www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 3
 Dạng 1: (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = m (1)
với a+b=c+d và m ≠ 0
Cách giải:
Phương trình (1) được viết lại:
[x
2
+(a+b)x +ab][ x
2
+(c+d)x +cd] =m
Vì a+b = c+d nên ta đặt t=x
2
+(a +b)x= x
2
+(c+d)x lúc
đó phương trình (1) được viết lại như sau:
(t +ab)(t+cd) = m  t
2
+(ab+cd)t +abcd –m =0
Giải phương trình theo t  x
Ví dụ: giải phương trình sau
(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) = 120
 (x+1)(x+4)(x+2)(x+3)=120
 (x
2

+5x +4)(x
2


-1)(x
2

+8x+15)=105
Tìm m để phương trình sau
6. (x+4)(x+5)(x+7)(x+8)=m có nghiệm
7. x(x+1)(x+2)(x+3)=m có 4 nghiệm phân biệt.
8. (x+2)(x+4)(x
2

+4x +m)=8m có 4 nghiệm dương phân
biệt
www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 4
 Dạng 2:
mx
ax
2

+bx+c
+
nx
ax
2

+dx+c
=k
Với giả thiết biểu thức ở mẫu luôn khác không


2
rồi
từ đó ta suy ra nghiệm của phương trình (2) bằng cách
giải các phương trình
ax+
c
x
= t

1
, ax+
c
x
= t

2

Ví dụ: giải phương trình
4x
4x
2

-8x+7
+
3x
4x
2

-10x+7
=1 (2.3)


-25t +144=0.
Phương trình này có hai nghiệm t

1
=16, t

2
=9
Với t

1
=16 ta có phương trình 4x+
7
x
=16
 4x
2

-16x +7=0  x

1
=
7
2
, x

2
=
1

3x
2

-x+1
+
x
3x
2

-4x+1
=
3
2

2.
2x
2x
2

-5x+3
+
13x
2x
2

+x+3
=6
3.
2x
x


+8x+5
+
6x
x
2

+x+5
=m
www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 6
Tìm m để phương trình đã cho thoả mãn các điều kiện
sau:
5. Phương trình đã cho có nghiệm
6. Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
7. Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt
8. Phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt
9. Phương trình đã cho có 4 nghiệm dương phân biệt
10. Với giá trị nào của m thì phương trình
3x
x
2

-4mx+1
+
2x
x
2


x
2

+9x+20
+
1
x
2

+11x+30
+
1
x
2

+13x+42
=
1
18
(*)
Giải như sau:
Ta thấy (*) được viết lại:
1
(x+4)(x+5)
+
1
(x+5)(x+6)
+
1
(x+6)(x+7)

1
x+7
=
1
18
 x
2

+11x-26 =0  x

1
= 2, x

2
= -13
Tương tự giải phương trình sau:
1
x
2

+3x+2
+
1
x
2

+5x+6
+…… +
1
x



t+
a-b
2
4
+






t-
a-b
2
4
=c
 2t
4

+3(a-b)
2

t
2

+
(a-b)
4

X
2

+6X-135=0  X=9, X=-15<0 (loại)
Khi X=9  t
2

=9  t

1=
3, t

2
=-3  x

1
= 1, x

2
= -5
Vậy phương trình có hai nghiệm là x

1
=1,x

2
=-5
BÀI TẬP
Giải phương trình sau:
1. (x-2)

7. có bốn nghiệm lập thành cấp số cộng
8. Tìm m để phương trình sau có nghiệm
(x+1)
4

+(x+m)
4

=82
www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 8
 Nhân đây tôi cũng muốn mở rộng dạng toán này
thông qua ví dụ sau:
Ví dụ: Giải phương trình: (x-2)
6

+ (x-4)
6

=64
Đặt t=x-3 khi đó phương trình viết lại như sau:
(t+1)
6

+ (t-1)
6

=64  t
6

33 <0( loại) X

3
=-8-
33<0(loại)
Với X=1  t
2

=1  t

1
=1, t

2
=-1  x

1
=4, x

2
=2
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là: x

1
=4, x

2
=2
Tương tự giải phương trình sau:
1. (x-1)

Xin em đừng bảo anh là ngốc
Sinh nhật em anh tặng trái cầu xoay
Và đêm Noel hình chóp cụt trên tay
Anh giận em cả con tim thổc thức
Mãi em ơi phương trình không mẫu mực
Em là nghiệm duy nhất của đời anh.

