Gv: Nguyễn Đức Công BDHSG môn CASIO
MỤC LỤC
M C L CỤ Ụ 1
HƯ NG D N S D NG MÁY T NH C M TAYỚ Ẫ Ử Ụ Í Ầ 2
Ch 1 - Bu i 1. T NH GIÁ TR BI U TH C I Sủ đề ổ Í Ị Ể Ứ ĐẠ Ố 7
Ch 1 - Bu i 2. T NH GIÁ TR BI U TH C I Sủ đề ổ Í Ị Ể Ứ ĐẠ Ố 8
Ch 1 - Bu i 3. T NH GIÁ TR BI U TH C I Sủ đề ổ Í Ị Ể Ứ ĐẠ Ố 10
Ch 1 - Bu i 4. T NH GIÁ TR BI U TH C I Sủ đề ổ Í Ị Ể Ứ ĐẠ Ố 11
Ch 2. D NG TOÁN LIÊN PHÂN Sủ đề Ạ Ố 13
Ch 3 - Bu i 1 . D NG TOÁN V A TH Củ đề ổ Ạ Ề Đ Ứ 17
Ch 3 - Bu i 2. D NG TOÁN V A TH Củ đề ổ Ạ Ề Đ Ứ 22
Ch 3 - Bu i 3. D NG TOÁN V A TH Củ đề ổ Ạ Ề Đ Ứ 24
Ch 4 - Bu i 1. D NG TOÁN TÌM C VÀ B Iủ đề ổ Ạ ƯỚ Ộ 26
Ch 4 - Bu i 2. D NG TOÁN TÌM C VÀ B Iủ đề ổ Ạ ƯỚ Ộ 29
Ch 5 - Bu i 1. D NG TOÁN PH NG TRÌNHủ đề ổ Ạ ƯƠ 31
Ch 6 - Bu i 1. D ng toán tìm ch s th p phân th n sau d u ph y c a m t s th p ủ đề ổ ạ ữ ố ậ ứ ấ ẩ ủ ộ ố ậ
phân vô h n tu n ho nạ ầ à 33
Ch 7 - Bu i 1. D NG TOÁN DÃY TRUY H Iủ đề ổ Ạ Ồ 35
Ch 8 - Bu i 1. D NG TOÁN NGÂN HÀNG VÀ DÂN Sủ đề ổ Ạ Ố 39
Ch 9 - Bu i 1. M T VÀI THU T TOÁN C B Nủ đề ổ Ộ Ậ Ơ Ả 40
PH L CỤ Ụ 51
Chương 1: 51
GIẢI NHANH CÁC DẠNG BÀI TOÁN LỚP 6 BẰNG MÁY TÍNH CASIO FX 51
Chương 2: 54
GIẢI NHANH CÁC DẠNG BÀI TOÁN LỚP 7 BẰNG MÁY TÍNH CASIO FX 54
Chương 3: 56
GIẢI NHANH CÁC DẠNG BÀI TOÁN LỚP 8 BẰNG MÁY TÍNH CASIO FX 56
Chương 4: 61
GIẢI NHANH CÁC DẠNG BÀI TOÁN LỚP 9 BẰNG MÁY TÍNH CASIO FX 61
Trang 1
Gv: Nguyễn Đức Công BDHSG môn CASIO

Các phép tính cộng, trừ, nhân, chia.
AC
Xoá hết
DEL
Xoá kí tự vừa nhập.
( )
−
Dấu trừ của số âm.
CLR
Xoá màn hình.
1.2 Phím Nhớ:
Phím Chức Năng
RCL
Gọi số ghi trong ô nhớ
STO
Gán (Ghi) số vào ô nhớ
A

B

C

D
E

F

X

Y

π
,,,o

,,,
uuus
o
Nhập hoặc đọc độ; phút; giây
DRG >
Chuyển đơn vị giữa độ , rađian, grad
Rnd
Làm tròn giá trị.
nCr
Tính tổ hợp chập r của n
nPr
Tính chỉnh hợp chập r của n
1.4 Phím Hàm :
Phím Chức Năng
sin

cos

tan
Tính TSLG: Sin ; cosin; tang
1
sin
−

1
cos
−

Số nghịch đảo
∧
Số mũ.
!x
Giai thừa
%
Phẩn trăm
Abs
Giá trị tuyệt đối
/ab c
;
/d c
Nhập hoặc đọc phân số, hỗn số ;
Đổi phân số ra số thập phân, hỗn số.
CALC
Tính giá trị của hàm số.
/d dx
Tính giá trị đạo hàm
.
Dấu ngăn cách giữa hàm số và đối số hoặc đối số và các cận.
dx
∫
Tính tích phân.
ENG
Chuyển sang dạng a *
n
10
với n giảm.
ENG
uuuuus

