BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
LÊ KHÁNH HƯNG
VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG
CỦA MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ
TRONG KHÔNG GIAN VỚI CẤU TRÚC ĐỀU
VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
NGHỆ AN - 2015
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
LÊ KHÁNH HƯNG
VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG
CỦA MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ
TRONG KHÔNG GIAN VỚI CẤU TRÚC ĐỀU
VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 62 46 01 02
TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
1. PGS. TS. TRẦN VĂN ÂN
2. TS. KIỀU PHƯƠNG CHI
NGHỆ AN - 2015
0
MỤC LỤC
Mục lục 0
Lời cam đoan iii
Lời cảm ơn iv
Các ký hiệu được dùng trong luận án vi
Mở đầu 1
1. Lý do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Trần
Văn Ân và TS. Kiều Phương Chi. Tôi xin cam đoan rằng các kết quả
trình bày trong luận án là hoàn toàn trung thực, được các đồng tác giả
cho phép sử dụng và luận án không trùng lặp với bất kỳ tài liệu nào
khác.
Tác giả
iv
LỜI CẢM ƠN
Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.
TS. Trần Văn Ân và TS. Kiều Phương Chi. Trước hết, tác giả xin được
bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với những người Thầy của mình: PGS.
TS. Trần Văn Ân và TS. Kiều Phương Chi, những người đã đặt bài toán
và hướng nghiên cứu cho tác giả. Các Thầy đã dạy bảo, chỉ dẫn tác giả
nghiên cứu một cách kiên trì và nghiêm khắc. Tác giả đã học được rất
nhiều kiến thức khoa học, nhận được sự chia sẻ, yêu thương của các Thầy
trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS. TS. Đinh Huy
Hoàng, người đã dạy bảo tác giả từ những bước đi đầu tiên trong nghiên
cứu khoa học ngay từ khi còn là sinh viên. Trong suốt quá trình học tập,
nghiên cứu, Thầy luôn tận tình chỉ bảo và tạo mọi điều kiện thuận lợi
nhất để tác giả học tập và hoàn thành luận án.
Tác giả xin được bày tỏ sự cảm ơn đến Ban Giám hiệu Trường Đại
học Vinh, Trường THPT Chuyên - Trường Đại học Vinh đã quan tâm
động viên cũng như tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả tập trung
học tập và nghiên cứu.
Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Khoa Sư phạm Toán học, Tổ
Giải tích, Phòng đào tạo Sau đại học và các Phòng chức năng khác của
Trường Đại học Vinh đã tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành
nhiệm vụ của nghiên cứu sinh.
Xin cảm ơn các thầy cô giáo, các anh chị em nghiên cứu sinh của

f(. . . (x) . . .)

với n lần f.
C(X, R) : Không gian tất cả các hàm liên tục từ X vào R.
Φ : Họ các hàm φ
α
: R
+
→ R
+
, α ∈ I, đơn điệu tăng, liên tục
thỏa mãn φ
α
(0) = 0 và 0 < φ
α
(t) < t với mọi t > 0.
Φ
1
: Họ các hàm φ
α
: R
+
→ R
+
, α ∈ I, đơn điệu không giảm
thỏa mãn φ
α
(0) = 0 và 0 < φ
α
(t) < t với mọi t > 0.

n
(α)
(t) : n = 0, 1, 2, . . .

≤ ψ
α
(t) và
+∞

n=1
ψ
n
α
(t) < +∞
với mọi t > 0.
Π : Họ các hàm ϕ
α
: R
+
→ R
+
, α ∈ I, liên tục thỏa mãn
ϕ
α
(t) = 0 nếu và chỉ nếu t = 0.
1
MỞ ĐẦU
1 Lý do chọn đề tài
1.1. Kết quả đầu tiên về điểm bất động của các ánh xạ thu được
từ năm 1911. Lúc đó, L. Brouwer đã chứng minh rằng: Mỗi ánh xạ liên


d(x, y)

, với mọi x, y ∈ X, trong đó ϕ : R
+
→ R
+
là hàm nửa liên tục trên bên phải và thỏa mãn 0 ≤ ϕ(t) < t với mọi
t ∈ R
+
.
Cùng thời gian trên, F. E. Browder ([23]), M. Furi và A. Vignoli ([40])
cũng xét một điều kiện co dạng tương tự. Trong các bài báo của M. Furi
([39]), R. M. Bianchini và M. C. Grandolfi ([20]), các tác giả đã đưa ra
điều kiện co dạng
(F) d(T x, T y) ≤ ϕ

d(x, y)