Mục đích sống ở trên đời là sống có mục đích.
www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 9
 Dạng 4: af
2

(x) + bf(x)g(x) + cg
2

(x) =0 (4)

Với dạng này ta xét hai trường hợp:
TH1: g(x)=0 , gọi x= x

o
là nghiệm của phương trình
g(x)=0
Lúc đó nếu f(x

o
)=0 thì x=x


+c =0 (4.1)
Đặt t=
f(x)
g(x)
khi đó phương trình (4.1) đã cho trở thành
at
2

+bt +c=0 (4.2)
Giải phương trình này ta tìm được t
Giả sử t=t

o
là nghiệm của phương trình (4.2) Khi đó
nghiệm của phương trình (*) đã cho là nghiệm của
phương trình
f(x)
g(x)
=t

o
 f(x)=t

o
g(x)
Ví dụ:Giải phương trình: (x
2

+6)
2

www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 10
Đặt t=
(x
2

+6)
x
khi đó phương trình đã cho được viết lại
như sau: t
2

-8t+7=0  t

1
=1, t

2
=7
Khi t

1
=1 thì ta có phương trình x
2

- x +6 =0 (Vô
nghiệm)
Khi t



2. 2(x
2

+x+1)
2

-7(x-1)
2

=13(x
3

-1)
3. 4
x

+ 6
x

= 9
x4. 2(x-1)
2

+ 3(x
2


2

+x+1)
2

+(m-1)(x
3

-1) +(x-1)
2

=0
b. 49
x
- 4.21
x
+m.9
x
=0
9. Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt
x

1
, x

2
thoả mãn 2< x

1
 x

m
x+b
-
m
x+c
-
m
x+d
= n (5)

Trong đó a+c = b+d = p và giả thiết phương trình đã cho
là xác định.
Vói loại này ta có phương pháp giải như sau:
Đưa phương trình về dạng:
m
x+a
-
m
x+c
+
m
x+b
-
m
x+d
=n quy đồng ta được:
m(c-a)
x
2


x+5
-
1
x+6
=
59
420
(5.1)
Theo cách làm như đã hướng dẫn ta có phương trình (5)
tương đương với phương trình sau:
3
x
2

+9x+18
+
1
x
2

+9x+20
=
59
420

Đặt t = x
2

+9x khi đó ta có phương trình sau
3

Giải các phương trình sau
1.
1
x+2
+
1
x+5
-
1
x+4
-
1
x+7
=
29
252

2.
4
x
2

-3
+
4
x
2

-5
-

2

+3
-
3
x
2

+4
=m (5.2)
4. Tìm m để phương trình (5.2) có hai nghiệm phân biệt
mà hai nghiệm ấy phải thuộc [-2, 2], khi nào thì (5.2)
có 4 nghiệm phân biệt.

- Ai đó ví người theo nghề giáo như những người
chèo đò cần mẫn đưa khách sang sông. Bao thế hệ
người đến rồi đi và chỉ có người lái đò ở lại Thầy
cô là thế, luôn miệt mài với công việc của mình để
dìu dắt bao thế hệ trí thức, luôn sẵn sàng cho đi
những gì tinh túy nhất cuộc đời mình mà không
mong nhận lại điều gì

- Đừng khóc vì những gì đã mất mà hãy cười với
những gì đang có.
- Mọi sáng tạo và cái mới chỉ có thể tới được trên cơ
sở cách nhìn nhận mới, cách nghĩ mới, không theo
lối mòn cũ.
www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 13

)=0
Từ đó giải phương trình này theo m thì ta có thể tìm
được giá trị m cần tìm.
Ta có x
4

=ax
2

+bx+c
 x
4

+2mx
2

+m
2

=(2m+a)x
2

+bx +c+m
2Với cách chọn giá trị m như trên ta có thể đưa về
dạng (x
2


ột nghiệm thực duy nhất là
m=-
5
2

Như đã trình bày trong phần cách giải (6) ta có
x
4

-5x
2

+
25
4
= x
2

-
37x+
37
4









+x-
5
2
-
37
2






x
2

-x+
37
2
-
5
2
=0
www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 14
, , , 
1
2
11 2 37
2

-64)
1
3

2
-1
BÀI TẬP
Giải phương trình sau
1. x
4

= 6x
2

+
56x+3
2. x
4

=x
2

+2x-
19
5

3. Tìm điều kiện để phương trình sau có nghiệm
phân biệt
x
4

2

+bx+c)
2

+b(ax
2

+bx+c) +c=x (7)