Gọi
x
;
n
δ
n
Tổng tần số
x
;
n
δ
Số trung bình; Độ lệch chuẩn.
x
∑
Tổng các số liệu
2
x
∑
Tổng bình phơng các số liệu.
2. Một số kiến thức cần thiết về máy tính điện tử
- Mỗi một phím có một số chức năng. Muốn lấy chức năng của chữ ghi màu vàng thì phải ấn phím
SHIFT

rồi ấn phím đó. Muốn lấy chức năng của phím ghi chữ màu đỏ thì phải ấn phím
ALPHA
trớc khi ấn phím đó.
- Các phím nhớ:
A B C D E F X Y M
(chữ màu đỏ)
- Để gán một giá trị nào đó vào một phím nhớ đã nêu ở trên ta ấn nh sau:

+ =
(Máy lấy 34 trong
A
cộng với 24 trong
C
đợc kết quả là 58).
- Phím lặp lại một quy trình nào đó:
∆
=
đối với máy tính Casio fx - 500
- Ô nhớ tạm thời:
Ans
*) Ví dụ: Bấm 8
=
thì số 8 đợc gán vào trong ô nhớ
Ans
. Bấm tiếp: 5
6
× +
Ans
=
(kết quả là 38)
- Giải thích: Máy lấy 5 nhân với 6 rồi cộng với 8 trong
Ans
*) Công dụng của phím SOLVE
Nếu sử dụng máy fx570MS các bạn đều biết nó có phím SOLVE là đặc tính hơn hẳn so với máy fx500MS, vậy công
dụng của nó là gì?
Đó chính là lệnh để máy tính tìm 1 nghiệm gần đúng của một phương trình 1 ẩn bât kỳ nào đó dựa vào số đầu mà
ta nhập vào.
Nhập vào phương trình ta có thể dùng phím dấu = màu đỏ hoặc không cần thì máy sẽ tự hiểu là bằng 0

Những biến dạng của phương trình bậc nhất 1 ẩn:
Đó là những dạng phân thức chứa biến.
Ví dụ: Giải phương trình
Nếu để nguyên phương trình như vậy nhập vào máy thì máy sẽ giải khó và lâu, đôi khi không ra nghiệm (Can't
Solve), vì vậy trong khi nhập hãy ngầm chuyển mẫu thức sang một vế, nhập như sau:
Rồi mới SOLVE thì máy sẽ giải dễ dàng ra kết quả 47/37
Sử dụng SOLVE để giải phương trình bậc cao một ẩn bậc cao.
Lưu ý đối với phương trình bậc cao chỉ giải được một số phương trình ra dạng căn thức đối với MTBT.
Phương pháp này chủ yếu áp dụng cho phương trình bậc 4 phân tích ra được 2 biểu thức bậc 2. Có thể dùng
phương pháp Ferrari để giải phương trình bậc 4 nhưng phương pháp có thể lâu hơn dùng MTBT.
Đối với những phương trình bậc 4 đơn giản, tức là dùng lệnh SOLVE ta tìm ra được nghiệm dạng số nguyên hay
hữu tỉ thì thật dễ dàng cho bước tiếp theo, vì chỉ cần tách ra ta sẽ được phương trình bậc 3 rồi dùng chương trình
cài sẵn trong máy giải tiếp.
Đối với những phương trình máy tính chỉ tìm ra được dạng vô tỉ thì ta sử dụng định lý Viet đảo để tìm cách phân
Trang 5
Gv: Nguyễn Đức Công BDHSG môn CASIO
tích của nó.
Ví dụ: giải phương trình:
Dùng máy tính ta nhập vào phương trình, sau đó dùng SOLVE để giải, điều quan trọn của phương pháp này là ta
phải biết đổi số đầu cho phù hợp để tìm ra càng nhiều ngiệm càng tốt.
Như phương trình trên, ta ấn CALC rồi nhập các số đầu sau đây để xem sự biến thiên của hàm số ra sao sau đó
mới dùng lệnh SOLVE:
giả sử ban đầu nhập 0, kết quả 10
tiếp theo nhập 1, kết quả -6
như vậy có một nghiệm nằm trong (0;1)
ta chia đôi và thử với 0,5, kết quả 5,75>0
vậy nghiệm nằm trong (0,5;1)
tiếp tục chia đôi, ta nhập 0,75, kết quả 0,7421875
khi kết quả đã xuất hiện số 0 ngay phần nguyên thì chứng tỏ số đầu của ta khá gần nghiệm, và đến lúc này có thể
cho máy tự giải.

Đối với bài toán này giáo viên nên cho học sinh phân tích thứ tự thực hiện các phép tính và sử dụng các dấu
ngoặc để viết lại phép tính như sau
( )
1 9 7 1 1 1 1 69
2: : 3,5: .0,5. 100: 1: 1 . : 7
9 10 2 5 2 4 0,25 1 2,2.10
A
  
 
 
 
 
= − + + + −
 
 
 ÷
 
 ÷ ÷
+
 
 
 
 
   
Cho học sinh phân tích thêm một số cách làm khác ví dụ như tách A thành nhiều biểu thức nhỏ chẳng hạn
1 9 1
2: :
9 10 2
A B C= − + +
Khi học sinh đã hiểu được thứ tự các phép tính trong biểu thức rồi thì giáo viên cho các em viết quy trình

)5,2:15,0(:09,04,0:3
×−
+
+−−+×
−
Bài 4: Tính và làm tròn đến 5 chữ số thập phân:
D =






−






×+






×−×
2
1




×
+
×
++
×
+
×
+
×
Bài 6: Tính:
5
3
:
2
1
5
6
17
1
2)
4
1
3
9
5
6(
35

- Giải các bài tập sau:
Bài 7 : Tính:
M = 182
80808080
91919191
343
1
49
1
7
1
1
27
2
9
2
3
2
2
:
343
4
49
4
7
4
4
27
1
9

23
3
3
611
10
243
10
23
10
10
:
113
11
89
11
17
11
11
113
5
89
5
17
5
5
129
187
×








−
×−
+
+×
−
D =
( )
[ ]
125,0:
4
1
1 )8333,125,0:
5
1
136:2,1(
8,12
1
8999,95,6:3567
×−+
×+××
Bài 10: a) Tìm x biết:
13010137,0:81,17
20
1
62:





×






+
×






−
−
×






−


5
1
1
2
1
2:
66
5
11
2
44
13
y
7,14:51,4825,02,15
Bài 11: Tính giá trị của x từ các phương trình sau:
a)






−=






×+×−×

2:
4
3
15,32,15
2
1
3
7
4
:8,125,1x
5
4
7
3
15,0
b)
( )
( )
[ ]
( )
)15,32,1(:
2
1
3
17
12
:75,03,05,0:
5
3
7

3
5
2
217
3
1
110
17
6
55
7
8






−
×






−
b) Tìm x biết:
14
1

; D =
260
89
39
Bài 10: x
≈
6, 000 172 424
y = 25
Bài 11: a) x
≈
-903, 4765135
b) x
≈
-1, 39360764
Bài 12: a) C = 200
b) x = - 20,384
IV. Hướng dẫn về nhà
- Giải các bài tập sau:
Bài 13: Tính giá trị của biểu thức và viết kết quả dưới dạng phân số::
A =






++






+×
121
3
2:
11
2
3
4
3
1
7
5
1:12
C =
99
8
194
11
60
25,0
9
5
75,1
3
10
11
12
7

d) D = 0,3(4) + 1,(62) : 14
11
90
:
)5(8,0
3
1
2
1
11
7
+
−
Trang 9
Gv: Nguyễn Đức Công BDHSG môn CASIO
Chủ đề 1 - Buổi 3. TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC ĐẠI SỐ
Ví dụ. Tính
5 13 5 13 X
= + + +
trong đó các dấu chấm có nghĩa là lặp đi lặp lại cách viết căn thức
có chứa 5 và 13 một cách vô hạn
Đối với bài toán này, nếu chúng ta dùng kiến thức toán học để biến đổi thì cũng tìm được đáp số nhưng
mất rất nhiều thời gian. Ta cần phân tích cho học sinh thấy bài toán này có quy luật sau:
Ta phải tính từ trong ra ngoài. Giả sử ở dấu căn thứ n nào đó ta kết quả là a
1
thì ở dấu căn thứ n+1 sẽ có
kết quả là
1
5 a
+

