Hệ Phương Trình
Ôn Thi ĐẠI HỌC
2015 Tác giả : Nguyễn Thế Duy
Lời nói đầu : Cũng như tiêu đề của bài viết , thì ở bài viết này gồm 42 hệ phương trình vô tỷ ôn thi
ĐẠI HỌC năm 2015 gồm :
1) Phần I. Các bài toán sử dụng phương pháp : nhân tử , liên hợp , ẩn phụ , hàm số.
2) Phần II. Các bài toán sử dụng phương pháp đánh giá.
3) Phần III. Phân tích hướng đi hai bài toán Khối A và Khối B năm 2014.
Toàn bộ các bài toán dưới đây là do sưu tầm trên các mạng xã hội và lời giải là do tác giả của bài viết
Nguyễn Thế Duy trình bày. Hi vọng và mong muốn các bạn có được nhiều phương pháp giải hệ cũng
như những phương án đối mặt khi gặp nó để biến bài toán hệ phương trình trở nên đơn giản hóa và
giải quyết nó một cách dễ dàng.
Phần I. Các bài toán sử dụng phương pháp : nhân tử , liên hợp , ẩn phụ , hàm số.
Bài toán 1. Giải hệ phương trình :
22
2 2 2
22
21
2 1 2
0 2 0
1 1 2 1
1
0
0
x y xy x y
xy x y xy xy x y
x y x y x y
xy
x y x y
xy x y
Với
1xy
thế xuống phương trình hai chúng ta có :
22
1
1
1
1 2 2 1 0
0
1
x
x
x x x y x ptvn
y
xy
xy
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm :
Lời giải. Điều kiện :
;1xy
Phương trình một tương đương với :
3
3 2 3 3
3 6 4 3 1 3 1 3 1x x x y y x x y y y x
Thế vào phương trình hai ta được :
Tuyển tập 42 Hệ phương trình ÔN THI ĐẠI HỌC 2015
Tác giả : Nguyễn Thế Duy
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
2
2
1 2 6 7 7 12
1 2 2 6 7 3 2 8
16
2 4 0
2 2 7 3
40
22
2 2 7 3 2 2 7 3 2 2
x x x x x x
x
x x x x x
Từ đó suy ra
, 2, 3xy
là nghiệm duy nhất của hệ phương trình
Bài toán 3. Giải hệ phương trình :
22
22
2 1 3 2
,
4 4 6 3 2 0
x xy x x y y x y
xy
x y xy x y
Với
22yx
thế xuống phương trình hai thì :
22
22
2 2 2
22
2
2 2 2
3
4 1 4 2 3 3
4 1 4 2
11
4 1 4 2 2 4 1 3
0
2 4 1 3 1 1
4 4 1 3 1
x x x x x x
x x x x
x x x x x x x
xx
x
x x x x x
x x x x
2
2
,
14
xy x y xy x y y
xy
x y xy x x
Lời giải. Điều kiện :
, 0 ; 2 0x y xy x y xy
Chúng ta có :
xy
xy x y xy y
xy
xy x y xy y
Từ phương trình hai :
2
2
44
1 1 2 2
11
y xy x x x x
1
0
1 17
2 3 4 0
2
xy
xy
x x x
xy
Vậy hệ phương trình ban đầu có nghiệm kể trên
Bài toán 5. Giải hệ phương trình :
5 2 1 2 2 7 2 2 2 2
1 2 1 1 2 1 0
11
1 0 1 1 0
1 2 1 2
x xy y y x y y
x xy y y x y xy y
xy y y xy xy y xy y
xy y
xy y xy y
xy y xy y
Với
1xy y
kết hợp với phương trình hai chúng ta có :
22
1
11
1 5 , 2,1 ; 1 2, 1 ; 2 1,
xy
y y x y x
Lời giải. Điều kiện :
1 ; 2y y x
Bình phương phương trình hai ta được :
1
2 1 2 1 1 2
4
y y x y y x
