PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH CHƯƠNG
TRƯỜNG THCS THANH MỸ

Tháng 10 – Năm 2014
Hội đồng bộ môn Tóan THCS Thanh Mỹ
1
CHUYÊN ĐỀ VỀ LÃI SUẤT NGÂN HÀNG
1. Mục tiêu chung :
Giúp nâng cao cho học sinh có được những kiến thức cơ bản về cách tính lãi suất
khi gửi tiền vào ngân hàng trong thực tế .
2. Mục tiêu cụ thể :
Kiến thức :
Biết cách tính toán được những bài toán về lãi suất – niên khoản trong thực tế .
Kỹ năng :
Có được những kỹ năng tính toán về lãi suất – niên khoản.
Thái độ :
Có thái độ thích thú trong việc tính toán với các bài toán về tính lãi suất – niên
khoản .
I. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ XÂY DỰNG CÔNG THỨC :
1. Lãi đơn (simple interest)
Lãi đơn là số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính trên số tiền lãi do số
tiền gốc sinh ra. Công thức tính lãi đơn như sau:
A = a.r.n
Trong đó A là lãi đơn, a là số tiền gốc, r là lãi suất kỳ hạn và n là số kỳ hạn tính lãi.
Ví dụ : Bạn An ký gửi 10 000 000 đồng vào tài khoản định kỳ tính lãi đơn với lãi
suất là 8%/năm. Sau 10 năm số tiền gốc và lãi bạn thu về là:
10 000 000 +10 000 000(0,08)(10) = 18 000 000 đồng
2. Lãi kép (compound interest)

n
ta tính được các đại lượng khác như sau:
Hội đồng bộ môn Tóan THCS Thanh Mỹ
2
1)
A
ln
a
n
ln(1 r)
=
+
; 2)
n
A
r 1
a
= −
; 3)
(1 )
n
A
a
r
=
+
(ln trong công thức 1 là Lôgarit Nêpe, trên m áy fx-500 MS và fx-570 MS phím
ln
ấn trực tiếp)
Ví dụ 1: Một số tiền 58.000.000 đ gửi tiết kiệm theo lãi suất 0,7% tháng. Tính cả

8
61329000
r 1
58000000
= −
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
b/ c
x
8 ^ 61329000 a 58000000 1 SHIFT %− = =
Kết quả: 0,7%
1.2. Nếu hàng tháng gửi a đồng vào ngân hàng với lãi suất r % trên tháng
trong n tháng . Tính cả vốn lẫn lãi sau n tháng ?

n
a(1 r) (1 r) 1
A
r
 
+ + −
 
=
;
n
Ar
a
(1 r) (1 r) 1
=
 
+ + −
 

a
1,006 1,006 1
1 0,006 1 0,006 1
= =
 
−
+ + −
 
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
100000000 1. 006 (1. 006 (1. 006 ^10 1) )
× ÷ − =
Kết quả: 9674911,478
2/ Lãi suất từ giá trị thêm vào vào theo quãng thời gian đều : ( lãi liên tục )
Ví dụ 6 : Một người gửi tiết kiệm 10 000 000 đồng vào một ngân hàng theo mức kỳ
hạn 6 tháng với lãi suất 0,65% một tháng .
a) Hỏi sau 10 năm, người đó nhận được bao nhiêu tiền (cả vốn lẫn lãi ) ở ngân
hàng. Biết rằng người đó không rút lãi ở tất cả các định kỳ trước đó .
b) Nếu với số tiền trên, người đó gửi tiết kiệm theo kỳ hạn 3 tháng với lãi suất
0,63% một tháng thì sau 10 năm sẽ nhận được bao nhiêu tiền ( cả vốn lẫn lãi ) ở ngân hàng .
Biết rằng người đó không rút lãi ở tất cả định kỳ trước đó .
Giải :
a)
Lãi suất theo định kỳ 6 tháng là : 6 x 0,65% = 3,90%
10 năm bằng
10 12
20
6
x
=
kỳ hạn

= + =
 ÷
 
đồng
Hội đồng bộ môn Tóan THCS Thanh Mỹ
4
Nhận xét:
 Cần phân biệt rõ cách gửi tiền tiết kiệm:
+ Gửi số tiền a một lần > lấy cả vốn lẫn lãi A.
+ Gửi hàng tháng số tiền a > lấy cả vốn lẫn lãi A.
 Cần phân tích các bài toán một cách hợp lý để được các khoảng tính đúng đắn.
 Có thể suy luận để tìm ra các công thức từ 1) -> 4) tương tự như bài toán mở
đầu
 Các bài toán về dân số cũng có thể áp dụng các công thức trên đây.
3/ Bài toán về dân số :
Cho biết tại một thời điểm gốc nào đó, dân số của một quốc gia B là a người
; tỉ lệ tăng dân số trung bình mỗi năm của quốc gia đó là m%.
Hãy xây dựng công thức tính số dân của quốc gia B đến hết năm thứ n.
A = a ( 1 + m )
n
Từ công thức trên ta suy ra công thức tính các đại lượng khác như sau :
1)
A
ln
a
n
ln(1 r)
=
+
; 2)

