur
hai véctơ bằng nhau ⇔ các toạ độ tương ứng bằng
nhau.
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ:
Bài 1: Cho đường thẳng ∆:
− −

qua đường thẳng d
MỘT ĐỀ THI TỐT NGHIỆP + ĐẠI HỌC HÌNH HỌC KHÔNG OXYZ
Bài 1) TNTHPT 2009
Câu 4a Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phương trình:
( ) ( ) ( )
2 2 2
(S) : x 1 y 2 z 2 36và (P) : x 2y 2z 18 0− + − + − = + + + =
.
1) Xác định tọa độ tâm T và tính bán kính của m.cầu (S). Tính khoảng cách từ T đến mặt phẳng
(P).
2) Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua T và vuông góc với (P). Tìm tọa độ giao
điểm của d và (P).
Bài 2) TNTHPT 2010
Câu 4.a Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(1;0;0), B(0;2;0) và C(0;0;3).
1) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng BC.
2) Tìm tọa độ tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.
Bài 3) TNTHPT năm 2011
Câu 4.a. (2,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(3;1;0) và mặt phẳng (P)
có phương trình 2x+2y-z+1=0.
1) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) . Viết phương trình mặt phẳng đi qua
điểm A và song song với mặt phẳng (P) .
2) Xác định tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng(P).
Bài 4) TNTHPT năm 2012
Câu 4.a (2,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2;2;1), B(0;2;5) và
mặt phẳng (P) có phương trình 2x –y+5 =0
1) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua A và B
2) Chứng minh rằng (P) tiếp xúc với mặt cầu có đường kính AB
Bài 5) TNTHPT năm 2013
Câu 4.a (2,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz


1) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua
A
và vuông góc với
( )P

2) Tìm tọa độ điểm M thuộc
( )P
sao cho AM vuông góc với OA và độ dài đoạn AM bằng ba lần
khoảng cách từ
A
đến
( )P
Bài 7) ĐH KA-2014
Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (P):
2x y 2z 1 0+ − − =
và đường thẳng d:
x 2 y z 3
1 2 3
− +
= =
−
. Tìm tọa độ giao điểm của d và (P). Viết phương trình mặt phẳng chứa d và
vuông góc với (P).
Bài 8) ĐH KB-2014
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1;0;-1) và đường thẳng d:
1 1
2 2 1
− +
= =

4 ?78@)L=:#
 4 78.



3. MẶT CẦU – KHỐI CẦU:
"J

)*;
M 4 :L=:#
%  M(3:7
( 4 =7
M 4 :L=:#
' M 3:7
 4 =

= π



= π


Chú ý:
1/ Hình vuông cạnh a : Đường chéo là a
2
. Đường chéo của hình lập phương cạnh a là a
3
. Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c là
2 2 2

+=

e)
sin , os , tan ,cot
b c b c
B c B B B
a a c b
= = = =
f) b= a. sinB = a.cosC, c = a. sinC = a.cosB, a=
sin cos
b b
B C
=
, b= c. tanB = c.cot C
6/ Hệ thức lượng trong tam giác thường:
*Định lý hàm số Côsin: a
2
= b
2
+ c
2
- 2bc.cosA
*Định lý hàm số Sin:
2
sin sin sin
a b c
R
A B C
= = =
7/Các công thức tính diện tích.

đều cạnh a:
2
3
4
a
S =
b/ Diện tích hình vuông : S= cạnh x cạnh
c/ Diện tích hình chữ nhật : S= dài x rộng
d/ Diện tích hình thang :
1
2
S =
(đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao
a
c
b
B
C
A
H
α
d(M,
α
)
M
H
e/ Diện tích hình bình hành : S= đáy x chiều cao
f/ Diện tích hình tròn :
2
S .R

( )
,( )
α
d M
Phương pháp tính khoảng cách từ điểm M tới mp(
α
) :
Dựng
( )
α
⊥
MH
, H
∈

( )
α
và tính MH
( )
,( )
α
⇒ =d M MH
.
Có thể dựng MH theo hai phương pháp sau:
Cách1: Nếu có một đường thẳng
( )
α
⊥
d
thì ta dựng

⊥
MH
.
Chú ý: Khi biết khoảng cách từ một điểm A (khác M) đến (
α
).
+ Nếu MA//(
α
)thì
( ) ( )
,( ) ,( )
α α
=d M d A
.