Phương trình một được viết lại thành :
2
2 3 1 4 1 3 1 1 2y y x y y y y x
Từ hai điều trên suy ra :
2
xy
Bài toán 7. Giải hệ phương trình :
3 1 2 2 1 8
,
5 2 9
x y x y x y
xy
x x y y
Lời giải. Điều kiện :
; 2 1x y y
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Đặt
khi đó hệ phương trình trở thành :
2 2 2 2
2 2 2 2
22
21
1
2 1 2 1 8
1
2 1 2 1 8
2 1 4
ab
a
a b a b a b
b
a b a b a b
a a b
22
1 1 2
,
8 8 8
y x y x y y x
xy
x y y x
Lời giải. Điều kiện :
0xy
và
8x
Đặt
2
1
8
a
xy
ta có :
22
11
4, 5
3, 5
8 1 8
x y x y
x
y
1
3
1
8
y
x
y
xy
Với
2 0 2 0a b x y y
phương trình vô nghiệm vì
0x y y
Kết hợp với điều ta được nghiệm của hệ phương trình là
97
, 3,1 ; ,
22
xy
Bài toán 9. Giải hệ phương trình :
2
22
2
2 2 1 4 4
4 1 4 1 4 8
2 2 1 4 4
x y x y
x y y x x y x y
y x y x
Từ điều trên và kết hợp với phương trình hai đa được :
22
8 2 4 8 6 2 16 12 2xy x y x y x y x y xy x y x y
Từ
1
2
2 1 5
,
2
x y y x y
xy
y xy y
Lời giải. Điều kiện :
0xy
Đặt
22
a x y x y a
a b a b x y x y y xy y y
yb
by
Mặt khác , từ phương trình hai :
2
2 2 2 4xy y y
nên suy ra
2 2 2 2
3a b a b
.
Do đó ta có hệ phương trình :
22
2 2 2 2
42
1xy
Đặt
a x y
by
khi đó phương trình một trở thành :
2
1 1 1 1 1ab a b ab a b ab a b a b a b ab a b
Với
1ab a b
ta có :
22
1 3 2 2 3 0 1 3 1 2 0
1 1 1
xy
x t x x x t t x t x
xy
TH1. Với
1y
thế vào phương trình
ta có :
1x
hoặc
2x
TH2. Với
1xy
thế vào phương trình
ta có :
3
3 2 2 2
2 1 2 1
,
22
y y x y y
xy
y y y y y x y y x
Lời giải. Điều kiện :
xy
. Khi đó phương trình hai có dạng :
2
1
Với
2
12y y x y
ta có :
1. Hệ phương trình :
2
2
2
12
12
2 1 0
2 2 2
y y x y
y y x y
Bài toán 13. Giải hệ phương trình :
22
1 1 9
,
2 4 17
x x y x y x
xy
x x x xy xy y
Lời giải. Điều kiện :
xy
và
0x
Đặt
22
9
2 21 2
ab a b a b
ab a b ab
Đặt
t a b
u ab
, do đó ta có :
2
1 1 4
3 2 0
2 3 3
X x x
X X or
X y y
Dựa vào điều kiện kết luận hệ phương trình ban đầu có nghiệm
, 1, 3 ; 4, 3xy
Bài toán 14. Giải hệ phương trình :
3 3 2 2
3 2 3
3
3 3 3
,
21
3 36 1 27
x y x y xy x y
xy
Thế vào phương trình hai ta được :
33
3 2 6 3 2 3 2 6 3 2 2
22
2
2
2
33
6 3 2 6 3 2 2 2
2
1 1 1 1 1
, 1, ; , ; ,
3
3 3 3 3 3 3
xy
Bài toán 15. Giải hệ phương trình :
4 2 2 3 2
2 16 2
,
2 1 2 11
x x y y x
xy
x y x x y
2 3 1 2 22 5
13
1
1 3 0
1
2 22 5
x x x x x x
x x x x x
xx
x
xx
x
xx
Mặt khác :
2
22
3 1 2 22 4 1
3 3 0 0
11
2 22 5 2 22 5
x x x
Lời giải. Điều kiện :
2xy
Xét phương trình một , ta có :
22
1 2 0 1 2 1 1 1
1 1 2 1 2 1 2
