SỞ GD – ĐT NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT BẮC YÊN THÀNH
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 - LẦN 2
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1. (2,0 điểm) Cho hàm số
4 2
2 1.y x x  
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm cực đại của (C).
Câu 2. (1,0 điểm)
a) Giải phương trình
 
2
cos 2sin 3 2 2cos 1
1.
1 sin 2
x x x
x
  


b) Cho số phức z thỏa mãn:
     
2
1 2 8 1 2 .i i z i i z     
Tính môđun của z.
Câu 3. (0,5 điểm) Giải phương trình:
 
4 2
log x log 4 5.x 

 
1; 1I 
đường kính CM cắt BM tại
D. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết đường thẳng BC đi qua
4
;0 ,
3
N
 
 
 
phương
trình đường thẳng
: 3 6 0CD x y  
và điểm C có hoành độ lớn hơn 2.
Câu 8. (1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(2; 1; 2) và đường thẳng
 
 
x y z
d
1 3
:
1 1 1
. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với d. Tìm trên d hai
điểm A, B sao cho tam giác ABM đều.
Câu 9. (0,5 điểm) Lập số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau từ các chữ số {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}.
Tính xác suất để lập được số tự nhiên chia hết cho 5.
Câu 10. (1,0 điểm) Cho 3 số thực a, b, c không âm, chứng minh rằng:
     
3 3 3

 
Đồ thị (C) có không tiệm cận.
0,25
 CBT: Ta có
 
3 2
' 4 4x 4x 1 ;y' 0 x 0 x 1.y x x         
Dấu của y’:
       
' 0 1;0 1; ; ' 0 ; 1 0;1y x y x           

hàm số ĐB trên mỗi khoảng
 
1;0
và
 
1; . 
NB trên mỗi khoảng
 
; 1
và (0 ; 1)
 Hàm số có hai CT tại x = 1; y
CT
= y(1) = 0 và có một CĐ tại x = 0 ; y
CĐ
= y(0) = 1.
0,25

Bảng biến thiên:
0,25

cos 2
2cos 3 2 cos 2 0
2
cos
2
x l
x x
x



    




0,25
 Với
2
cos 2 .
2 4
x x k


    
Đối chiếu điều kiện, phương trình đã cho có nghiệm là:
2 , .
4
x k k


i
z i z
i
 

      

Vậy môđun của z là
13.
0,25
Câu
3
(0,5
điểm)
Điều kiện: x > 0.
Khi đó, phương trình tương đương với
2 2 2 2
1 3
log x log log 4 5 log 3
2 2
x x    
0,25
2
log 2 4x x   
(t/m)
Vậy phương trình có 1 nghiệm là: x = 4.
0,25
Câu
4
(1,0

2 2 5 1 3f x f x   
Ta có:
   
2
' 3 3; ' 0 1f t t f t t     
0,25
Suy ra: Hàm số
 
3
3f t t t 
đồng biến trên khoảng (1; +

)
Với điều kiện
2 1
1
5
2 5 1 3 1
x
x
x
 


 

  


Từ đó suy ra

   
  







   

 


Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm là:
11 116.x  
0,25
Câu
5
(1,0
điểm)
Ta có:
3
2
1 2
1 1 1
1 ln
lnxd d lnxd
e e e
x x

1
x lnxd
e
I x

. Đặt
2 3
1
ln
3
du dx
u x
x
dv x dx x
v





 

 









0,25
Câu
6
(1,0
điểm)
. Chứng minh: SCD vuông tại C  ABCD là hình
thang đáy AD, BC. ACD vuông cân tại C.

2; 2 ; 5AC CD a AD a SC BD a    
0,25
 V
SBCD
= V
S.ABCD
– V
SABD
3 3 3
2 2 2
2 3 6
a a a
  
(đvtt).
0,25

 
 
3
2
.

d B SCD
BK a
d B SCD
CK
d A SCD
   

 
 
 
 
 
 
 
 
2
2
,
2 2
, B,
3 3 3
B,
d H SCD
SH SA a
d H SCD d SCD
SB SB
d SCD
     
0,5
Cách khác:  Chứng minh BC  (SAB)  BC  AH  AH  (SBC).

4CI 
0,5
Gọi
 
3 6;I y y
Ta có
3 11
;
5 5
C
 
  
 
 
(loại) hoặc C(3; -1) (thỏa mãn)
S
I là trung điểm của CM
 
1; 1M   
phương trình đường tròn tâm I là
     
2 2
: 1 1 4C x y   
D là giao điểm của CD và (C)
3 11
; .
5 5
D
 
  

Suy ra phương trình mp(P):
     
1. 2 1. 1 1. 2 0 5 0x y z x y z          
0,5
Gọi H là hình chiếu của M trên d. Ta có:
 
 
 
 
MH d M d H
8 4 1 10
( , ) , ; ;
3 3 3 3
.
Tam giác ABM đều, nhận MH làm đường cao nên: MA = MB = AB =
MH
2 4 2
.
3
3
0,25
Do đó, toạ độ của A, B là nghiệm của hệ:

 
 




     

.
0,25
 Gọi A là biến cố lập được số tự nhiên chia hết cho 5, có 5 chữ số khác nhau.
Số các số tự nhiên chia hết cho 5 có 5 chữ số khác nhau:
 
4 3
7 6
6. 1560n A A A  
 Xác suất cần tìm P(A) =
1560 13
5880 49

0,25
Câu
10
(1,0
điểm)
Xét BĐT:
2
3
1 1 , 0
2
x
x x    
Thật vậy, theo BĐT AM-GM, ta có:
 
 
2 2
3 2
1 1

   
   
0,25
Tương tự, ta có:
 
 
 
 
3 2 3 2
3 3
2 2 2 2 2 2
3 3
2 ; 3
b b c c
a b c a b c
b c a c a b
 
   
   
Công vế với vế (1), (2), và (3) suy ra đpcm.
0,25
Đăng thức xảy ra khi và chỉ khi
a b c 
0,25
Hết
Ghi chú: Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì được đủ điểm từng
phần như đáp án quy định.