, với mọi x, y ∈ X, trong đó ϕ(t) là hàm đơn
điệu tăng và thỏa mãn lim
n→∞
ϕ
n
(t) = 0 với mọi t > 0.
Năm 1975, F. Matkowski ([55]) đã làm nhẹ hơn điều kiện (F) khi xét
điều kiện co sau đây
(M) d(T x, T y) ≤ ϕ

d(x, y)

, với mọi x, y ∈ X, trong
đó ψ, ϕ : R
+
→ R
+
là hàm liên tục, đơn điệu không giảm sao cho ψ(t) =
0 = ϕ(t) khi và chỉ khi t = 0.
Lưu ý rằng trong điều kiện co (DC), nếu ta lấy ψ(t) = t và ϕ(t) = (1−k)t
với mọi t ∈ R
+
, thì ta thu được điều kiện co (B).
Năm 2009, R. K. Bose và M. K. Roychowdhury ([21]) đã đưa ra khái
niệm ánh xạ co yếu suy rộng mới với điều kiện co sau đây nhằm nghiên
cứu điểm bất động chung của các ánh xạ.
(BR) ψ

d(T x, Sy

≤ ψ

d(x, y)

−ϕ

d(x, y)

, với mọi x, y ∈ X, trong đó
ψ, ϕ : R
+
→ R

Lakshmikantham ([19]) đã đưa ra khái niệm điểm bất động bộ đôi của
các ánh xạ F : X × X → X có tính chất đơn điệu trộn và thu được một
số kết quả cho lớp ánh xạ đó trên không gian mêtric sắp thứ tự bộ phận
và thỏa mãn điều kiện co
(BL) Tồn tại k ∈ [0, 1) sao cho d

F (x, y), F (u, v)

≤
k
2

d(x, u)+d(y, v)

,
với mọi x, y, u, v ∈ X mà x ≥ u, y ≤ v.
Năm 2009, tiếp tục mở rộng các định lý điểm bất động bộ đôi, V.
Lakshmikantham và L. Ciric ([51]) đã thu được một số kết quả cho lớp
ánh xạ F : X × X → X có tính chất g-đơn điệu trộn với g : X → X trên
không gian mêtric sắp thứ tự bộ phận và thỏa mãn điều kiện co sau đây.
(LC) d

F (x, y), F (u, v)

≤ ϕ

d

g(x), g(u)



max

d(T x, T u), d(T y, T v), d(T z, T w)


.
1.4. Sự phát triển mạnh mẽ của lý thuyết điểm bất động có động lực
từ những ứng dụng rộng rãi của nó, đặc biệt là trong lý thuyết phương
trình vi phân và tích phân mà dấu ấn đầu tiên là việc áp dụng Nguyên
lý ánh xạ co Banach để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của các phương
trình vi phân thường.
Trong lý thuyết phương trình vi phân và tích phân hiện đại, việc chứng
minh sự tồn tại hay việc xấp xỉ nghiệm vẫn thường được quy về áp dụng
thích hợp một định lý điểm bất động nào đó. Đối với các bài toán biên
với miền bị chặn thì các định lý điểm bất động trong không gian mêtric
là đủ để làm tốt công việc trên. Tuy nhiên, đối với các bài toán biên với
các miền không bị chặn thì các định lý điểm bất động trong không gian
mêtric là không đủ để thực hiện. Vì vậy, vào thập niên 70 của thế kỷ
trước, song song với việc tìm cách mở rộng lớp ánh xạ người ta đã tìm
cách mở rộng lên các lớp không gian rộng hơn. Một trong những hướng
mở rộng tiêu biểu là tìm cách mở rộng các kết quả về điểm bất động của
các ánh xạ trên không gian mêtric lên lớp các không gian lồi địa phương,
rộng hơn nữa là các không gian đều và đã thu hút được sự quan tâm của
nhiều toán học mà nổi bật là V. G. Angelov.
Trong ([10]), V. G. Angelov đã xét họ các hàm thực Φ = {φ
α
: α ∈ I}
sao cho với mỗi α ∈ I, φ
α

liên tục và x = AxBy kéo theo x ∈ S với mọi y ∈ S, với S là một tập con
đóng, lồi và bị chặn của đại số Banach X, sao cho thỏa mãn điều kiện co
(Dh) ||T x −T y|| ≤ φ

