Chương I : ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ
HÀM SỐ
VẤN ĐỀ 1 : PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN
DẠNG 1 : ViÕt PTTT t¹i ®iĨm thc ®å thÞ
1. Cho hµm sè
1
2
2 xy x − +=
, cã ®å thÞ (C). LËp PTTT víi
(C) t¹i ®iĨm cã hoµnh ®é b»ng 1.
2. Cho hµm sè
1 1
3 2
3 2
y x x= − +
, cã ®å thÞ (C). LËp PTTT víi
(C) t¹i ®iĨm
( )
5
1;
6
B C− ∈
 
 ÷
 
.
3. Cho hµm sè
= − +
3
3 2y x x
, cã ®å thÞ (C). ViÕt PTTT cđa

8. Cho hµm sè
3 2
3 4y x x= - +
. ViÕt PTTT t¹i giao ®iĨm cđa
(C) víi trơc hoµnh. (C§ Y TÕ Nam §Þnh 01)
9. Cho
2
(3 )y x x= -
, cã ®å thÞ (C). ViÕt PTTT cđa (C) t¹i ®iĨm
n cđa nã vµ t×m to¹ ®é c¸c giao ®iĨm cđa tiÕp tun nµy víi tiÕp
tun cđa (C) t¹i c¸c ®iĨm cùc ®¹i vµ ®iĨm cùc tiĨu cđa nã. (§H
Th¨ng Long D01)
10. Cho hµm sè
4 2
2y x x= - +
, cã ®å thÞ (C). ViÕt PTTT cđa
(C) t¹i ®iĨm
A( 2;0).
(§H Th¸i Nguyªn D01)
11. Cho
= − −
4 2
2 3y x x
, cã ®å thÞ (C). ViÕt PTTT víi (C) t¹i
®iĨm cã hoµnh ®é b»ng 2. (§H §µ N½ng97)
13. Cho hµm sè
1
1
x
y

+
, cã ®å thÞ (C). LËp PTTT víi
(C) t¹i ®iĨm
( )
5
1;
2
A C∈
 
 ÷
 
.
16. Cho hµm sè
2
2
1
x x
y
x
+
=
+
, cã ®å thÞ (C). LËp PTTT víi (C)
t¹i ®iĨm
( )
3
1;
2
R C∈
 

=
+
2
1
1
x x
y
x
, cã ®å thÞ (C). LËp PTTT víi (C)
t¹i ®iĨm cã tung ®é b»ng 1.
20. Cho hµm sè
3 2
3y x x mx= + +
, cã ®å thÞ
(C )
m
. ViÕt
PTTT cđa
(C )
m
t¹i ®iĨm n cđa nã. CMR tiÕp tun ®ã ®i qua
®iĨm M(1;0) khi vµ chØ khi m=4.
23. Cho hµm sè
1
3
1
3
y x x= − +
, cã ®å thÞ (C). Trong tÊt c¶
c¸c tiÕp tun víi ®å thÞ (C), h·y t×m tiÕp tun cã hƯ sè gãc

c. Chøng tá r»ng trong c¸c tiÕp tun cđa ®å thÞ (C) th× tiÕp
tun t¹i ®iĨm n cã hƯ sè gãc nhá nhÊt.
28. Cho hµm sè
= + −
3 2
2 3 1y x x
, cã ®å thÞ (C). T×m trªn
(C) ®iĨm mµ t¹i ®ã hƯ sè gãc cđa tiÕp tun ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.
29. Cho hµm sè
3 2
2 3 2 1y x mx m= + − +
, trong ®ã m lµ
tham sè thùc.
a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (C) cđa hµm sè øng víi
gi¸ trÞ m = 1.
b. T×m trªn ®å thÞ (C) ®iĨm mµ t¹i ®ã hƯ sè gãc cđa tiÕp tun
®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.
30. Cho hµm sè
1
3 2
2 3
3
y x x x= − +
, cã ®å thÞ (C). viÕt ph-
¬ng tr×nh tiÕp tun cđa ®å thÞ (C) t¹i ®iĨm n vµ chøng minh
r»ng (d) lµ tiÕp tun cã hƯ sè gãc nhá nhÊt.
31. Cho hµm sè
= − + −
3 2
3 2y x x

y =
. ViÕt PTTT víi c¸c
®å thÞ cđa hai hµm sè t¹i c¸c giao ®iĨm cđa chóng. T×m gãc t¹o
thµnh gi÷a hai tiÕp tun trªn
.
34. Cho
2 3
2
x
y
x
-
=
-
, cã ®å thÞ (C). T×m c¸c ®iĨm cã to¹ ®é
nguyªn cđa (C) vµ viÕt PTTT t¹i c¸c ®iĨm ®ã.
35. Cho
4
1
1
y x
x
= + +
-
, cã ®å thÞ (C). ViÕt PTTT víi (C)
t¹i ®iĨm
0
2x =
. (C§ BC Marketing A01)
36. Cho

