A- Đặt vấn đề
Với xu thế phát triển của xã hội nói chung và sự phát triển của khoa học nói
riêng, con ngời cần phải có một tri thức, một t duy nhạy bén để nắm bắt và sử dụng
những tri thức đó trong cuộc sống hàng ngày. Muốn có những tri thức đó con ngời cần
phải tự học, tự nghiên cứu tìm hiểu những kiến thức đó. Hơn nữa việc đổi mới phơng
pháp dạy học đòi hỏi ngời giáo viên cần phải tích cực nghiên cứu sử dụng đồ dùng dạy
học để đáp ứng nhu cầu dạy học hiện nay. Ngời giáo viên cần phải khai thác và sử
dụng đồ dùng một cách triệt để và có hiệu quả cao nhất. Đối với môn toán học thì đồ
dùng dạy học không phải là nhiều, nhng để sử dụng thành thạo đợc thì thật là khó.
Máy tính điện tử là một công cụ hỗ trợ đắc lực cho giáo viên và học sinh trong việc
giải toán. Nó giúp cho giáo viên và học sinh giải toán đợc nhanh hơn, tiết kiệm đợc
thời gian, nó giúp giáo viên và học sinh hình thành thuật toán, đồng thời góp phần
phát triển t duy cho học sinh. Có những dạng toán nếu không có máy tính điện tử thì
việc giải gặp rất nhiều khó khăn, có thể không thể giải đợc, hoặc không đủ thời gian
để giải.
Thi giải toán trên máy tính đã đợc tổ chức từ lâu, nhng đối với các trờng trong
huyện thì cuộc thi này mới đợc tổ chức hai năm gần đây, nó còn mới mẻ nên giáo viên
còn bỡ ngỡ, gặp nhiều khó khăn trong việc nghiên cứu và tìm tòi tài liệu. Chính vì vậy
mà nhiều giáo viên còn ngại khi đợc giao nhiệm vụ bồi dỡng đội tuyển học sinh giỏi
giải toán trên máy tính điện tử. Mặt khác các tài liệu để giáo viên tham khảo còn ít và
khó tìm kiếm. Trong khi đó nhu cầu học hỏi của học sinh ngày càng cao, các em thích
tìm hiểu ham học hỏi, khám phá những kiến thức mới lạ trên trên máy tính điện tử.
Còn về phía giáo viên lại không đợc đào tạo cơ bản về nội dung này. Hầu hết giáo viên
tự tìm hiểu, tự nghiên cứu các kiến thức về máy tính điện tử nên gặp rất nhiều khó
khăn trong việc bồi dỡng đội tuyển học sinh giỏi giải toán trên máy tính điện tử. Chính
vì vậy tôi đã chọn kinh nghiệm "Hình thành kỹ năng giải toán trên máy tính điện tử
Casio fx - 500 MS hoặc Casio fx - 570 MS đối với dạng toán dãy số" để viết. Các
dạng bài tập áp dụng máy tính điện tử để giải thì rất nhiều, trong kinh nghiệm này tôi
chỉ chọn một mảng nhỏ đó là dạng toán về dãy số để trao đổi cùng các bạn đồng
nghiệp. Rất mong đợc các bạn đồng nghiệp trao đổi, đóng góp ý kiến để kinh nghiệm
này hoàn thiện hơn và đợc áp dụng rộng rãi hơn.

5 SHIFT STO
B
Khi gán một số mới và phím nhớ nào đó, thì số
nhớ cũ trong phím đó bị mất đi và số nhớ mới đợc thay thế.
Chẳng hạn ấn tiếp:
14 SHIFT STO
B
thì số
nhớ cũ là 5 trong
B
bị đẩy ra, số nhớ trong
B
lúc
này là 14.
- Để lấy số nhớ trong ô nhớ ra ta sử dụng phím
ALPHA
Ví dụ:
34 SHIFT STO A
(nhớ số 34 vào phím
A
Bấm
24 SHIFT STO C
(nhớ số 24 vào phím
C
Bấm tiếp:
ALPHA A ALPHA C+ =
(Máy lấy 34
trong
A
cộng với 24 trong

(Fibonacci - là dãy số có dạng u
1
=1; u
2
= 1; u
n+1
= u
n
+ u
n-1
(n = 1, 2, 3 )
Ta có công thức tổng quát:

n n
n
1 1 5 1 5
u
2 2
5


+
ữ
=
ữ ữ
ữ ữ
ữ


- Quy trình tính trên máy tính Casio fx-500 MS.