||x −y||

với mọi x, y ∈ X, trong đó φ : R
+
→ R
+
là hàm liên tục không giảm, φ(0) = 0,
đã thu được một số định lý điểm bất động trong các đại số Banach.
1.5. Trong thời gian gần đây, cùng với sự xuất hiện những lớp ánh xạ
co mới, những kiểu điểm bất động mới trong không gian mêtric, hướng
nghiên cứu lý thuyết điểm bất động đã có những bước phát triển mới
mạnh mẽ. Với những lý do trên, nhằm mở rộng các kết quả về lý thuyết
điểm bất động trên cho lớp các không gian có cấu trúc đều, chúng tôi
chọn đề tài ‘‘Về sự tồn tại điểm bất động của một số lớp ánh xạ
trong không gian với cấu trúc đều và ứng dụng” làm đề tài luận
án tiến sĩ.
2 Mục đích nghiên cứu
Mục đích chính của luận án là mở rộng các kết quả về sự tồn tại
điểm bất động trong không gian mêtric của một số lớp ánh xạ lên lớp
không gian với cấu trúc đều và ứng dụng chúng để chứng minh sự tồn
tại nghiệm của một số lớp phương trình tích phân với độ lệch không bị
chặn.
3 Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của luận án là các không gian đều, các ánh
xạ co suy rộng trên không gian đều, điểm bất động, điểm bất động bộ
đôi, điểm bất động bộ ba của một số lớp ánh xạ trong không gian với

là mở rộng khái niệm (ψ, ϕ)-co của P. N. Dutta và B. S. Choudhury trên
không gian đều, và thu được một kết quả về sự tồn tại điểm bất động
của ánh xạ (Ψ, Π)-co trên không gian đều. Bằng cách đưa ra khái niệm
không gian đều có tính chất j-đơn điệu giảm, chúng tôi thu được kết quả
về sự tồn tại duy nhất điểm bất động của ánh xạ (Ψ, Π)-co. Tiếp theo,
mở rộng khái niệm ánh xạ α -ψ-co trên không gian mêtric cho không gian
7
đều, chúng tôi đưa ra khái niệm ánh xạ (β, Ψ
1
)-co trên không gian đều
và thu được một số định lý điểm bất động cho lớp ánh xạ này. Các định
lý thu được trong không gian đều xem như là các mở rộng của những
định lý trong không gian mêtric đầy đủ. Cuối cùng, ứng dụng định lý thu
được về điểm bất động của lớp ánh xạ (β, Ψ
1
)-co trên không gian đều,
chúng tôi đã chứng minh sự tồn tại nghiệm của một lớp phương trình
tích phân phi tuyến với độ lệch không bị chặn. Lưu ý rằng, khi xét một
lớp phương trình tích phân với độ lệch không bị chặn, chúng ta không
thể áp dụng các định lý điểm bất động đã biết trong không gian mêtric.
Các kết quả chính của Chương 1 là Định lý 1.2.6, Định lý 1.2.9, Định lý
1.3.11 và Định lý 1.4.3. Cụ thể, Định lý 1.2.6 chỉ ra sự tồn tại, tồn tại
duy nhất điểm bất động của một lớp ánh xạ (Ψ, Π)-co trên không gian
đều; Định lý 1.2.9 khẳng định sự tồn tại, tồn tại duy nhất điểm bất động
chung của hai ánh xạ co trên không gian đều; Định lý 1.3.11 đưa ra điều
kiện tồn tại và tồn tại duy nhất điểm bất động của các ánh xạ (β, Ψ
1
)-co.
Cuối cùng, Định lý 1.4.3 khẳng định sự tồn tại nghiệm trong C(R
+