Bấm dấu bằng liên tục (vì có vô hạn căn thức) ta có kết quả như sau
Nếu là
13 Ans
+
thì ta được kết quả là 4.Nếu là
5 Ans
+
thì ta được kết quả là 3. Vì biểu thức X ở
đây bắt đầu là 5 nên ta lấy kết quả là X=3
Bài 14: Tính giá trị của biểu thức sau:
[ ]
3
4
:
3
1
1
5
2
25
33
:
3
1
3:)2(,0)5(,0






1
64,0
25,1
5
4
:8,0
×+
×






−






−
+
−







−
×






−
Bài 16: Tính:
A =
1989198819851983
1987)339721986()19921986(
22
×××
×−+×−
B = (649
2
+ 13
×
180)
2
– 13
×
(2
×
649
×
180)
Bài 17: Tính:

Gv: Nguyễn Đức Công BDHSG môn CASIO
c) z =
5
17
73
35,712
13,816
×π
Bài 19:
a) Tính: T =
24
3
32
51,723,5
)14,275,3(213,2
−
+π
b) Tìm x biết:
2
2
)713,0(
4
3
2
162,0x
1
−=
+
*) Kết quả:
Bài 14 : -

33
549549
21217
223
21217
223
−+++
+
+
−
−
−
Bài 21: Tính
a) B = 3
33
33
3
2520245
+−−−
b) C =
3
3
3
3
3
3
26
21
18
21

9
8
7
6
5
4
3
23456789
c) C = 7 -
7
1
6
2
5
3
4
4
3
5
2
6
+−+−+
*) Kết quả:
Bài 20: A = 5 Bài 21: a) B = 0 b) C = 8 c) D = 1,911639216
d) E = 0,615121481
Bài 22: a) A = - 0,313231759 b) B = 1,319968633 c) C = 4,547219337
*******************************
Chủ đề 1 - Buổi 4. TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC ĐẠI SỐ
Trang 11
Gv: Nguyễn Đức Công BDHSG môn CASIO

Nhập toàn bộ phép tính
Lập quy trình truy hồi
X = X + 5 : A = A + Tag (5 + X)
Nhấn CALC
Nhập X = 0, A = Tag 5
0
Bấm liên tục đến khi X + 5 = 80
0
, ta sẽ được kết quả 34, 55620184
Bài 24: Cho sin x = 0,356 (0 < x < 90
0
)
Tính A = (5cos
3
x – 2sin
3
x + cos x) : (2cos x – sin
3
x + sin
2
x)
Hướng dẫn:
Tìm x sau đó tính giá trị biểu thức với x tìm được, có hai cách tìm x
+) Dùng SHIFT, CALC
+) Dùng SHIFT, SIN
Bài 25: Cho cos
2
x = 0,26 (0 < x < 90
0
)

= 0,5842 (0 < x <90
0
)
Tính D =
xcos1)xgcot1)(xtg1(
)xsin1(xcos)xcos1(xsin
322
33
+++
+++
- Giải tương tự bài tập 25
Bài 28: Cho biết tgx = tg33
0
tg34
0
tg35
0
… tg55
0
tg56
0
(0 < x < 90
0
)
Tính E =
xcosxsin)xcosxsin1(
)xsin1(xgcot)xcos1(xtg
33
3232
+++

Từ đó tìm được x và tính được giá trị biểu thức
Trang 12
Gv: Nguyễn Đức Công BDHSG môn CASIO
Bài 30 : Nêu một phương pháp(kết hợp giữa tính trên máy và giấy) tính chính xác số: 1038471
3

