Kinh nghiệm
giúp học sinh lớp 5 nhận biết và chứng minh các trờng
hợp tam giác có diện tích bằng nhau.

A- Đặt vấn đề
I- Cơ sở lí luận
Nh chúng ta đã biết ,môn Toán là môn học có vị trí quan trọng trong bậc học Tiểu
học. Bởivì :
- Môn Toán với t cách là một môn khoa học nghiên cứu một số mặt của thế giới
thực có một hệ thống kiến thức cơ bản và phơng pháp nhận thức cơ bản rất cần thiết
cho đời sống sinh hoạt, lao động .Đó cũng là công cụ rất cần thiết để học các môn
học khác và để tiếp tục nhận thức thế giới xung quanh, để hoạt động có hiệu quả
trong thực tiễn
- Khả năng giáo dục nhiều mặt của môn Toán rất to lớn, nó có nhiều khả năng để
phát triển t duy lô gích, bồi dỡng và phát huy những thao tác trí tuệ cần thiết để
nhận thức thế giới hiện thực nh trừu tợng hóa, khái quát, phân tích và tổng hợp , so
sánh, dự đoán, chứng minh và bác bỏ . Nó có vai trò to lớn trong việc rèn luyện ph-
ơng pháp suy nghĩ, phơng pháp suy luận, phơng pháp giải quyết vấn đề , có căn cứ
khoa học toàn diện chính xác. Nó có nhiều tác dụng trong việc phát triển trí thông
minh, t duy độc lập, linh hoạt sáng tạo trong việc hình thành và phát triển nền nếp,
phong cách và tác phong làm việc khoa học rất cần thiết trong mọi lĩnh vực hoạt
động của con ngời , góp phần giáo dục ý chí và những đức tính tốt đẹp nh cần cù,
nhẫn nại, ý thúc vợt khó .
Với vị trí quan trọng đó nên trong chơng trình môn học ở bậc Tiểu học, môn Toán
chiếm thời lợng rất lớn, chứa đựng nhiều nội dung nh nội dung về tập hợp số, nội
dung về đại lợng và phép đo đại lợng, nội dung về các yếu tố hình học
Về nội dung hình học, các đối tợng hình học đợc đa vào chơng trình đều cơ bản,
cần thiết và thờng gặp trong cuộc sống nh điểm, đoạn thẳng, đờng thẳng , hình
vuông, hình chữ nhật, hình tam giác, hình lập phơng Dạy học các yếu tố hình học
góp phần củng cố kiến thức số học, đại lợng và phép đo đại lợng, phát triển năng
lực thực hành, năng lực t duy đối với học sinh Tiểu học. Đồng thời dạy các yếu tố

Cho hình tam giác ABC , trên AB, AC, BC lần lợt lấy các trung điểm M, N, P. So
sánh diện tích của ba hình tam giác AOC , BOC, AOB.
Sau thời gian học sinh làm bai , tôi đã thu chấm và thu đợc kết quả nh sau
Qua thực trạng đó tôi rất băn khoăn và đã dành thời gian để tìm hiểu và phát hiện
những vớng mắc của học sinh khi chứng minh hình, từ đó phân tích làm rõ những
hạn chế ,tồn tại của các em còn mắc phải. Rồi trên cơ sở nghiên cứu tài liệu,dự giờ
thăm lớp , tham khảo đồng nghiệp và từ những kinh nghiệm của bản thân tôi đã xây
dựng một đề cơng dạy học sinh cách phát hiện và chứng minh các trờng hợp tam
giác có diện tích bằng nhau,đa vào thực nghiệm tôi thấy đã có hiệu quả nhất định
B- Giải quyết vấn đề
I- Giúp học sinh nhận dạng về đặc điểm của hình tam giác:
+ Hình tam giác có 3 cạnh, 3 đỉnhvà 3 góc
- Cả 3 cạnh đều có thể lấy làm đáy của hình tam giác đó.
II- Giúp học sinh nắm đợc khái niệm về đờng cao và biết xác định cạnh đáy.
Biết vẽ chiều cao tơng ứng với cạnh đáy trong các trờng hợp sau:
a) Trong tam giác ABC có 3 góc nhọn.
- Cạnh đáy AC thì có chiều cao BH.
- Cạnh đáy BC thì có chiều cao AK.
- Cạnh đáy AB thì có chiều cao CI.

Lớp TSHS Điểm giỏi Điểm khá
Điểm trung
bình
Điểm yếu
5B 34 0 em o % 3 em 9% 6 em 18% 25 em 73%
2
B
A
C
H

giác kia thì đáy tơng ứng của tam giác này phải gấp hai lần đáy của tam giác kia và
ngợc lại
Biết chiều cao, cạnh đáy thì ta sẽ tính đợc diện tích tam giác đó, mà muốn tìm cạnh
đáy thì phải biết chiều cao và biết diện tích, muốn tìm chiều cao thì phải biết diện
tích và cạnh đáy.
Từ đó có định hớng cho học sinh khi chứng minh các trờng hợp tam giác có diện
tích bằng nhau thì phải chú ý đến yếu tố cạnh đáy, chiều cao mà chứng minh chiều
3
B
H
C
A
C
I
A
B
H
K
B
cao bằng nhau thì phải chú ý đến yếu tố diện tích và cạnh đáy , chứng minh cạnh
đáy bằng nhau thì phải chú ý đến yếu tố diện tích và chiều cao
IV- Hớng dẫn học sinh vận dụng lí thuyết để cơ bản đẻ giải bài tập trong một
số trờng hợp cụ thể
a) Trờng hợp 1.
* Ví dụ 1: So sánh diện tích tam giác ABC và MNQ với cạnh BC bằng cạnh NQ;
chiều cao AH bằng chiều cao MK.

GV định hớng giúp học sinh : Trong tam giác ABC với đáy BC thì có chiều cao
AH . Trong tam giác MNQ với đáy NQ thì có chiều cao MK
Khi xét tam giác ABC và MNQ Ta có :

+) Hai tam giác có diện tích bằng nhau khi có đáy bằng nhau và có chiều cao
bằng nhau.
+) Hai tam giác có diện tích bằng nhau, đáy bằng nhau thì hai chiều cao của hai
tam giác ứng với hai cạnh bằng nhau đó cũng bằng nhau.
+) Hai tam giác có diện tích bằng nhau, chiều cao bằng nhau thì hai đáy của hai
tam giác đó ứng với hai chiều cao bằng nhau cũng bằng nhau.
b) Trờng hợp 2.
Ví dụ 1: So sánh diện tích tam giác ABC và ADC ; biết BH = DK ( Nh hình vẽ )
GV giúp học sinh phát hiện đợc hai tam giác ABC và ADC đều có chung đáy AC
mà chiều cao AH của tam giác ABC bằng chiều caoDK của tam giác ACD
Nên khi xét tam giác ABC và tam giác ADC ta có
+ Chung đáy AC,
+ Chiều cao BH = DK
Vậy SABC = SDAC
* Mặt khác: Nếu SABC = SADC và chung đáy AC thì chiều cao BH = chiều cao
DK
Ví dụ 2: So sánh diện tích tam giác ABC và ADC ; biết BH = DK

5
A
H
C
K
B
D
A
B
C
D
H

A

GV yêu cầu học sinh biết đợc
- Nếu D là trung điểm của cạnh AC thì cạnh AD và CD sẽ nh thế nào ? ( Bằng
nhau)
- Cạnh AD là cạnh đáy của tam giác nào ? và có chiều cao nào là chiều cao tơng
ứng ? ( AD là cạnh đáy của tam giác ABD và chiều cao tơng ứng là BH)
- Cạnh DC là cạnh đáy của tam giác nào ? và có chiều cao nào là chiều cao tơng
ứng ? ( DC là cạnh đáy của tam giác BDC và chiều cao tơng ứng cũng là BH)
Vậy khi xét tam giác ABD và DBC ta có
+ Đáy AD bằng DC ; có chung chiều cao BH
Vậy : SABD = SDBC
Mặt khác : Nếu SABD = SBDC và có chung chiều cao BH thì đáy AD = DC.
Kết luận :
+) Hai tam giác có diện tích bằng nhau khi có đáy bằng nhau và có chung chiều
cao.
+) Hai tam giác có diện tích bằng nhau, chung chiều cao thì hai đáy của hai tam
giác ứng với chiều cao đó cũng bằng nhau.
d) Trờng hợp 4 :
Cho tam giác ACD và DBC ( Nh hình vẽ) có chiều cao AH = chiều cao BK . Hãy
so sánh diện tích tam giác AID và BIC

GV yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức đã học ở bài trớc để so sánh diện tích tam
giác ADC và DBC
Ta có: SDAC = SDBC (vì có chung đáy DC và chiều cao AH = BK)
Mà: SADC - SDIC = Diện tích tam giác nào ? ( SADI )
7
A
C
D

SAID = SDIC (vì có đáy AD = DC ; có chung chiều cao hạ từ I xuống đáy AC).
GV định hơng thêm cho học sinh :
Mà : SABD - SAID = Diện tích tam giác nào ? (SABI)
SBDC - SAID = Diện tích tam giác nào ? (SBIC)
GV láy lại ví dụ tơng tự nh trên để giúp học sinh khẳng định đợc
SABD = SBDC và SAID =SAID
8
A
B
C
D
I
Vậy : SABI = SBIC
Kết luận :
+) Hai tam giác có diện tích bằng nhau mà cùng bớt đi một phần diện tích bằng
nhau thì phần diện tích còn lại sẽ bằng nhau.
g) Trờng hợp 6:
Ví dụ 1: So sánh diện tích tam giác ABM với diện tích tam giác AMC; biết AB=
12 cm ; AC = 24 cm ,MH = 6 cm , MK = 3 cm
GV yêu cầu học sinh quan sát và nhận biết tam giác ABM có đáy AB và chiều cao
MH , tam giác AMC có đáy AC và chiều cao MK
Mà AC so với AB thì nh thế nào ? ( AC gấp 2 lần AB vì 24 : 12 = 2)
Còn MK so với MH thì nh thế nào ? ( MK =
1
2
MH vì 3:6 =
1
2
)
Dựa trên mối quan hệ giữa cạnh đáy, chiều cao và diện tích của hình tam giác học

GV định hớng dẫn dắt giúp học sinh biết đợc :
M là trung điểm của BC nên BM và MC sẽ nh thế nào? ( BM =MC =
1
2
BC)
Mặt khác tam giác ABM và AMC và ABC có chung yếu tố nào ?( Chung chiều cao
hạ từ A xuống BC)
Vậy hai tam giác ABM và ABC có chung chiều cao mà cạnh đáy BM của hình tam
giác ABM bằng 1/2 cạnh đáy của hình tam giác ABC thì diện tích của tam giác
ABM so với diện tích tam giác ABC sẽ nh thế nào ?
Từ đó học sinh có định hớng so sánh diện tích tam giác BAM và MAC và BAC
(SABM = SAMC =
1
2
SABC ( Vì có đáy BM = MC =
1
2
BC, có chung chiều cao
hạ từ A xuống BC ) (1)
Tơng tự giáo viên giúp học sinh phát hiện : N là trung điểm của BA nên BNvà AN
sẽ nh thế nào? ( BN =AN =
1
2
AB)
Mặt khác tam giác BCN và ANC và ABC có chung yếu tố nà ?( Chung chiều cao
hạ từ C xuống BA)
Từ đó học sinh có định hớng so sánh diện tích tam giác BCN và NAC và BAC
(SBCN = SANC =
1
2

*Ta có :SAMD =
1
2
SAMC ( vì có đáy AD =
1
2
AC , có chung chiều cao hạ từ
M xuống AC ) ( 1)

GV yêu cầu học sinh quan sát và nhận biết đợc MD là đáy của tam giác AMD; MB
là đáy của tam giác ABM mà MD = 1/2 BM
Mặt khác tam giác AMD và ABM có chung yếu tố nào ? ( chung chiều cao hạ từ
A xuống BD)
Từ đó giúp các em có định hớng so sánh diện tích tam giác AMD và ABM
* SAMD =
1
2
SAMB ( Vì có đáy MD =
1
2
BM , có chung chiều cao hạ từ A
xuống BD ) ( 2)
Vận dụng tính chất bắc cầu giúp học sinh nhận biết đợc
Từ (1) và ( 2) ta có : SAMC = SABM
C. Thực nghiệm s phạm:
Từ thực tiễn vận dụng kinh nghiệm trên vào dạy học sinh, tôi thấy đã có kết quả
thực sự. Tôi kiểm nghiệm kết quả bằng cách tôi ra lại ba bài tập khảo sát ban đầu và
đa thêm hai bài nữa vào yêu cầu học sinh làm trong 60 phút .
Bài toán 1: Cho hình thang ABCD . Hai đờng chéo AC và BD cắt nhau tại I . Hãy
tìm các cặp tam giác có diện tích bằng nhau .