, cã ®å thÞ (C). T×m tÊt c¶ c¸c
cỈp ®iĨm trªn (C) mµ c¸c tiÕp tun t¹i ®ã song song víi nhau.
39. Cho hµm sè
= + +
−
1
1
1
y x
x
, cã ®å thÞ (C). T×m nh÷ng
®iĨm trªn (C) cã hoµnh ®é lín h¬n 1 sao cho tiÕp tun t¹i ®iĨm
®ã t¹o víi hai ®êng tiƯm cËn mét tam gi¸c cã chu vi nhá nhÊt.
(§H QGHNA00)
40. Cho hµm sè
− +
=
−
2
2 3
2
x x m
y
x
, cã ®å thÞ
(C )
m
. Gäi A
lµ giao ®iĨm cđa
(C )

8x mx
y
x m
. X¸c ®Þnh m ®Ĩ ®å thÞ hµm
sè c¾t Ox t¹i 2 ®iĨm ph©n biƯt mµ tiÕp tun t¹i hai ®iĨm ®ã
vu«ng gãc víi nhau. (§H CSND G00)
43. Cho hµm sè
2
2 (6 )
2
x m x
y
mx
+ -
=
+
, cã ®å thÞ (C). CMR
t¹i mäi ®iĨm cđa (C) tiÕp tun lu«n c¾t hai tiƯm cËn mét tam
gi¸c cã diƯn tÝch kh«ng ®ỉi. (HV QY-2001)
44. Cho hµm sè
+
=
3
1x
y
x
, cã ®å thÞ (C). T×m tÊt c¶ PTTT
cđa (C) biÕt mçi mét trong c¸c tiÕp tun ®ã cïng víi c¸c trơc
täa ®é giíi h¹n mét tam gi¸c cã diƯn tÝch b»ng
1

−
.
47. Viết phương trình tiếp tuyến với (P): y = f(x) = x
2
− 2x − 3 đi
qua M
1
(5;3).
48. Viết phương trình tiếp tuyến của (C):y=f(x)=x
3
–3x+1 kẻ từ
M(3; − 1).
49. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) : y = f(x) = x − 2+
1x
4
−
đi qua A(0;3).
50. Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x)=
1x
1x
+
−
đi
qua H(1;1).
DẠNG 2 : ViÕt PTTT biÕt nã ®i qua ®iĨm
0 0 0
( ; )M x y
1. Cho hàm số
3
3 1y x x= +

viết các PTTT với (C). (ĐH DL Đông Đô-A00)
4. Cho hàm số
3 2
y x x= +
, có đồ thị (C). Lập PTTT với (C)
biết nó đi qua điểm
( )
2; 4N
.
5. Cho hàm số
3 2
3 2y x x= - +
. Viết PTTT của (C) đi qua
điểm A(-1;2). (ĐH DL Phơng Đông D01)
6. Cho hàm số
3 2
3 2y x x= - +
. Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ
thị đi qua điểm A(0;3)? Viết PTTT đó.
7. Cho hàm số
= +
3 2
3 2y x x
, có đồ thị (C). Viết PTTT của
(C) từ điểm M(1;0). (ĐH AN D,G00)
8. Cho hàm số
3
3 2 (C)y x x= - + -
. Viết PTTT của (C) biết
nó đi qua điểm A(-2;0). (CĐSP Hà Nam-05)

2
1
3
2 3 2 1y x x x= +
, có đồ thị (C).Tìm
toạ độ điểm M trên (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M đi qua gốc
O.
5. Cho hàm số
( )
3 2 2
3 3 1y x mx m x m= + +
, m là
tham số.
a. Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực tiểu tại x = 2.
b. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
c. Viết PTTT với (C) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm A(0; 6).
16. Cho hàm số
3 2
2 3 5y x x= +
, có đồ thị (C). Chứng minh
rằng từ điểm
( )
1; 4A
có ba tiếp tuyến với (C).
17. Cho hàm số
1
4 2
2 1
2
y x x= +

c
*
. Tìm trên đờng thẳng y = -2 các điểm từ đó có thể kẻ đến đồ thị
(C) hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.
21. Cho
1 3
4 2
3
2 2
y x x= +
, có đồ thị (C). Lập PTTT với (C)
biết nó đi qua điểm
( )
3
2
0;T
. (ĐH CSND-A00).
22. Cho hàm số
=
1 1
4 2
2 2
y x x
, có đồ thị (C). Viết PTTT của
(C) đi qua gốc tọa độ. (ĐH Kiến Trúc HN 99)
23. Cho hàm số
2 5
2
x
x

A(0;a) kẻ đợc hai tiếp tuyến đến (C) sao cho hai tiếp tuyến tơng
ứng nằm về hai phía đối với trục Ox.
26. Cho hàm số
3 2
2
x
y
x
+
=
+
, có đồ thị (C). Chứng minh rằng
không có tiếp tuyến nào của (C) đi qua giao điểm của hai đờng
tiệm cận của đồ thị đó.
27. Cho hàm số
+
=

2
4 5
2
x x
y
x
, có đồ thị (C). Viết (C) của (C)
biết nó đi qua điểm A(1;1). (ĐH Đà Lạt D99)
28. Cho hàm số
+ +
=
+