= ?
Hướng dẫn:
- Áp dụng hằng đẳng thức lập phương của tổng
(
)
3
3 3
3 9 2 6 3 2 3
1038471 1038.10 471
1038 .10 3.1038 .10 .471 3.1038.10 .471 471
1118386872000000000 1522428372000000 690812874000 104487111
= +
= + + +
= + + +
Cộng
trên giấy như sau:
1 1 1 8 3 8 6 8 7 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 5 2 2 4 2 8 3 7 2 0 0 0 0 0 0
+ 6 9 0 8 1 2 8 7 4 0 0 0
1 0 4 4 8 7 1 1 1
KQ: 1 1 1 9 9 0 9 9 9 1 2 8 9 3 6 1 1 1 1
Bài 31: Tìm kết quả chính xác của phép tính sau:
A = 12578963
×

3
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
+
+
+
+
+
Cách ấn phím và ý nghĩa của từng lần ấn như sau:
3
=
Nhớ 3 vào phím
Ans
1
+
1
b
c
a
Ans
=
Máy thực hiện phép tính

s
1
1
An
+
được kq là
7
4
1
nhớ vào
Ans

=
Máy thực hiện phép tính
s
1
1
An
+
được kq là
11
7
1
nhớ vào
Ans

=
Máy thực hiện phép tính
s
1

+
+
+
+
+
+
b)
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
−
+
−
+
−
+
c) d)

1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
+
+
+
+
+
+
+
+
*) Hướng dẫn:
Cách 1: Nhập toàn bộ liên phân số hoặc gán một phần của liên phân số nếu liên phân số ấy quá dài
mà máy tính không nhập được hết
Cách 2: Sử dụng nút nghịch đảo của một số
1
x
−
và tính từ dưới lên

+
+
+
Bài 3: Lập quy trình bấm phím tính giá trị liên phân số sau:
M =
292
1
1
1
15
1
7
1
3
+
+
+
+
- GV hướng dẫn chi tiết HS cách trình bày bài làm
Bài 4: Tính giá trị của biểu thức và viết dưới dạng phân số:
a) A =
5
1
4
1
3
1
2
20
+

1
5
1
3
1
1051
329
+
+
+
=
*) Hướng dẫn: Sử dụng nút nghịch đảo của một số
1
x
−
Bài 6: Tính giá trị của biểu thức và viết kết quả dưới dạng phân số:
a) A =
3
5
2
4
2
5
2
4
2
5
3
+
+

1
2
1
1
1
1
+
+
+
+
+
+
+
- GV hướng dẫn chi tiết HS cách trình bày bài làm
*) Kết quả các bài toán liên phân số
1a)
21
13
1
=
21
34
1b) 3
665
2241
665
246
=
1c) 1
516901

49
IV. Hướng dẫn về nhà
- Giải các bài tập sau:
Bài 8: Tính các tổng sau và cho kết quả dưới dạng phân số:
M =
5
1
4
1
3
1
2
1
2
1
3
1
4
1
5
1
+
+
+
+
+
+
+
b) N =
2

1
4
1
365
+
+
+
+
+
Dựa vào liên phân số này, người ta có thể tìm số năm nhuận. Thí dụ, dùng phân số
365 +
4
1
thí cứ 4 năm lại có một năm nhuận, còn nếu chính xác hơn, dùng liên phân số
29
7
365
7
1
4
1
365
=
+
+

thì cứ 29 năm sẽ có 7 năm nhuận.
Hãy tính giá trị (dưới dạng phân số) của các liên phân số sau:
Trang 16
Gv: Nguyễn Đức Công BDHSG môn CASIO

7
1
4
1
365
+
+
+
+
+
2) Kết luận (ngày càng chính xác hơn về số năm nhuận dựa theo các phân số nhận được) và so sánh với cách tính
cứ 4 năm lại có một năm nhuận.
*******************************
Chủ đề 3 - Buổi 1 . DẠNG TOÁN VỀ ĐA THỨC
I. Lí thuyết
- Định lí: Cho hai đa thức một biến f(x) và g(x)
0≠
. Bao giờ ta cũng tìm được hai đa thức q(x) và
r(x) sao cho:
f(x) = g(x).q(x) + r(x)
- Trong đó bậc của đa thức r(x) nhỏ hơn bậc của đa thức g(x)
+ f(x) : Đa thức bị chia
+ g(x) : Đa thức bị chia
+ q(x) : Đa thức thương, gọi tắt là thương
+ r(x) : Đa thức dư, gọi tắt là dư
- Nếu r(x) = 0, ta có phép chia hết
- Nếu r(x)
0≠
, ta có phép chia có dư
- Định lí Bê – du: Khi chia đa thức f(x) cho nhị thức x – a thì dư trong phép chia này là f(a)