y x y x x xy y x y y x x y
y x x y x x y x x y
Mặt khác , từ phương trình hai :
2
3 2 0 0x x y x
hay
1 2 0x x y
x y x y
Vậy
, 2, 0xy
là nghiệm duy nhất của hệ phương trình ban đầu
Bài toán 17. Giải hệ phương trình :
2
2 2 2 2
1 1 1 2
ax
yb
by
hệ phương trình đã cho trở thành :
2
2 3 2 3
3 2 2 3 2 2 3 2
22
2
23
23
3 2 2 3
23
Với
3
Bài toán 18. Giải hệ phương trình :
3
2 3 3 2
2 2 1
,
8 8 2 3 8 2 3 1
x x y x y y y
xy
x y x y y x x
Mặt khác với điều kiện :
0 ; 0x y y
thì
1
0
2
x y y
x y y
nên
vô nghiệm
Với
0xy
thì phương trình hai trở thành :
Vậy hệ phương trình ban đầu có nghiệm :
3 13 3 13 7 1 7 1
, ; ; ;
4 4 4 4
xy
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Bài toán 19. Giải hệ phương trình :
2
2
11
,
1 1 1 1
t t y t t y t t y t t y
t t y t
yt
y t y t y t y t
t t y t t t y t
Từ phương trình hai chúng ta có :
2
22
1 1 1 0 0 0;1 0x y y x y y y y t
Do đó suy ra được :
2
1 1 1 0y t t t y t
hay nói cách khác từ phương trình một
Do vậy hệ phương trình có nghiệm kể trên
Bài toán 20. Giải hệ phương trình :
3
4 3 2 2
,
5 2 4 0
y y x x x
xy
x y x y y
3
32
3
3
3
2 4 2 3 2 2
2 3 2 4 2 2
2 1 2 1 2 1
y y x x x
y y x x x
y y x x y x
Do đó hệ phương trình ban đầu trở thành :
22
2
22
Kết hợp với điều kiện , hệ phương trình có nghiệm duy nhất
a x y
a b x
by
khi đó chúng ta có :
22
1 1 2pt a b a b
Với điều ta đã đặt thì
2 2 2
a b xy y y x
mặt khác từ phương trình hai ta có :
2
2 2 2 2
22
22
4 16 16 9 4 2 9
2 4 3 2 2 2 3
2 4 3 0
a b ab a b ab
Giải hai hệ trên bằng phương pháp ẩn phụ cho ta nghiệm của hệ ban đầu là :
, 2,2 ; 2,1xy
Bài toán 22. Giải hệ phương trình :
2
3
2
8 9 12 6 1
,
2 10 6 12 2
y x xy x
xy
x y x y y x
2
2 10 6 12 2 2 10 6 12 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 0
2 2 0 2 2 0 2 0
x y x y y x x y x y x y
x y x y x y x y x y
x y x y x y x y y x
Với
2yx
thế nên phương trình một ta được :
3
22
4 13 4 12 1 2 4x x x x x y
Sở dĩ phương trình cuối dùng phương pháp đặt ẩn phụ ta sẽ giải quyết dễ dàng. Do đó hệ phương
trình ban đầu có nghiệm duy nhất
, 2, 4xy
Bài toán 23. Giải hệ phương trình :
22
1 1 1
,
16 16 12 20
x y y x
khi đó phương trình một trở thành :
22
1 1 1 1 1 1a b b a ab a b a b a b ab
Xét phương trình hai :
22
22
16 16 12 20 2 16 1 16 2 16 1x y x y xy xy x y xy xy xy x y
Mặt khác :
2 2 2 2
1 1 16 1 16a b x y xy x y a b
nên ta có :
2
2 2 2 2
2 16 2 4 1 1 2 4xy a b xy ab a b ab
Cuối cùng ta được hệ phương trình :
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm kể trên