động trong đại số lồi địa phương mà nó là mở rộng của kết quả thu được
bởi B. C. Dhage ([29]). Cuối cùng, trong mục 3.3, áp dụng định lý thu
được chúng tôi chứng minh sự tồn tại nghiệm của một lớp phương trình
tích phân trong đại số lồi địa phương với độ lệch không bị chặn. Kết quả
chính của Chương 3 là Định lý 3.2.5, Định lý 3.3.2. Cụ thể, Định lý 3.2.5
khẳng định phương trình toán tử x = AxBx trong đại số lồi địa phương
có nghiệm; Định lý 3.3.2 kết luận phương trình tích phân phi tuyến với
độ lệch không bị chặn có nghiệm trong C(R
+
, R).
Trong luận án này, chúng tôi cũng giới thiệu nhiều ví dụ nhằm minh
họa cho các kết quả thu được và ý nghĩa mở rộng của các định lý được
đưa ra.
7.2 Cấu trúc luận án
Nội dung luận án được trình bày trong 3 chương. Ngoài ra, luận án
còn có Lời cam đoan, Lời cảm ơn, Mục lục, phần Mở đầu, Kết luận và
Kiến nghị, Danh mục công trình khoa học của nghiên cứu sinh liên quan
đến luận án và Tài liệu tham khảo.
Chương 1 trình bày mở rộng các định lý điểm bất động của một số
lớp ánh xạ trên không gian mêtric cho không gian đều. Trong phần đầu
của chương, chúng tôi trình bày lại một số kiến thức về không gian tôpô,
không gian đều. Trong mục 1.2, chúng tôi nghiên cứu điểm bất động của
ánh xạ co yếu trong không gian đều. Mục 1.3 dành cho việc nghiên cứu
về điểm bất động của ánh xạ (β, Ψ
1
)-co trong không gian đều. Mục 1.4,
ứng dụng các kết quả về điểm bất động của ánh xạ (β, Ψ
1
)-co để xét sự
tồn tại nghiệm của một lớp phương trình tích phân phi tuyến.

trong không gian đều. Trong phần cuối của chương, chúng tôi mở rộng
các định lý điểm bất động của lớp ánh xạ α-ψ-co trong không gian mêtric
được trình bày trong ([64]) lên không gian đều. Sau đó, chúng tôi ứng
dụng các kết quả mới này để chứng tỏ một lớp phương trình tích phân
với độ lệch không bị chặn có nghiệm duy nhất.
1.1 Không gian đều
Mục này chúng tôi nhắc lại một số kiến thức về không gian đều cần
dùng cho những trình bày về sau. Những kiến thức này đã được trình
bày trong các tài liệu ([2], [9], [48]).
Cho tập X khác rỗng, U, V ⊂ X × X. Ta ký hiệu
1) U
−1
= {(x, y) ∈ X × X : (y, x) ∈ U}.
2) U ◦V = {(x, z) : ∃y ∈ X, (x, y) ∈ U, (y, z) ∈ V } và viết U
2
thay cho
U ◦ U.
3) ∆(X) = {(x, x) : x ∈ X} và gọi ∆(X) là đường chéo của X.
4) U[A] = {y ∈ X : ∃x ∈ A để (x, y) ∈ U}, với A ⊂ X và viết U [x]
thay cho U[{x}].
1.1.1 Định nghĩa. Họ U các tập con của X ×X được gọi là cái đều hay
cấu trúc đều trên X nếu thỏa mãn các điều kiện sau
11
1) ∆(X) ⊂ U với mọi U ∈ U.
2) Nếu U ∈ U thì U
−1
∈ U.
3) Nếu U ∈ U thì tồn tại V ∈ U sao cho V
2
⊂ U.

1.1.5 Nhận xét. 1) Nếu X là không gian mêtric hoặc là không gian
véctơ tôpô thì tôpô sinh bởi cấu trúc đều trùng với tôpô xuất phát.
2) ([2]) Đối với không gian lồi địa phương X, tôpô của nó được sinh
bởi một họ các nửa chuẩn {p
α
}
α∈I
. Khi đó, họ các nửa chuẩn sẽ cảm
sinh ra các giả mêtric {d
α
}
α∈I
(gọi là các giả mêtric liên kết) cho bởi
d
α
(x, y) = p
α
(x −y) với mọi x, y ∈ X.
1.1.6 Mệnh đề. Cho X là không gian đều với cấu trúc đều sinh bởi họ
các giả mêtric P = {d
α
}
α∈I
. Khi đó,
1) X là không gian Hausdorff khi và chỉ khi nếu d
α
(x, y) = 0 với mọi
α ∈ I thì x = y.
12
2) Dãy {x

{p
α
}
α∈I
, thì họ các giả mêtric liên kết {d
α
}
α∈I
xác định bởi d
α
(x, y) =
p
α
(x − y) với mọi x, y ∈ E. Khi đó, tôpô đều được sinh bởi họ các giả
mêtric liên kết trùng với tôpô xuất phát của không gian E. Do đó, như
là hệ quả của các kết quả của chúng tôi sau này, ta thu được các định lý
điểm bất động trong không gian lồi địa phương.
3) ([9]) Cho I là tập chỉ số và ánh xạ j : I → I. Các phép lặp của j
được xác định theo quy nạp như sau
j
0
(α) = α, j
k
(α) = j

j
k−1
(α)