-
, có đồ thị (C). Từ gốc toạ độ
có thể vẽ đợc bao nhiêu tiếp tuyến với (C). Tìm toạ độ các tiếp
điểm (nếu có). (ĐH Thái Nguyên A,B01)
31. Cho hàm số
2
1x x
y
x
- +
=
. Viết PTTT với (C) biết tiếp
tuyến đó đi qua điểm A(2;-1). (CĐSP Bà Rịa Vũng Tàu A01)
32. Cho
2
1
1
x x
y
x
+ +
=
+
, có đồ thị (C). Viết phơng trình đờng
thẳng đi qua điểm M(-1;0) và tiếp xúc với (C).
33. Cho hàm số
1
y x
x
= +

m
. Tìm tất cả
các giá trị của m sao cho hai tiếp tuyến với đồ thị
(C )
m
kẻ từ
O(0;0) vuông góc với nhau. (ĐH DL Hùng Vơng B00)
36. Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số
lny x x=
đi qua
điểm M(2;1). (ĐH XD 01)
37. Cho hàm số
2
x mx m
y
x
- +
=
, có đồ thị
(C )
m
. Tìm các
giá trị của m sao cho từ điểm M(2;-1) có thể kẻ đến
(C )
m
hai
tiếp tuyến khác nhau.
DAẽNG 3 : Viết PTTT biết hệ số góc
1. Cho hàm số
3 2

x
. Viết PTTT với (C), biết nó song song
với đờng thẳng y=-x. (ĐH Đà Lạt-D00)
5. Cho hàm số
2
1
1
x x
y
x

=
+
. Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ
thị hàm số song song với đờng thẳng y=-x
6. Cho

=
+
2
1
1
x x
y
x
, có đồ thị (C). Viết PTTT của (C) biết nó
song
2
với đt y=-x. (ĐH Luật HN-99)
7. Cho

y x=
. (ĐH Cần Thơ-D00)
10. Cho hàm số
= +
3 2
3 2y x x
, có đồ thị (C). Viết PTTT của
(C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với đờng thẳng 5y-3x+4=0. (ĐH
Nông NghiệpI-B99)
11. Cho hàm số
1
3 2
2 3 1
3
y x x x= + +
, có đồ thị (C). Lập
PTTT với (C) biết nó vuông góc với đờng thẳng
8 16 0x y+ =
.
12. Cho hàm số
1 2
3
3 3
y x x= +
, có đồ thị (C). Lập PTTT với
(C) biết nó vuông góc với đờng thẳng
1 2
3 3
y x= +
.

hàng
b.Với giá trị nào của m thì
(C )
m
có tiếp tuyến vuông góc với đờng
thẳng đi qua 3 điểm cố định trên.
15. Cho hàm số
= + +
4 2
( 1)y x mx m
, có đồ thị
(C )
m
.
a. Tìm các điểm cố định của
(C )
m
khi m thay đổi.
b. Gọi A là điểm cố định có hoành độ dơng của
(C )
m
. Tìm giá trị
của m để tiếp tuyến với
(C )
m
tại A song song với đờng thẳng
y=2x. (ĐH SP Vinh-G99)
" Bạn sẽ biết thế nào là niềm vui sớng khi bạn hiểu đợc giá trị của mồ hôi và nớc
mắt". GabơriơPalan
16. Cho hàm số

19. Cho hàm số
2
3 1
2
x x
y
x
+
=

, có đồ thị (C). Viết PTTT với
(C), biết tiếp tuyến đó :
a. Có hệ số góc là 2.
b. Song song với đờng thẳng
1.y x=
c. Vuông góc với đờng thẳng
4
7.
5
y x= +
20. Cho hàm số
2
2 2
1
x x
y
x
+ +
=
+

3
1 2
(C)
3 3
y x x= - +
. Tìm trên đồ thị (C) điểm
mà tại đó tiếp tuyến của đồ thị (C) vuông góc với đờng thẳng
1 2
3 3
y x= - +
25. (ĐH KTQD-2001) Cho hàm số
1
(C)
3
x
y
x
+
=
-
. Tìm toạ độ
các giao điểm của các đờng tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) với
trục hoành, biết rằng các tiếp tuyến đó vuông góc với đờng thẳng
y=x+2001
26. (ĐH AN-A2001) Cho hàm số
2
2
(C)
1
x x

song với đờng thẳng y=-x
29. (ĐH DL Đông Đô-BD2001) Cho hàm số
3 2
3 1 (c)y x x= - +
. Viết phơng trình các tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến
song song với đờng thẳng (d): y=9x+2001
30. Cho hàm số
3 2
1 1 4
2
3 2 3
y x x x= + - -
. Viết phơng trình tiếp
tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với đờng thẳng
(d): y=4x+2
31. (ĐH CĐ-D2005) Cho hàm số
3 2
m
1 1
(C )
3 2 3
m
y x x= - +
.
Gọi M là điểm thuộc đồ thị (C
m
) có hoành độ x=-1. Tìm m để tiếp
tuyến của (C
m
) tại M song song với đờng thẳng 5x y = 0

x x
y
x
- +
=
-
. Viết phơng
trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết tiếp tuyến song song với đờng
thẳng
3
15
4
x
y = +
36. Cho hàm số
2
4
1
x x
y
x
+ +
=
+
. Viết phơng trình tiếp tuyến của
đồ thị, biết tiếp tuyến đó vuông góc với đờng thẳng
3 3 0x y- + =
37. (ĐH AN-A99) Cho hàm số
2
9

=
-
. T×m ®iĨm M thc nh¸nh ph¶i
cđa ®å thÞ (C) mµ tiÕp tun t¹i M vu«ng gãc víi ®êng th¼ng ®i qua
®iĨm I vµ M (I lµ giao 2 tiƯm cËn)
41. Cho hµm sè
3
9 (C)y x x= - +
. ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng
(d) ®i qua ®iĨm A(3;0) vµ cã hƯ sè gãc k. víi k=? ®Ĩ ®êng th¼ng (d)
lµ tiÕp tun cđa (C)
42. Cho hai parabol:
2
5 6y x x= - +
vµ
2
5 11y x x= - + -
.
ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tun chung cđa 2 parabol trªn
43. Cho hµm sè
2
( 1)( )y x x mx m= - + +
. T×m c¸c gi¸ trÞ cđa m
®Ĩ ®å thÞ hµm sè tiÕp xóc víi Ox. X¸c ®Þnh to¹ ®é cđa tiÕp ®iĨm
trong mçi trêng hỵp cđa m
44. Cho hµm sè
3 2
m
3 1 (C )y x x m= - + -
. T×m k ®Ĩ ®êng

48.Cho hµm sè
3 2
m
3 3 3 4 (C )y x x mx m= − + + +
. Víi gi¸ trÞ
nµo cđa m th× ®êng cong (C
m
) tiÕp xóc víi Ox
Vấn đề 2 : TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
1) Xét tính đơn điệu của hàm số
a) y = f(x) = x
3
−3x
2
+1. b) y = f(x) = 2x
2
−x
4
.
c) y = f(x) =
2x
3x
+
−
. d) y = f(x) =
x1
4x4x
2
−
+−

+3(m+1)x+1. Đònh m để
hàm số :
a) Luôn đồng biến trên khoảng xác đònh của nó.Kq:1 ≤ m ≤ 0
b) Nghòch biến trên khoảng ( −1;0). Kq: m ≤
3
4
−
c) Đồng biến trên khoảng (2;+∞ ). Kq: m ≤
3
1
3) Đònh m∈Z để hàm số y = f(x) =
mx
1mx
−
−
đồng biến trên các
khoảng xác đònh của nó. Kq: m = 0
4) Đònh m để hàm số y = f(x) =
2x
2x6mx
2
+
−+
nghòch biến trên
nửa khoảng [1;+∞). Kq: m ≤
5
14
−
6) Chứng minh rằng : hàm số luôn luôn tăng trên khoảng xác đònh
(trên từng khoảng xác đònh) của nó :

a) Luôn luôn đồng biến trên khoảng xác đònh của nó.
b) Luôn luôn đồng biến trên khoảng (2;+∞)
8) Tìm m để hàm số :
mx
2mmx2x
y
2
−
++−
=
luôn đồng biến
trên từng khoảng xác đònh của nó.
9) Tìm m để hàm số :
mx
1mx)m1(x2
y
2
−
++−+
=
luôn đồng
biến trên khoảng (1;+∞). Kq:
223m
−≤
10) Tìm m để hàm số y = x
2
.(m −x) −m đồng biến trên khoảng
(1;2). Kq: m≥3
11) Chứng minh rằng :
a) ln(x+1) < x , ∀ x > 0.


=
≠
=
b)a(f
0)a(''f
0)a('f

Kết quả : m=0
d.Có cực đại và cực tiểu và đường thẳng d qua cực đại và cực
tiểu đi qua O. Kq : d:y = 2(m−1)x+4m+4 và m= −1
5) Đònh m để hàm số y = f(x) =
x1
mx4x
2
−
+−
a. Có cực đại và cực tiểu. Kết quả : m>3
b.Đạt cực trò tại x = 2. Kết quả : m = 4
c.Đạt cực tiểu khi x = −1 Kết quả : m = 7
6) Chứng tỏ rằng với mọi m hàm số y =
mx
1mx)1m(mx
422
−
+−−+
luôn có cực trò.
7) Cho hàm số y = f(x) =
3
1

• m ≤ 0: 1 cực đại x = 0
• m > 0: 2 cực đại x=
m
±
và 1 cực tiểu x = 0
10) Đònh m để đồ thò (C) của hàm số y = f(x) =
1x
mxx
2
+
+−
có
hai điểm cực trò nằm khác phía so với Ox. Kết quả : m >
4
1
11) Đònh m để hàm số y = f(x) = x
3
−6x
2
+3(m+2)x−m−6 có 2 cực
trò và hai giá trò cực trò cùng dấu.Kết quả :
4
17
−
< m < 2
12) Chứùng minh rằng với mọi m hàm số y = f(x)
=2x
3
−3(2m+1)x
2

2mxx3xy
23
−+−=
. Kết quả: m<3
b)
1x
2mmxx
y
22
−
−++−
=
. Kết quả: m<−2 V
m>1
15) Đònh m để hàm số sau đạt cực đại tại x=1: y = f(x) =
3
x
3
−mx
2
+(m+3)x−5m+1. Kết quả: m = 4
16) Cho hàm số : f(x)=
3
1
−
x
3
−mx
2
+(m−2) x−1. Đònh m để hàm

Tập xác đònh:
D = ¡
Đạo hàm:
( )
2
' 3 2 6y m x x m= + + +
Hàm số có cực đại và cực tiểu
' 0y⇔ =
hay
( ) ( )
2
3 2 6 0g x m x x m= + + + =
có hai nghiệm phân biệt
( )
2 0
' 9 3 2 0
m
m m
+ ≠


⇔

∆ = − + >



( )
2
2

2 2 2
2
1
x m x m
y
x
+ +
=
+
Tập xác đònh:
{ }
\ 1D = −¡
Đạo hàm:
( )
2 2
2
2
'
1
x x m
y
x
+ +
=
+
Hàm số có cực đại và cực tiểu
' 0y⇔ =
hay
( )
2 2

⇔ − < <

Vậy giá trò cần tìm là:
1 1m− < <
19. Với giá trò nào của tham số m thì các hàm số sau đây không có cực trò
1)
( )
3 2
3 2 3y m x mx= − − +
. 2)
2
mx x m
y
x m
+ +
=
+
Giải
1)
( )
3 2
3 2 3y m x mx= − − +
Tập xác đònh:
D = ¡
Đạo hàm:
( )
2
' 3 3 4y m x mx= − −
( )
2

⇔

∆ = ≤


3
0
m
m
≠

⇔

=


0m
⇔ =
Vậy giá trò cần tìm là
0m =
.
2)
2
mx x m
y
x m
+ +
=
+
Tập xác đònh:

:
' 0,y x m= ∀ ≠ −

0m
⇒ =
thỏa
• Xét
0m ≠
:
Yêu cầu bài toán
4
' 0m⇔ ∆ = ≤
: vô nghiệm
0m∀ ≠
Vậy giá trò cần tìm là:
0m
=
20. Cho hàm số
2
1
x mx m
y
x
− +
=
−
. Cm với mọi m HS luôn luôn có cực trò và khoảng cách giữa các điểm cực trò là không đổi.
Giải
Tập xác đònh:
{ }

∀
⇒
Hàm số luôn luôn có cực trò
Tọa độ các điểm cực trò
( ) ( )
0; , 2;4A m B m− −
Khoảng cách giữa hai điểm A, B là:
( ) ( )
2 2
2 0 4 2 5AB m m= − + − + =
= const (đpcm)
21. Cho hàm số
2
1x mx
y
x m
+ +
=
+
. Đònh m để hàm số đạt cực đại tại
2x
=
.( HSTG)
22. Cho hàm số
2
ax bx ab
y
ax b
+ +
=

=
( )
( )
' 0 0
' 4 0
y
y
=

⇒

=


( )
2 2
2
2 2 2
2
0
16 8
0
4
b a b
b
a ab b a b
a b

−
=


+ ≠

( )
2
2
2
0
8 2 0
4 0
b a
a a
a a

= >

⇔ + =


+ ≠


2
4
a
b
= −

⇔


=
và
đạt cực tiểu tại
4x =
Vậy giá trò cần tìm là:
2, 4a b= − =
.
23. Cho hàm số
( )
( )
3 2 2
2 1 3 2 4y x m x m m x= − + + − + +
. Xác đònh m
để đồ thò của hàm số có hai điểm cực đại và cực tiểu nằm về
hai phía của trục tung.
Giải
Tập xác đònh:
D = ¡
Đạo hàm:
( )
2 2
' 3 2 2 1 3 2y x m x m m= − + + − +
Hàm số có cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung
' 0y⇔ =
hay
( ) ( )
2 2
3 2 2 1 3 2 0g x x m x m m= − + + − + =
có hai
nghiệm phân biệt

( )
2
3 6 0g x x ax= + − =
có hai nghiệm phân biệt
1 2
,x x
thoả
1 2
0x x+ =
2
1 2
72 0,
0
3
a a
a
x x

∆ = + > ∀

⇔

+ = − =



0a⇔ =
Vậy giá trò cần tìm là:
0a
=

1 4 0
1. 2 0
1
2 2
m
g m m m
S
m


∆ = − >


⇔ = + >



= − >



1
4
2 0
1
2
m
m m
m


' 0y⇔ =
hay
( ) ( )
( )
2 2
3 6 1 3 7 1 0g x x m x m m= − + + − + − =
có hai
nghiệm phân biệt
1 2
,x x
thoả
( )
( )
1 2
1 2
1 1
1 2
x x
x x
< <

< ≤


( ) ( )
1 3. 1 0g⇔ − <

( )
2
3 3 4 0m m⇔ + − <

2
2
9 1 3 3 7 1 0
3 3 4 0
1 1
m m m
m m
m

+ − + − >


⇔ + − ≥


+ <



2
3 12 0
3 4 0
0
m
m m
m
− + >


⇔ + − ≥

26. Cho hàm số
( )
3 2
3 2y x x C= − +
. Hãy xác đònh tất cả các giá trò của a để điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thò (C) ở
về hai phía khác nhau của đường tròn (phía trong và phía ngoài):
2 2 2
2 4 5 1 0x y ax ay a+ − − + − =
.
(Trích ĐTTS vào Trường Đại học An Ninh, 2000)
Giải
Tập xác đònh:
D = ¡
Đạo hàm:
2
' 3 6y x x= −
0 2
' 0
2 2
x y
y
x y
= ⇒ =

= ⇔

= ⇒ = −

⇒
Đồ thò hàm số có hai điểm cực trò

a⇔ < <
Cách khác
Phương trình đường tròn
( )
a
C
được viết lại:
( ) ( )
2 2
2 1x a y a− + − =
( )
a
C
có tâm
( )
;2I a a
và bán kính
1R =
Ta có:
( ) ( )
2 2
2 2 2IB a a= − + +

2
5 4 8a a= + +

2
2 36 6
5 1
5 5

a⇔ < <
.
27. Cho hàm số
( ) ( )
3 2
1 1
1 3 2
3 3
y mx m x m x= − − + − +
. Với giá trò nào của m thì hàm số có cực đại và cực tiểu đồng thời
hoành độ các điểm cực đại và cực tiểu
1 2
,x x
thoả
1 2
2 1x x+ =
.
Giải
Tập xác đònh:
D = ¡
Đạo hàm:
( ) ( )
2
' 2 1 3 2y mx m x m= − − + −
Hàm số có cực đại và cực tiểu
' 0y⇔ =
hay
( ) ( )
2
2 1 3 2 0mx m x m− − + − =

0
2 6 2 6
2 2
m
m
≠


⇔

− +
< <


(*)
Theo đònh lí Vi-ét và theo đề bài, ta có:
( )
1 2
2 1m
x x
m
−
+ =
(1)
( )
1 2
3 2
.
m
x x

2
3 8 4 0m m⇔ − + =
(do
0m ≠
)
2
3
2
m
m

=

⇔

=


(thoả (*))
Vậy giá trò cần tìm là:
2
2
3
m m= ∨ =

28. Cho hàm số
( )
( )
( )
3 2 2

4 17 4 17m m⇔ < − ∨ > +

Lấy y chia cho y’, ta có:
( )
( ) ( )
2 3 2
1 2 2
1 . ' 8 1 5 3 2
3 3 3
y x m y m m x m m m= − − − − − + + + +
Gọi
( ) ( )
1 1 2 2
; , ;A x y B x y
là các điểm cực trò của đồ thò
hàm số thì
1 2
,x x
là nghiệm của (1)
Ta có:
( ) ( )
( ) ( )
( )
2 3 2
1 1 1 1
1
1 2 2
1 . ' 8 1 5 3 2
3 3 3
' 0

3 3
y m m x m m m= − − − + + + +
.
29. Cho hàm số
( )
3 2
6 3 2 6y x x m x m= − + + − −
. Đònh m để hàm số có cực đại và cực tiểu đồng thời hai giá trò cực trò cùng
dấu.
Giải
Tập xác đònh:
D = ¡
Đạo hàm:
( )
2
' 3 12 3 2y x x m= − + +
( )
2
' 0 3 12 3 2 0y x x m= ⇔ − + + =
(1)
 Hàm số có cực đại và cực tiểu
' 0y⇔ =
có hai nghiệm
phân biệt
( )
' 36 9 2 0m⇔ ∆ = − + >

2 0m⇔ − >

2m⇔ <

y x

= − + − + −



=


( )
1 1
2 2 2y m x m⇒ = − + −
Tương tự ta cũng có:
( )
2 2
2 2 2y m x m= − + −
Yêu cầu bài toán
1 2
. 0y y⇔ >
( ) ( )
1 2
2 2 2 2 2 2 0m x m m x m⇔ − + − − + − >   
   
( ) ( ) ( )
2
1 2
2 2 1 2 1 0m x x⇔ − + + >

( ) ( )
2

30. Cho hàm số
3 2 2
3y x x m x m= − + +
.
Tìm tất cả các giá trò của tham số m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thò hàm số đối xứng nhau
qua đường thẳng
1 5
2 2
y x= −
.
(Trích ĐTTS vào Đại học Quốc gia Hà Nội, 2001)
Giải
Tập xác đònh:
D = ¡
Đạo hàm:
2 2
' 3 6y x x m= − +
2 2
' 0 3 6 0y x x m= ⇔ − + =
(1)
 Hàm số có cực đại và cực tiểu
' 0y⇔ =
có hai nghiệm
phân biệt
2
' 9 3 0m⇔ ∆ = − >

3 3m⇔ − < <

Gọi


Đường thẳng
∆
và AB có hệ số góc lần lượt là:
1
1
2
k =
( )
( )
3 3 2 2 2
2 1 2 1 2 1
2 1
2
2 1 2 1
3x x x x m x x
y y
k
x x x x
− − − + −
−
= =
− −

( ) ( )
2
2
1 2 1 2 1 2
3x x x x x x m= + − − + +


:
1 1
2
2 2
0 0
' 3 6 0
2 4
x y
y x x
x y
= ⇒ =

= − = ⇔

= ⇒ = −

⇒
Đồ thò hàm số có hai cực trò là
( ) ( )
0;0 , 2; 4A B −
⇒
Trung điểm của AB là:
( )
1; 2I −
T a có:
I ∈∆
Vậy:
0m
=
thoả yêu cầu bài toán.

⇔
Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0
0m
⇔ >
Khi đó :
4
4 2
0 2
' 0
2
x y m m
y
x m y m m m

= ⇒ = +
= ⇔

= ± ⇒ = − +


Đồ thò hàm số có một điểm cực đại là
( )
4
0; 2A m m+
và
hai điểm cực tiểu là
( ) ( )
4 2 4 2
; 2 , ; 2B m m m m C m m m m− − + − +
Các điểm A, B, C lập thành một tam giác đều

( )
4 2
1 1 2y kx k x k= + − + −
. Xác đònh các giá trò của tham số k để đồ thò của hàm số chỉ có một điểm cực trò.
Giải
Tập xác đònh:
D = ¡
Đạo hàm:
( )
3
' 4 2 1y kx k x= − −
( )
2
0
' 0
2 1 0 *
x
y
kx k
=

= ⇔

+ − =

Hàm số chỉ có một cực trò
' 0y⇔ =
có một nghiệm duy
nhất và y’ đổi dấu khi x đi qua nghiệm đó
⇔


< ∨ ≥


0 1k k⇔ ≤ ∨ ≥
Vậy giá trò cần tìm là:
0 1k k
≤ ∨ ≥
.
33. Cho hàm số
4 2
1 3
2 2
y x mx= − +
. Xác đònh m để đồ thò của hàm số có cực tiểu mà không có cực đại.
Giải
Tập xác đònh:
D = ¡
Đạo hàm:
3
' 2 2y x mx= −
( )
2
0
' 0
*
x
y
x m
=

( )
2
: 4P y x x= + −
.
Giải
Ta có:
3
1
1
m
y x m
x
+
= + + +
−
Tập xác đònh:
{ }
\ 1D = ¡
Đạo hàm:
( )
2
2
2 2
'
1
x x m
y
x
− − −
=


≠ −


3m
⇔ > −
(*)
Khi đó:
1 1
2 2
3
1 3 1 3 1 2 2 3
3
' 0
3
1 3 1 3 1 2 2 3
3
m
x m y m m m m
m
y
m
x m y m m m m
m
+

= − + ⇒ = − + + + + = + − +

− +



2m
⇔ = −
(thỏa (*))
Vậy giá trò cần tìm là:
2m = −
.
35. Cho hàm số
( )
2 2
1 4 2
1
x m x m m
y
x
− + − + −
=
−
. Tìm tất cả các giá trò của tham số m thì hàm số đã cho có cực trò. Tìm m
để tích các giá trò cực đại và cực tiểu đạt giá trò nhỏ nhất.
(Trích ĐTTS vào Đại học Quốc gia Hà Nội, 1999)
Giải
Ta có:
2
3 2
1
m m
y x m
x
− +

,x x
khác 1
( )
' 0
1 0g
∆ >


⇔

≠


2
2
3 2 0
3 2 0
m m
m m

− + − >

⇔

− + ≠


1 2m
⇔ < <
(*)

(
)
2 2
1 2
. 1 2 3 2 1 2 3 2y y m m m m m m= − + − + − − − − + −

( )
( )
2
2
1 4 3 2m m m= − − − + −

2
5 14 9m m= − +

2
7 4 4
5
5 5 5
m
 
= − − ≥ −
 
 
( )
1 2
4
.
5
Min y y⇒ = −

+
= − +
−
Tập xác đònh:
{ }
\ 1D = ¡
Đạo hàm:
( )
2
2
2 2 1
'
1
x x m
y
x
− − −
=
−
Hàm số có cực đại và cực tiểu
' 0y⇔ =
hay
( )
2
2 2 1 0g x x x m= − − − =
có hai nghiệm phân biệt
1 2
,x x
khác 1
( )

,x x
là nghiệm của (1)
Khi đó:

1 1
2 2
2 2
1 2 2 1 2 2 1 2 2 2
2 2
' 0
2 2
1 2 2 1 2 2 1 2 2 2
2 2
m
x m y m m m m
m
y
m
x m y m m m m
m
+

= − + ⇒ = − + − + = − − +

− +

= ⇔
+

= + + ⇒ = + + − + = − + +

x x m
y
x
− − −
=
−
Hàm số có cực đại và cực tiểu
' 0y⇔ =
hay
( )
2
2 2 1 0g x x x m= − − − =
có hai nghiệm phân biệt
1 2
,x x
khác 1 và
'y
đổi dấu khi x qua hai nghiệm đó
( )
' 0
1 0g
∆ >


⇔

≠


2 2 0

∆ = + − + >

⇔

− + + + ≠


2
10 7 0
2 2 0
m m
m

− − >
⇔

+ ≠

5 4 2 5 4 2
1
m m
m

< − ∨ > +

⇔

≠ −



Đạo hàm:
( )
2
2
8 12
'
4
x x p
y
x
− + − −
=
−
( ) ( )
2
' 0 8 12 0 4y g x x x p x= ⇔ = − + − − = ≠
(1)
Hàm số có cực đại và cực tiểu
' 0y⇔ =
có hai nghiệm
phân biệt khác 4
( )
( )
' 16 12 0
4 4 0
p
g p

∆ = − + >


( )
( )
1 1
2 2
4
4 4 4 4 1 5 2 4
4
' 0
4
4 4 4 4 1 5 2 4
4
p
x p y p p
p
y
p
x p y p p
p
−

= − − ⇒ = − − − − − = − + −

− −

= ⇔

−
= + − ⇒ = − + − − − = − − −

−

4m M− =

( )
5 4 5 4 4p p⇔ − + − − − − − =

4 1p⇔ − =

3p⇔ =
(thoả (*))
Vậy giá trò cần tìm là:
3p =
.
38. Cho hàm số
2 2 2
2 5 3x m x m m
y
x
+ + − +
=
. Tìm
0m
>
để hàm số đạt cực tiểu tại
( )
0;2x m∈
.
Giải
Tập xác đònh:
{ }
\ 0D = ¡

m
g
g m

>

⇔ <


>

2
2
0
2 5 3 0
2 5 3 0
m
m m
m m
>


⇔ − + − <


+ − >

0
3
1



>


Vậy giá trò cần tìm là:
1 3
1
2 2
m m< < ∨ >
.
39. 1) Cho hàm số
( )
( )
u x
y
v x
=
. Chứng minh rằng nếu
( )
0
' 0y x =
và
( )
0
' 0v x ≠
thì ta có:
( )
( )
( )

Giải
1) Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
' '
'
u x v x u x v x
y
v x
−
=
 
 
Do đó:
( )
0
' 0y x =
( ) ( ) ( ) ( )
0 0 0 0
' ' 0u x v x u x v x⇔ − =
( ) ( ) ( ) ( )
0 0 0 0
' 'u x v x u x v x⇔ =
( )
( )
( )
( )
0 0
0 0

2 0x y+ + =

bằng nhau.
Giải
Tập xác đònh:
{ }
\ 1D = −¡
Đạo hàm:
( )
2
2
2 2 2
'
1
x x m
y
x
+ + −
=
+
Hàm số có cực đại và cực tiểu
' 0y⇔ =
hay
( )
2
2 2 2 0g x x x m= + + − =
có hai nghiệm phân biệt
1 2
,x x


là các điểm cực trò của đồ thò hàm số
thì
1 2
,x x
là nghiệm của (1).
Theo đònh lí Vi-ét, ta có:
1 2 1 2
2, . 2x x x x m+ = − = −
Mặt khác:
1 1
2 2y x m= +
,
2 2
2 2y x m= +
Đặt
: 2 0x y∆ + + =
Yêu cầu bài toán
( ) ( )
, ,d A d B⇔ ∆ = ∆
1 1 2 2
2 2
2 2
x y x y+ + + +
⇔ =
1 2
3 2 2 3 2 2x m x m⇔ + + = + +

( ) ( )
2 2
1 2

x m x m
y
x
+ + + +
=
+
.
1) Tìm để hàm số có cực đại và cực tiểu.
2) Giả sử y có giá trò cực đại, cực tiểu là
,y y
CĐ CT
. Chứng minh:
2
1
2
CT
y y+ >
2
CĐ
.
Giải
1) Tập xác đònh:
{ }
\ 1D = −¡
Đạo hàm:
( )
2
2
2 2
'

2 1 0
m
m
+ >

⇔

− − ≠

1
2
m⇔ > −

Vậy giá trò cần tìm là:
1
2
m > −
.
2) Gọi
( ) ( )
1 1 2 2
; , ;A x y B x y
là các điểm cực trò của đồ thò
hàm số thì
1 2
,x x
là nghiệm của (1).
Theo đònh lí Vi-ét, ta có
1 2 1 2
2, . 2x x x x m+ = − = −

= + − + + + + +
 

( ) ( ) ( )
2
4 4 4 8 2 2 2m m m= + − + + +

2
2 16 8m m= + +
Xét hàm số:
( )
2
1
2 16 8,
2
f m m m m= + + > −
( )
1
' 4 16 0,
2
f m m m= + > ∀ > −
Bảng biến thiên
x
1
2
−

+∞

( )

42. Cho hàm số
( )
2 2 3
1 4mx m x m m
y
x m
+ + + +
=
+
. Tìm
các giá trò của m để đồ thò hàm số tương ứng có một điểm
cực trò thuộc góc phần tư thứ
( )
II
và một điểm cực trò thuộc
góc phần tư thứ
( )
IV
của mặt phẳng toạ độ.
(Trích ĐTTS vào Trường
Đại học Y Dược TPHCM, 2001)
Giải
Ta có:
3
4
1
m
y mx
x m
= + +

; , ;A x y B x y
( )
1 2
x x<
là các điểm cực trò
của đồ thò hàm số thì
1 2
,x x
là nghiệm của (*).
Yêu cầu bài toán
A
B

⇔


thuộc góc phần tư thư ù (II)
thuộc góc phần tư thư ù (IV)

( )
( )
( )
1 2
2 1
0 1
0 2
x x
y y
• < <


≠


⇔

∆ = + − + <


4 2
0
15 2 1 0
m
m m
≠

⇔

− − + <

2
0
1
5
m
m
≠


⇔


Giải
1) Tập xác đònh:
{ }
\D m= ¡
Đạo hàm:
( )
2 2
2
2 1
'
x mx m
y
x m
− + −
=
−
( )
2 2
' 0 2 1 0y x mx m x m= ⇔ − + − = ≠
Ta có:
( )
2 2
' 1 1 0,m m m∆ = − − = > ∀
Do đó:
2
2
1 2
' 0
1 2
x m y m m

1
2
x m
y m m
= −



= − + −


;
0 2
2
0 2 2
1
2
x m
y m m
= +



= − + +


Do đó:

1 2
2 2