Chương 6
GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN THƯỜNG

6.1. MỞ ĐẦU
Nhiều bài toán kỹ thuật qui về việc t×m nghiệm của phương trình vi phân thoả
mãn điều kiện nào đó (điều kiện đầu , điều kiện biên … ) nói chung giải đúng là
khó nên thường giải gần đúng.
Có 2 phương pháp giải gần đúng :
- phương pháp giải tích : Tìm nghiệm gần đúng dạng biểu thức tuy nhiên
phương pháp này thưòng ít dùng hơn
- Phương pháp số : Ta tìm nghiệm tại các điểm x
o
<x
1
,…<x
n
≤ x tức là đúng
nghiệm ở giá trò trước để tính giá trò sau : y
k
=φ(y
k-1
,…y
k-v
)
Có thể có phương pháp 1 bước và phương pháp đa bước : phương pháp 1 bước
tính y
k
qua y
k-1 ;
phương pháp đa bước tính thông qua y

γβα
byby
ayay
xfyxqyxpy

6.2. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH (PHƯƠNG PHÁP CHUỖI NGUYÊN )
Xét bài toán Côsi :
y’ = f(x,y) ; x
0
< x < x (7-1 )
y(x
0
) = y
0
(7-2)
Trong đó hàm f(x,y) giải tích trong lân cận (x
0
,y
0
) tức là :
f(x,y) =
a
∑
∞
=0, ji
i,j
(x-x
0
)
i

o
) có thể tính được dựa vào (7-1) và (7-2)
y(x
o
) = y
o

57
y’(x) = f(x,y) ⇒ y’(x
o
) =f(x
o
,y
o
)
y” =
x
f
∂
∂
+
y
f
∂
∂
.y’
y”(x
o
) =
x

=
=
1)0(
.'
y
yxy
Ta có : y(0) =1
y’(o) =0 – 1 =-1
y” = 1-y’ ⇒ y”(0) =2

= - y ⇒ (0) =-2
,,,
y
,,,
,,,
y

Từ đây ta suy ra ; y
(k)
(0) = (-1)
k
.2 với k≥2 Do đó :
y
t
(x) = 1-x +2
∑
∞
=2k
!
)1(

=
2)1(
'
y
xy
y
y

y(1) =2
y’(1) =
21
2
+
=
3
2

y” =
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
yx
y
’ =

−

Tiếp tục ta tính các các đạo hàm bậc cao :
y
(1) =
'''
27
4
… vv .
Ta có kết quả :

58
y(x) ≈ 2+
3
2
(x-1) -
27
2
(x-1)
2
+
27
2
(x-1)
2
+
81
2
(x-3)
3

) là gia trò ù cần tìm.
Nếu đã biết u
i
tại x
i
ta tính u
i+1
tại nút x
i+1
. Ta khai triển Taylo hàm y(x) tại x
i
:
y (x) =y(x
i
) + y’(x
i
).(x-x
i
) +
!2
)(
,,
i
cy
.(x-x
i
)
2

c

y (c
,,
i
) (7.3)
Khi h bé thì số hạng cuối bé ta bỏ qua khi đó ta thay giá trò y(x
i
) ≈ u
i
đã có thì ta
tính được u
i+1
≈ y(x
i +1
) là:
u
i+1
≈ u
i
+h.f(x
i
,u
i
) (7.4)
Dựa vào điều kiện (7.2) ta chọn u
0
= y
0
(7.5) với i=0
Ta dùng (7.4) tính được u
1

Phương pháp này có độ chính xác thấp.
Ví dụ
: y’ = y -
y
x
2
; 0 < ≤ 1
y(0) = 1.

59
Ta có: f(x,y) = y -
y
x
2
; x
0
= 0 ; x =1 ; y
0
=1
Lưới sai phân: x
i
=i.h ; h =
n
1

Công thức Ơle cho bài toán là:
u
i+1
= u
i

3 0.3 1.277438 1.264911
4 0.4 1.358213 1.341641 Max 5%
5 0.5 1.435133 1.414214
6 0.6 1.508966 1.483240
7 0.7 1.580338 1.549193
8 0.8 1.649783 1.612452
9 0.9 1.717779 1.673320
10 1.0 1.784771 1.732051 0.04 ⇒ 4%

6.4.CÁC PHƯƠNG PHÁP ĐA BƯỚC
Xét bài toán côsi :
y’=f(x,y) x
o

≤
x
≤
x
y(x
o
) = y
o
(y,f ∈ R
m
)
Tích phân 2 vế từ x
n
đến x
n+1
được:

∫

60
p dụng đa thức nội suy Niutơn lùi cho y’
n+1
=y’(x
n
+t.h) ta có:
y’
n+t
=y’
n
+
!1
t
∆y’
n-1
+
!2
)1( +
tt
∆
2
y’
n-2
+
!
)1) (1(
q
qttt

∇
2
y’
n
+ … +
!
)1) (1(
q
qttt
−
+
+
∇
q
y’
n
(**)

(∇
k
y’
n
=∇
k
y’
n-k
)
Xuất phát từ x
n+1
(thay n = n+1 và t = t-1 ) ta có :

n+1
= y
n
+h ∇
∑
=
q
i
i
a
0
i
y’
n
(***)
Trong đó a
o
=1 ; a
i
=
∫
1
0
!
)1) (1(
i
ittt
−
+
+

n
+ h f(x
n
,y
n
) .
Từ công thức (***) ta tính được các giá trò tiếp theo của y tại nút .
Sai số của công thức là :
R
q
= l
i
q+2
∫
1
0
)!1(
)) (1(
+
++
q
qttt
y
(q+2)
(ξ)dt .
Hay : R
q
= h
q+2
y

u(x
i
,{
2
h
}) theo (*) ta có :
u(x
i
,{h}) – y(x
i
) = h w(x
i
) + o(h
2
) (**)
u(x
i
,{
2
h
}) – y(x
i
) =
2
h
w(x
i
) + o(h
2
) (***)

Ví dụ
: cũng giải bài toán y’ = y-
y
x
2
; với 0 ≤ x ≤ 1
y(0) =1
Ta có bảng kết quả :

x
i
U (x
i
,l
i
)
U (x
i
,
2
h
)
Y
i
(h) Nghiệm đúng
y(x
i
)
0 1 1 1 1
0.2 1.2 1.191818 1.183636 1.183216