Chương 3
GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ VÀ SIÊU VIỆT
I.Tìm nghiệm thực của một phương trình.
a. Nghiệm thực của phương trình một ẩn – Ý nghĩa hình học.
f(x) = 0; ( 1 )
f – hàm cho trước của đối số x
α - nghiệm thực của ( 1 )
f(α) = 0; ( 2 )
- Vẽ đồ thị y = f(x)
Hoành độ điểm M nghiệm α.
O
y
x
α
M
f(x)
O
y
x
M
α
g(x)
h(x)
~ g(x) = h(x)
đồ thị y
1
= g(x) và y
2
= h(x)
- hoặc (1)

B
a
b
f’(x) không đổi dấu

II. Các phương pháp xác định gần đúng nghiệm thực của
một phương trình.
1. Phương pháp đồ thị
2. Phương pháp thử.
Ví dụ : Tìm nghiệm của phương trình: f(x) = xlogx – 1,2 = 0;
x
f(x)
1 2 3 4
- 1,2 - 0,5980 0,2313 1,2084
- [2, 3] - khoảng phân ly nghiệm;
- tiếp tục chia nhỏ khoảng [a, b];
- Tính thử giá trị ở các nút; khoảng chứa nghiệm mới;
- Lặp lại các bước trên cho đến khi đạt độ chính xác cần thiết.
Định lý. Nếu hàm số f(x) liên tục và đơn điệu trên khoảng [a, b],
đồng thời f(a) và f(b) trái dấu thì [a, b] là khoảng phân ly nghiệm
của phương trình f(x) = 0.

3. Phương pháp chia đôi. Cho phương trình f(x) = 0;
- Giả sử [a, b] là khoảng phân ly nghiệm α của phương trình.
- Chia đôi khoảng [a, b]
;
2
ba
c
+

);(
2
1
abab
n
nn
−=−
Với a
n
≤ α ≤ b
n
.

- Lấy a
n
hoặc b
n
làm giá trị gần đúng của nghiệm;
- Sai số:
;
2
n
nnn
ab
aba
−
=−≤−
α
( 4 )
;

f(0,8125) = -0,304
[ ]
;875,0,8125,0∈
α
f(0,8438) = -0,135
[ ]
;875,0,8348,0∈
α
f(0,8594) = -0,043
[ ]
;875,0,8594,0∈
α
Lấy
[ ]
;867,0
2
875,08594,0
=
+
≈
α
Sai số mắc phải:
;
2
1
2
2
2
)1(1
2

đ
s
Nhận xét: - Thuật toán đơn giản; - Hội tụ chậm.

4. Phương pháp lặp.
Cho phương trình f(x) = 0 có nghiệm thực trong khoảng [a, b];
- Viết lại x + f(x) – x = 0; Đặt φ(x) = x + f(x);
x = φ(x);
- Sơ bộ chọn giá trị gần đúng đầu tiên của nghiệm:
[ ]
;,bax
o
∈
( 6 )
( 6 ): x
1
= φ(x
o
);
x
2
= φ(x
1
);
. . . . . . . . .
x
n
= φ(x
n-1
); n = 1, 2, . . . ( 7 )

x
)
y
=
x
O
y
y
=
x
y=φ(x)
O
y
x
x
1
x
2
x
o
x
3
α
Định lý về sự hội tụ. Giả sử:
- [a, b] là khoảng phân ly nghiệm α của phương trình f(x) = 0;
- Mọi x
n
tính theo ( 7 ) đều
[ ]
;,ba∈

≤−
α
( 10 )
Chú ý:
[ ]
;,ba∈
- Nếu φ’(x) > 0; Có thể chọn x
o
bất kỳ
- Nếu φ’(x) < 0:
xét dấu






+
2
).(
ba
faf
Các bước tính.
- Tìm khoảng phân ly nghiệm [a, b].
- f(x) =0 x = φ(x) đảm bảo điều kiện hội tụ:
φ’(x) < 1 ; a ≤ x ≤ b
;
2
ba
aax

xf
=
λ
- Lập bảng tính các giá trị của x và φ(x) theo ( 7 ).
- Trong thực tế, thường dừng q/trình tính khi:

x
n
– x
n-1
< sai số cho phép ε
-Kết quả x
n
≈ α với sai số tính theo (10).

