I . định lý talet tam giác đồng dạng
Trong chơng này, chúng ta sẽ ôn lại các kiến thức chung về tam giác, các trờng hợp bằng
nhau của tam giác, các dạng tam giác đặc biệt, các đờng đặc biệt trong tam giác, các dạng
tứ giác và tính chất của chúng. Vì lý do đó, chúng tôi chỉ nhắc lại các kiến thức này dới
dạng lý thuyết, các bài tập vận dụng chúng sẽ đợc gắn vào trong các bài tập về Định lý
Talet và tam giác đồng dạng .
I. Nhắc lại một số kiến thức cơ bản
1. Tam giác
Trong một tam giác:
- Ba đờng cao đồng quy, điểm đồng qui gọi là
trực tâm của tam giác.
- Ba đờng trung tuyến đồng quy, điểm đồng qui gọi là
trọng tâm của tam giác
- Ba đờng phân giác đồng quy, điểm đồng qui là tại tâm đờng tròn nội tiếp tam giác
- Ba đờng trung trục đồng quy, điểm đồng qui là tâm đờng tròn ngoại tiếp của tam giác.
Xét tam giác ABC:
- Nếu

ABC có AB = AC hoặc
à
à
B C=
thì tam giác cân tại A.
- Nếu

ABC có AB = AC = BC hoặc
à à
à
A B C= =
thì tam giác đều.
- Nếu

1
//
Chú ý: Từ





=
=
BCMN
MBMA
2
1
Không suy ra đợc



=
NCMA
BCMN //
I.2. Tứ giác- các dạng tứ giác đặc biệt
1. Tứ giác
- Tổng 4 góc trong 1 tứ giác:
à à
à
à
0
360A B C D+ + + =
A

+ Các cạnh đối song song (AB//CD, BC//AD)
+ Các góc đối bằng nhau :
à
à
à
à
;A C B D= =
+ Có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau
(AB//CD và AB = CD hoặc BC//AD và BC = AD)
+ Hai đờng chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đờng (OA = OC; OB=OD)
+ Các cạnh đôí bằng nhau: AB = CD; BC = AD.
Chú ý: Giao điểm của hai đờng chéo là là tâm đối xứng của hình bình hành
.3. Hình chữ nhật:
Tứ giác ABCD là hình chữ nhật khi và chỉ khi:
+ Có ba góc vuông (A = B = C = 90
0
)
+ Là hình bình hành có 1 góc vuông.
+ Là hình bình hành có 2 đờng chéo bằng nhau.
+ Là hình thang cân có 1 góc vuông.
+ Là hình thang cân có 2 đờng chéo bằng nhau
và cắt nhau tại trung điểm của nửa đờng.
+ Nhận các đờng thẳng đi qua trung điểm của các cặp cạnh đối làm trục đối xứng.
.4. Hình thoi.
Tứ giác ABCD là hình thoi khi và chỉ khi:
+ Các cạnh bằng nhau: AB = BC = CD = DA
+ Hai đờng chéo vuông góc với nhau
A
D C
B

+ Hình bình hành có 2 cạnh kề bằng nhau.
+ Các đờng chéo là tia phân giác của các góc.
+ Hình bình hành có một đờng chéo là tia phân giác của 1 góc.
+ Các đờng chéo là các trục đối xứng.
.5. Hình vuông:
Tứ giác ABCD là hình vuông nếu và chỉ nếu:
+ Có 4 góc bằng nhau, 4 cạnh bằng nhau.
+ Hình chữ nhật có 2 đờng chéo vuông góc.
+ Hình thoi có 2 đờng chéo bằng nhau.
+ Hình chữ nhật có 2 cạnh kề bằng nhau.
+ Hình thoi có 1 góc vuông.
+ Hình chữ nhật có 1 đờng chéo là tia phân giác của 1 góc.
1. Đờng trung trực:
Đờng trung trực d là đờng trung trực của AB nếu: d

AB và MA =MB
M

d <=> MA = MB
Oz là tia phân giác của
ã
xOy
khi và chỉ khi:
+
ã
xOz
=
ã
yOz
và Oz nằm giữa Ox và Oy.

AB
AM
===
- Tam giác đồng dạng:
à
à
à
à
ả
à
'; '; 'A A B B C C= = =

ABC đồng dạng

ABC
<=>
'''''' CB
BC
CA
AC
BA
AB
==
-

ABC và

ABC đồng dạng nếu:
+ Có 2 góc bằng nhau (g.g.)
+ Hai cặp cạnh tơng ứng tỷ lệ và góc xen giữa bằng nhau: (c.g.c)


ABC theo tỷ số k thì
2
' ' '
; ,
' ' ' ' ' ' ' '
ABC
A B C
S
AB AC BC AH
k k k
A B A C B C S A H
+ +
= = =
+ +
3. Ví dụ
Ví dụ 1: Cho

ABC, hình vuông MNPQ đợc gọi là nội tiếp

ABC nếu nó có hai đỉnh nằm
trên hai cạnh của

và cạnh còn lại của hình vuông nằm trên cạnh thứ ba của

.
a) Hãy nêu cách vẽ một hình vuông nh vậy với

ABC cho trớc.
b) Tính cạnh hình vuông với M

B
C
C'
B'
A'
H H'
A
B
C
F
E
K
G
N
P
M
Q
Qua N vẽ NM //EF cắt AB tại M.
Vẽ MQ

MN; MP

MN cắt BC tại Q và P.
Ta có MNPQ là hình vuông. Thật vậy.
Vì MN//EF//BC, MQ

BC; NP

BC
Nên MNPQ là hình chữ nhật.

x
AH
MQ
AB
BM
==
(Định lý Talét)
Do vậy:
ha
ah
x
haxAB
BM
AB
AM
h
x
a
x
+
==>+==>=+=+
111
1
Ví dụ 2: Cho hình thang ABCD (AB//CD)
Có AB = a ; CD = b ( a< b ) . Hai đờng chéo cắt nhau tại O.
Qua O kẻ đờng thẳng song song với hai đáy cắt các cạnh bên tại M và N.
a) Chứng minh: OM = ON.
b) Tính MN theo a và b.
Giải:
a) Vì MN//AB =>

b
c
a
==>=
b) Ta có:
DB
DO
AB
OM
=
BD
BO
CD
ON
=
a
x
h
A
B
C
N
P
M
Q H
a
b
O
A
B

Ví dụ 3: Cho

ABC có
à à
2A B=
Chứng minh rằng:
BC
2
= AC
2
+ AC.AB
Giải:
Trên tia đối của tia AC lấy D sao cho AD = AB
Khi đó

ABC cân tại A nên:
ã
ã ã
2 2BAC ABD ADB= =
Xét

ABC và

BDC có:
ã
ã
ã
1
2
BDC ABC BAC= =

ABC, biết rằng ngời ta có thể chọn đợc điểm M sao cho AM chia

ABC thành
hai tam giác con đồng dạng và tỷ số đồng dạng bằng
3
. Tính các góc của

ABC.
Bài 4: Cho

ABC nhọn các đờng cao AA, BB, CC đồng quy tại H. Chứng minh rằng:
a)
1
'
'
'
'
'
'
=++
CC
HC
BB
HB
AA
HA
b) HA.HA = BH.HB = CH.HC
Bài 5. Cho

ABC. M là 1 điểm bất kỳ trong