+ Nếu
( ) ( )
α
∩ = ≠
MA I I A

thì
( )
( )
,( )
,( )
α
α
=
d M

AB b
tại B
⇒
đoạn thẳng AB là khoảng cách giữa a và b.
• Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b bằng khoảng cách giữa a và mặt phẳng
(P) chứa b và song song với a, hoặc bằng khoảng cách giữa b và mặt phẳng (Q) chứa a và song
song với b.
• Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song
song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.
α
β
a
b
c
a
a'
ϕ
d
α
M
H
d
(P)
α
M
H
α
I
M
H

2
a
Ta có tam giác ABC là nửa tam giác đều nên BC=a,
3
,
2 2
= =
a a
AC AB
⇒S
ABC
=
2
1 1 3 3
. . .
2 2 2 2 8
a a a
AC AB = =
2 3
.
1 1 3 3
. .
3 3 8 2 16
S ABC ABC
a a a
V S SH= = =
.
Gọi I là trung điểm AB⇒
a
HI

( )
( )
( )
( )
d C, SAB
39 39
2 C, SAB 2 ( ,( )) 2.
( ,( )) 26 13
BC a a
d d H SAB
d H SAB BH
= = ⇔ = = =
Bài 2: ĐHKA 2012
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt
phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt
phẳng (ABC) bằng 60
0
. Tính thể tích của khối chóp S.ABC và tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng SA và BC theo a.
Giải
Gọi M là trung điểm AB, ta có
2 3 6
a a a
MH MB HB
= − = − =
. Ta có ∆MHC vuông tại M⇒
2
2
2
2 2 2

2 3
.
1 1 3 21 7
. . . .
3 3 4 3 12
S ABC ABC
a a a
V S SH
⇒ = = =
dựng D sao cho ABCD là hình thoi, AD//BC. Vẽ HK ⊥AD(D∈AD), trong tam giác vuông SHK
ta kẻ HI⊥SK(I∈SK) (1), ta có AK⊥HK, AK⊥SH⇒ AK⊥(SHK) ⇒AK⊥HI(2). Từ (1) và (2) ⇒
HI⊥(SAK) ⇒HI=d(H,(SAK)). Ta cũng có BC//(SAK)⇒ d(BC,SA) =d(B,(SAK))=
3 3
( ,( ))
2 2
d H SAK HI=
. Trong ∆ vuông AHK vuông tại K, có
µ
A
bằng
0
60
ta có:
M
A
B
C
S
D
H

Bài 1. (đề thi TNTHPT – 2009)
Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với
mặt phẳng đáy. Biết góc
·
0
120 ! =
, tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
Bài 2 (đề thi TNTHPT – 2010)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt (SBD) tạo với đáy một góc
60
0
, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
Bài 3. (đề thi TNTHPT – 2011 )
Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với AD=CD= a, AB=3a.
Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và cạnh bên SC tạo với mặt đáy một góc 45
0
. Tính thể tích
khối chóp SABCD theo a.
Bài 4. (đề thi TNTHPT – 2012)
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BA= BC = a. Góc
giữa đường thẳng A’B với mặt phẳng (ABC) bằng 60
o
. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’
theo a.
Bài 5. (đề thi TNTHPT – 2013 )
Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh

x y z

1) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua
A
và vuông góc với
( )P

2) Tìm tọa độ điểm M thuộc
( )P
sao cho AM vuông góc với OA và độ dài đoạn AM bằng ba lần
khoảng cách từ
A
đến
( )P
Bài 7. (đề thi ĐHK A+A
1
– 2014 )
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SD =
3a
2
, hình chiếu vuông góc của
S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của cạnh AB. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và
khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD).
Bài 8. (đề thi ĐHK B – 2014 )
Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt
phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AB, góc giữa đường thẳng A’C và mặt đáy bằng 60
0
. Tính
theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng
(ACC’A’).


=


3. Giới hạn:
x x
lim y , lim y
→−∞ →+∞
= +∞ = −∞
4. Bảng biến thiên:
5. Tính đơn điệu:
+ Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (− ∞ ; − 2) và (0 ; + ∞)
+ Hàm số đồng biến trên khoảng (− 2 ; 0)
6. Cực trị: + Hàm số y đạt cực tiểu tại x = – 2 và y
CT
= y(–2) = 0
+ Hàm số y đạt cực đại tại x = 0 và y
CĐ
= y(0) = 4
7. Đồ thị:
Điểm uốn: (-1 ,2)
Điểm đặc biệt:
(-3 ; 4), (1 ; 0)
0,25
Ví dụ 2: Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số: y =
4 2
y 8x 9x 1= - +
Đáp án
Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số: y =
4 2

2
−
0
0
0
0
4
−
−
+
4
3
−
2
−
O
1
y
x
3.Giới hạn:
lim ; lim
x x
y y
→−∞ →+∞
= +∞ = +∞
0,25
4. Bảng biến thiên:

5. Tính đơn điệu:
Hàm số đồng biến trên các khoảng

±
và y
CT
=
49
32
−
+ Hàm số y đạt cực đại tại x = 0 và y
CĐ
= 1
7. Đồ thị: Điểm đặc biệt
( 1,0),(1,0)-

0,25
Bài tập luyện tập
1. Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số:
a.
3 2
3 3 1y x x x= + + +
c.
3 2
3y x x= −
b.
3 2
3 4 2y x x x= − + − +
d.
3
3 1y x x= − + +
2. Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số:
a.