Giải :

19
100000000
1
76300000
m = −
= %
Ví dụ 3 : Dân số xã Hậu Lạc hiện nay là 10000 người. Người ta dự đoán sau 2
năm nữa dân số xã Hậu Lạc là 10404 người.
a) Hỏi trung bình mỗi năm dân số xã Hậu Lạc tăng bao nhiêu phần trăm ?
b) Với tỉ lệ tăng dân số như vậy, hỏi sau 10 năm dân số xã Hậu Lạc là bao
nhiêu?
Giải : Câu a) là tìm m
Câu b) là tìm A
III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN :
Bài 1 : Một người muốn rằng sau hai năm phải có 20 000 000đ (hai mươi triệu
đồng) để mua xe máy. Hỏi phải gửi vào ngân hàng một khoản tiền như nhau hàng tháng là
bao nhiêu, biết rằng lãi suất tiết kiệm là 0,075% tháng.
Hội đồng bộ môn Tóan THCS Thanh Mỹ
5
Bài 2 : Một số tiền là 580000đ được gửi tiết kiệm theo lãi kép (sau mỗi tháng tiền
lãi được cộng thành vốn) sau 25 tháng thì được cả vốn lẫn lãi là 84155đ. Tính lãi suất /tháng
(tiền lãi của 100đ trong một tháng).
Bài 3 : Một người hàng tháng gửi vào ngân hàng số tiền là 1 000 000đ với lãi suất
0,45% một tháng.
Hỏi sau 2 năm người ấy nhận được bao nhiêu tiền lãi? (làm tròn đến hàng đơn vị).
Bài 4 : Dân số tỉnh Lâm Đồng trong 2 năm tăng từ 30 000 000 người lên đến 30
048 288 người.
Tính tỉ lệ tăng dân số hàng năm của tỉnh Lâm Đồng trong 2 năm đó?

a) Hỏi sau 10 năm, người đó nhận được bao nhiêu tiền (cả vốn và lãi) ở ngân
hàng? Biết rằng người đó không rút lãi ở tất cả các định kỳ trước đó.
b) Nếu với số tiền trên, người đó gửi tiết kiệm theo mức kỳ hạn 3 tháng với lãi suất
0,63% một tháng thì sau 10 năm sẽ nhận được bao nhiêu tiền (cả vốn và lãi) ở ngân hàng?
Biết rằng người đó không rút lãi ở tất cả các định kỳ trước đó.
(Kết quả lấy theo các chữ số trên máy khi tính toán.)
Đáp số: T
a
≈ 214936885,3 đồng; T
b
≈ 211476682,9 đồng.
Bài 8 :
a) Bạn Toán gửi tiết kiệm một số tiền ban đầu là 2000000 đồng với lãi suất 0,58%
một tháng (gửi không kỳ hạn). Hỏi bạn Toán phải gửi bao nhiêu tháng thì được cả vốn lẫn
lãi bằng hoặc vượt quá 2600000 đồng ?
b) Với cùng số tiền ban đầu nhưng số tháng gửi ít hơn số tháng ở câu a) là 1 tháng,
nếu bạn Toán gửi tiết kiệm có kỳ hạn 3 tháng với lãi suất 0,68% một tháng, thì bạn Toán sẽ
nhận được số tiền cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu? (Biết rằng trong các tháng của kỳ hạn, chỉ
cộng thêm lãi chứ không cộng vốn và lãi tháng trước để tính lãi tháng sau. Hết một kỳ hạn,
lãi sẽ được cộng vào vốn để tính lãi trong kỳ hạn tiếp theo).
Bài 9 : Một người gửi tiền bảo hiểm cho con từ lúc con tròn 6 tuổi, hàng tháng anh
ta đều đặn gửi vào cho con 300 000 đồng với lãi suất 0,52% một tháng. Trong quá trình đó
người này không rút tiền ra. Đến khi con tròn 18 tuổi số tiền đó sẽ dùng cho việc học nghề
và làm vốn cho con.
a) Hỏi khi đó số tiền rút ra là bao nhiêu(làm tròn đến hàng đơn vị).
Hội đồng bộ môn Tóan THCS Thanh Mỹ
6
b) Với lãi suất và cách gửi như vậy, đến khi con tròn 18 tuổi, muốn số tiền rút ra
không dưới 100 000 000 đồng thì hàng tháng phải gửi vào cùng một số tiền là bao nhiêu?
(làm tròn đến hàng đơn vị).