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Bài toán 24. Giải hệ phương trình :
2 2 3 3 2
2 2 2 2 2 2
2 4 2 1 7
,
x y x y x y xy x y x
xy
x y x y xy yx
Lời giải. Điều kiện :
22
;0x y xy y x
Từ phương trình một ta có :
x y y x x y y x
xy
TH1. Với
0xy
thế xuống phương trình hai ta có :
23
0
2 2 1 0 , 0, 0 ; 1, 1
1
x
x x x x x y
x
Lời giải. Điều kiện :
2 1 ; 0xy
Phương trình một đã cho trở thành :
77
8 2 6 6 8 2
x y y x x y y x y x
y x y x x y
y x y x x y
Đặt
22
;1
x y x y
a b a b
yx
do đó ta có :
22
22
2
2 2 2
2 2 2
2
2
22
21
2 1 2 1 2 1 2 1
22
2 1 2 5 2 5
2 1 2 2
2 2 2 2
2 1 2
2 5 2 2 1 0 6 1
xx
x x x x x x x
x
x x x x x x
xx
xx
xx
x x x x x x y
Lời giải. Điều kiện :
,xy
Trước hết
1x
nhận xét không là nghiệm của hệ phương trình , do đó ta có :
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1x x x y y y x y y y x x x
Chia cả hai vế của phương trình cho
1x
ta được :
2
2
1
1
11
x x x
y y y
là hàm số đơn điệu trên và
1
x
f y f
x
suy ra
10x y x
kết hợp với phương trình hai thì :
22
11
10
1 5 1 5
22
1x y x
Tóm lại từ phương trình một chúng ta có :
1
10
x
y x x
do đó hệ phương trình ban đầu có hai
nghiệm
1 1 1 1
, 1 5 ; 1 5 ; 1 5 ; 1 5
2 2 2 2
4 3 ; 1 0x y x
Phương trình hai của hệ phương trình được viết lại thành :
11
1 1 1 1 1 1 1
1
11
y x f y f x y x
y
x
Sở dĩ có điều trên là ta đã đi xét hàm số
1
f t t
t
là hàm số đồng biến trên tập xác định của nó.
Với
1yx
thế vào phương trình một chúng ta có :
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Do đó hệ phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất
, 0,1xy
Bài toán 28. Giải hệ phương trình :
2
2 2 2
3
32
41
2 3 4 2 3 2
,
22
Với điều kiện
0x
thì phương trình một trở thành :
2
2 2 2
23
23
3
3
41
2 3 4 2 3 2
3 4 1
2 4 2 3 2
3 3 1 1
1 1 1 3 2 3 2
11
1 1 3 2 3 2
x
x x x y y
x
yy
x
xx
yy
1 0 1 3 2
a b b
a a b b a b a ab b a b y
x
Với
1
2 3 2 1y
x
thế xuống phương trình hai chúng ta có :
3
32
3
32
33
3 3 3
1 2 2 1
xy
x x x x
Kết hợp với điều kiện suy ra
5 1 3 5
,,
24
xy
là nghiệm duy nhất của hệ phương trình
Bài toán 29. Giải hệ phương trình :
1 1 2 2 1
,
1 4 2
22
xx
y
xx
Lấy
23pt pt
chúng ta có :
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
1 4 2 1 2
2 2 2 2
1 1 1
1 4 2 1 2
4
1 1 1 1
44
4 4 0 4
1 1 1
x x x
x
yy
x x x
x x x
x
yy
x x x x
Lời giải. Điều kiện :
0 ; 4 0xy
Ta sẽ đi xử lý phương trình hai như sau :
2
22
2
2
2
2
2 6 2 4 1
2 4 2 6 2 4 1 2 1
2 1 2 1 1 2 1
2 1 1 0 1 0
x y x y y x
x xy y x y y x y x
