Hoàng hà linh
ĐỀ 2 (Học sinh giỏi Toán 12)
1, Cho hàm số:
mxxy ++= 2cos2sin
a. Tìm cực đại và cực tiểu của hàm số khi m =1
b. Tìm m để hàm số có cực đại trên






2
;0
π
2, Tìm trên Oy các điểm kẻ được ít nhất 1 tiếp tuyến tới đồ thị hàm số:

124
2
+++= xxxy
3,






−∈∀ 1
2
;0:
π

y x x= − +
c. Tính diện tích tam giác có các cạnh là các tiếp tuyến tại cực trị và điểm uốn
d. Tìm tiếp tuyến tiếp xuúc với (C) tại hai điểm. Tìm tiếp điểm.
2, Cho:
2 2 2 2
16, 25, 20x y u v xu yv+ = + = + ≥
. Tìm Max, Min P = x + v
3, Cho (C ):
2 2
2 4 4 0x y x y+ − + + =
và hai đường thẳng (C’):
2 2
2 4 4 0x y x y+ + − − =

Tìm điểm trên (d): 2x + y + 1 = 0 kẻ được tiếp tuyến T
1
tới (C), kẻ được tiếp tuyến T
2

tới (C’) sao cho
1 2
T T⊥
4, Giải pt:
3 2 3
3 2 ( 2) 6 0x x x x− + + − =
5, Cho hệ:
2 2
2 2
40 8 10
12 4 6

1
−=+
2,/ Tính
∫
π
π
−
+
=
2
2
dx
21
xcosx
I
x
2

Câu III: Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, đường cao SO = h.
1,/ Tính theo a, h bán kính R của nặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
2,/ Tính diện tích toàn phần hình chóp S.ABCD; từ đó tính bán kính r của mặt cầu nội tiếp hình chóp
( theo a và h )
Câu IV: Cho (H):
1
94
22
=−
yx
, gọi (d) là đường thẳng qua O có hệ số góc k, (d') là đường thẳng qua
O và vuông góc với (d).

π
π
−
+
=
2
2
dx
21
xcosx
I
x
2

Câu III: Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, đường cao SO = h.
1,/ Tính theo a, h bán kính R của nặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
2,/ Tính diện tích toàn phần hình chóp S.ABCD; từ đó tính bán kính r của mặt cầu nội tiếp hình chóp
( theo a và h )
Câu IV: Cho (H):
1
94
22
=−
yx
, gọi (d) là đường thẳng qua O có hệ số góc k, (d') là đường thẳng qua
O và vuông góc với (d).
1) Tìm k để (d) và (d') cắt (H) tại 4 điểm A,B,C,D
2) Khi đó tính diện tích tứ giác ABCD, Tìm k để diện tích đó nhỏ nhât.
Câu V: Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn điều kiện
1

sin
x m gx gx
x
+ + + − =
. Tìm m để pt có nghiệm
4. Tìm min
sin cosy a x a x= + + +
, a
1≥
5. Tìm m để
1
2
0
2 5x x mdx− + =
∫
6. Tìm m để hệ có nghiệm
2
2
2
4 2 2
4
5
( 2)
8 16 16 32 16 0
x
x
x
x x mx m m

+ ≥

mcos cos
x x
+ + =
+ +
10. Cho hs:
2 2 3
( 1) 4mx m x m m
y
x m
+ + + +
=
+
a. Với m= -1 tìm trên hai nhánh của đồ thị hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất
b. Tìm m để hàm số có hai cực trị nằm ở góc phần tư thứ hai và thứ tư
11. Cho pt:
2 2
1 1x x x x m+ + − − + =

a. GiảI pt với m=-1/2 Tìm m pt có nghiệm?
12. Tìm a, b, c để pt:
[ ]
3 2
4 1, 1;1x ax bx c x+ + + ≤ ∀ ∈ −
13. Cho hàm số:
2 2 2
( 1) 1x m m x m
y
x m
+ − − +
=

2 2x m x m+ = −
a. GiảI pt với m= 1
b. Tìm m để pt có nghiệm
Hoàng Hà linh
Hong h linh
THI CHN HOC SINH GII TNH 12
(Thời gian làm bài 180 phút)
Bi 1: Cho h phng trỡnh:




=+
=++
83
22
axyyx
axyyx
Vi iu kin no ca a thỡ h cú nghim.
Bi 2: Cho tam giỏc ABC cú 3 gúc nhn. Chng minh:( ) ( )

+++++ tanCtanBAtan
3
1
sinsinsin
3
2

b
b
a
a
c
c
b
b
a
++++
2
2
2
2
2
2
Sơ lợc đáp án đề thi chọn học sinh giỏi 12
Năm học 2008-2009

Đáp án
Bài 1 (4 điểm)
Hong H linh
Hong h linh



=+
=++
83
22


83aps
asp
đa về phơng trình
083
2
=+ aatt
điều kiện để phơng trình có nghiệm
0
( )
84032120834
22
+ aaaaaa
(1)
S
1
=
2
;
2
2

=
+ a
s
a
1/ a
8



a
thỏa mãn
3/
0;4
3
8
psa
khi đó S=
2
;
2

=
+ a
p
a
thế vào
ps 4*
2
(
2
+a
)
2
( ) ( ) ( ) ( )
081348244
2
4
2
22

+++++ tanCtanBAtan
3
1
sinsinsin
3
2
CBA
AAA + tan
3
1
sin
3
2
+
0tansin
3
2
tan
3
1
3
2
+++ CCCBBSinB
Vai trò nh nhau
Đăt f(x) =
xxx + tan
3
1
sin
3

1
2







+
x
x
áp dụng bất đẳng thức côsi cosx+cosx+
3
cos
1
2

x

( )
0
'
xf
f(x) hàm đồng biến x






f(x)=4t
3
- 4(1-t)
3
f(x)=0 khi t=
2
1
f(1) =1; f(-1) = 17 ; f(
2
1
) =
8
1
vậy phơng trình có nghiệm
17
8
1
m
Mặt phẳng đi qua A vuông góc với SCsẽ cắt (SAC) theo đờng
cao AC của tam giác SAC muốn cho điểm C năm trên SC thi
góc SAC nhọn suy

ra

HSC <45
0
. Vậy ta có SH>HC


2

+
=
22
2
2
ha
ah
+

Từ tính chất trực tâm tam giác SAC có : HK.HS = HA.HC
HK =
h
ah
SK
h
a
2
2
2
222

=

theo tính chất 2 tam giác đồng dạng SBD và SBD
( )
2
2222
2
22
''

2
22
22
ah
ah
+

Vầy thể tích hình chóp SABCD
Hong H linh
S
B
H
K
C


D
A
C
Bài 4 (5 điểm)
Hong h linh
2V =
3
1
SC.dt(ABCD) =
3
1
)2(2
2
22


a
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a
++++
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2



++








+
a
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a
a
a
a
c
c
c








+
2
2
2
2
c
c
c
b
c
b
c
c
c
b
2.2 =










++








++








+
a
c
c
b
b
a
a
c
c

2
2
2
2
2
a
c
c
b
b
a
3
3.
2
2
2
2
3
2
2
=
a
c
c
b
b
a
(**)
Cộng vế cho vế ta đợc (1) điều phải chứng minh
Hong H linh

tan .tan .tan .tan
A B C D
A B C D
A B C D
+ + +
= + + +
.
Câu 4: (3,0 điểm)
Từ một điểm O bên trong tam giác đều ABC, ta vẽ các đường vuông góc OP, ON,
OM xuống các cạnh AB, AC, BC.
Chứng minh rằng tổng độ dài AP + BM + CN không phụ thuộc vào vò trí của điểm
O.
Câu 5:( 4,0 điểm )
Chứng minh rằng với mọi số thực bất kì a và b đều thỏa mãn bất đẳng thức sau:
2 2 3 3 6 6
. .
2 2 2 2
a b a b a b a b+ + + +
≤
.
Câu 6: (4,0 điểm)
Cho dãy số
{ }
n
U
được xác đònh như sau:

( ) ( ) ( )
2 2 2
2

và y
CĐ
.y
CT
> 0 1đ
Bài 2: (4 điểm)
a) Giải phương trình:
6 2
33
111
−=−−+
xxx
2đ
b) Tìm ∀ x, y ∈ Z thoả mãn 2đ
( )
yyxxlog
y
3732
2
8
2
2
2
+−≤++
+
Bài 3: (4 điểm) Cho dãy số
∫
=
π
0

b
y
a
x
có a > b
Xét M
o
(X
o
, Y
o
) ∈ E ; O là gốc toạ độ
1) CMR: a ≥ OM ≥ b 2đ
2) CMR: tiếp tuyến với E tại M
O
(x
0
> 0;y
0
> 0)cắt chiều dương OX và OY ở A, B
thì tồn tại vị trí M
O
để độ dài AB min. 2đ
Hoàng Hà linh
Hoàng hà linh
Bài 5: (3 điểm) Cho hình chóp ∆SABC có góc tam diện đỉnh S vuông và SA = 1;
SB = 2; SC = 3. M là 1 điểm thuộc ∆ABC. Gọi P là tổng các khoảng cách từ A, B, C
lên đường thẳng SM tìm vị trí M để P
min
.

Tiệm cận: đứng x = -1 vì
∞=






+
+
→
1
1
1
x
xlim
x
Tiệm cận xiên y = x vì
1
1
+
∞→
x
lim
x
= 0
Bảng biến thiên:
Hoàng Hà linh
+ - - +
1

2
2
1
1






αβ
+
= (α + β)
2






βα
+
αβ
+αβ≥







1
0
y = x
Hoàng hà linh
tại α = β =
4
2
1
→






++−+−
4
44
2
2
1
1
2
1
1 ;A






+
x
x
x
x
đặt
)t(
x
x
t 0
1
1
6
>
−
+
=
ta có:
01
1
=−=
t
t
→ t
2
- t - 1 = 0
→
)i¹lot(t
2
51





+
=
−
+
⇒ 1
2
51
2
51
1
1
66
x
x
x
1
2
51
2
51
1
2
51
1
6
6

+
+= x
1đ
b) Nhận xét rằng: x
2
+ 2x + 3 = (x + 1)
2
+ 2 ≥ 2
→ log
2
(x
2
+ 2x + 3) ≥ 1 ∀ x ∈ R 0,75đ
→ điều kiện cần phải có
8+
7+3+
2
2
y
yy -
≥ 1
→
2
1
≤ y ≤ 1 y ∈ Z → y = 1 0,5đ
→ x
2
+ 2x + 3 ≤ 2 → x = -1 0,5đ
Hoàng Hà linh
Hoàng hà linh

π
π
+−=
0
0
22
21
nxdxcosxe
n
xncose
n
I
xx
n
1,0đ
→
( )
∫
π
π
=+−−=
0
22
2
11
1
nxdxcosxeJ;J
n
e.)(
n

000
222
dxxeJnxdxcosxenxdxcosxeJ
x
n
xx
n
=
n
e
I
e
n
22
2
2
1
ππ
≤→
−
1,0đ
Do
0
2
0
2
22
→→−
ππ
n

2
2
0
2
2
0
+
b
y
a
x
≤
2
2
0
2
2
0
+
b
y
b
x
⇒
2
b
≤
2
0
2

2
a
≥
2
0
2
0
+ yx
(2)
từ (1) và (2) → a
2
≥ OM
2
≥ b
2
→ a ≥ OM ≥ b 1,0đ
2) Đường thẳng AB có dạng
1=+
n
y
m
x
với A(m,o); B(n,o)
theo t/c tiếp tuyến →
1
2
2
2
2
=+

a
m
n
b
n
m
ba
n
b
m
a
nm +++=






++
0,5đ
≥ a
2
+ b
2
+ 2ab = (a + b)
2
dấu = có khi
2
2
2

→ AB
min
= a + b khi





+=
+=
abbn
abam
2
2
1đ
Bài 5: Đặt ASM = α, BSM = β, CSM = γ
Ta có: P = sinα + 2sinβ + 3sinγ
sẽ tính được sin
2
α + sin
2
β + sin
2
γ = 2 0,5đ
→ sinα + sinβ + sinγ ≥ sin
2
α + sin
2
β + sin
2

β
Hoàng hà linh
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút
CâuI (2 điểm):
Cho hàm số: y = x
3
+mx
2
+9x+4 (Cm)
1. Tìm m để (Cm) có cực đại, cực tiểu?
2. Tìm m để (Cm) có 1cặp điểm đối xứng qua O(0; 0)?
CâuII (2 điểm):
1. Tính:
I=
∫
3/
4/
4
π
π
xdxtg
2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x
2
; y= 4x
2
; y = 4.
CâuIII (2 điểm):
1.Cho phương trình: (m+3)x

Cho phương trình: 2Cos
2
x - (2m+1)Cosx +m = 0
1. Giải phương trình với m =
2
3
2. Tìm m để phương trình có nghiệm x sao cho x ∈






2
3
;
2
ππ
Câu VI (2 điểm):
1. CMR trong ∆ABC ta có: tgA + tgB + tgC = tgAtgBtgC
2. nếu ∆ABC là ∆ nhọn, c/m tgA + tgB + tgC ≥
33
Câu VII (2 điểm):
1.
Tìm:
1
23
lim
3
1

(P): Ax + By + Cz + D
1
= 0 (1)
(Q): Bx + Cy + Az + D
2
= 0 (2)
(P): Cx + Ay + Bz + D
3
= 0 (3)
Với điều kiện A
2
+ B
2
+ C
2
> 0 và AB + BC + CA = 0
CMR: 3mp (P), (Q), (R) đôi một vuông góc.
2. Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ mp(BCD), ∆BCD vuông tại C
CMR 4 mặt của tứ diện là những ∆ vuông.
Câu X (2 điểm):
1. Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác .
CMR: a
2
+ b
2
+ c
2
< 2(ab + bc + ac)
2. Có bao nhiêu số tự nhiên (được viết trong hệ đếm thập phân) gồm 5 chữ số
mà các chữ số đều lớn hơn 4 và đôi 1 khác nhau.

Khi đó: y
1
=
49
1
2
1
3
1
+++ xmxx
(1)
-y
1
=
49
1
2
1
3
1
+−+−
xmxx
(2) (0,25đ)
Lấy (1) cộng với (2) (vế với vế) ta có p/t:
04
2
1
=+
mx
(0,25đ)

=
( )
dx
x
x
∫
−
3/
4/
4
2
2
cos
cos1
π
π
(0,25đ)
=
dxdx
x
dx
dx
x
dx
∫∫∫
+−
3/
4/
3/
4/

xtgxtgxdxtg
+−+
∫
(0,25đ)
Hoàng Hà linh

y = 4

y = x

2

y = 4x

2

y

x

Hoàng hà linh
=
123
2
2
3
1
3/
4/
3/

1
Giao điểm hai đường y=x
2
và y= 4x
2
có hoành độ x=0 (0,5đ)
Diện tích miền cần tính (miền gạch chéo như hình vẽ) là :
S=2








−+−
∫∫
dxxdxxx
2
1
2
1
0
22
44
= 2




0
3
3
1
4 xxx
=
3
16
(đv dt) (0,5đ)
Câu III
1. Giả sử phương trình có 2 nghiệm x
1
,x
2
ta có :







+
=
=−
+
=+
3
2
32

m
(0,25đ)
Thay vào (3) ta được
1
99
3
)3(2)3)(32(
3
3
2
3
3
3
32
−=⇔



−=
≠
⇔



+=−+
−≠
⇔
+
=
+

Khi và chỉ khi
















<−
>−
≥∆
<∆
⇔









2
2
−>⇒



>∨−≤<−
<<−
⇔












−>
−>
≥∨−≤
<<−
⇔





1. Đặt



=
=+
Pxy
Syx
⇔



=−+
=+
)2(2823
)1(11
2
PSS
PS
(0,25đ)
(1) ⇒ P = 11 - S thế vào (2) ta được: S
2
+ 5S - 50 = 0
giải được: S
1
= 5; S
2
= -10
* với S
1

vậy hệ phương trình có 4 nghiệm:
(2; 3); (3; 2); (-3; -7); (-7; -3) (0,25đ)
2. Giải và biện luận phương trình:
mxmxx +=−
2

Giải:
Phương trình tương đương với:



=−
−≥
⇔



+=−
≥+
)2(3
)1(
)()(
0
222
mmx
mx
mxmxx
mx
(0,25đ)
Xét hai trường hợp:

+ m<0 phương trình vô nghiệm
+ m>0 phương trình có nghiệm x=
3
m−
+ m=0 phương trình co nghiệm x ≥ 0 (0,25đ)
Câu V:
Cho phương trình : 2cos
2
x - (2m+1)cosx + m = 0
Đặt: cosx = t;
1
≤
t
p/t ⇔ 2t
2
- (2m+1)t + m =0
∆ = (2m-1)
2
≥0 ⇒ t
1
=
2
1
và t
2
=m (0,25đ)
a. với m =
2
3
thì:

x
thì cosx < 0
⇔ -1 ≤ m < 0 (0,25đ)
Câu VI:
1. Trong ∆ABC ta có A=π-(B+C)
⇒tgA =tg(π-(B+C)) = -tg(B+C) (0,25đ)
⇔tgA=-
tgCtgB
tgCtgB
.1−
+
(0,25đ)
⇔tgA-tgA.tgB.tgC = -tgB -tgC (0,25đ)
⇔tgA+tgB+tgC = tgA.tgB.tgC (đpcm). (0,25đ)
2.∆ABC là ∆ nhọn nên tgA>0, tgB>0, tgC>0
áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 3 số dương ta có:
tgA+tgB+tgC ≥
3
tgC.tgA.tgB3
(0,25đ)
từ kết quả câu 1, ta có:
tgA+tgB+tgC ≥ 3
3
tgCtgBtgA
++
(0,25đ)
⇔ (tgA+tgB+tgC)
3
≥ 27(tgA+tgB+tgC) (0,25đ)
⇔ (tgA+tgB+tgC)

xxx
xx
x
(0,5đ)
=
)23)(1(
)2)(1(
lim
3
12345
1
−+−
−++++−
→
xxx
xxxxxx
x
(0,25đ)
23
)2(
lim
3
12345
1
−+
−++++
→
xx
xxxxx
x




=
=
3
1
82
33
x
x
x
x
(0,25đ)
Vậy phương trình có 2 nghiệm x =1 và x =3 (0,25đ)
Câu VIII:
1. Giải phương trình: log
2
(3.2
x
-1)= 2x+1
⇔





=+−
>
⇔






=
=
>
⇔





=+−
>
2
1
1
3
1
0132
3
1
2
2
1
2
t
t

3/11
22
=−
yx
đưởng thẳng (∆): kx+3y-1 = 0 tiếp xúc với (H) khi và chỉ khi:
A
2
a
2
- B
2
b
2
= C
2
⇔
2413.
3
1
1.
222
±=⇔=⇔=−
kkk
(0,25đ)
giải b: * Khi k=2 ta có (∆): 2x+3y-1=0 (1)
gọi M
0
(x
0
, y

−
=
yx
(0,25đ)
⇒



−=
=
1
2
0
0
y
x
⇒ tiếp điểm M
0
(2,
-1)
* khi k=-2 ta có (∆' ): -2x+3y-1=0 (3)
goi M
1
(x
1
, y
1
) là tiếp điểm của (∆') và (H).
theo công thức phân đôi tọa độ ta có:
(∆'): x

yx
⇒ M
1
(-2, -1)
Vậy 2 tiếp điểm là



1)- (-2,M
1)- (2,M
1
0
(0,25đ)
Câu IX
1. Các véc tơ pháp tuyến của 3 mp' (P), (Q), (R) lần lượt là:
),,( CBAn
P
=
→
),,( ACBn
Q
=
→
(0,5đ)
),,( BACn
R
=
→
ta có:
0

(0,5đ)
(0,5đ)
Hoàng hà linh





+<
+<
+<
⇒





+<
+<
+<
)3(
)2(
)1(
2
2
2
bcacc
abbcb
acaba
bac