, k = 1, 2, . . .

d
j(α)
(x, y)

,
với mọi x, y ∈ M, mọi α ∈ I, trong đó M ⊂ X và thu được kết quả sau.
1.2.1 Định lý. ([10], Theorem 4) Cho X là không gian đều Hausdorff
đầy đủ dãy và T : X → X là một ánh xạ Φ-co trên X. Giả sử rằng
i) Với mọi α ∈ I và t > 0, lim
n→∞
φ
α

φ
j(α)
(. . . φ
j
n
(α)
(t) . . .)

= 0.
ii) Ánh xạ j : I → I là toàn ánh và tồn tại x
0
∈ X sao cho dãy {x
n
}
với x
n
= T x

cho ánh xạ (Ψ, Π)-co trong không gian đều. Các kết quả này là mở rộng
của các kết quả (Định lý 1.2.1, Định lý 1.2.3) của V. G. Angelov trong
([9], [10]).
Trước hết chúng tôi giới thiệu các lớp hàm có vai trò quan trọng trong
lý thuyết điểm bất động, đôi khi ta gọi chúng là các hàm điều khiển. Ký
hiệu Ψ = {ψ
α
: α ∈ I} là họ các hàm ψ
α
: R
+
→ R
+
đơn điệu tăng, liên tục,
ψ
α
(t) = 0 nếu và chỉ nếu t = 0, với mọi α ∈ I. Ký hiệu Π = {ϕ
α
: α ∈ I}
là họ các hàm ϕ
α
: R
+
→ R
+
, α ∈ I sao cho ϕ
α
là liên tục, ϕ
α
(t) = 0 nếu

α
∈ Π.
Chú ý, lớp ánh xạ (Ψ, Π)-co trên X là rộng hơn lớp ánh xạ Φ-co trên
X. Thật vậy, nếu T là ánh xạ Φ-co trên X thì với mọi α ∈ I và φ
α
∈ Φ
ta đặt Ψ = {ψ
α
: R
+
→ R
+
, α ∈ I} với ψ
α
(t) = t với mọi t ≥ 0 và
Π = {ϕ
α
: R
+
→ R
+
, α ∈ I} với ϕ
α
(t) = t − φ
α
(t) với mọi t ≥ 0. Khi đó T
là ánh xạ (Ψ, Π)-co trên X.
1.2.5 Định nghĩa. Không gian đều (X, P) được gọi là có tính chất j-
đơn điệu giảm (j-monotone decreasing) nếu d
α

) với
mọi m, n ≥ 0, mọi α ∈ I.
Khi đó, T có điểm bất động trong X.
Hơn nữa, nếu X có tính chất j-đơn điệu giảm, thì T có điểm bất động
duy nhất.
Chứng minh. Xét x
0
và dãy {x
n
} với x
n
= T x
n−1
, n = 1, 2, . . . thỏa
mãn điều kiện 2). Trước hết, ta sẽ chứng minh với mọi α ∈ I ta có
lim
n→∞
d
α
(x
n+1
, x
n
) = 0. Đặt c
α
n
= d
α
(x
n+1

j(α)
(x
n
, x
n−1
)

− ϕ
α

d
j(α)
(x
n
, x
n−1
)

≤ ψ
α

d
j(α)
(x
n
, x
n−1
)

.

d
α
(x
n+1
, x
n
) ≤ d
j(α)
(x
n
, x
n−1
) ≤ d
α
(x
n
, x
n−1
).
(1.2)
Do đó, với mọi α ∈ I, dãy {c
α
n
} là giảm và bị chặn dưới. Do đó, tồn
tại giới hạn hữu hạn lim
n→∞
d
α
(x
n+1


d
α
(T x
n
, T x
n−1
)

≤ ψ
α

d
j(α)
(x
n
, x
n−1
)

− ϕ
α

d
j(α)
(x
n
, x
n−1
)

, x
n
) = 0.
Tiếp theo, ta chứng minh {x
n
} là dãy Cauchy. Giả sử ngược lại, {x
n
}
không là dãy Cauchy. Khi đó, tồn tại ε > 0, α
0
∈ I và các dãy con {x
m(k)
}
và {x
n(k)
} của {x
n
} sao cho n(k) là số nhỏ nhất thỏa mãn
n(k) > m(k) > k > 0, d
α
0
(x
m(k)
, x
n(k)
) ≥ ε, k = 1, 2, . . .
(1.3)
Điều này kéo theo
d
α

