i. Tập hợp
1. Một số khái niệm
+ Tập hợp A, chứa các phần tử x, y, ...,
A = {x, y, ...}, x A, y A
+ Tập hợp A chứa các phần tử x thỏa mãn điều kiện P.
A = {x\ x thỏa mãn điều kiện P}
+ gọi là tập rỗng (tập hợp không có phần tử).
+ A B thì A là tập con của tập B.
+ A = B thì tập A và tập B đều là tập con của nhau.
2. Các phép toán về tập hợp
+ Hợp
A B = {x A hoặc x B}
+ A B = B A ; (A B) C = A (B C)
A A = A ; A A B ; B A B
A = A
+ Giao
A B = {x A và x B}
+ A B = B A ; A B B ; A B A
A A = A ; (A B) C = (A C) (B C)
A = ; (A B) C = (A C) (B C)
+ (A B) C = A (B C)
+ Hiệu
A \ B = {x | x A và x B}
A \ A =
(A \ B) C = (A C) \ B = (A C) \ (B C)
A \ B = A \ (A B)
A = (A B) (A \ B)
+ Phần bù
C
A
S = A\ S (S A)

Nh vậy ta có : N Z Q R
II. Biểu thức đại số
1. Tính chất các phép toán trên số
+ Tính chất giao hoán của phép cộng và nhân
a + b = b + a
ab = ba
+ Tính chất kết hợp của phép cộng và nhân
(a + b) + c = a + (b + c)
(a.b).c = a.(b.c)
+ Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng
(a + b)c = ac + bc
+ Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép trừ
(a - b)c = ac - bc
2. Biểu thức phân
+ Tính chất cơ bản của phân thức

( )
0;0
=
cb
b
a
bc
ac
+ Các phép toán của phân thức

( )
( )
( )
( )

ac
d
c
b
a
c
c
ba
c
b
c
a

3. Tỉ lệ thức
+ Tỉ lệ thức là một đẳng thức của hai tỉ số

( )
0;0
=
db
d
c
b
a
a, d là hai ngoại tỉ ; b, c là hai trung tỉ.
+ Tính chất cơ bản của tỉ lệ thức :
ad = bc
+ Một số tính chất khác
Với a, b, c, d


=
+
===
;
;;

db
ca
d
c
b
a
dc
dc
ba
ba
c
dc
a
ba
c
dc
a
ba


==

+
=

11
a
N*)nm,0;(a a
N*)n0;(a
y-
y
1
>==
>==
>=
n
m
y
n
m
n
m
n
n
a
a
aa
aa
+ Các tính chất cơ bản của luỹ thừa
Giả sử a > 0, b > 0 x, y R ta có :
( )
( )
xy
y
x


+
+ Một số tính chất khác
x, y R, x < y
* Với a > 1 a
x
< a
y
* Với 0 < a < 1 a
x
> a
y
IV.căn bậc n
+ Định nghĩa : n N
*
, căn bậc n của số a là một số b sao cho b
n
= a, kí hiệu là
n
a
* Mọi số a chỉ có một căn bậc lẻ
* Số âm không có căn bậc chẵn
* Số dơng có hai căn bậc chẵn, hai căn ấy có số trị đối nhau. Giá trị dơng
của căn bậc chẵn n của số a > 0 kí hiệu là
n
a
.
+
0




<

==
=
0)(a a-
0)(a
a
0)(a
2
n
k
a
a
aa
nk
V. dãy số
+ Định nghĩa
Gọi N
*
= {1, 2, 3, ...}
Một dãy số là một hàm số u từ N
*
tới R
u : N
*
R
n U(n)
Kí hiệu U

- Cho số hạng thứ nhất U
1
- Với n > 1 cho công thức U
n
khi biết U
n - 1
+ Dãy số tăng, giảm
* Dãy số (U
n
) gọi là tăng nếu n N
*
, U
n
< U
n + 1

* Dãy số (U
n
) gọi là giảm nếu n N
*
, U
n
> U
n + 1

+ Dãy số bị chặn
* Dãy số (U
n
) bị chặn trên nếu M sao cho n N
*

n
)
* (U
n
).(V
n
) = (U
n.
V
n
)
*
( )
0;Nn
)(
)(
*









=
n
n
n

1
+
+
+
=
nn
n
UU
U
+ Số hạng tổng quát
U
n
= U
1
+ d(n 1)
+ Tổng n số hạng đầu

( )
( )
n
nda
S
naa
S
n
n
n
2
12
2

UUUU
UUUU
+ Số hạng tổng quát :
U
n
= U
1
.q
n - 1
+ Tổng n số hạng đầu tiên
( )
1
1
1
1321



=++++=
q
q
q
UUUUUS
n
nn
+ Tổng của cấp số nhân vô hạn
Với |q| < 1
q
U
UUUUUS

3 3 3 3
2
2
2
2 2 2
1
1 2 3
4
1 3 5 2 1
4 1
1 3 5 2 1
3
n n
n
n n
n n
n
+
+ + +ììì+ =
+ + +ììì+ =