Nghĩa là: Để tìm số dư của phép chia đa thức f(x) cho đa thức bậc nhất (x-a) ta chỉ việc tính giá
trị của đa thức tại a.
Trang 17
Gv: Nguyễn Đức Công BDHSG môn CASIO
Còn muốn tìm thương ta sử dụng sơ đồ hoocner với quy trình ấn như VD2 sau.
VD1:
Tím số dư của phép chia đa thức f(x) = x
14
-x
9
-x
5
+x
4
+x
2
+x-723 cho (x-1,624)
Cách làm:
1,624 → X
Nhập biểu thức x
14
-x
9
-x
5
+x
4
+x
2
+x-723 (chữ là X) rồi ấn

2
– 3x + 5, dư là -9
b. Phân tích đa thức f(x) thành nhân tử.
Cơ sở:
“Nếu tam thức bậc hai ax
2
+ bx + c có 2 nghiệm là x
1
, x
2
thì nó viết được dưới dạng ax
2
+ bx + c =
a(x-x
1
)(x-x
2
)”.
“Nếu đa thức f(x) = a
n
x
n
+ a
n-1
x
n-1
+ + a
1
x + a
0

Dùng chức năng giải phương trình bậc hai cài sẵn trong máy để tìm nghiệm của f(x) ta thấy
có 2 nghiệm là x
1
= 2; x
2
= -3.
Khi đó ta viết được: x
2
+ x - 6 = 1.(x-2)(x+3)
VD2: Phân tích đa thức f(x) = x
3
+3x
2
-13 x -15 thành nhân tử?
Dùng chức năng giải phương trình bậc 3 cài sẵn trong máy để tìm nghiệm của f(x) ta thấy có
3 nghiệm là x
1
= 3; x
2
= -5; x
3
= -1.
Khi đó ta viết được: x
3
+3x
2
-13 x -15 = 1.(x-3)(x+5)(x+1).
VD3: Phân tích đa thức f(x) = x
3
- 5x

c
a
Ghi -3
x
X
+
11
=
IFTSH
b
c
a
Ghi 5
x
X
+
10
−
=
IFTSH
b
c
a
Ghi 0
Khi đó ta có f(x) = (x-2)(x
2
- 3x + 5)
Tam thức bậc hai x
2
- 3x + 5 vô nghiệm nên không phân tích thành nhân tử được nữa.

±
10;
±
12;
±
15;
±
20;
±
30;
±
60}
Lập quy trình để kiểm tra xem số nào là nghiệm của đa thức:
Gán: -1 → X
Nhập vào máy đa thức:X
5
+ 5X
4
– 3X
3
–X
2
+58X -60 rồi ấn dấu
=
máy báo kq -112
Gán tiếp: -2 → X /
#
/
=
/ máy báo kq -108

x
X
−
1
=
IFTSH
b
c
a
Ghi 26
x
X
+
58
=
IFTSH
b
c
a
Ghi -20
x
X
−
60
=
IFTSH
b
c
a
Ghi 0

Nhập vào máy đa thức: x
4
+2x
3
-9x
2
+26x-20 rồi ấn dấu
=
máy báo kq -96
Gán tiếp: -2 → X /
#
/
=
/ máy báo kq -148
Gán tiếp: -4 → X /
#
/
=
/ máy báo kq -180
Gán tiếp: -5 → X /
#
/
=
/ máy báo kq 0
Do vậy ta biết x = -5 là một nghiệm của đa thức đã cho, nên f(x) chia hết cho (x+5). Khi đó
bài toán trớ về tìm thương của phép chia đa thức f(x) cho (x+5).
Quy trình:
-5 → X
1
x

a
Ghi -4
x
X
+
20
−
=
IFTSH
b
c
a
Ghi 0
Khi đó ta có g(x) = (x+5)(x
3
-3x
2
+6x-4)
* Tiếp tục dùng chức năng giải phương trình bậc 3 để tìm nghiệm nguyên của đa thức h(x) = x
3
-
3x
2
+6x-4
Kết quả, là đa thức h(x) có nghiệm là x = 1 nên chia h(x) cho (x-1) ta được:
h(x) = (x-1)(x
2
-2x+4)
Ta thấy đa thức (x
2