) ≥ ε.
(1.5)
Đặt h
j(α)
k
= d
j(α)

x
m(k)
, x
n(k)

. Sử dụng bất đẳng thức tam giác và (1.4),
(1.5), ta có
ε ≤ h
j(α)
k
= d
j(α)

x
m(k)
, x
n(k)

≤ d
j(α)

x

n(k)

= ε. Áp
16
dụng vào bất đẳng thức
d
j(α)

x
m(k)
, x
n(k)

− d
j(α)

x
m(k)
, x
m(k)−1

− d
j(α)

x
n(k)
, x
n(k)−1

≤ d

ta được lim
k→∞
d
j(α)

x
m(k)−1
, x
n(k)−1

= ε.
Mặt khác, vì ψ
α
tăng, sử dụng (1.5) và điều kiện 2) ta có
ψ
α
(ε) ≤ ψ
α

d
j(α)
(x
m(k)
, x
n(k)
)

≤ ψ
α


− ϕ
α

d
j(α)
(x
m(k)−1
, x
n(k)−1
)

,
với mọi k = 1, 2, . . .
Cho k → ∞ ta được ψ
α
(ε) ≤ ψ
α
(ε) − ϕ
α
(ε). Lại nhờ tính chất của hàm
ϕ
α
ta suy ra ε = 0. Điều này mâu thuẫn với ε > 0. Do đó, {x
n
} là dãy
Cauchy. Vì X là đầy đủ dãy, nên x
n
→ x ∈ X khi n → ∞. Bây giờ ta
chứng minh x là điểm bất động của T . Thật vậy, vì T là (Ψ, Π)-co, với
mọi α ∈ I và với mọi n ≥ 1 ta có

d
j(α)
(x
n−1
, x)

.
Cho n → ∞ ta được ψ
α

d
α
(x, T x)

≤ ψ
α
(0) −ϕ
α
(0) = 0.
Suy ra ψ
α

d
α
(x, T x)

= 0 và d
α
(x, T x) = 0 với mọi α ∈ I, nghĩa là x = T x.
Do đó, x là điểm bất động của T .

d
j(α)
(x, y)

− ϕ
α

d
j(α)
(x, y)

.
Bất đẳng thức này kéo theo ϕ
α

d
j(α)
(x, y)

= 0 với mọi α ∈ I. Điều này
dẫn đến d
j(α)
(x, y) = 0, với mọi α ∈ I. Vì j là toàn ánh nên x = y. Do đó,
T có điểm bất động duy nhất.
17
Chú ý rằng, vì ánh xạ Φ-co trên X cũng là (Ψ, Π)-co trên X nên phần
kết luận tồn tại điểm bất động của Định lý 1.2.6 là mở rộng của Định lý
1.2.1. Hơn nữa, trong Định lý 1.2.6 ta không cần giả thiết i) như trong
Định lý 1.2.1.
Ví dụ sau đây minh họa cho kết quả của Định lý 1.2.6.

(x, y) = r


P
n
(x) −P
n
(y)


, với mọi x, y ∈ X.
Khi đó, họ các giả mêtric {d
(n,r)
: (n, r ) ∈ I} sinh ra một cấu trúc đều
trên X.
Bây giờ, với mỗi (n, r) ∈ I ta xác định các hàm ψ
(n,r)
(t) =
2(n −1)
2n −1
t,
ϕ
(n,r)
(t) =
2(n −1)
3(2n −1)
2
t với mọi t ≥ 0 và đặt Ψ = {ψ
(n,r)
: (n, r) ∈ I},

), . . . , 1 −

1−
2
3n

(1−x
n
), . . .

,
với mọi x = {x
n
} ∈ X.
Tiếp theo ta kiểm tra các giả thiết của Định lý 1.2.6.
1) T là (Ψ, Π)-co trên X. Thật vậy, ta có
d
(n,r)
(T x, T y) = r


P
n
(T x) −P
n
(T y)


= r


|
= r
2(3n −2)
3(2n −1)
.
n −1
n
|x
n
− y
n
|,
(1.7)
d
j(n,r)
(x, y) = r

1 −
1
2n

|x
n
− y
n
|,