100
m
 
+
 ÷
 
- Sau tháng thứ hai số tiền gốc còn lại trong ngân hàng là:
(Nx– A)x– A = Nx
2
– A(x+1) đồng.
- Sau tháng thứ ba số tiền gốc còn lại trong ngân hàng là:
[Nx
2
– A(x+1)]x– A = Nx
3
– A(x
2
+x+1) đồng
Tương tự : Số tiền gốc còn lại trong ngân hàng sau tháng thứ n là :
Nx
n
– A(x
n-1
+x
n-2
+ +x+1)đồng.
Vì lúc này số tiền cả gốc lẫn lãi đã trả hết nên ta có :
Nx
n
= A (x

Bài 12 : Theo Báo cáo của Chính phủ dân số Việt Nam tính đến tháng 12 năm
2005 là 83,12 triệu người, nếu tỉ lệ tăng trung bình hàng năm là 1,33%. Hỏi dân số Việt nam
vào tháng 12 năm 2010 sẽ là bao nhiêu?
Trả lời: Dân số Việt Nam đến tháng 12-2010: 88796480 người
Bài 13 :
Hội đồng bộ môn Tóan THCS Thanh Mỹ
7
1) Tại một thời điểm gốc nào đó, dân số của quốc gia B là a người; tỉ lệ tăng dân
số trung bình mỗi năm của quốc gia đó là m%. Hãy xây dựng công thức tính số dân của
quốc gia B đến hết năm thứ n.
2) Dân số nước ta tính đến năm 2001 là 76,3 triệu người. Hỏi đến năm 2010 dân số
nước ta là bao nhiêu nếu tỉ lệ tăng dân số trung bình mỗi năm là 1,2%?
3) Đến năm 2020, muốn cho dân số nước ta có khoảng 100 triệu người thì tỉ lệ
tăng dân số trung bình mỗi năm là bao nhiêu?
Đáp số: a(1 + 0,01m)
n
; 84,9 triệu người; 1,43%.
Bài 14 : Dân số xã Hậu Lạc hiện nay là 10000 người. Người ta dự đoán sau 2 năm
nữa dân số xã Hậu Lạc là 10404 người.
1) Hỏi trung bình mỗi năm dân số xã Hậu Lạc tăng bao nhiêu phần trăm?
2) Hỏi sau 10 năm dân số xã Hậu Lạc là bao nhiêu?
Đáp số: 2%; 12190 người.
Bài 15 : Một người hàng tháng gửi vào ngân hàng một số tiền là 5 triệu đồng với
lãi suất là 1,35 % trên một tháng.Hỏi sau 1 năm người ấy nhận được tất cả bao nhiêu tiền cả
gốc lẫn lãi ?
- Xây dựng công thức đúng, lập luận chính xác
- Thay số tiền 5 triệu đồng = a đồng; lãi suất 1,35% = 1,035 = x; số tháng =
k=12 vào (*) thì sau 1 năm người đó nhận được tất cả là
( )
[ ]

(1+0,07)=A
0
(1+0,07)
2

An=A
0
(1+0,07)
n
Trong 36 năm anh ta được tăng lương
36
1
3
−
=11 lần.Vậy tổng số tiền anh ta nhận
được sau 36 năm là:
S =A
0
+A
1
+ +A
11
= A
0
(1+(1+0,07)+(1+0,07)
2
+ +(1+0,07)
11
)
= A

+ 10 năm 9 tháng = 129 tháng = 43 kỳ hạn
+ Số tiền nhận được sau 10 năm 9 tháng là : A = 250 000 000
43

= 757 794 696,8 đ
b.+ Lãi suất một kỳ hạn 6 tháng là .6 = 5,25%
+ 10 năm 9 tháng = 129 tháng = 21 kỳ hạn cộng thêm 90 ngày
+ Số tiền nhận được sau 10 năm 6 tháng là : B = 250 000 000(1+)
21

= 732 156 973,7 đồng
+ Số tiền B được tính lãi suất không kỳ hạn trong 90 ngày tiếp theo,
nhận được số lãi là : C = 732 156 973,7 . . 90 = 98 841 191,45 đồng
+ Và số tiền nhận được sau 10 năm 9 tháng là : B + C = 830 998 165,15 đồng.

