SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
——————
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2010-2011
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
—————————————
Câu 1. Giải phương trình:
2
2 3 1 3 2 2 5 3 16x x x x x+ + + = + + + −
Câu 2. Tìm tất cả các cặp số nguyên
, x y
thoả mãn phương trình
2 2
( 1) ( 1) 1− + − =x y y x
Câu 3. Cho tam giác
ABC
nhọn với trực tâm
.H
Đường thẳng vuông góc với
BC
tại
C
cắt đường thẳng
BH
ở
,D
đường thẳng vuông góc với
BC
tại
B

+
= + −
+ + + + + +
.
Câu 5. Mỗi điểm của mặt phẳng được tô bởi một trong ba màu Đỏ, Xanh, Vàng.
Chứng minh rằng tồn tại hai điểm
,A B
được tô bởi cùng một màu mà độ dài
1.=AB
——Hết——
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
Họ và tên thí sinh SDB
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
———————
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2010-2011
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN
—————————————
Hướng dẫn chung.
-Mỗi bài toán có thể có một hoặc nhiều cách giải khác nhau, nếu học sinh có lời giải khác với trong
hướng dẫn chấm và đúng, thì giám khảo vẫn cho điểm tối đa của phần đó.
-Bài hình học (câu 3), học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai, giám khảo không cho điểm; học
sinh chưa làm ý 1, nhưng sử dụng kết quả của phần đó để làm phần 2, giám khảo không chấm điểm
phần 2.
Câu 1 (2,5 điểm).
Nội dung trình bày Điểm
Điều kiện
1.x ≥ −
0,25
Đặt
2 3 1 , 0,x x u u+ + + = ≥


− + =

x
x x x x
x x
0,50
Kết luận x = 3. 0,25
Cách 2: Đặt u
2
= 2x+3 (u>=0), v
2
=x+1 (v>=0) > được PT: u+v = u
2
+v
2
+2uv-20
> u+v= > x=
Câu 2 (2,0 điểm):
Đặt
1; 1= − = −a x b y
, phương trình đã cho trở thành:
2 2
( 1) ( 1) 1+ + + =a b b a
(1). 0,25
Ta có:
(1) ( ) 4 ( ) 1 ( 4) ( 4) 5 ( 4)( 1) 5ab a b ab a b ab a b a b a b ab⇔ + + + + = ⇔ + + + + + = ⇔ + + + =
0,50
Khi đó chỉ xảy ra 4 trường hợp sau:
1 9 3 5

2
Khi đó do tứ giác
1 1
AB HC
nội tiếp, nên
1 1 1
CHD CHB C AB BAC∠ = ∠ = ∠ = ∠
(1)
Do cách xác định điểm D nên
0 0
1 1
90 90HCD HCB C CB C BC ABC∠ = −∠ = − ∠ = ∠ = ∠
(2)
0,50
Từ (1) và (2) suy ra các tam giác
,ABC HCD
đồng dạng. Từ đó, do
,AL HN
theo thứ tự là
trung tuyến của hai tam giác đó, nên
~ALB HNC∆ ∆
0,50
Từ đó, do
,NC LB CH BA⊥ ⊥
nên
HN AL⊥
(3)
0,25
Tương tự cũng có
HM AL⊥

nằm trên đường tròn
( )
BHC
(Hình vẽ).
0,25
Khi đó
CBP CHN BAL BAP∠ = ∠ = ∠ = ∠
. Suy ra đường tròn
( )
ABP
tiếp xúc với
.BC
0,25
Câu 4 (1.5 điểm).
Nội dung trình bày Điểm
Đặt
2
2
3
x a b c
y a b c
z a b c
= + +


= + +


= + +


x y y z
= = ⇔ = =
,
Khi đó
2 2( 2 )
3 2( 2 )
a b c a b c
a b c a b c

+ + = + +


+ + = + +


, suy ra
(1 2)
(4 3 2)
b a
c a

= +


= +


0,25
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng
17 12 2− +

phải tô cùng màu Xanh, (Hình vẽ). 0,50
- Từ đó, nếu điểm M được tô màu Xanh, thì mọi điểm nằm trên đường tròn tâm M, bán kính 0,50
3
3
đều được tô màu Xanh. Nhưng trên đường tròn này luôn có hai điểm mà khoảng cách
giữa chúng bằng 1. Mâu thuẫn với giả thiết phản chứng.
Từ đó suy ra điều phải chứng minh
—Hết—
4