x y x y x y y x
x y x y y x
3 1 0 3 5
2
x x x x
x x x x x x
x x x x
xx
x x x x
xx
x x x x
x x x
Từ đó suy ra hệ phương trình có nghiệm
3 5 5 5 3 5 5 5
, , ; ,
2 2 2 2
xy
Lời giải. Điều kiện :
,xy
Viết hệ phương trình đã cho lại thành :
2
2 6 4 4
2
3 3 2
4 1 2
1 1 2
x y x x y
x y x x x y
Lấy phương trình hai trừ cho phương trình một ta được :
22
2
2
3
2
4 1 4 8 1
,
40 14 1
y x x x
xy
x x y x
Lời giải. Điều kiện :
14 1 ;xy
Chúng ta có :
2
22
3
4 8 1 2 14 1 4 1 2 40x x y x y x x x
y x x x x
y x x x
Do đó dấu = xảy ra khi và chỉ khi
13
;
82
xy
đây cũng là nghiệm duy nhất của hệ ban đầu
Bài toán 33. Giải hệ phương trình :
22
1 1 2
12
1 2 1 2
,
2
1 2 1 2
9
xy
xy
Thật vậy , theo bất đẳng thức Bunhiacopxki chúng ta có :
2
22
22
2
22
22
1 1 1 1 4
2
12
1 2 1 2
1 2 1 2
2 2 1
1 1 2
00
12
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
xy
xy
xy
x y xy
Do đó hệ phương trình đã cho có hai nghiệm kể trên
Bài toán 34. Giải hệ phương trình :
22
2
2 2 4 2
,
6 11 10 4 2 0
x x y y
xy
x y x x
Lời giải. Điều kiện :
22
4 2 0 ; 2 4 10 0y y x x
yy
x x y y x x y y
Cộng vế với vế của hai phương trình trên ta có :
22
22
1
3 6 6 12 0 3 1 3 0
3
x
x x y y x y
y
Kết hợp với điều kiện suy ra hệ phương trình có nghiệm duy nhất kể trên
Bài toán 35. Giải hệ phương trình :
22
2
2
1 3 1
x x x x
pt x y
y y y y
Với
xy
thế vào phương trình hai ta được :
2
2
2
1
1 2 1
x
x
xx
Theo bất đẳng thức AM – GM :
12
Dấu = xảy ra khi
1x
suy ra
1xy
là nghiệm duy nhất của hệ phương trình
Bài toán 36. Giải hệ phương trình :
2
2
2 24
4 1 0
,
21
5 5 1 6
y
x x y
xy
y
x y x y
2
2
49 49
2 0 4 4 4 4 4
2 1 2 1
2 1 0
2 1 4 49
2 1 4 49 5
2 1 0
2 1 4 49
t t t t t y y
yy
y
yy
y y y
y
yy
Dấu = đạt được khi và chỉ khi :
22
25
55
55
5
tx
t y y t
yy
y
,0xy
Sử dụng các đánh giá cho phương trình một thì :
2 2 2 2
2
2 2 2
4 4 2 4 8
5 2 1 2 2 2
4
4
48
5 3 2 3 4 2 4 8
4
4 3 3 12 2 2 8 8 0 3 4 0 *
x x x x x
x y x y x y
xy
xy
x x x x x y x x y
x y x y
x xy x x y x xy x x xy x y
Bài toán 38. Giải hệ phương trình :
2
22
44
22
71
12
2
,
33
x x y
xy
xy
x x y
Lời giải. Điều kiện :
,xy
xy
xy
Bình phương phương trình hai :
22
2 2 2 2
33
33
3 6 9 3 2
xx
x x y
x y x x y x
Kết hợp với đánh giá :
2
2 2 2
2 2 3 2 1 0 1x y x x x x
Hệ phương trình đã cho tương đương với :
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
2
2
2
2
3
3
2
22
22
1 2 1
1 2 1
1
3
5 1 2
2
x y x x
x y x x
x x y x x
x x y x x
5 1 2 5 3 1 0x x y x x y x x x x y
Do vậy
2
2 2 2 2
13
2. 5 3 1 2 6 1 2 0 2 1 0 .