c.Gọi lãi suất hàng tháng là x, số tiền gốc ban đầu là a đồng
+ Số tiền cả gốc và lãi cuối tháng 1 là : a + ax = a(1+ x)
+ Số tiền gốc đầu tháng 2 là : a(1+x) + a = a[(1+x)+1] = [(1+x)
2
–1] = [(1+x)
2
–
1]
+ Số tiền cả gốc và lãi cuối tháng 2 là : [(1+x)
2
–1] + [(1+x)
2
–1].x = [(1+x)
3
–

máy tính bỏ túi đạt hiệu quả người giáo viên cần phải cung cấp thêm lượng kiến thức mới
phục vụ cho công tác giảng dạy học sinh giỏi đó là áp dụng công thức Hê-crông. Khi đó học
sinh áp dụng và sử dụng được công thức này sẽ làm tăng hiệu quả của bài thi, kết quả sẽ cao
hơn. Sau đây là một số bài có thể áp dụng công thức Hê-crông.
Bài 1:
Cho tam giác ABC có: BC=a=8,751 cm; AC=b=6,318 cm; AB=c=7,624 cm.
Tính chiều cao AH =h
a
Diện tích
ABC∆
.
Bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Giải:
Sử dụng công thức Hê-crông. Ta có:
( ) ( ) ( )
S p p a p b p c= − − −
Tính diện tích tam giác chỉ dựa vào đô dài 3 cạnh mà không cần tính chiều cao).
Bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác.

S
r
p
=
a b c
S a.h b.h c.h= = =
Suy ra:
a
2S
h
a

sin A sin B sin C
a b c
R
= = =
Từ đó suy ra:
2
sin C
R
=
(đối với bài này)
Bài 3
Một tam giác có chu vi là 49,49 cm , các cạnh tỉ lệ với 20, 21, 29. Tính khoảng
cách từ giao điểm với 3 phân giác đều cạnh của tam giác.
Giải:
Hội đồng bộ môn Tóan THCS Thanh Mỹ
10
Gọi độ dài 3 cạnh của tam giác là a,b,c, ta có:
a b c a b c 49,49
20 21 29 20 21 29 70
+ +
= = = =
+ +
Từ đó suy ra a,b,c.
Khoảng cách từ giao điểm 3 phân giác (tâm đường tròn nội tiếp) đến mỗi cạnh của
tam giác chính là bán kính r của đường tròn nội tiếp, ta có:
( ) ( ) ( )
S p p a p b p c p.r= − − − =
Suy ra
( ) ( ) ( )
p p a p b p c

b) Tính gần đúng diện tích tam giác ABC.
Giải:
a./ Từ dính l hàm số cô sin.
µ
2 2 2
c a b 2ab.cos C= + −
µ
2 2 2
a b c
cosC
2ab
+ −
⇒ =
;
µ
C ?⇒ =
b./ Áp dụng
µ
ABC
1
S a.b.sin C
2
∆
=
Bài 6)
Cho tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp R=7,268 cm,
µ
0 '
B 48 36=
,

99
b) 14
1414
c) 4
567
Lời giải
a) Trước hết, ta tìm số dư của phép chia 99 cho 4 :
9
9
- 1 = (9 - 1)(9
8
+ 9
7
+ … + 9 + 1) chia hết cho 4
=> 99 = 4k + 1 (k thuộc N) => 7
99
= 7
4k + 1
= 7
4k
.7
Do 7
4k
có chữ số tận cùng là 1 (theo tính chất 1c) => 7
99
có chữ số tận cùng là 7.
b) Dễ thấy 14
14
= 4k (k thuộc N) => theo tính chất 1d thì 14
1414

+ 4
9
+ … + 2004
8009
.
Lời giải :
Nhận xét : Mọi lũy thừa trong S đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 1 (các lũy thừa
đều có dạng n
4(n - 2) + 1
, n thuộc {2, 3, …, 2004}).
Theo tính chất 2, mọi lũy thừa trong S và các cơ số tương ứng đều có chữ số tận
cùng giống nhau, bằng chữ số tận cùng của tổng :
(2 + 3 + … + 9) + 199.(1 + 2 + … + 9) + 1 + 2 + 3 + 4 = 200(1 + 2 + … + 9) + 9 =
9009.
Vậy chữ số tận cùng của tổng S là 9.
Từ tính chất 1 tiếp tục => tính chất 3.
Tính chất 3 :
a) Số có chữ số tận cùng là 3 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận
cùng là 7 ; số có chữ số tận cùng là 7 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận
cùng là 3.
b) Số có chữ số tận cùng là 2 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận
cùng là 8 ; số có chữ số tận cùng là 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận
cùng là 2.
Hội đồng bộ môn Tóan THCS Thanh Mỹ
12
c) Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ
không thay đổi chữ số tận cùng.
Bài toán 3 : Tìm chữ số tận cùng của tổng T = 2
3
+ 3

.
Lời giải : 1995
2000
tận cùng bởi chữ số 5 nên chia hết cho 5. Vì vậy, ta đặt vấn đề là
liệu n
2
+ n + 1 có chia hết cho 5 không ?
Ta có n
2
+ n = n(n + 1), là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên chữ số tận cùng của
n
2
+ n chỉ có thể là 0 ; 2 ; 6 => n
2
+ n + 1 chỉ có thể tận cùng là 1 ; 3 ; 7 => n
2
+ n + 1 không
chia hết cho 5.
Vậy không tồn tại số tự nhiên n sao cho n
2
+ n + 1 chia hết cho 1995
2000
.
Sử dụng tính chất “một số chính phương chỉ có thể tận cùng bởi các chữ số 0 ; 1 ;
4 ; 5 ; 6 ; 9”, ta có thể giải được bài toán sau :
Bài toán 5 : Chứng minh rằng các tổng sau không thể là số chính phương :
a) M = 19
k
+ 5
k

7
+ 4
11
+ … + 2003
8007
cho 5
Bài 2 : Tìm chữ số tận cùng của X, Y :
X = 2
2
+ 3
6
+ 4
10
+ … + 2004
8010

Y = 2
8
+ 3
12
+ 4
16
+ … + 2004
8016

Bài 3 : Chứng minh rằng chữ số tận cùng của hai tổng sau giống nhau :
U = 2
1
+ 3
5

nhiên x thì thay vào đó ta đi tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên y (nhỏ hơn).
Rõ ràng số y càng nhỏ thì việc tìm các chữ số tận cùng của y càng đơn giản hơn.
Từ nhận xét trên, ta đề xuất phương pháp tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên x
= a
m
như sau :
Trường hợp 1 : Nếu a chẵn thì x = a
m
∶ 2
m
. Gọi n là số tự nhiên sao cho a
n - 1
∶ 25.
Viết m = p
n
+ q (p ; q Є N), trong đó q là số nhỏ nhất để a
q
∶ 4 ta có :
x = a
m
= a
q
(a
pn
- 1) + a
q
.
Vì a
n - 1
∶ 25 => a

cũng chính là hai chữ số tận cùng của a
v
. Tiếp theo,
ta tìm hai chữ số tận cùng của a
v
.
Trong cả hai trường hợp trên, chìa khóa để giải được bài toán là chúng ta phải tìm
được số tự nhiên n. Nếu n càng nhỏ thì q và v càng nhỏ nên sẽ dễ dàng tìm hai chữ số tận
cùng của a
q
và a
v
.
Bài toán 7 :
Tìm hai chữ số tận cùng của các số :
a) a
2003
b) 7
99

Lời giải : a) Do 2
2003
là số chẵn, theo trường hợp 1, ta tìm số tự nhiên n nhỏ nhất
sao cho 2
n
- 1 ∶ 25.
Ta có 2
10
= 1024 => 2
10

2003
là 08.
b) Do 7
99
là số lẻ, theo trường hợp 2, ta tìm số tự nhiên n bé nhất sao cho 7
n
- 1 ∶
100.
Ta có 7
4
= 2401 => 74 - 1 ∶ 100.
Mặt khác : 9
9
- 1 ∶ 4 => 9
9
= 4k + 1 (k Є N)
Vậy 7
99
= 7
4k + 1
= 7(7
4k
- 1) + 7 = 100q + 7 (q Є N) tận cùng bởi hai chữ số 07.
Bài toán 8 :
Tìm số dư của phép chia 3
517
cho 25.
Lời giải : Trước hết ta tìm hai chữ số tận cùng của 3
517
. Do số này lẻ nên theo

5
(3
20k
- 1) + 3
5
= 3
5
(3
20k
- 1) + 243, có hai
chữ số tận cùng là 43.
Vậy số dư của phép chia 3
517
cho 25 là 18.
Trong trường hợp số đã cho chia hết cho 4 thì ta có thể tìm theo cách gián tiếp.
Trước tiên, ta tìm số dư của phép chia số đó cho 25, từ đó suy ra các khả năng của
hai chữ số tận cùng. Cuối cùng, dựa vào giả thiết chia hết cho 4 để chọn giá trị đúng.
Các thí dụ trên cho thấy rằng, nếu a = 2 hoặc a = 3 thì n = 20 ; nếu a = 7 thì n = 4.
Hội đồng bộ môn Tóan THCS Thanh Mỹ
14
Một câu hỏi đặt ra là : Nếu a bất kì thì n nhỏ nhất là bao nhiêu ? Ta có tính chất sau
đây (bạn đọc tự chứng minh).
Tính chất 4 : Nếu a Є N và (a, 5) = 1 thì a
20
- 1 ∶ 25.
Bài toán 9 : Tìm hai chữ số tận cùng của các tổng :
a) S
1
= 1
2002

(a
100
- 1) ∶ 100.
Do đó S
1
= 1
2002
+ 2
2
(2
2000
- 1) + + 2004
2
(2004
2000
- 1) + 2
2
+ 3
2
+ + 2004
2
.
Vì thế hai chữ số tận cùng của tổng S
1
cũng chính là hai chữ số tận cùng của tổng
1
2
+ 2
2
+ 3