Đặt t= ax
2

+bx+c khi đó ta có hệ phương trình sau:





ax
2

+bx+c=t
at
2

+bt+c=x

Giải hệ phương trình này ta thu được nghiệm của
phương trình đã cho.

phương trình thứ hai khi đó ta có
(x
2

-t
2

)+4(x-t)=0  (x-t)(x+t+4)=0
Với t=x thì ta có các nghiệm là
Với t=-x-4 thì các nghiệm là 0, 4
Vậy phương trình (7.1) có 4 nghiệm là
0, 4,
5-1, - 5-1

BÀI TẬP
Giải các phương trình sau
1. (x
2

+4x+2)
2

+4(x
2

+4x+2)=x-2
2. (x
2

-4x+3)


+6mx
2

+8x+4m=0
7. Giải phương trình khi m=-
2
3

8. Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho chỉ có
hai nghiệm phân biệt.
9. Tìm m để phương trình sau có nghiệm
(x
2

-2x+2)
2

+2(1-m)(x
2

-2x+2)+m
2

-2m+4=0

Yêu Toán nhất
Tặng IMO-48 lần đầu tiên tổ chức tại Việt Nam 7/2007
(Tôi chỉ trích dẫn)


px
2

+qx+r
trong đó aq=bp≠ 0 và giả thiết biểu thức trong căn là
không âm

Với loại này ta có cách giải như sau:
Viết phương trình đã cho dưới dạng:
a.






x
2

+
b
a
x+
c
a
= p x
2

+
q

a
= t+
r
p
(việc giải phương trình này đã dễ
dàng hơn rồi bạn nhỉ !).
Tiến hành giải phương trình này ta được t rồi từ đó
suy ra nghiệm x của phương trình đã cho
Ví dụ Giải phương trình sau
x
2

-3x+2=
2x
2

-6x+28 (8.2)
Đặt t= x
2

-3x khi đó phương trình đã cho viết lại
như sau:
t+2=
2 t+14 





t+20

1. 2x
2

-3x+2=
4x
2

-6x+28
www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 18
2. x
2

-7x +2=
2x
2

-14x+84
Cho phương trình sau x
2

-7x+m -
3x
2

-21x+85 =0
3. Giải phương trình khi m=19
4. Giải và biện luận theo m nghiệm của phương
trình.

không phải là những âm thanh trống rỗng mà chính là
nguồn mạch nuôi lớn tâm hồn và trí tuệ học sinh.
- Hồn tôi mãi mãi cháy bỏng, hồn tôi mãi mãi vun xới và
nâng niu…Nếu có kiếp sau, tôi xin được làm thầy giáo dưới
bầu trời Việt Nam.
(Những lời trên là của thầy trưởng Khoa Văn trường ĐHSP
Huế trong dịp kỉ niệm ngày nhà giáo Việt Nam(20-11-2009)
www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 19
 Dạng 9






1
f(x)+a
2
+






1
f(x)+b
2

= c
Tiến hành quy đồng mẫu ta có phương trình sau:
cX
4

-2(c
2

+1)X
2

+ c
4

-2
2

=0 (9.1)
Phương trình (9.1) là một phương trình trùng phương
theo X mà bạn có thể giải được dễ dàng .
Khi tìm được X = X

0
là nghiệm thì dựa vào cách đặt
X ta đưa phương trình đã cho về dạng:
f(x) +
a+b
2
=X






1
sin(x)-1
2
+






1
sin(x)-2
2
=
40
9
(9.2)

Đặt t=sin(x)-
3
2
khi đó phương trình (9.2) viết lại
như sau:
www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 20

9
2
= 40t
4

-20t
2

+
5
2

 40t
4

-38t
2

-2= 0  t

1
=-1, t

2
=1
Với t=-1 sin(x)=
1
2
 x= (-1)
k

+






1
x
2

-2
2
=
5
4

2.






3
2cos
2

(x)-2
2





4
e
2x

+3
2
=5
4.






3
x+4
x-2
2
+






3

=m (9.3)
5. Giải phương trình khi m=25.
6. Biện luận số nghiệm của phương trình (9.3).
- Bạn và tôi cùng chung mục đích, lý tưởng thì ắt phải đi
chung trên một con đường rồi cuối cùng sẽ gặp nhau.
- Đừng sợ hãi khi bạn phải đối đầu với một đối thủ mạnh
hơn, mà phải vui mừng vì bạn đã có cơ hội chiến đấu
hết mình.

www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 21
 Dạng 10 (Phương trình phản phương)
ax
4

+bx
3

+cx
2

 bx+a=0 (a≠ 0) (10)

Với loại này ta có nhận xét x=0 không phải là
nghiệm của phương trình đã cho
Khi x≠ 0 thì ta chia hai vế xủa phương trình cho x
2
x
1
x
+c 2=0
Đặt t= x 
1
x
khi đó ta có phương trình mới
at
2

+bt +c 2=0 (10.1)
Việc giải phương trình (10.1) là dễ dàng, tìm được t
sau đó dựa vào cách đặt t ta suy ra x.
Ví dụ: Giải phương trình x
4

-4x
3

+x
2

+4x+1= 0
Nhận xét x=0 không phải là nghiệm của phương
trình đã cho.
Với x≠ 0, thì ta chia hai vế của phương trình
cho x
2



1
=1, t

2
=3
Với t=1 thì ta có phương trình
www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 22
x
2

-x-1=0  x

1
=
1+
5
2
, x

2
=
1-
5
2

Với t=3 thì ta có phương trình
x

5
2
, x

3
=
3+
13
2
, x

4
=
3-
13
2BÀI TẬP
Giải phương trình
1. 9x
4

-9x
3

-52x
2

-9x+9=0

4. Giải phương trình khi m=-12.
5. Giải và biện luận số nghiệm của phương trình.
6. Cho phương trình sau
x
4

- (m+1)x
3

+(m+2)x
2

- (m+1)x+1=0
Tìm m để phương trình có nghiệm.
7. Cho phương trình sau
x
4

+mx
3

+x
2

+mx +1=0
Tìm m để phương trình có ít nhất hai nghiệm âm khác
nhau.
8. Biết phương trình x
4



 dx+k=0 (11) trong đó kb
2

=ad
2Ở đây chỉ xét trường hợp k≠ 0, còn khi k=0 thì
phương trình đã suy biến về phương trình bậc ba.
Với loại này ta có cách giải như sau
Trước hết để thuận tiện ta đặt =
d
b
=
k
a

Ta có nhận xét x=0 không phải là nghiệm của
phương trình (11).
Với x≠ 0, ta chia hai vế của phương trình (11) cho
x
2

thì thu được phương trình sau:
ax
2

+bx +c 
d


x

x
+c =0
 a






x

x
2
+b






x

x
+c  2a=0
Đặt t= x 

x






x
2

+
4
x
2

+






x+
2
x
-8=0
Đặt t= x+
2
x
lúc đó ta sẽ có được phương trình là:
t
2

=-2-
2
Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm thực là:
x

1
=1, x

2
=2, x

3
=-2+
2 , x

4
=-2-
2

BÀI TẬP
Giải các phương trình sau
1. 4x
4

+2x
3

-8x
2


-2m
2

x
2

+4x+16=0
5. Giải phương trình khi m=4
6. Giải phương trình khi m=
12-2 3 , m= 12+ 3
7. Tìm m để phương trình có một số chẳn nghiệm.
8. Khi nào thì phương trình có một số chẳn nghiệm

- Chẳng có gì đáng giá bằng nụ cười và tình yêu thương của bạn bè.
- Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng.
www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 25
 PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA TỔNG QUÁT
AX
3

+BX
2

+CX+D=0(A≠ 0) (12)
Sau đây tôi xin cung cấp cho bạn một cái nhìn tổng quát
hơn về phương trình bậc ba.
Trước hết ta chú ý rằng phương trình (12) luôn luôn
được đưa về dạng x

a
3
2
+b






t-
a
3
+c=0
 t
3

+






b-
a
2

3
t +

3

+pt+q=0 (12.2)
TH1: Nếu p=0 thì ta có phương trình t
3

+q=0 t=-
3
q
Tức là đã giải được  nên ta không cần xét tiếp nữa
TH2: Nếu p>0 thì ta đặt t =
p
3
u khi đó (12.2) viết lại
là:






p
3
u
3
+p
p
3
u +q=0  u
3

u
3
+ p
-p
3
u +q=0  u
3

-3u =
3
3q
p -p

Đặt m=
3 3q
p -p
thì ta có phương trình là u
3

-3u =m
Kết luận:

Mọi phương trình bậc ba luôn luôn có thể đưa về dạng
x
3

+3x=m hoặc x
3

-3x=m