I. Bài tập:
Bài 1: Tính (làm tròn đến 4 chữ số thập phân)
Cho C =
5x
1xx3x2x3
245
+
+−+−
khi x = 1,8363
Hướng dẫn:
+ Gán 1,8368 là X
+ Nhập biểu thức C, di chuyển con trỏ vào biểu thức và ấn “=”
+ Nếu tính với giá trị khác ta dùng phím CALC là nhanh hơn cả
Bài 2: Cho P(x) = 3x
3
+ 17x – 625
Tính P(2
2
)
Tính a để P(x) + a
2
chia hết cho x + 3
Hướng dẫn:
P(x) + a
2
chia hết cho x + 3 ó P(-3) + a
2
= 0. Từ đó tìm được a
Bài 3:
Tính P(x) = 17x

Bài 5: Tìm phần dư của phép chia đa thức:
(2x
5
– 1,7x
4
+ 2,5x
3
– 4,8x
2
+ 9x – 1) : (x – 2,2)
Bài 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
x
4
+ 2x
3

– 13x
2
– 14x + 24 b) x
4
+ 2x
3
– 25x
2
– 26x + 120
20x
2
+ 11xy – 3y
2
d) 8x

23
245
++−
+−+−
khi x = 1,8165
*) Kết quả:
Bài 1: 7,1935
Bài 2: - 509,0344879; a =
27,5136329
±
Bài 3: 498,438088 Bài 4: a) - 10,805 ; b) 1061,318
Bài 5: 85,43712 Bài 6: a) (x – 1)(x + 2)(x – 3)(x + 4)
Bài 6: b)(x – 2)(x + 3)(x – 4)(x + 5) Bài 6: c) (4x + 3y)(5x – y)
Bài 6: d) (x
2
+ x + 2)(8x
2
– 15x + 16) Bài 6: e) (x – 1)
2
(x + 1)(x
2
– 3x + 1)
( ) ( )
2
3 5 3 5
x 1 x 1 x x
2 2
  
− +
= − + − −

−
−+++−−
*******************************
Trang 21
Gv: Nguyễn Đức Công BDHSG môn CASIO
Chủ đề 3 - Buổi 2. DẠNG TOÁN VỀ ĐA THỨC
Bài 11:
Tìm a để x
4
+ 7x
3
+ 2x
2
+ 13x + a chia hết cho x + 6
Hướng dẫn:
Đặt A(x) = x
4
+ 7x
3
+ 2x
2
+ 13x , tính A(-6) và cho A(-6) + a = 0. Từ đó tìm a
Bài 12: Cho đa thức P(x) = 6x
3
– 5x
2
– 13x + a
Với điều kiện nào của a thì đa thức P(x) chia hết cho 2x + 3
Với giá trị của a tìm được ở câu trên, hãy tìm số dư r khi chia đa thức P(x) cho 3x – 2
Bài 13: Cho đa thức P(x) = x

3
– 5x
2
– 13x + n cùng chia hết cho x – 2
e) Với n tìm được ở câu trên, hãy phân tích Q(x) = 2x
3
– 5x
2
– 13x + n ra tích của các thừa số bậc nhất.
Bài 15:
Cho hai đa thức P(x) = x
4
+ 5x
3
– 4x
2
+ 3x + m và Q(x) = x
4
+ 4x
3
– 3x
2
+ 2x + n
Tìm giá trị của m và n để đa thức P(x) và Q(x) chia hết cho x – 2
Với giá trị m và n vừa tìm được, hãy chứng tỏ đa thức R(x) = P(x) – Q(x) chỉ có nghiệm một duy nhất.
Hướng dẫn:
R(x) = P(x) – Q(x) =
( )
(
)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
P(x ) x x 1 x 2 x 3 x 4 x 5= + − − − − −
b)
( ) ( ) ( ) ( )
Q( x ) 2x 3 x 1 x 2 x 3 x 4= + + − − − −
Bài 17: Cho đa thức f(x) = x
3
+ ax
2
+ bx + c . Biết f(
3
1
) =
108
7
; f(
2
1
−
) =
8
3
−
f(
5
1
) =
500
89