2000
- 1) + + 2004
3
(2004
2000
- 1)
+ 2
3
+ 3
3
+ 2004
3
. Vì thế, hai chữ số tận cùng của tổng S
2
cũng chính là hai chữ số tận cùng
của 1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ + 2004
3
.
áp dụng công thức :
=> 1
3
+ 2
3
+ + 2004

(7
4k
- 1) + 7
r
+ 2.
Vậy hai chữ số tận cùng của 7
n
+ 2 cũng chính là hai chữ số tận cùng của 7
r
+ 2 (r =
0, 2, 3) nên chỉ có thể là 03, 51, 45. Theo tính chất 5 thì rõ ràng 7
n
+ 2 không thể là số chính
phương khi n không chia hết cho 4.
DẠNG 3: TÌM BA CHỮ SỐ TẬN CÙNG
Hội đồng bộ môn Tóan THCS Thanh Mỹ
15
Nhận xét : Tương tự như trường hợp tìm hai chữ số tận cùng, việc tìm ba chữ số
tận cùng của số tự nhiên x chính là việc tìm số dư của phép chia x cho 1000.
Nếu x = 1000k + y, trong đó k ; y Є N thì ba chữ số tận cùng của x cũng chính là ba
chữ số tận cùng của y (y ≤ x).
Do 1000 = 8 x 125 mà (8, 125) = 1 nên ta đề xuất phương pháp tìm ba chữ số tận
cùng của số tự nhiên x = a
m
như sau :
Trường hợp 1 : Nếu a chẵn thì x = a
m
chia hết cho 2
m
. Gọi n là số tự nhiên sao cho

q
. Tiếp theo,
ta tìm ba chữ số tận cùng của a
q
.
Trường hợp 2 : Nếu a lẻ , gọi n là số tự nhiên sao cho a
n
- 1 chia hết cho 1000.
Viết m = u
n
+ v (u ; v Є N, 0 ≤ v < n) ta có :
x = a
m
= a
v
(a
un
- 1) + a
v
.
Vì a
n
- 1 chia hết cho 1000 => a
un
- 1 chia hết cho 1000.
Vậy ba chữ số tận cùng của a
m
cũng chính là ba chữ số tận cùng của a
v
. Tiếp theo,

- 1 = (a
20
- 1)( a
80
+ a
60
+ a
40
+ a
20
+ 1) chia hết cho 125.
Bài toán 11 :
Tìm ba chữ số tận cùng của 123
101
.
Lời giải : Theo tính chất 6, do (123, 5) = 1 => 123
100
- 1 chia hết cho 125 (1).
Mặt khác :
123
100
- 1 = (123
25
- 1)(123
25
+ 1)(123
50
+ 1) => 123
100
- 1 chia hết cho 8 (2).

= 9
99
(9
100p
- 1) + 9
99
= 1000q + 9
99
(p, q Є N).
Vậy ba chữ số tận cùng của 3
399 98
cũng chính là ba chữ số tận cùng của 9
99
.
Lại vì 9
100
- 1 chia hết cho 1000 => ba chữ số tận cùng của 9
100
là 001 mà 9
99
= 9
100
:
9 => ba chữ số tận cùng của 9
99
là 889 (dễ kiểm tra chữ số tận cùng của 9
99
là 9, sau đó dựa
vào phép nhân để xác định ).
Vậy ba chữ số tận cùng của 3

Sau đây là một số bài tập vận dụng :
Bài 1 : Chứng minh 1
n
+ 2
n
+ 3
n
+ 4
n
chia hết cho 5 khi và chỉ khi n không chia hết
cho 4.
Bài 2 : Chứng minh 9
20002003
, 7
20002003
có chữ số tận cùng giống nhau.
Bài 3 : Tìm hai chữ số tận cùng của :
a) 3
999
b) 11
1213

Bài 4 : Tìm hai chữ số tận cùng của :
S = 2
3
+ 2
23
+ + 2
40023


không hiểu tí gì về công thức này dẩn đến khi gặp một thay đổi nhỏ trên đề bài học sinh
không thể áp dụng công thức đã học để giải quyết bài toán.
- Các bài toán về ngân hàng hay có tên gọi chung là Toán kinh tế là một trong
những dạng toán có sự biến hóa nhiều nhất trong đề thi MTCT những năm gần đây, một
trong những dạng đó là bài toán về “hao mòn” một dạng của toán kinh tế.
II. Nội dung thực hiện:
1 Giới thiệu bài toán “hao mòn”
2 Hướng dẫn học sinh cách giải bài toán “hao mòn” và các dạng của nó
III. Biện Pháp thực hiện:
1. Giới thiệu bài toán “hao mòn”
Một người sử dụng xe có giá trị ban đầu là 10 triệu. Sau mỗi năm, giá trị xe giảm
10% so với năm trước đó.
a) Tính giá trị còn lại của xe sau 5 năm
b) Tính số năm để giá trị của xe nhỏ hơn 3 triệu.
c) Tìm tỉ lệ “hao mòn” của xe. Biết sau 4 năm giá trị của xe còn khoảng 7163000
đồng. (làm tròn hai số thập phân)
2. Hướng dẫn học sinh cách giải bài toán “hao mòn” và các dạng của nó:
Học sinh không thể áp dụng các công thức đã học ở các bài toán kinh tế trước như:
- Công thức tính lãi kép:
( )
n
A a 1 r= +
- Công thức tính tăng trưởng đột biến:
( ) ( )
n
a 1 r 1 r 1
A
r
é ù
+ + -

a) Giá trị còn lại của xe sau 5 năm là:
Hội đồng bộ môn Tóan THCS Thanh Mỹ
18
( ) ( )
5 5
5
A a. 1 r 10000000. 1 0,1 5904900= - = - =
(đồng)
Đối với câu b, với yêu cầu là tìm được số năm để giá trị của xe nhỏ hơn 3 triệu (A
n
= 30000000 đồng), giáo viên hướng dẫn học sinh tìm theo các bước sau: (giáo viên chỉ giải
thích ngắn gọn về lnN và công thức
m
ln N m.ln N=
, vì đây là kiến thức lớp 12 học sinh chỉ
cần áp dụng chứ không cần hiểu sâu)
( )
( )
( )
( )
( )
n
n
n
n
n
n
n
n
n

= = = »
- -
(năm)
Vậy sau 12 năm giá trị của xe sẽ nhỏ hơn 3 triệu
Giáo viên hướng dẫn học sinh cách biến đổi công thức để tìm tỉ lệ “hao mòn” như
sau:
( )
( )
( )
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
A a 1 r
A
1 r
a
A
1 r
a
A
1 r

15 1
1
17
1
1
a
b
=
+
+
trong đó a,b là các số dương. Tính a,b?
Giải:
Ta có:
15 1 1 1 1
17 2 1 1
17
1 1 1
15 1
15 15
7
2 2
= = = =
+ + +
+
. Vậy a = 7, b = 2.
Ví dụ 2: Tính giá trị của
1
A 1
1
2

+ +
+ +
+
Bài 2:
Tìm các số tự nhiên a,b biết:
329 1
1
1051
3
1
5
1
a
b
=
+
+
+
Bài 3: Tìm giá trị x của các phương trình sau:
x x
4
1 1
1 4
1 1
2 3
1 1
3 2
4 2
+ =
+ +

+ +
+ +
+ +
Bài 6:
Biết
2003 1
7
1
273
2
1
1
1
a
b
c
d
= +
+
+
+
+
. Tìm các số a, b, c, d.
Bài 7:
Tìm giá trị của x, y. Viết dưới dạng phân số từ các phương trình sau:
a)
4
1 1
1 4
1 1

+
, B =
1
1
4
1
3
1
2
2
+
+
+

Ta có 4 + Ax = Bx. Suy ra
4
x
B A
=
−
.
Kết quả
844 12556
8
1459 1459
x = − = −
. (Tương tự y =
24
29
)

+
+
+
+
Lập quy trình ấn liên tục trên fx – 570MS, 570ES.
381978 : 382007 = 0.999924085
Ấn tiếp phím x
-1
x 3 – 8 và ấn 9 lần dấu =. Ta được:

1
1
Ans
x
=
+
. Tiếp tục ấn Ans x
-1
– 1 =
Hội đồng bộ môn Tóan THCS Thanh Mỹ
21
Kết quả : x = -1,11963298 hoặc
17457609083367
15592260478921
 
 ÷
 
Dạng 2: SỐ CHÍNH PHƯƠNG
. VD1: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất n sao cho 2
8

= 215590489
ĐS: 9048
Bài tập tương tự:
1/ : Tìm các số tự nhiên
n
sao cho
2
16 2011n n+ +
là một số chính phương
2/ Tìm tất cả các số nguyên dương x sao cho x
3
+ x
2
+ 2025 là một số chính phương
nhỏ hơn 10000
3/ . Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho 2
16
+ 2
19
+ 2
n
là một số chính phương.
4/. Tìm tất cả các số nguyên dương x sao cho x
3
+ x
2
+2009 là một số chính phương
nhỏ hơn 10000.
5/. Tìm số tự nhiên n, ( 1120
≤