22
x x y x x y x x y
là
nghiệm duy nhất của hệ phương trình
Bài toán 40. Giải hệ phương trình :
22
2
2 4 2 3
41
,
1 3 2 5 2 3 3
xy
xy
xy y x
xy
x xy x y x x y x y
xy y x xy x xy xy y
xy y x xy
Phương trình hai được viết lại thành :
2
2
3 2 3 3 2 3
3 2 3 2 3 3 0
x x y x y x y x y
x y x x y x y x y
Kết hợp hai điều trên suy ra
, 4,1xy
là nghiệm duy nhất của hệ phương trình
Phần III. Phân tích ý tưởng hai bài toán khối A và B năm 2014
Khối A.2014. Giải hệ phương trình :
đều có sự xuất hiện
2
,xx
và
,yy
nên nếu đặt
zy
thì phương trình một trở thành :
22
12 12 12x z z x www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Đến đây thì tôi nghĩ ngay đến ý tưởng của bất đẳng thức AM – GM mà không quan tâm điều gì khác
đặc biệt là điều kiện để dùng bất đẳng thức đó :
22
2
2 2 2 2
22
22
2
12
12
12 12
2
12 12 12
12
22
12
sao cho
2
10 x
là một số chính phương. Vậy thì có thể xảy ra hai trường hợp sau :
22
1 ; 9xx
và thử lại giá trị của biến sẽ thấy
3x
thỏa mãn nên tôi sẽ nghĩ đến việc liên hợp như sau :
3 2 3 2
2
2
2
2
8 1 2 10 8 3 2 10 1
2 3 3
3 3 1 0
10 1
26
3 3 1 0
10 1
x x x x x x
xx
0x
thì làm sao mà có thể áp dụng bất đẳng thức AM – GM ‘’ và nếu chứng minh
được
0x
thì tôi đã gần như hoàn thành bài toán. Thật vậy :
22
12 12 12 12 12 12 0 0y y x x y y x x
Vậy là mọi chuyện coi như đã xong. Trình bày vào giấy thi cẩn thận. Tôi được điểm trọn vẹn cho bài
toán này
Khối B.2014 . Giải hệ phương trình :
2
1 2 1
,
2 3 6 1 2 2 4 5 3
y x y x x y y
xy
y x y x y x y
do đó phương trình một được viết lại thành :
2 2 2 2
1 2 1b a a b a b
Oh, một phương trình hai ẩn
,ab
có sự đối xứng rõ ràng nên ta sẽ tiếp tục đi tìm nhân tử hay chính là
khám phá mối quan hệ giữa
,ab
. Để làm công việc này , tôi nghĩ rằng kiểu gì nó cũng có dạng :
b ma n
nên với mỗi
ab
do đó sẽ đi tìm được
,mn
. Đầu tiên đơn giản chọn
1a
hay
1b
thì thật tình cờ ở đây tôi lại được điều luôn đúng. Ak ra phương trình kia sẽ được viết dưới dạng :
1 1 , 0a b f a b
nhưng tôi chưa biết
,f a b
như thế nào cả. Và cũng dựa phương trình đó
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
khéo léo nhóm lại được như sau :
1
5 1 0, 61803
2
y
và hàm số
2
2 3 2 1f y y y y
đồng biến trên
0;1
nên nó có nghiệm duy nhất. Điều này thì chẳng ai bảo sai nhưng tôi xếp nó vào
dạng may mắn. Nhưng chúng ta cần tìm một cách tự nhiên cho nó. Đó là : hệ số trước các hạng tử có
điều đặc biệt 2,3,2,1 mặt khác 2 + 1 = 3 nên nếu tách
32y y y
thì ta sẽ nhóm được như sau :
22
2
22
2 3 2 1 2 1 1 0
1
2 1 0 1 0
1
y y y y y y y
yy
Copyright: Tài liệu đại học ©