=
+ + =



= −



  
− = − <=> − + = − <=> =
  
  
=
  
+ + =
=





=> f(x) =
3 2
1
x 2x
4
− +

=>
P(1) g(1)
=
;
P(2) g(2)
=
;
P(3) g(3)
=
(*)
Ta nhận thấy bậc của g(x) không lớn hơn 4, giả sử g(x) =
2
Ax Bx C
+ +
Từ (*) ta có thể tìm được A = 2, B = 0, C = 1
=> g(x) =
2
2x 1
+
Thử lại: P(x) =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 2x 1− − − − − + +
.
Thấy P(4) = 33; P(5) = 51 (đúng với giả thiết)
Từ đó ta tìm tiếp P(6) ; P(7) ; P(8) ; P(9) ; P(10) và P(11)
*) Kết quả:
Bài 11 : a = 222
Bài 12: a) a = 12 ; b) r =
8

630
1
3579
+−+−
Tính giá trị của đa thức khi x = - 4; - 3; - 2; - 1; 0; 1; 2; 3; 4
Chứng minh đa thức nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên.
Bài 21: Cho đa thức f(x) = 1 + x
2
+ x
3
+ x
4
+ + x
49
Tính f(1,2008)
Bài 22: Tính giá trị biểu thức:
A =
1y
2
y
48
y
49
y
50
y
1x
2
x
48

3 ;
±
4 là nghiệm của P(x) nên:
P(x) =
630
1
(x – 4)(x – 3)(x – 2)(x – 1)x(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)
Với x nguyên ta có: (x – 4)(x – 3)(x – 2)(x – 1)x(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) là tích của 9 số
nguyên liên tiếp nên chia hết cho 630
Vậy P(x) luôn có giá trị nguyên với mọi x nguyên.
*) Bài tập 21:
+) Cách 1: Nhập
( )
(
)
49
X
x 2
1 1,2008
=
+
∑
, ấn “=” ta được kết quả là 46850,36313
+) Cách 2: Lập công thức truy hồi
Nhập A = A + 1 : X = X + (1,2008)
A
CALC, = , nhập A = 1, X = 1
Nhấn đến khi A + 1 = 49 , ta được kết quả như trên
*) Bài tập 22:
- Làm tương tự bài tập 21

+ + + + +
Biết
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
P 1 1;P 2 4;P 3 9;P 4 16;P 5 28= = = = =
Tính
( ) ( ) ( )
P 6 ;P 7 ;P 8 ?=
Hướng dẫn:
Giả sử
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
P(x ) x x 1 x 2 x 3 x 4 x= + − − − − − α
Vì P(5) = 28 nên : 28 = 25 + 4.3.2.1.(5 -
α
). Từ đó tìm được
α
=
39
8
Vậy
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
39
P(x ) x x 1 x 2 x 3 x 4 x
8
= + − − − − −
Kết quả :
( ) ( ) ( )
P 6 171; P 7 814; P 8 2689= = =

=
+
là nghiệm của P(x)
Với a, b tìm được , hãy tìm nghiệm còn lại của P(x)
Hướng dẫn: a) Trục căn thức ở mẫu ta có x = 6 -
35
Để
7 5
x
7 5
−
=
+
là nghiệm của P(x) thì P(6 -
35
) = 0
3 2
2 3 2 2
x ax bx 1 0
1 1
bx 1 ax x b ax x a(6 35 ) (6 35 )
x
6 35
<=> + + − =
<=> = − − <=> = − − = − − − −
−
3 2
6a 65 a 35 13 35 b
Hay b 65 6a a 35 13 35
a 13

+ +
, đây là hàm lẻ nên
Q( x ) Q( x)
= − −
Ta có:
( ) ( )
P 8 Q 8 20052006= +
=> Q(8) = 19931994 – 20052006 = - 120012
=> Q(- 8) = - Q(8) = 120012
Vậy :
( ) ( )
P 8 Q 8 20052006 20172018− = − + =
IV. Hướng dẫn về nhà
- Xem lại các dạng bài tập đã chữa
*******************************
Trang 25