0
2
).( <






+ ba
faf
x = a
x = b
y = φ(x)
y – x < ε

)!1(
)(
)(
!
)(
)("
!2
)(
)(')()()(
)1(
1
)(
2
cF
n
xx
xF
n
xx
xF
xx
xFxxxFxF
n
n
o
o
n
n
o
o

2
1
)(')()()(
2
cfxxxfxxxfxf
oooo
−+−+=
( 12 )

•
Ý nghĩa hình học: thay đường cong y = f(x) bằng tiếp
tuyến kẻ từ A(a,f(a)) hay B(b,f(b)), coi hoành độ giao điểm của
tiếp tuyến với trục hoành là nghiệm gần đúng của ( 1 ).
Đặt: - x
o
= a, nếu tiếp tuyến kẻ từ A;
- x
o
= b, nếu tiếp tuyến kẻ từ B;
Phương trình tiếp tuyến của y = f(x) tại [x
o
, f(x
o
)] :
Giao điểm với trục hoành (x
1
, y
1
=0)
);)((')(

1
n
n
nn
xf
xf
xx −=
+
. . .
( 14 )
;lim
α
=
n
x
∞→n
);)((')(
ooo
xxxfxf −=−
( b )

Tiếp tục vẽ tiếp tuyến với điểm [ (x
1
, f(x
1
) ]
;
)('
)(
1

b
x
y
O
x
o
=bx
1
x
2
α
a
A
B
;
)('
)(
1
1
12
xf
xf
xx −=
. . .

* Định lý về sự hội tụ. Giả sử:
- [a, b] là khoảng phân ly nghiệm của f(x) = 0;
- f có đạo hàm f’, f” với f’ và f” : + liên tục trên [a, b];
+ không đổi dấu trên [a, b];
- xấp xỉ x

(sai số cho phép)
( 15 )
( 16 )
* Chú ý.
-
Phương trình (13) thay cho (1) là tuyến tính đối với x nên
phương pháp Niutơn cũng gọi là phg pháp tuyến tính hoá;
- (14) p/pháp Niutơn cũng là p/pháp lặp với hàm lặp:
;
)('
)(
)(
xf
xf
xx −=
ϕ

Sơ đồ tóm tắt các bước giải:
1/ Cho phương trình f(x) = 0;
2/ Ấn định sai số cho phép ε;
3/ Tìm khoảng phân ly nghiệm;
;
)('
)(
1
o
o
o
xf
xf

α
b
* Phương trình dây cung AB:
;
)()(
)(
ab
xX
afbf
afY
a
−
−
=
−
−
Tại giao điểm: Y = 0; X = x
1
;
;
)()(
)()(
1
afbf
afab
ax
−
−
−=
( 17 )

−
=
f(x
1
).f(a)<0
e = b – a
α
≈
1
x
b = x
1
a = x
1
e < ε
đ
s
s
đ
5/ Tính sai số theo (15).

Ví dụ. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình
f(x) = x
3
– x – 1 = 0;
1. Điều kiện phương trình có nghiệm thực và tìm khoảng
phân ly nghiệm.
-
Hàm số xác định và liên tục
tại mọi x

1
( <−+−=−= fM
đồ thị hàm số chỉ cắt trục hoành tại một điểm, phương trình
có một nghiệm thực trong khoảng
[ ]
∞,3/1
- Chọn khoảng chứa nghiệm [1, 2]
f(1) = 1 – 1 – 1 = - 1 <0
f(2) = 8 – 2 – 1 = 5 >0
f(1).f(2) < 0 khoảng [1, 2]
chứa nghiệm.
Với sai số cho phép ε =10
-3

2. Tìm gần đúng nghiệm bằng phương pháp chia đôi.
1, 2, 1,5 -1 5 0,875 <0
1, 1,5 1,25 -1 0,875 -0,29687 >0
1,25 1,5 1,375 -0,29687 0,875 0,22461 <0
1,25 1,375 1,3125 -0,29687 0,22461 -0,0515 >0
1,3125 1,375 1,34375 -0,0515 0,22461 0,08261 <0
1,3125 1,34375 1,32812 -0,0515 0,08261 0,01456 <0
1,3125 1,32812 1,3203 -0,0515 0,01456 -0,0187 >0
1,3203 1,32812 1,3242 -0,0187 0,01456 -0,0022 >0
1,3242 1,32812 1,3261 -0,0022 0,01456 0,0059 <0
1,3242 1,3261 1,3251 -0,0022 0,0059 0,00163 <0
1,3242 1,3251 1,32465 -0,00216 0,00185 -0,000289
a b c f(a) f(b) f(c) f(a).f(c)
Lấy α = 1,32465 với sai số < ε =10
-3
.

)13(
11
1
1)(
2
−−=
′
xx
ϕ
x = 1 φ’(x) = 1-(2/11) <1; x = 2 φ’(x) = 0 <1
φ’(x) = 3x
2
≥ 3 tại mọi x trong khoảng [1, 2] không
đảm bảo điều kiện hội tụ.
3
2
3/2
)1(
1
3
1
)1(
3
1
)(
+
⋅=+=
′
−
x

1,3223538 1,3242687
-0,010060
x
4
1,3242687 1,3242826
-0,001915
x
5
1,3242826 1,3246326
-0,00185
-0,000364
x
6
1,3246326
x φ(x) x
i+1
– x
i
N
o
Lấy α = 1,3246326 sai số sẽ < ε = 10
-3
.
Lập bảng tính:

x φ(x) x
i+1
– x
i
N

f(1) = -1; f(2) = 5;
f(2).f”(2) > 0
Chọn đầu tính x = 2.
Lập bảng tính: