CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
***
ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN.
Học sinh cần nắm vững:
1) Một số định lý về quan hệ song song:
a) Đường thẳng song song với mặt phẳng:
Định lý 1: Nếu đường thẳng d không nằm trên mp(P) và song song với đường thẳng
a nằm trên mp(P) thì đường thẳng d song song với mp(P)
d (P)
d / /a d / /(P)
a (P)

⊄

⇒


⊂
Định lý 2: Nếu đường thẳng a song song với mp(P) thì mọi mp(Q) chứa a mà cắt
mp(P) thì cắt theo giao tuyến song song với a.
a / /(P)
a (Q) d / /a
(P) (Q) d


⊂ ⇒

a b I (P) / /(Q)
a/ /(Q),b / /(Q)

⊂

∩ = ⇒




Định lý 2: Nếu một đường thẳng nằm một trong hai mặt phẳng song song thì song
song với mặt phẳng kia.
(P)/ /(Q)
a / /(Q)
a (P)

⇒

⊂


Định lý 3: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song thì mọi mặt phẳng (R) đã cắt (P)
thì phải cắt (Q) và các giao tuyến của chúng song song.
(P)/ /(Q)
(R) (P) a a/ /b
(R) (Q) b


∩ = ⇒


⊥ ⊥

⊂ ⇒ ⊥




Định lý 2: (Ba đường vng góc) Cho đường thẳng a khơng vng góc với mp(P)
và đường thẳng b nằm trong (P). Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vng góc với a là
b vng góc với hình chiếu a’ của a trên (P).
⊥ ⊂ ⊥ ⇔ ⊥
a mp(P),b mp(P),a' là hìnhchiếucủaatrênmp(P).Tacó: b a b a'
b) Hai mặt phẳng vng góc:
Định lý 1: Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vng góc với một mặt phẳng
khác thì hai mặt phẳng đó vng góc với nhau.
a mp(P)
mp(Q) mp(P)
a mp(Q)

⊥
⇒ ⊥

⊂


Định lý 2: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vng góc với nhau thì bất cứ đường thẳng
a nào nằm trong (P), vng góc với giao tuyến của (P) và (Q) đều vng góc với mặt
phẳng (Q).
(P) (Q)
(P) (Q) d a (Q)


⊥

∈

⇒ ⊂

∈


⊥


Định lý 4: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì
giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba.
(P) (Q) a
(P) (R) a (R)
(Q) (R)

∩ =

⊥ ⇒ ⊥


⊥


c) Khoảng cách:
• Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng , đến 1 mặt phẳng:
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a (hoặc đến mặt phẳng (P)) là khoảng

+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một
trong hai đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó chứa đường thẳng còn lại.
+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai
mặt phẳng song song và lần lượt chứa hai đường thẳng đó.
d) Góc:
• Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng
đi qua một điểm và lần lượt cùng phương với a và b.
a
H
O
H
O
P
a
H
O
P
H
O
Q
P
B
A
b
a
b'
b
a'
a
5

a. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ:
V= B.h
với



B: dieäntíchñaùy
h : chieàu caoP
a'
a
b
a
Q
P
6
a
b
c
B
h
• Thể tích khối hộp chữ nhật:
V = a.b.c
với a,b,c là ba kích thước
• Thể tích khối lập phương:
V = a
3



( )
h
V B B' BB'
3
= + +
với
B, B': dieän tích hai ñaùy
h : chieàu cao




B
A
C
A'
B'
C'
3) Các hệ thức trong tam giác và tứ giác:
a) Tam giác: Trong tam giác ABC, BC = a; AC = b; AB = c. Ta có:
7
_A
a
a
a
• Định lý hàm số cos:
2 2 2
2 2 2
2 2 2

( R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC )

pr=
(
2
a b c
p ;
+ +
=
r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC )

( ) ( ) ( )
p p a p b p c= − − −

• Công thức trung tuyến tam giác ABC: m
a
; m
b
; m
c
lần lượt là trung tuyến
kẻ từ A, B, C của tam giác ABC
2 2 2
2
a
2 2 2
2
b
2 2 2
2

+ Tỷ số lượng giác trong tam giác vuông

µ
=
sin
b
B
a
;
µ
=
cos
c
B
a
;
µ
=
tan
b
B
c
;
µ
=
t
c
co B
b
+ Kẻ đường cao AH ta có:

( Diện tích bằng dài nhân rộng)
+ Đường chéo hình chữa nhật bằng nhau và
OA = OB = OC = OD
+ Hình thang: + Diện tích hình thang ABCD:
( )
1
.
2
= +
ABCD
S AH AB CD
+ Tứ giác có hai đường chéo vuông góc:
1
.
2
=
ABCD
S AC BD
B. NỘI DUNG CHỦ YẾU CỦA ĐỀ TÀI
Các bài toán về thể tích của khối đa diện thường gặp ở một số dạng khác
nhau. Qua nghiên cứu các đề thi Tốt nghiệp THPT và Đại học, Cao đẳng tôi chia ra
thành một số dạng sau đây và ôn tập cho học sinh để tạo cho các em cơ sở vững chắc
khi làm dạng bài toán này.
9
O
B
D
A
C
O

o
=BAC 120
, tính thể tích của khối chóp
S.ABC theo a.
( Trích đề thi tốt nghiệp THPT năm 2009)
Giải:
SA
⊥
(ABC) nên SA là đường cao của khối chóp SABC
Hai tam giác vuông SAB và SAC bằng nhau ( vì có SB = SC và SA chung)
⇒
AB = AC
⇒
tam giác ABC cân tại A.
Gọi M là trung điểm của BC
·
o
AM BC;MAC 60⇒ ⊥ =
10
Xét tam giác vuông AMC có:
·
o
MC MC a a
sin MAC AC
AC sin 60
3 3
2.
2
= ⇒ = = =
;

. .
(đvtt)
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh
bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng đáy
bằng 60
o
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
( Trích đề thi tốt nghiệp THPT năm 2010)
Giải
SA
⊥
(ABCD) nên SA là đường cao của khối chóp SABCD.
Gọi O là giao điểm của AC và BD ta có:
( )
( )

⊥

⇒ ⊥ ⇒ ⊥

⊥ ⊥


BD AC VìABCDlaø hìnhvuoâng
BD SAC SO BD 1
BD SA VìSA ABCD
( )
( )
( )
Mà

0
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
( Trích đề thi tốt nghiệp THPT năm 2011)
Giải:
11
Ta có: SA
⊥
(ABCD) nên SA là đường cao của khối chóp SABCD.
AC là hình chiếu của SC trên mặt phẳng (ABCD)
( )
·
( )
·
⇒ = =
0
SC ABCD SCA 45;
Xét tam giác vuông ADC có
= + =
2 2
AC AD DC a 2
Xét tam giác vuông SAC có
= =
0
SA AC tan45 a 2.
Diện tích hình thang ABCD là:
( )
= + = =
2
ABCD
1 1

AM =
3 3
3.
2 2
a
a =
⇒

2 2 3
AO= . .
3 3 2
a
AM a= =
.
2
0
ABC
1 1 3 3 . 3
S . .sin 60 . 3. 3.
2 2 2 4
a
AB AC a a
∆
= = =
Xét
∆
SAO vuông tại A có
2 2
. 3SO SA AO a= − =
Thể tích khối chóp S.ABC là:

2

⇒

AC 2 2
AO= 2
2 2
a
a= =
Xét
∆
SAO vuông tại O có
2 2
SO SA AO a= − =
Thể tích khối chóp S.ABCD là:
3
2
.
1 1 4
. . .4 .
3 3 3
S ABCD ABCD
a
V S SA a a= = =
Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a,
AD =
a 2
, SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng ABCD. Gọi M và N lần
luợt là trung điểm của AD và SC; I là giao điểm của BM và AC. Chứng minh rằng
mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB). Tính thể tích của khối tứ diện

BM SAC mà BM SMB SMB SAC⇒ ⊥ ⊂ ⇒ ⊥
Gọi O là trung điểm của AC
⇒
NO là đường trung bình của tam giác SAC
1
NO SA
2
⇒ =
và NO // SA
( ) ( )
( )
NO ABI VìSO ABI⇒ ⊥ ⊥
ANIB N.ABI ABI
1
V V NO.S
3
⇒ = =
V
Xét tam giác vuông ABM có
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 2 3 a 3
AI
AI AB AM a a a 3
= + = + = ⇒ =
Xét tam giác vuông AIB có:
2
2 2 2
a a 6
IB AB AI a
3 3

(ABCD))
( )
BC SAK BC AH⇒ ⊥ ⇒ ⊥
mà
AH SK⊥

( )
A.BCNM BCNM
1
AH SBC V AH.S
3
⇒ ⊥ ⇒ =
Xét tam giác vuông SAK có:
2
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 19 2a 3
AH
AH AS AK 4a 12a
19
a 3
2
= + = + = ⇒ =
 
 ÷
 
Xét tam giác vuông SAB có:
2
2 2 2 2 2
2
SM SA 4

Xét tam giác vuông SAK có:
2
2 2 2
3a a 19
SK SA AK 4a
4 2
= + = + =
2 2
SBC BCNM SBC
1 1 a 19 a 19 9 9a 19
S SK.BC .a S S
2 2 2 4 25 100
∆ ∆
⇒ = = = ⇒ = =
Vậy
2 3
A.BCNM BCNM
1 1 2a 3 9a 19 3a 3
V AH.S . .
3 3 100 50
19
= = =
(đvtt)
Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên
SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần
lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD. Chứng minh AM vuông góc với BP và
tính thể tích của khối tứ diện CMNP.
15
( Trích đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối A năm 2007)
Giải

BP AMN BP AM⇒ ⊥ ⇒ ⊥
3
CMNP M.NCP NCP
1 1 1 1 1 a 3 a a a 3
V V MH.S . SI. CN.CP . . .
3 3 2 2 12 2 2 2 96
∆
= = = = =
(đvtt)
Ví dụ 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a,
SA = a, SB =
a 3
và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N
lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Tính theo a thể tích của khối chóp
S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN.
( Trích đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối B năm 2008)
Giải
16
Gọi H là hình chiếu của S trên AD, vì
( ) ( )
SAB ABCD⊥
nên SH
⊥
(ABCD).
Vì
2 2 2 2
SA SB 4a AB+ = = ⇒
tam giác ASB vuông tại S
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 4 a 3

⊥
AH
AD SA
⇒ ⊥
( theo định lý 3 đường vuông góc).
Xét tam giác vuông SAE có
2
2 2 2
a a 5
SE SA AE a
4 2
= + = + =
Xét tam giác vuông SAB có
1
SM AB a
2
= =
Xét tam giác vuông BAP có:
2 2 2 2
a 5
BP AB AP 4a a a 5 ME
2
= + = + = ⇒ =
Áp dụng định lý hàm số cos trong tam giác SME ta có:
·
·
( )
·
2 2 2 2
2

IH BC SH BC⊥ ⇒ ⊥
( định lý ba đường vuông góc )
( ) ( )
·
(
)
·
o
SBC ; ABCD SHI 60⇒ = =
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC
AB CD 3a
IN / /AB và IN
2 2
+
⇒ = =
Xét tam giác vuông CMB có
·
·
2 2
CM 2 2
CB CM MB a 5 sin CBM sin INH
BC
5 5
= + = ⇒ = = ⇒ =
( Vì
·
·
INH CBM=
)
Xét tam giác vuông IHN có:

(ABC) nên AA’ là đường cao của lăng trụ.
AB là hình chiếu của A’B trên mặt phẳng ABC
( )
·
(
)
·
o
A'B; ABC A'BA 60⇒ = =
Xét tam giác vuông A’AB có AA’=AB.tan60
o
=
a 3
18
Thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ là:
3
2
ABC
1 a 3
V AA'.S a 3. a
2 2
= = =
V
(đvtt)
Ví dụ 12: Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là
tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a
3
và hình chiếu vuông góc của đỉnh A' trên
mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp
A'.ABC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA', B'C'.

·
( )
AA';B'C' BB';BC⇒ =
Xét tam giác vuông HA’B’ có:
2 2
B'H A 'B' A 'H 2a= + =
Áp dụng định lý hàm số cos trong tam giác B’BH ta có:
·
·
( )
·
2 2 2 2
2
BB' BH B'H a 1
cos B'BH 0 BB';BC B'BH
2BB'.BH 2.2a 4
+ −
= = = > ⇒ =
Vậy
·
( )
·
( )
·
1
cos AA';B'C' cos BB';BC cosB'BH
4
= = =
BÀI TẬP CHO HỌC SINH ÔN TẬP.
1) Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông cân tại B biết A'C = a và

a 3
V
4
=
.
4) Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với đáy (ABC) và SA = h, biết rằng
tam giác ABC đều và mặt (SBC) hợp với đáy (ABC) một góc 30
o
. Tính thể tích
khối chóp SABC .
Đáp số:
3
h 3
V
3
=
5) Cho hình chóp SABC có đáy ABC vuông cân tại A với AB = AC = a biết tam
giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC), mặt phẳng
(SAC) hợp với (ABC) một góc 45
o
. Tính thể tích của SABC.
Đáp số:
3
a
V
12
=
6) Cho hình chóp đều SABC có cạnh bên bằng a hợp với đáy ABC một góc
60
o

;tam giác ABC vuông tại C và
·
o
BAC 60=
. Hình
chiếu vuông góc của điểm B' lên mặt phẳng (ABC ) trùng với trọng tâm của
tam giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện A'ABC theo a.
Đáp số :
3
9a
V
208
=
( Trích đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối B năm 2009)
10) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA =
a, hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn
AC, AH =
AC
4
. Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. Chứng minh M là
trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a
Đáp số:
3
SMBC
a 14
V
48
=
( Trích đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối D năm 2010)
20

AC a 2=
,
SA vuông góc với đáy ABC, SA= a
1) Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
2) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng (
α
) qua AG và song song
với BC cắt SC, SB lần lượt tại M, N. Tính thể tích của khối chóp S.AMN
Giải:
21
a) Ta có:
SABC ABC
1
V SA.S
3
=
và SA = a
Tam giác ABC vuông cân có
AC a 2 AB a= ⇒ =

2
ABC
1
S a
2
⇒ =
. Vậy:
3
2
SABC ABC

SAMN SABC
4 2a
V V
9 27
= =
(đvtt)
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB = a. Trên đường thẳng qua
C và vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D sao cho CD = a. Mặt phẳng qua C
vuông góc với BD, cắt BD tại F và cắt AD tại E.
a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
b) Chứng minh
( )CE ABD
⊥
c) Tính thể tích khối tứ diện CDEF.
Giải:
a)
3
ABCD ABC
1 a
V S .CD
3 6
= =
(đvtt)
b) Tacó:
,AB AC AB CD
⊥ ⊥
( )AB ACD
⇒ ⊥
AB EC
⇒ ⊥

⇒ = = =
Tương tự:
2 2
2 2 2
1
3
DF DC a
DB DB DC CB
= = =
+
Từ(*)
1
6
DCEF
DABC
V
V
⇒ =
.Vậy
3
1
6 36
DCEF ABCD
a
V V
= =
(đvtt)
Ví dụ 3: Cho khối chóp tứ giác đều SABCD. Một mặt phẳng
)(
α

4
1
4
1
2
1
.
2
1
. ==⇒===

Mà V
SABMN
= V
SANB
+ V
SBMN
=
SABCD
V
8
3
.
Suy ra V
ABMNCD
=
SABCD
V
8
5

=
với
2
ABCD
S a=
Xét
SOAV
có :
O
a 6
SO AO.tan 60
2
= =

Vậy :
3
. D
6
6
S ABC
a
V
=
c) Phân chia chóp tứ giác ta có
. EMFS A
V
= V
SAMF
+ V
SAME

SM SF
V SC SD
⇒ = =

3
SAMF SACD SABCD
1 1 a 6
V V V
3 6 36
⇒ = = =
3 3
. EMF
6 6
2
36 18
S A
a a
V
⇒ = =
(đvtt)
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA
vuông góc đáy,
2SA a
=
. Gọi B’, D’ là hình chiếu của A lần lượt lên SB, SD. Mặt
phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
b) Chứng minh
( ' ')SC AB D
⊥

c) Ta có:
' '
' '
. (*)
SAB C
SABC
V
SB SC
V SB SC
=
Vì
SAC
∆
vuông cân nên
' 1
2
SC
SC
=
Ta có:
2 2 2
2 2 2 2
' 2 2 2
3 3
SB SA a a
SB SB SA AB a
= = = =
+
' '
1

Giải:
25