Điểm trung
bình
Điểm yếu
5B 34 13 em 38% 15em 44% 5 em 15% 1em 3%
12
A
B C
M
N
P
A
B
C
M
Q
P
từ cụ thể đến khái quát thì sẽ giúp giúp học sinh nắm bài rất vững, có kĩ năng phát
hiện một cách chính xác, chứng minh chặt chẽ, có khả năng suy luận, khai triển
trong làm bài. Từ đó hình thành đợc ở học sinh niềm đam mê và sự hứng thú khi
học hình học. Tôi thiết nghĩ với phơng pháp truyền đạt nh vậy đã có hiệu quả nhất
định . Bởi phần lớn học sinh của tôi, sau khi dạy phần này các em đều có kĩ năng
chứng minh hình rất tốt. Mặt khác phản ánh qua các cuộc thi cho thấy, hằng năm
số lợng học sinh tôi trực tiếp bồi dỡng đạt kết quả tơng đối cao về môn Toán.
E-Kiến nghị đề xuất
Với thời gian có hạn nên trong phạm vi kinh nghiệm này tôi mới chỉ đề cập đến
phần hình tam giác và trọng tâm là chứng minh các trờng hợp tam giác có diện tích
bằng nhau, chiều cao bằng nhau, cạnh đáy bằng nhau. Trong quá trình viết có thể
tôi cha đa ra đợc hết các trờng hợp tam giác có diện tích bằng nhau, cũng nh cha
khái quát đợc một cách đầy đủ các dạng bài và cha đa ra đợc cách chứng minh hay
nhất. Qua đây tôi mong nhận đợc sự trao đổi thêm của các đồng chí đồng nghiệp để

+ Chung chiều cao hạ từ B xuống AM.
Vậy SBME = SEBD = SDBA nên SBME =
1
2
SABE (2)
Từ (1) và (2) ta có: SBEC = SBEA
b) Mặt khác hai tam giác BEC và BEA có chung đáy BE nên chiều cao hạ từ A
xuống BE bằng chiều cao hạ từ C xuống BE.
* Xét tam giác AEN và ECN ta có:
+ Chung đáy EN
+ Chiều cao hạ từ A xuống EN bằng chiều cao hạ từ C xuống EN.
Vậy SAEN = SECN
* Mặt khác hai tam giác này có chung chiều cao hạ từ E xuống AC nên đáy AN =
NC.
Vậy N là điểm chính giữa của cạnh AC.
Bài toán 2:
Trên hình vẽ bên, cho MB = MC ; MQ là chiều cao của tam giác AMC ; MP là
chiều cao của tam giác AMB và MP = 6 cm ; MQ = 3 cm.
14
B
A
C
M
N
D
A
E
a) So sánh AB và AC
b) Tính diện tích tam giác ABC, biết : AB + AC = 21cm.
(Đề thi học simnh giỏi tỉnh năm học 2001 - 2002)

AC.
b) Hớng dẫn học sinh vẽ sơ đồ và giải theo dạng toán tìm hai số khi biết tổng và tỉ
số.
Bài toán 3:
Cho tam giác ABC, D là trung điểm của cạnh BC và E là một điểm trên AC sao cho
AE =
1
2
EC. Nối B với E, A với D chúng cắt nhau tại M. Hãy so sánh AM và MD
Bớc 1: Hớng dẫn học sinh vẽ hình:
Nối C với M để có tam giác DMC và MEC.
Giúp học sinh biết: Nếu hai tam giác có chung chiều cao mà
Cạnh đáy tơng ứng Hình 1/ cạnh đáy tơng ứng của hình 2 = 1/2 thì diện tích hình 1
/ Diện tích hình 2 = 1/2
Bớc 2: Hớng dẫn học sinh chứng minh
* Xét tam giác AME và MEC ta có :
15
A
B
C
M
Q
P
A
B
C
D
E
M
+ Có đáy AE =

Từ (1) và (2) ta có: SABM = SBMD
* Mặt khác hai tam giác này có chung chiều cao hạ từ B xuống AD
nên đáy AM = MD.
Bài toán 4: Cho tam giác ABC ; M, N, P lần lợt là trung điểm của các cạnh AB,
AC, BC .So sánh diện tích của các tam giác AMN, PNC, BMP, MNP
Ta có SABN = SNBC =
1
2
SABC ( Vì đáy AN = NC =
1
2
AC , có chung chiều
cao hạ từ B xuống AC ) ( 1)
16
A
B C
M
N
P
SANM = SMNB =
1
2
SANB ( Vì có đáy AM = MB =
1
2
AB , có chung
chiều cao hạ từ N xuống AB ) ( 2)
* Vậy từ (1) và ( 2) ta có SANM =
1
4

Mà SMNP = SABC - SAMN - SPNC - SBPM = SABC -
1
4
SABC -
1
4
SABC -
1
4
SABC =
1
4
SABC
Vậy : SMNP = SAMN = SPNC = SBPM =
1
4
SABC
hân thành cảm ơn !
17