3 1
x x x
x
+ − +
−
là số nguyên thì 3x – 1 là ứơc của 2013
=> 3x – 1 = 1; 3; 11; 61; 33; 183; 671; 2013 => x = 4; 224
VD2: Tìm số lớn nhất và số nhỏ nhất của số
2 3y4 5x z
chia hết cho 25
Giải:
- Số lớn nhất
2 3y4 5x z
chia hết cho 25 sẽ phải là 29394z5
Lần lượt thử z = 9; 8; ….; 0
Vậy số lớn nhất chia hết cho 25 là 2939475
- Số nhỏ nhất
2 3y4 5x z
chia hết cho 25 sẽ phải là 20304z5
Lần lượt thử z = 0; 1; 2;….; 9
Vậy số nhất chia hết cho 25 là 2030425:
VD3:
Hội đồng bộ môn Tóan THCS Thanh Mỹ
22
Tìm số tự nhiên N nhỏ nhất và số tự nhiên M lớn nhất gồm 12 chữ số, biết rằng
M và N chia cho số 1256; 3568 và 4184 đều cho số dư là 973
Giải:
Tìm BCNN(1256;3568;4184) = 292972048
BC (1256;3568;4184) = B(292972048)
Ta chọn ttrong các bội số số nào có 12 chữ số nhỏ nhất là 878916144000 + 973 và

469 8386196505a
chia hết cho 2005
7/ Tìm số lớn nhất và số nhỏ nhất trong các số tự nhiên có dạng
1 2y3 4x z
chia hết
cho 13
8/ Tìm số nguyên dương nhỏ nhất thỏa : chia cho dư 1; chia 3 dư 2; chia 4 dư 3;
chia 5 dư 4; chia 6 dư 5; chia 7 dư 6 chia 8 du 7 chia 9 dư 8 chia 10 dư 9
9/ Một số có 4 chữ số vừa chia hết cho 9 vừa chia hết cho 5, trong đó chữ số hàng
nghìn bằng ¼ chữ số hàng trăm, chữ số hàng trăm bằng ½ chữ số hàng chục. Tìm số đó
10/ Tìm a để569282610a3336 chia hết cho 2006
11/ Tìm tất cả các giá trị của số tự nhiên x để biểu thức
2
2 14
1
n n
n
+ +
−
là một số
nguyên
Dạng 4: MỘT SỐ DẠNG KHÁC
Bài 1:
Tìm tất cả các số có 3 chữ số khi bình phương sẽ có tận cùng là 3 chữ số 4
Giải:
Đặt:
abc
là số cần tìm ( a, b, c là các số tự nhiên; a khác 0 )
Ta có:
( )

.100 .10 22( )
78 12 21
26 4 7
abc a b c a b c
a b c
a b c
= + + = + +
=> = +
=> = +
Do vế trái chẳn nên c = 0; 2; 4; 6 ; 8
* c = 0 => 13a = 2b ( vô lí )
* c= 2 => 13a = 2b + 7
Vế phải lẻ => a = 1; 3; 5; 7; 9
+ a= 1 => 13 = 2b +7 => b = 3 . Vậy số cần tìm là: 132
+ a = 3 => 39 = 2b + 7 => b = 16 ( vô lí )
=> a = 5; 7; 9 loại
*c = 4 => 13a = 2b + 14
Vế phải chẳn => a = 0; 2; 4; 6; 8
+a=0=> 0 = 2b+14 => b = -7 (loại)
+ a = 2 => 26 = 2b +14 => b = 6 ( nhận ) . Vậy số cần tìm là: 462
+ a = 4 => 52 = 2b +14 => b =19 ( loại) => a = 6; 8 ( loại)
* c = 6 => 13a = 2b + 21
Phải lè => a = 1; 3; 5; 7; 9
+ a = 1 => 13 = 2b + 21 => b = -4 ( loại)
+ a = 3 => 39 = 2b +21 => b = 9 ( nhận ) .Vậy số cần tìm là: 396
Do b= 9 lớn nhất nên trường hợp a = 5;7;9 loại
* c = 8 => 13a = 2b + 28
Phải chẳn nên a = 0; 2; 4; 6; 8. Tất cả các giá trị a khi tìm b đều loại
ĐS: 132 ; 264 ; 396
Bài 3:

⇔ < <
=> =
Mà
( )
4
g g=
nên g = 0; 1; 5; 6
Do đó số cần tìm là : 45 ; 46
Bài 4:
Tìm GTNN của a và b biết
a a a b=
Giải:
Ta có
a a a b=
=> a
7
= b
8
=> a = 2
8
= 256; b = 2
7
= 128
Bài 5:
Hội đồng bộ môn Tóan THCS Thanh Mỹ
24
Người ta chia một số gồm 4 chữ số giống nhau cho một số gốm 3 chữ số giống nhau
được thương 16 và số dư r. Nếu ta bớt số bị chia và số chia 1 chữ số thì thuơng và số dư đều
không thay đổi. Hãy tìm số bị chia, số chia và số dư trong phép chia đầu tiên
Giải: