Tài liệu ôn tập tốt nghiệpTHPT môn Toán-2009-2010
GIẢI TÍCH
CH Ủ ĐỀ I : HÀM SỐ
VẤN ĐỀ 1: ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Phương pháp:
Dạng tốn : Xét sự biến thiên của hàm số
Tìm miền xác định của hàm số .
*Tìm đạo hàm và xét dấu đạo hàm.
* Nếu
'( ) 0y x ≥
với mọi (y’ =0 tại điểm thuộc(a;b) )thì hàm số y =f(x) đồng biến trên khoảng(a;b).
*Nếu
'( ) 0y x ≤
với mọi (y’ =0 tại điểm thuộc(a;b) )thì hàm số y =f(x) nghịch biến trên khoảng(a;b).
II.BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số :
a)
3 2
4 2
y x 6x 9x
3 3
= − + − −
; b)
2
y 2x x= −
; c)
1
y 2x
x 1
= −

− − +
=
+
nghòch biến trên mỗi khoảng xác đònh của nó.
c) Hàm số
3 2
y x 6x 17x 4= − + +
và hàm số
3
y x x cos x 4= + − −
đồng biến trên R
d) Hàm số
y cos2x 2x 3= − +
nghòch biến trên R.
Bài 3 Chứng minh rằng với mọi giá trò của m hàm số:
2 2
2
1
x m x m
y
x
+ + −
=
+
đồng biến trên từng
khoảng xác đònh của nó.
Bài 4: a)Cho hàm số : y =
1x
1m2mxx
2

Dạng tốn : Điều kiện để hàm sớ (đờ thị hàm sớ) y = f(x, m) có cực trị
Phương pháp giải:
Để xác định các giá trị của tham sớ m sao cho hàm sớ (đờ thị hàm sớ) y = f(x,m) có n cực trị ta tiến hành
như sau
• Tìm tập xác định D của hàm sớ
• Tính đạo hàm y’ =f’(x)
• Xác định điều kiện để y’ =f’(x) đời dấu n lần trên tập
• Giải điều kiện vừa tìm để xác định các giá trị m thỏa nó (cũng là thỏa bài toán)
• Nêu kết ḷn cho bài toán để hoàn tất việc giải toán
Chú ý ́
Các hàm sớ:
3 2
( 0)y ax bx cx d a= + + + ≠
,
2
' '
ax bx c
y
a x b
+ +
=
+
GV Nguy ễn Văn Tiên- THPT Tam Quan –Bình Định - Trang 1 -
Tài liệu ôn tập tốt nghiệpTHPT môn Toán-2009-2010
Hoặc khơng có cực trị hoặc có hai cực trị (gờm mợt cực đại và mợt cực tiểu)
3 .Điều kiện để có cực trị của hàm số đó là: PT y’=0 có hai nghiệm phân biệt.
Dạng tốn 2: Điều kiện để hàm số đạt cực trị tại một điểm.
• Điều kiện để hàm số có cực trị tại
0
x x=


0
0
'( ) 0
''( ) 0
f x
f x
=


>

• Điều kiện để hàm bậc 3 có cực trị (có cực đại, cực tiểu) y’có hai nghiệm phân biệt
0
0a
∆ >


≠

• Điều kiện để hàm bậc 4 có 3 cực trị : y’=0 có 3 nghiệm phân biệt
II.BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1 :Tìm cực trò của các hàm số :
a)
3 2
1
y x 2x 3x 1
3
= + + −
;b)

x x m
y
x 1
− +
=
+
. Tìm giá trò của m để hàm số có cực trò?
c)Cho hàm số
2
x mx 1
y
x m
+ +
=
+
. Tìm giá trò của m để hàm số có cực đại tại x =2?
d) Cho hàm số
2
x mx 2m 4
y
x 2
+ − −
=
+
. Tìm giá trò của m để hàm số có hai cực trò?
.e) Cho hàm số
3
( ) ( 2)y f x x m x m= = − + +
.Tìm m để hàm số tương ứng đạtù cực đại tại x = -1 .
g) Cho hàm số

2 2
x (m 2)x m 2
y
x m
+ + + +
=
+
luôn có cực đại ,cực tiểu .
c) Chứng minh rằng với mọi giá trò của m hàm số :
3 2
y x mx 2x 1= − − +
luôn có cực đại ,cực tiểu .
d). Cho hàm số
4
2
2
x
y ax b= − +
. Định a,b để hàm số đạt cực trị bằng tại x= 1
e). Cho hàm số
3 2
( 1) ( 3) 1y x m x m= + − − + −
. CMR đồ thị hàm số ln có cực đại và cực tiểu . Viết
phương trình đường thẳng qua hai điểm cực tiểu của hàm số .
VẤN ĐE À 3 : TIẾP TUYẾN VỚI ĐỒ THỊ
I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Bài tốn 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =f(x):
1. Tại một điểm
0 0 0
( ; )M x y

) là hệ số góc của tiếp tuyến.
Giải các câu trên lần lượt như sau
Câu 1:
- Tính y’ =f’(x). Rồi tính. f’(
0
x
)
- Viết PTTT:
0 0 0
( )( )y f x x x y= − +
Câu 2:
- Tính y’ =f’(x) Rồi tính f’(
0
x
)
- Tính tung độ
0 0
( )y f x=
,(bằng cách) thay
0
x
vào biểu thức của hàm số để tính
0
y
.
- Viết PTTT:.
0 0 0
( )( )y f x x x y= − +
Câu 3:
- Tính hồnh độ

;
- Viết PTTT:
0 0 0
( )( )y f x x x y= − +
:.
Câu 5:- Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị với trục : Cho
0
0y =
và tính
0
x
;
- Tính y’=f’(x) Rồi tính
0
'( )f x
tại các giá trị
0
x
vừa tìm được;
- Viết PTTT:
0 0
( )( ) 0y f x x x= − +
Bài tốn 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=f(x):
a) biết rằng tiếp tuyến song song với đuờng thẳng y =kx+b.
b) biết rằng tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y =kx+b.
Phương pháp:
• Tính y’
• Giải phương trình y’= k
0
x

Bài 3: Cho (C )
3 2
y x 3x 1= − +
. Viết phương trình tiếp tuyến với (C )biết tiếp tuyến này vng góc với :
5y -3x +1 +0.
Bài 4: Cho (C) :
3 2
y 2x 3x 12x 5= − − −
a) Viết phương trình tiếp tuyến cới (C ) biết tiếp tuyến này song song với y=6x-4
GV Nguy ễn Văn Tiên- THPT Tam Quan –Bình Định - Trang 3 -
Tài liệu ôn tập tốt nghiệpTHPT môn Toán-2009-2010
b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C ) biết tiếp tuyến này vng góc với
1
2
3
y x
−
= +
c) Viết phương trình tiếp tuyến với (C ) biết tiếp tuyến tạo với
1
5
2
y x
−
= +
góc .
VẤN ĐỀ 4 :TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Cho hàm số y = f(x)
1. Nếu


= −∞

⇒

= +∞


= −∞


đường thẳng x = x
0
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
( )y f x=
.
2. Nếu
( )
( )
0
0
lim
lim
x
x
f x y
f x y
→+∞
→−∞
=

x 1
+
=
−
;d)
3
x
y
x 1
=
+
; e)
x 1
y
x 1
+
=
−
; g)
2
2
x x 2
y
3 2x 5x
+ +
=
− −
.
Bài 2: Cho hàm số
mx 1

I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Bài tốn 1: Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của hàm số trên miền các định hay một khoảng.
Phương pháp :
• Tìm tập xác định
• Tính y’
• Giải phương trình y’ =0 (các điểm tới hạn ) và tính giá trị tại các điểm tới hạn .
• Lập bảng biến thiên , căn cứ bảng biến thiên suy ra GTLN,GTNN.
Bài tốn 2: Tìm GTLN,GTNN của hàm số trên một đoạn [a ;b]?
Phương pháp :
• Tính y’
• Giải phương trình y’ =0 , để tìm các nghiệm
1 2
, , [ ; ]
n
x x x a b∈
• Tính các giá trị
1 2
( ), ( ), ( )
n
f x f x f x
và f(a) ,f(b)
• GTLN là số lớn nhất trong các giá trị vừa tìm
• GTNN là số bé nhất trong các giá trị vừa tìm.
• II.BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: 1.Tìm giá trị lớn nhát và giá trị nhỏ nhất của hàm số
y = x
4
– 2x
2
+ 1 trên đọan [-1 ; 2].

2) Tìm GTNN,GTLN của hàm số
3 2
( ) 3 4y f x x x= = − −
trên mỗi miền sau :
a)
1
1;
2
 
−
 
 
, b)
1
;3
2
 
 
 
, c)
[
)
3;5
3) Tìm GTNN,GTLN của các hàm số :
a)
2
5 6y x x= − +
trên đoạn
[ ]
5;5−

 
− π
 
 
Bài 3:Tìm GTLN,GTNN của hàm số
a)
2
( ) ( 2) 4y f x x x= = − −
; b)
2
( ) (3 ) 1y f x x x= = − +
; c)
2
( ) 5 4y f x x x= = − + −
VẤN ĐỀ 6 : SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐƯỜNG
I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Cho hai đường (C ) : y=f(x) và(C’ ): y=g(x)
Phương trình hồnh độ điểm chung của (C ) và (C’)là : f(x) =g(x) (1)
Biện luận:
(1) có n nghiệm đơn (C )và (C’) có n giao điểm .
(1) có 1 nghiệm kép (C )và (C’) có 1 giao điểm
(1) vơ nghiệm (C )và (C’)khơng có điểm chung.
Phương pháp giải:
Để biện ḷn phương trình F(x,m) = 0 (m là tham sớ ) bằng phương pháp đờ thị, ta tiến hành như sau:
• Biến đởi phương trình về dạng: f(x) = g(m)
• Xét các hàm sớ: y=f(x)có đờ thị(C ), hàm sớ y =g(m) có đờ thị
m
d

Giải thích : Khi đó phương trình (*) là phương trình hoành đợ giao điểm của của hai đờ thị (C )và

3. Cho hàm số :
3 2
y x 3x 9x 1= − − +

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số .
b) Tùy theo m biện luận số nghiệm của phương trình :
3 2
3 9 0x x x m− − + =
VẤN ĐỀ 7 : BÀI TOÁN TỔNG HP
GV Nguy ễn Văn Tiên- THPT Tam Quan –Bình Định - Trang 5 -
Tài liệu ôn tập tốt nghiệpTHPT môn Toán-2009-2010
Bài 1 : Cho hàm số
4 2
y x 2x 2= − + −
a ) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò ( C) của hàm số .
b) Tuỳ theo giá trò của m ,biện luận số nghiệm của phương trình :
4 2
x 2x 2 m 0− + + =
c) Viết phương trình tiếp tuyến của ( C) tại điểm có hoành độ x =2.
Bài 2:a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò ( C) của hàm số:
1
2
+
=
−
x
y
x
.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của ( C) tại giao điểm A của ( C) với trục tung.

(1)
a) Khảo sát hàm số (1) khi m = 1 ( đồ thò hàm số là (C))
b) Một đường thẳng (d) đi qua điểm M(0;4) có hệ số góc là k. Tìm tất cả các giá trò của k để (d)
cắt (C) tại 3 điểm phân biệt
c) Trong trường hợp tổng quát , Hãy tìm tất cả các giá trò của m để đồ thò hàm số (1) có điểm cực
đại và điểm cực tiểu ở về 2 phía của trục tung
Bài 6: Cho hàm số :
2 4
y a bx x= + −
( a,b tham số )
a) Tìm a,b để hàm số có cực trò bằng 4 khi x =2 .
b) Khảo sát và vẽ đồ thò ( C) của hàm số khi a=1,b=2 .
c) Dùng đồ thò (C ) biện luận theo m số nghiệm của phương trình :
4 2
4 8 4 4 0x x m− − + =
.
Bài 7 : Cho hàm số :
4 2 2
2( 2) 5 5y x m x m m= + − + − +

( )
m
C
.
a) Khảo sát và vẽ đồ thò( C ) của hàm số khi m=1 .
b) Viết phương trình tiếp tuyến của ( C) tại điểm có hoành độ x = 1.
c) Tìm giá trò của m để đồ thò
( )
m
C

GV Nguy ễn Văn Tiên- THPT Tam Quan –Bình Định - Trang 6 -
Tài liệu ôn tập tốt nghiệpTHPT môn Toán-2009-2010
a) A =
( )
4
3 24
3
12 6
a b
a b
; b) B =
1 7 1 5
3 3 3 3
1 4 2 1
3 3 3 3
a a a a
a a a a
−
−
− −
−
− +
; c) C =
2
3 3 3
3 3
a b
ab : ( a b)
a b
+

Bài 2: So sánh các số :
a)
( )
5
6
3
−
và
1
3
4
1
3
3
−
; b)
5
7
1
2
−
 
 ÷
 
và
3
14
2.2
; c)
30

+
+
+
; c) C =
2 2
3 3
1
log 24 log 72
2
1
log 18 log 72
3
−
−
;
d) D =
5 5
5
log 36 log 12
log 9
−
; e) E =
27
log72 2log log 108
256
− +
; g) G =
4 1 3 9
log log36 log
9 2 2 2

 
+
 ÷
 
Bài 4 :So sánh các số :
a)
3
log 7
và
5
log 4
; b)
3
log 4
và
4
1
log
3
; c)
3
5
2
log
3
và
3
2
3
log

3 2
x a b c=
; b)
4
3
3
a b
x
c
=

Bài 6: Trong mỗi trường hợp sau , hãy tìm x :
a)
3 3 3
log x 4log a 7log b= +
; b)
5 5 5
log x 2log a 3log b= −
Bài 7: Viết các biểu thức sau dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỷ:
a) A =
11
16
:a a a a a
(a>0) ; b) B=
4 2
25a b
với b
≤
0.; c)C=
3

1
x
y
x
−
=
+
; 6)
1 sin
ln
cos
x
y
x
+
=
; 7)
2
sin2 cosx x
y e
+
=
;
8) y = 2x
2
-
x
3
+
1x +

5
x
+
4
3
x
4
-sin(x
3
+1) ; 15)
2
x ln x
y 4
+
=
; 16) y=
2
3
x 1
x
+
+ e
3x-1

.cos(2x+1);
17)
1
(1 )
x
y

''' 13 ' 12y y y− =
c) y=xsinx thoả: xy – 2( y
/
- sinx) + xy
//
= 0;
d)
ln(cos )y x=
thoả: +)
y' y ''sin 2x 3tan x 0+ + =
; +)
y'tan x y'' 1 0− − =
e)
cos x
y e=
thoả :
'sin cos '' 0y x y x y+ + =
.;
g)
2 1
2
x
y
x
+
=
+
thoả :
2
2( ') ( 2) ''y y y= −

(1)f
biết f(x) = ln(1+x)
Bài 4: Tìm miền xác đònh của các hàm số :
a)
2
3
y log
10 x
=
−
; b)
2
3
y log (2 x)= −
; c)
2
1
y
log x 1
=
−
;
d)
3
y log x 2= −
e)
3
2
x 1
y log




>≠<
=
=⇔



≠<
=



<
<<
∨



>
>
⇔>
)x(g)x(f
1a0
)x(g)x(f
1a
aa
)x(g)x(f
3) Các phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ:

1
5.25.3
1x1x2
=−
−−
; 6/
x x 1 3
25 6.5 5 0
+
− + =
;
7/
2x 8 x 5
3 4.3 27 0
+ +
− + =
; 8/
2 2
x 1 x 1
9 3 6 0
+ +
− − =
; 9/
x x x
3.4 2.9 5.6+ =
;
10/
3x 2x 2x 3x
7 9.5 5 9.7+ = +
; 11/

1
2 21 2 0
2
+
+
 
− + =
 ÷
 
; 17/
x 1 x
4
4 16 2log 8
+
− =
; 18/
1 3
5 5 26 0
x x− −
+ − =
GV Nguy ễn Văn Tiên- THPT Tam Quan –Bình Định - Trang 8 -
Tài liệu ôn tập tốt nghiệpTHPT môn Toán-2009-2010
Bài 2: Giải các bất phương trình:
1/
077.649
xx
<−−
2 /
3 6
2 1

2 21 2 0
2
x
x
+
+
 
− + ≥
 ÷
 
; 8/
1
2 2 3 0
x x− +
+ − <
; 9/
1 1 1
9.4 5.6 4.9
x x x
− − −
+ <
; 10/;
10/
1
4
4 16 2log 8
x x+
− <
; 11/
0273.43

a
=
log
a
(N
1
.N
2
)= log
a
|N
1
| + log
a
|N
2
|
2a1a
2
1
a
NlogNlog
N
N
log −=
blog.clogblog
caa
=
alog
1

≠<
⇔=
0)x(g)x(f
1a0
)x(glog)x(flog
aa
;










>>
>



<<
<<
⇔>
0)x(g)x(f
1a
)x(g)x(f0
1a0
)x(glog)x(flog

2 2 2
log (x 1)(x 4) log 2 log (4 x)+ − = + −
;
7/
4 4 4
log (x 3) log (x 1) 2 log 8+ − − = −
; 8/
( )
2
3
3 3
log x log x 4+ =
;
9/
x
3
log (3 8) 2 x+ = +
; 10/
8
2
4 16
log 4x
log x
log 2x log 8x
=
;
11/
2 1 2
2
log (x 1) log (x 3) log (x 7)+ − + = +

3
(2 - x) - log
3
(2 + x) - log
3
x + 1 = 0 19/
1
log 10 1 log3 log( 1)
2
x x+ − = − −

Bài 2: Giải các bất phương trình:
GV Nguy ễn Văn Tiên- THPT Tam Quan –Bình Định - Trang 9 -
Tài liệu ôn tập tốt nghiệpTHPT môn Toán-2009-2010
1/
5
log (3 1) 1x − <
; 2/
4 2
log ( 7) log ( 1)x x+ > +
; 3/
2
0,5
log ( 5 6) 1x x− + ≥ −
;
4/
2
5
log ( 11 43) 2x x− + <
; 5/

; 11/
2
3 2
log log ( 1) 1x − ≤
; 12/
2
2
log ( 1)
1
1
2
x −
 
>
 ÷
 
.;
13/log
3
(x–1) > log
3
(5–x) +1;
CHỦ ĐỀ: IV:
NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
VẤN ĐỀ 12: NGUYÊN HÀM
A.KI Ế N TH Ứ C C Ầ N NH Ớ
1. Đònh nghóa: Hàm số f xác đònh trên K. Hàm số F được gọi là của f trên K nếu
'( ) ( ),F x f x x K= ∀ ∈
.
Chú ý :

= + ≠
∫

4) Với k là hằng số khác 0.
a.
cos
sin
kx
kxdx C
k
= − +
∫
; b.
sin
cos
kx
kxdx C
k
= +
∫
;
c.
kx
kx
e
e dx C
k
= +
∫
; d.

a.Ph¬ng ph¸p ®ỉi biÕn sè:
[ ] [ ]
( ) '( ) ( )f u x u x dx F u x C= +
∫

a.Ph¬ng ph¸p tích phân từng phần:
.udv u v vdu= −
∫ ∫

B.BÀI TẬP ÁP DỤNG
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau
1.
3 2
( ) 2 3 2f x x x x= − + −
; 2.
2
( ) 3 3f x x x x= + + +
; 3.
( ) sin 2cos( 1) 3f x x x= + + +
;
4.
2
2 1
( )
3
x
f x
x x
+
=

b
a
f x dx F b F a= −
∫
2. Tính chất Với f(x), g(x) liên tục trên khoảng K và a, b, c là ba số bất kỳ thuộc K. Khi đó ta có:
1)
∫
a
a
dx)x(f
= 0; 2)
∫
a
b
dx)x(f
= -
∫
b
a
dx)x(f
;
GV Nguy ễn Văn Tiên- THPT Tam Quan –Bình Định - Trang 10 -
Tài liệu ôn tập tốt nghiệpTHPT môn Toán-2009-2010
3)
( )
b
a
f x dx
∫
+

b
a
dx)x(f.k
= k.
∫
b
a
dx)x(f
; k
R∈
2. Các phương pháp tính tích phân
a.Phương pháp đổi biến số:
[ ]
( )
( )
( ) '( ) ( )
u b
b
a
u a
f u x u x dx f u du=
∫ ∫
a.Ph¬ng ph¸p tích phân từng phần:
( )
( ) '( ) ( ) ( ) | ( ) '( )
b b
b
a
a a
u x v x dx u x v x v x u x dx= −

dxxx ).cos3sin2(

4.
∫
2
4
2
.
sin
1
π
π
dx
x
.
5.
4
4 4
0
(cos sin )x x dx
π
−
∫
6.
∫
6
0
.4sin.sin
π
dxxx

2
0
tan xdx
π
∫
12.
2
0
1
3 7
dx
x +
∫
13.
2
1
1
( 4)
dx
x x −
∫

14.
0
2
1
1
2 5 3
dx
x x

0
2 5 1
3
x x
dx
x
+ −
−
∫
18.
0
sin
6
x
dx
π
∫
19.
3
0
2x dx−
∫
20.
4
2
0
4 3x x dx− +
∫
Bài 2. Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến số:
1

1
1
2
1
(x=sint)
4.
dxx
∫
−
4
1
2
16
( x=4sint)
5.
dxxx
∫
−
2
1
22
4

(x=2sint)
6.
dx
xx
∫
−
++

x t
π
= −
)
Bài 3. Tính các tich phân sau bằng phương pháp đổi biến số:
1.
1
2010
0
(1 )x x dx−
∫

(t=1-x)
2.
∫
+
1
0
32 dxxx( 2 3)t x= +
3.
∫
+
1
0
2
1dxxx
2

+
1
ln1
(t=lnx)
7.
dx
x
x
e
∫
+
1
ln32

( 2 3ln )t x= +
8.
dxx
x
x
e
∫
+
1
ln
ln31( 1 3ln )t x= +
9.
dx

1
1
dx
e
e
x
x
.
( 1)
x
t e= −
12.
ln8
ln3
1
x
e dx+
∫

( 1)
x
t e= +
13.
dx
x
e
x
∫
+
4

x
x
2
cos)1(
∫
−
+
π
π
5.
dxex
x2
1
0
∫
GV Nguy ễn Văn Tiên- THPT Tam Quan –Bình Định - Trang 11 -
Tài liệu ôn tập tốt nghiệpTHPT môn Toán-2009-2010
6.
1
2
0
( 3 1)
x
x x e dx− +
∫
7.
xdxe
x
cos
2

=
∫
; 2)
cos
0
( 1)sin
x
I e xdx
π
= +
∫
; 3) I=
1
1 ln
e
x
dx
x
+
∫
;
4)I=
6
0
(3 2 )sin 2x xdx
π
−
∫
; 5) I =
( )

; 9)
4
2
0
sinJ x xdx
π
=
∫
;
10)
5
2
4
4 3
dx
I
x x
=
− +
∫
; 11)
3
3 2
0
1I x x dx= +
∫
; 12)
3
2
0

x
1xln
; 17) J =
∫
π
+
0
dx.x2cos1
; 18) K =
∫
+
1
0
23
dx.2xx
;
19) I =
3
2
4
sin
xdx
x
π
π
∫
; 20)
2 2
0
sin

1
2
0
2
.
1
x
e dx
x
 
−
 ÷
+
 
∫
; 24) I =
2
3
2
4
3 2cot
cos
g x
dx
x
π
π
−
∫
;

ln x
dx
x
+
∫
;
28) I =
∫
3
8
1
2
x
dx
29) I =
∫
π
+
2
0
dx
5sinx1
cosx
30) I =
2
2
3
1
2x x
dx

là:
| ( ) ( ) |
b
a
S f x g x dx= −
∫
2. THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ
Hàm số
( )y f x=
liên tục, không âm trên đoạn
[ ]
;a b
. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thò hàm số
( )y f x=
, trục hoành và hai đường thẳng
,x a x b= =
, quay quanh trục hoành tạo nên một khối tròn
xoay có thể tích là:
GV Nguy ễn Văn Tiên- THPT Tam Quan –Bình Định - Trang 12 -
Tài liệu ôn tập tốt nghiệpTHPT môn Toán-2009-2010
2
( )
b
a
V f x dx
π
=
∫
BÀI TẬP ÁP DỤNG.
Bài 1. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường sau:

= = = =
7.
2
2
, 0, 0, 2
x
y xe y x x
+
= = = =
8.
2
1
ln , 0, ,y x y x x e
e
= = = =
9.
2 3
sin cos , 0, 0,
2
y x x y x x
π
= = = =
10.
2
ln , 0, 1,y x x y x x e= = = =
Bài 2. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường sau:
1.
2
, 4 4 , 0, 3y x x y x x x= − = − = =


Ox.
1.
2
3 , 0y x x y= − =
2.
2
, 3y x y x= =
3.
3
1, 0, 0, 1y x y x x= + = = =
4.
4
5 ,y x y
x
= − =
5.
sin , 0, 0,
2
y x y x x
π
= = = =
6.
, 0, 0, 1
x
y xe y x x= = = =
7.
ln , 0, 1,y x x y x x e= = = =
8.
4 4
cos sin , 0, 0,

0 x 1
≤ ≤
) khi ta quay quanh (D) quanh Ox.
CHỦ ĐỀ V: SỐ PHỨC
VẤN ĐỀ 15: SỐ PHỨC
KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Tập hợp số phức: C
2. Số phức (dạng đại số) :
z = a + bi (a, b
R∈
, i là đơn vị ảo, i
2
= -1); a là phần thực, b là phần ảo của z
• z là số thực
⇔
phần ảo của z bằng 0 (b = 0)
• z là phần ảo
⇔
phần thực của z bằng 0 (a = 0)
3. Hai số phức bằng nhau:
GV Nguy ễn Văn Tiên- THPT Tam Quan –Bình Định - Trang 13 -
Tài liệu ôn tập tốt nghiệpTHPT môn Toán-2009-2010
a + bi = a’ + b’i
)',',,(
'
'
Rbaba
bb
aa
∈

và z – z’ biểu diễn bởi
→→
− 'uu
6. Nhân hai số phức : (a + bi)(a’ + b’i) = (aa’-bb’) + (ab’ + ba’)i (a, a’, b, b’
)R∈
.
7. Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là
biaz −=
−
a)
'.'.;''; zzzzzzzzzz =+=+=
b) z là số thực
zz =⇔
; z là số ảo
zz −=⇔
8. Mơđun của số phức : z = a + bi
a)
OMzzbaz ==+=
22
b)
00,0 =⇔=∈∀≥ zzCzz
c)
Czzzzzzzzzz ∈∀+≤+= ','',''.
9. Chia hai số phức :
a) Số phức nghịch đảo của z (z
)0≠
:
z
z
z

z
z
z
z
z
z
z
'
'
,
''
==






10. Căn bậc hai của số phức : z là căn bậc hai của số phức
ω

ω
=⇔
2
z
z = x + yi là căn bậc hai của số phức w = a + bi





0
≠
có đúng hai căn bậc hai đối nhau
* Hai căn bậc hai của a > 0 là
a±
* Hai căn bậc hai của a < 0 là
ia.−±
11. Phương trình bậc hai Az
2
+ Bz + C = 0 (A, B, C là số phức cho trước, A
0
≠
).
ACB 4
2
−=∆
a)
0
≠∆
: Phương trình có hai nghiệm phân biệt
A
B
2
δ
±−
, (
δ
là 1 căn bậc hai của
)∆
b)

1
3
ĐS :
2
33 −
và
2
3122 −−
Bài 2: Cho số phức z = x + yi. Tìm phần thực và phần ảo của các số phức :
a) z
2
– 2z + 4i ĐS: x
2
– y
2
– 2x và 2(xy – y + 2)
b)
1−
+
iz
iz
ĐS:
22
)1(
2
++
−
yx
xy
và

b)
0)
2
1
](3)2[( =+++−
i
izizi
ĐS: -1 + i ; 1/2
c)
izz 422 −=+
ĐS: 2/3 + 4i
d)
0
2
=+ zz
ĐS: 0, i, -i
e)
0
2
2
=+ zz
ĐS: bi (b
)R∈
Bài 4: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn mỗi điều kiện sau:
a)
43 =++ zz
ĐS: x = 1/2 và x = -7/2
b)
izz −+− 1
= 2 ĐS: y =

)32)(32( iaia +−
c) 4a
4
+ 9b
2
ĐS: (2a – 3bi)(2a + 3bi)
Bài 7: Thực hiện phép tính :
a)
i21
3
+
ĐS:
i
5
6
5
3
−
b)
i
i
−
+
1
1
ĐS: i
c)
mi
m
ĐS: -i

3
5
4
+
f)
22
22
)2()23(
)1()21(
ii
ii
+−+
−−+
ĐS:
i
17
9
34
21
+

Bài 8: Tìm căn bậc hai của mỗi số phức sau :
a) -1 + 4
i.3
ĐS:
).23( i+±
b) 4 + 6
i.5
ĐS:
).53( i+±

– (3 – i)x + 4 – 3i = 0 ĐS: 2 + i ; 1 – 2i
Bài 10: Giải các hệ phương trình :
a)



−=+
+=+
izz
izz
25
4
2
2
2
1
21
ĐS:(3 – i; 1 + 2.i) và (1 + 2.i; 3 – i)
GV Nguy ễn Văn Tiên- THPT Tam Quan –Bình Định - Trang 15 -
Tài liệu ôn tập tốt nghiệpTHPT môn Toán-2009-2010
b)



+−=+
−−=
izz
izz
.25
.55.

9.
2 3
( 3 2 )(1 ) (1 2 ) (3 )i i i i− + − + − +

10.
3
1 3
2 2
i
 
− +
 ÷
 ÷
 

11.
3
1 3
2 2
i
 
+
 ÷
 ÷
 
12.
2110
(1 )i+
13.
2000


8.
4 4
(2 7 ) [(1 2 )(3 )]i i i+ − − +

9.
2 3
( 3 2 )(1 ) (1 2 ) (3 )i i i i− + − + − +

Bài 13 `. Thực hiện các phép tính sau:
1.
2
1 3
i
i
+
− −
2.
2 5
3 2
i
i
−
−

3.
5
2 5
i
i−

2 5
(1 3 )( 2 )(1 )
i
i i i
− +
+ − − +

9.
2
3
( 3 2 )(1 )
(1 2 ) (3 )
i i
i i
− + −
− +

10.
(2 ) (1 )(4 3 )
3 2
i i i
i
+ + + −
−
11.
(3 4 )(1 2 )
4 3
1 2
i i
i


6 .
3
(2 7 )(4 )
z
i
i i
= −
+ +

7.
(9 3 ) (11 6 )
5 7
i i
i
z
− − +
= −

8.
2
( 2 5 ) ( 2 7 ) (1 )(1 2 )i z i i i+ = − + − − − 9.
3 5 1 2
(1 )(4 3 )
1 3 2
i i
z i i

+ +
2
1 3
1 2
i
z
i
+
=
+
3
3
1 3
i
z
i
−
=
+
4
1 tan
1 tan
i
z
i
α
α
+
=
+

B S ; h Chiêu cao.
′
= = =
= =
GV Nguy ễn Văn Tiên- THPT Tam Quan –Bình Định - Trang 16 -
Tài liệu ôn tập tốt nghiệpTHPT môn Toán-2009-2010
Bài tập
1/ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với đáy , cạnh bên
SB bằng a
3
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a .
2/ Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a và SA = b . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và
b.
3/ Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a và góc SAC bằng 45
0
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
4/ Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vng tại đỉnh B, cạnh bên SA vng góc với
đáy. Biết SA = AB = BC = a. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a .
5/ Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a và góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60
0
. Tính thể tích
khối chóp S.ABCD.
6/ Cho khối hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ có thể tích V. Tính thể tích khối tứ diện C’ABC theo V.
7/Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng tại B, cạnh bên SA
⊥
(ABC), biết
AB = a, BC =
3a
, SA = 3a.
1/ Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.

góc 60
0
. Hãy tính thể tích của khối chóp đó.
14/Cho hình nón tròn xoay có đỉnh là S, đường tròn đáy có tâm O,độ dài đường sinh
=l a
, góc hợp bởi
đường sinh và mặt phẳng chứa đường tròn đáy là
4
π
. Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của
hình nón theo
a
.
15/Trong khơng gian cho tam giác SOM vng tại O,
·
o
30
=
MSO
,
3
=
OM
. Quay đường gấp khúc SMO
quanh trục SO tạo ra hình nón
a/. Tính diện tích xung quanh của hình nón.
b/. Tính thể tích khới nón.
16/ Hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vng tại A, AC = b, góc C = 60
0
.Đường

CHỦ ĐỀ II. MẶT TRỊN XOAY
VẤN ĐỀ 17: MẶT CẦU, KHỐI CẦU
1. Định nghĩa:Mặt cầu (S) có tâm O bán kính R kí hiệu: S(O; R). S(O; R) = {M| OM = R}
2. Vò trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng
Cho mặt cầu S(O; R) và mặt phẳng (P). Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên (P).
Khoảng cách từ O đến (P) là độ dài đoạn OH . Ta có:

) ( ) ( ; )a OH R P S O R> ⇔ ∩ = ∅

{ }
) ( ) ( ; )b OH R P S O R H= ⇔ ∩ =

) ( ) ( ; ) ( ; )c OH R P S O R C H r< ⇔ ∩ =

- H gọi là tiếp điểm ;
2 2
r R d= −
; (P) gọi là tiếp diện
3. Vò trí tương đối của mặt cầu và đường thẳng
Cho mặt cầu S(O; R) và đường thẳng d. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên d.
Khoảng cách từ O đến d là độ dài đoạn OH. Tacó:
) ( ; )a OH R d S O R> ⇔ ∩ = ∅

{ }
) ( ; )b OH R d S O R H= ⇔ ∩ =

{ }
) ( ; ) ;c OH R d S O R A B< ⇔ ∩ =

- H gọi là tiếp điểm - d gọi là cát tuyến

P
C(O;R)
S(O;R)
d
R
d
R
H
B
O
O
O
A
H
H
P
S(O;R)
P
S(O;R)
P
S(O;R)
R
R
r
R
M
M
O
O
O

- Chứng minh A, B, C, D, A’, B,’ C’, D’ cách đều một điểm cố đònh.
Gọi O là giao điểm các đường chéo của hình hộp chữ nhật.
Ta có O cách đều A, B, C, D, A’, B’, C’, D’
2) Cho tam giác ABC vuông tại B, DA vuông góc với mặt phẳng (ABC).
a) Xác đònh mặt cầu qua bốn đỉnh A, B, C, D.
b) Cho AB = 3a, BC = 4a, AD = 5a. Tính bán kính mặt cầu trong a).
HD: a) Ta có
BC AB
BC BD
BC AD
⊥

⇒ ⊥

⊥


và
( )DA ABC DA AC⊥ ⇒ ⊥
Vậy A và B cùng nhìn CD dưới một góc vuông
Nên thuộc mặt cầu đường kính CD
b) Bán kính mặt cầu
2 2
5 2
2 2 2
DC BD BC a
R
+
= = =
3) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác đều có SA vuông góc

4) Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc, OA = a, OB = b và OC = c. Xác đònh
tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ điện OABC.
HD: Xác đònh tâm mặt cầu:
- Gọi E là trung điểm của BC
⇒
E là tâm đường ngoại tiếp
tam giác OBC
GV Nguy ễn Văn Tiên- THPT Tam Quan –Bình Định - Trang 19 -
O
D
A
C
B'
A'
D'
C'
B
3a
4a
5a
A
B
C
D
a
a
B
A
D
C

 ÷
 ÷
 
 
2 2 2
1
2
R a b c⇒ = + +
5) Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a góc giữa cạnh bên và mặt đáy là
ϕ
. Tính bán
kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
HD: - Gọi I là tâm của đáy ABCD
SI
⇒
là trục của đường tròn ngoại tiếp đáy.
- Gọi E là trung điểm của AB
⇒
¶
SEI
ϕ
=
- Mặt phẳng trung trực SA cắt SI tại O. Ta có SO là bán kính mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp.
- Gọi F là trung điểm của SA.
Ta có
2
.
2
SO SF SF SA SA

6) Cho hình tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi B’, C’, D’ là trung điểm của các cạnh
AB, AC, AD. Xác đònh tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp cụt B’C’D’.BCD
HD: Gọi G, G’lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, A’B’C’.
Mặt phẳng trung trực của BB’ cắt GG’ tại O, E là trung điểm BB’.
Ta có OB là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp cụt B’C’D’.BCD
2
2 2 2
4
a
OB BE OE OE
 
= + = +
 ÷
 
Mà:
.AE EO GB AE
EO
AG GB AG
= ⇒ =

2
2
3 3
.
3 2
3 4
8
3
3
a a

' ' '
2 3 6
a a a
R OG G A
 
 
= + = + =
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
Dạng 3: Sự tương giao giữa mặt cầu và mặt phẳng, đường thẳng
a) Cho mặt cầu S(O; R) và mặt phẳng (P). Gọi H là hình chiếu của O lên (P)
) ( ) ( ; )a OH R P S O R> ⇔ ∩ = ∅

{ }
) ( ) ( ; )b OH R P S O R H= ⇔ ∩ =
. H gọi là tiếp điểm; (P) gọi là tiếp diện
) ( ) ( ; ) ( ; )c OH R P S O R C H r< ⇔ ∩ =
.
2 2
r R d= −

GV Nguy ễn Văn Tiên- THPT Tam Quan –Bình Định - Trang 20 -
F
ϕ
E
I
B


) ( ; )a OH R d S O R> ⇔ ∩ = ∅
.
{ }
) ( ; )b OH R d S O R H= ⇔ ∩ =
. H gọi là tiếp điểm; d gọi là tiếp tuyến.
{ }
) ( ; ) ;c OH R d S O R A B< ⇔ ∩ =
. d gọi là cát tuyến; AB gọi là dây cung.
Bài tập áp dụng
8) Cho mặt cầu đường kính AA’ = 2R. Gọi H là điểm trên đoạn AA’
sao cho AH =
3
R4
. Mặt phẳng (P) qua H vuông góc với AA’
cắt mặt cầu theo đường tròn (C).
a) Tính diện tích của hình tròn (C).
b) Gọi BCD là tam giác nội tiếp trong đường tròn (C).
Tính khoảng cách từ A, A’ đến (BCD).
9) Cho mặt cầu (S) tâm O bán kính R, điểm A nằm trên mặt cầu, (P) là mặt phẳng qua A sao cho
góc giữa OA và (P) bằng 30
0
.
a) Xác đònh vò trí tương đối của (P) và mặt cầu. Tính diện tích thiết diện.
b) Đường thẳng
∆
qua A vuông góc với (P) cắt mặt cầu tại B. Tính độ dài đoạn AB.
HD: a) - Gọi H là hình chiếu của O lên (P)
Ta có
·

2 2
R OH r= +
VẤN ĐỀ 18: MẶT TRỤ, MẶT NÓN
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
A. MẶT TRỤ
1. Mặt trụ là hình tròn xoay sinh bởi đường thẳng l khi quay quanh đường thẳng
∆
song song
với l.
- Đường thẳng
∆
là trục
- Khoảng cách giữa
∆
và l là bán kính
2. Hình trụ là hình tròn xoay sinh bởi khi quay một hình chữ nhật quanh một đường trung bình
của
nó.
3. Khối trụ là hình trụ cùng với phần bên trong của nó.
4. Các công thức Công thức tính diện tích
xq
S =2 Rh
π
;
TP xq 2
S = S + S = 2 R.(h +R)
π
đáy
GV Nguy ễn Văn Tiên- THPT Tam Quan –Bình Định - Trang 21 -
P

2
V= R .h
π
Chú ý: V’ = S
xq
B. MẶT NÓN
1. Mặt nón là hình tròn xoay sinh bởi đường thẳng l khi quay quanh đường thẳng
∆
cắt l nhưng
không vuông góc với l.
- Đường thẳng
∆
là trục
- Giao điểm O của l và
∆
gọi là đỉnh.
- Hai lần góc hợp bởi l và
∆
gọi là góc ở đỉnh.
2. Hình nón là hình tròn xoay sinh bởi khi quay một tam giác cân quanh trục của nó.
3. Khối nón là hình nòn cùng với phần bên trong của nó.
4. Các công thức Công thức tính diện tích
xq
S = Rl
π
;
TP xq
S = S + S = R.(l +R)
π
đáy

không đổi. Chứng minh đường thẳng l luôn
luôn nằm trên một mặt nón.
HD: Qua O dựng đường thẳng
∆
vuông góc với (P)
Ta có góc giữa l và
∆
bằng
0
90
α
−
Đường thẳng l nằm trên mặt nón đỉnh O
và góc ở đỉnh
0
2 180 2
β α
= −
13/Trong mặt phẳng (P) cho góc
·
xOy
. Một mặt phẳng (Q)
thay đổi luôn luôn vuông góc với phân giác của
·
xOy
cắt
các tia Ox, Oy lần lượt tạiA, B. Trong mặt phẳng (Q) lấy
điểm M luôn nhìn đoạn AB dưới góc vuông.
Chứng minh: M nằm trên một mặt nón .
HD: Goi tia Oz là phân giác của

P
x
z
y
A
B
I
O
M
Tài liệu ôn tập tốt nghiệpTHPT môn Toán-2009-2010
14/Một hình trụ có bán kính đáy bằng R, trục OO’ và đường cao R
3
. Hai điểm A, B nằm trên hai
đường tròn đáy sao cho góc hợp bởi AB và trục của hình trụ bằng 30
0
.
a. Tính diện tích thiết diện qua AB và song song với trục hình trụ.
b. Tính góc giữa hai bán kính đáy qua A và B.
c. Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB vàtrục hình trụ.
HD: a. Thiết diện qua AB song song với trục là hình chữ nhật ACBD
S
ACBD
= AD.BD = AD
2
tan30
0
b. Góc giữa hai bán kính qua A và B bằng
·
AOC
với

MNPQ
MN MQ SM a x a x a x
MN MQ S
AB AD SA a
− − −
 
= = = ⇒ = = ⇒ =
 ÷
 
b. Thể tích khối trụ
2
2
2(2 )
. .
16
a x x
V OM AM
π
π
 
−
 
= =
c. V lớn nhất khi
2
(2 )a x x−
lớn nhất
Mà
2
(2 ) 4

HD: Có
( )r h x R h x
r
R h h
− −
= ⇒ =
Diện tích thiết diện
2
2 2
2
( ) ( )R h x R h x
S
h h
π π
− −
 
= =
 
 
17) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.
g. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ có
đường tròn của hai đáy ngoại tiếp các hình vuông ABCD
và A’B’C’D’.
h. Chứng minh tất cả các đỉnh của hình lập
phương nằm trên một mặt cầu. Hãy tính diện
tích mặt cầu đó.
GV Nguy ễn Văn Tiên- THPT Tam Quan –Bình Định - Trang 23 -
R
x
O

C
A
C'
D
A'
D'
B
B'
O'
O
Tài liệu ôn tập tốt nghiệpTHPT môn Toán-2009-2010
HD: a. Hình trụ có bán kính đáy
2
2
a
R =
; chiều cao h = a
b. Gọi O, O’ lần lượt là tâm hai đáy, I là trung điểm của OO’
Chứng minh: I cách đều các đỉnh của hình lập phương. Bán kính mặt cầu R
C
= IA
CHỦ ĐỀ III: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN
VẤN ĐỀ 19: : VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN
1. Tọa độ của điểm :
( )
; ;M x y z OM xi y j zk
⇔ = + +
uuuur r r r
O(0; 0; 0)
đặcbiệt:

và
( )
' '; '; 'u x y z=
ur
' { '; '; '}u u x x y y z z
= ⇔ = = =
r ur
( )
' '; '; 'u u x x y y z z
± = ± ± ±
r ur
( )
; ;ku kx ky kz
=
r
4. Tích vơ hướng:
. ' . ' . ' . 'u u x x y y z z
= + +
r ur
. 0u v u v= ⇔ ⊥
r r r r
5. Các cơng thức tính độ dài và góc
2 2 2
u x y z= + +
r
( )
2
2 2
) ( ) (
B A B A B A

2. Cho M(a, b, c)
Tìm tọa độ hình chiếu của M lên các trục tọa độ
Tìm tọa độ hình chiếu của M lên các mp tọa độ
3. Cho hình bình hành ABCD có A(-3; -2; 0), B(3; -3; 1), C(5; 0; 2). Tìm tọa độ D và tính góc giữa
hai vecto
,AC BD
uuur uuur
4. Tính tích vơ hướng của
.a b
r r
, biết
a)
( ) ( )
3;0; 6 ; 2; 4;0a b= − = −
r r
b)
( ) ( )
1; 5;2 ; 4;3; 5a b= − = −
r r
5. Tìm góc giữa hai vecto
;u v
r r
a)
( ) ( )
1;1;1 ; 2;1; 1u v= = −
r r
b)
3 4 , 2 3u i j v j k= + = − +
r r r ur r r
6. Tìm M trên Ox sao cho M cách đều A(1; 2; 3) và B(-3; -3; 2)

( ) ( ) ( )
2 2 2
2
x a y b z c R
− + − + − =
(1)
Phương trình mặt cầu dạng khai triển:
x
2
+y
2
+z
2
– 2ax – 2by – 2cz + d = 0, đk: a
2
+ b
2
+ c
2
– d >0 (2)
Tâm I(a; b; c) và bán kính R=
2 2 2
a b c d+ + −
Chú ý:
Mặt cầu có tâm I và qua A thì R = IA =
( ) ( ) ( )
2 2 2
A I A I A I
x x y y z z− + − + −
Mặt cầu có đường kính AB thì R =

; ;u x y z=
r
và
( )
' '; '; 'u x y z=
ur
;
[ , '] ; ; ( ' '; ' '; ' ')
' ' ' ' ' '
y z z x x y
u u yz zy zx xz xy yx
y z z x x y
 
= = − − −
 ÷
 
r ur
Nhận xét:
1.
;u v
r r
cùng phương thì
( )
[ , ] 0 0;0;0u v = =
r r r
2.
[ , ] [ , ]u v v u= −
r r r r
3.
[ , ]; [ , ]u u v v u v⊥ ⊥