+ + +ììì+ =
( )
( )( )
( ) ( )
( )( ) ( )( )( )
321
4
1
21432321

( )
( ) ( )
( )
n n
k k
0 k 1 k n n
k n n n n
n 1 n
n n
n!
A ; A n n 1 n k 1
n k !
A 1 ;A n k A ; A P n!
A A n!
+

= = ììì +

= = = =
= =
(Qui ớc 0! = 1)
XI. Tổ hợp
+ Định nghĩa
Cho một tập hợp A gồm n phần tử (n nguyên dơng). Một tổ hợp chập k của
n phần tử (0 k n) là một tập con của A gồm k phần tử. Số tất cả các tổ
hợp chập k của n phần tử ký hiệu là
k
n
C
+ Công thức

n
k
n
n
n
nnnn
n
nn
kn
n
k
n
<=+
=++++
==
=
+
+
+

0
2
1
0
1
1
1
210
0
XII. Tam giác pascal

mmnm
n
n
n
n
n
n
n
n
bCbaCbaCbaCaCba
babbababaaba
babbabaaba
cabbaaba
bababa
baba
0222110
54322345
5
332234
4
3223
3
22
2
1
510105
464
33
2
++++++=+

3
+...+b
n
XIV. Phơng trình
1. Một số khai triển
+ Đẳng thức f(x) = g(x) (1) trong đó f(x) và g(x) là những biểu thức của x, đợc
gọi là phơng trình một ẩn số, x là ẩn số.
+ Giải phơng trình (1) là tìm giá trị x = x
0
để có đẳng thức đúng f(x
0
) = g(x
0
).
+ Tơng tự f(x
1
, x
2
, x
3
, ...., x
n
) = g(x
1
, x
2
, x
3
, ...., x
n

miền xác định h(x) chứa miềm xác định của f(x).
3. Phơng trình bậc nhất
+ Dạng ax + b = 0 (x là ẩn a, b R miền xác định là R).
+ Nghiệm :
* a 0 : có nghiệm duy nhất :

a
b
x
=
* a = 0, b

0 : Vô nghiệm
* a = 0, b = 0 : Vô số nghiệm trên R
4. Phơng trình bậc hai
+ ax
2
+ bx + c = 0. = b
2
- 4ac
* Nếu > 0 thì M = {x
1
, x
2
}

a
b
x
2

==++
Nếu > 0, M = {x
1
, x
2
}
{ }
2
,,0
2
22

11
2
2
2,1
p
xxMq
p
q
pp
x
===






=







==
=+=
=
a
c
xxP
a
b
xxS
xxM
21
21
21
;
+ Xét dấu nghiệm (quy ớc x
1
> x
2
)
0
0
0
0
*

P
xx
S
P
xxP
5. Phơng trình quy về bậc hai
+ ax
4
+ bx
2
+ c = 0 (1) (a

0) (phơng trình trùng phơng)
Đặt :
( )
42
2
0
xy
yxy
=
=
Phơng trình (1) đã về ay
2
+ by + c = 0 (2). Giải phơng trình (2) tìm
nghiệm y 0, sau đó tìm x bằng công thức :
yx
=

+ (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = 0 với a + b = c + d.

32
27422742
pqqpqq
x
++++=
+ Dạng y
3
+ ay
2
+ by + c = 0
Đặt
3
a
xy
=
ta có phơng trình dạng x
3
+ px + q = 0 và có công thức giải nh
trên.
7. Phơng trình chứa căn bậc hai




>
=
=
0
2
B

x = N (a > 0, a

1) có nghiệm duy nhất x = a
N
XV. hệ PhƯơng trình
1. Hệ phơng trình bậc nhất

( )
caac
ca
ca
bc
bc
baab
ba
ba
D
cybxa
cbyax
''
''
D bcb'-c'
''
D ''
''
1
'''
yx
======


* Nếu D = Dx = Dy = 0
- Trờng hợp a = a' = b = b' = 0, c

0, c'

0 hệ phơng trình (1) vô nghiệm.
- Các trờng hợp khác hệ (1) vô số nghiệm.
2. Hệ phơng trình bậc hai
+ Hệ phơng trình bậc hai hai ẩn số có dạng





=+++++
=+++++
0''''''
0
22
22
fyexdycxybxa
feydxcybxyax
Ta chỉ xét hai hệ sau :
* Hệ phơng trình đối xứng đối với x và y (khi thay x bởi y hoặc y bởi x thì hệ
phơng trình không đổi)
Chẳng hạn :



=++

a

+
ữ

- 0 +
a
a x
b

+
ữ

Trái dấu với a 0 Cùng dấu với a
+ Bất phơng trình bậc nhất thờng có dạng
ax + b > 0, ax + b 0, ax + b < 0, ax + b 0.
ax + b > 0 ax > -b
* Nếu
0 , ;
b b
a x M
a a

> > = +
ữ

* Nếu
0 , ;
b b
a x M

2
4b ac
=
* < 0 thì a.f(x) > 0 x R