Khi bấm
ALPHA A SHIFT STO A+
cộng u
3
= 2 với u
2
= 1 đợc u
4
= u
3
+ u
2
= 3
và ghi vào
A
.
Khi bấm
ALPHA B SHIFT STO B+
nghĩa là cộng u
4
= 3 với u
3
= 2 trong
B
đợc
u
5
= u
4
+ u

COPY =
Giải thích:
Khi bấm 1
SHIFT STO A
đa u
2
= 1 vào
A
Khi bấm
1SHIFT STO B+
nghĩa là cộng u
2
=1 với u
1
=1 đợc u
3
= 2 và ghi vào
B
.
Khi bấm
ALPHA A SHIFT STO A+
cộng u
3
= 2 với u
2
= 1 đợc u
4
= u
3
+ u

ta sẽ đợc u
6
= 8;
u
7
=13; u
8
= 21
Quy trình 2: Bấm 1
SHIFT STO A

1SHIFT STO B+ALPHA A SHIFT STO A+

ALPHA B SHIFT STO B+
SHIFT

COPY

3
Lặp lại phím
=
Giải thích:
Khi bấm 1
SHIFT STO A
đa u
2
= 1 vào

nghĩa là cộng u
4
= 3 với u
3
= 2 trong
B
đợc
u
5
= u
4
+ u
3
= 5 và ghi vào
B
.
Khi bấm
SHIFT

COPY
lấy lại quy trình và tính tiếp nhờ phím
=
.
Quy trình 3: Tính só Phi - bô - na - xi u
n
trên máy Casio fx - 570 MS nhờ công
thức nghiệm:
( ( ( 1 5 ) 2 ) ^ ALPHA X
( ( 1 5 ) 2 ) ^ ALPHA X 5
ữ

a SHIFT STO B+
và lặp lại dẫy phím

ALPHA A SHIFT STO A+
.

ALPHA B SHIFT STO B+
Bằng phím
COPY =
.
Giải thích
Bấm b
SHIFT STO A
nghĩa là đa u
2
= b vào
A
.
Bấm
a SHIFT STO B+
nghĩa là cộng u
2
=b với u
1
=a đợc u
3
=a + b và ghi vào
B
.
Khi bấm

= 2a + 3b và ghi vào
B
. Tiếp tục sử dụng quy trình trên, ta
sử dụng hai ô
A
và
B
để lần lợt tính các giá trị u
n
bằng cách bấm liên tiếp phím
COPY =
ta sẽ đợc u
6
; u
7
; u
8

Quy trình 2: : Bấm b
SHIFT STO A

a SHIFT STO B+ALPHA A SHIFT STO A+

ALPHA B SHIFT STO B+
SHIFT

COPY

= u
3
+ u
2
= 3
và ghi vào
A
.
Khi bấm
ALPHA B SHIFT STO B+
nghĩa là cộng u
4
= 3 với u
3
= 2 trong
B
đợc
u
5
= u
4
+ u
3
= 5 và ghi vào
B
.
Khi bấm
SHIFT

COPY

13
SHIFT STO A
(gán u
2
= 13 vào
A
)

8 SHIFT STO B+
(gán u
3
= 21 vào
B
)

ALPHA A SHIFT STO A+
(gán u
4
= 34 vào
A
)

ALPHA B SHIFT STO B+
(gán u
5
= 55 vào
B
)

SHIFT


8 SHIFT STO B+
(gán u
3
= 21 vào
B
)

ALPHA A SHIFT STO A+
(gán u
4
= 34 vào
A
)

ALPHA B SHIFT STO B+
(gán u
5
= 55 vào
B
)
Lặp lại dãy phím trên bằng cách ấn liên tiếp phím

=
ta đợc các u
n
tơng ứng.
Ví dụ 2: Cho dãy số u
1
= 144; u

SHIFT STO A
(gán u
2
= 233 vào
A
)

144 SHIFT STO B+
(gán u
3
= 377 vào
B
)

ALPHA A SHIFT STO A+
(gán u
4
= 610 vào
A
)

ALPHA B SHIFT STO B+
(gán u
5
= 987 vào
B
)
Lặp lại dãy phím trên bằng cách ấn liên tiếp phím

=

ta ấn liên tiếp 5 lần cặp phím

=
nữa đợc u
30
= 165580141.
Hớng dẫn giải trên máy tính Casio fx - 570 MS:
233
SHIFT STO A
(gán u
2
= 233 vào
A
)

144 SHIFT STO B+
(gán u
3
= 377 vào
B
)

ALPHA A SHIFT STO A+
(gán u
4
= 610 vào
A
)

ALPHA B SHIFT STO B+

u 144 u 233
u
u 610 1597
1,61803; 1,61803
u 377 u 987
= =
= =
3.Dãy Lu - ca suy rộng dạng u
1
=a; u
2
= b; u
n
= au
n
+ bu
n-1
.
- Quy trình bấm phím trên máy tính Casio fx - 570 MS:
+ Quy trình 1:

b SHIFT STO A
a b a SHIFT STO Bì + ì
Lặp lại dãy phím
a ALPHA A b SHIFT STO Aì + ì

a ALPHA B b SHIFT STO Bì + ì
Giải thích: Bấm
b SHIFT STO A
a b a SHIFT STO Bì + ì

là u
3
. thực hiện
a ALPHA B b SHIFT STO Bì + ì
ta có u
5
trên màn hình và trong ô nhớ
B
.
Tiếp tục vòng lặp lại đợc các số hạng của u
n+1
=au
n
+ bu
n-1
+ Quy trình 2:
b SHIFT STO A
a b a SHIFT STO Bì + ì

a ALPHA A b SHIFT STO Aì + ì

a ALPHA B b SHIFT STO Bì + ì

SHIFT

COPY

Lặp lại phím
=
Giải thích: Tơng tự nh quy trình 1 nhng ở quy trình 2 ta sử dụng các phím


20 SHIFT STO A
2 20 2 SHIFT STO Bì + ì
(gán u
3
= 80 vào
B
)

2 ALPHA A 20 SHIFT STO Aì + ì
(gán u
4
= 560 vào
A
)
6

2 ALPHA B 20 SHIFT STO Bì + ì
(gán u
5
= 2720 vào
B
)
Lặp lại quy trình trên bằng phím
=
ta tính đợc u
6
= 16640, u
7
= 87680

Nh vậy sử dụng máy tính Casio fx - 570 MS để lặp lại một quy trình chỉ cần ấn
liên tiếp phím
=
, còn đối với máy tính Casio fx - 500 MS để lặp lại một quy trình thì
phải ấn liên tiếp cặp phím
=
.
Ví dụ 2: Cho dãy số
n n
n
(2 3) (2 3)
u
2 3
+
=
a) Tìm 8 số hạng đầu tiên của dãy.
b) Lập một công thức truy hồi để tính u
n+2
theo u
n + 1
và u
n
.
c) Lập một quy trình để tính u
n
?
Hớng dẫn giải trên máy tính Casio fx - 500 MS:
a) Tính 8 số hạng đầu tiên của dãy theo công thức tổng quát
( ( 2 3 ) ^ 1 ( 2 3 ) ^ 1 ) 2 3+ ữ ì =
(u

n 1 n 1 n 2 n 2
n
4(a b ) (a b )
u
2 3 2 3


=
=4u
n-1
- u
n-2
Vậy u
n
= 4u
n- 1
- u
n-2
hay u
n+2
=4u
n+1
- u
n
c) Lập quy trình tính u
n
.
Có u
1
= 1, u

5
= 209 vào
B
)
Lặp lại quy trình trên bằng phím
=
ta tính đợc u
6
= 780, u
7
= 2911
Hớng dẫn giải trên máytính Casio fx - 570 MS
a) Tính 8 số hạng đầu tiên của dãy theo công thức tổng quát
( ( 2 3 ) ^ ALPHA X ( 2 3 ) ^ ALPHA X ) 2 3 ữ+
7
Bấm
CALC
máy hiện X ?
Thay X bằng các số tự nhiên từ 1 đến 8 ta đợc các u
n
tơng ứng.
u
1
= 1, u
2
= 4, u
3
= 15, u
4
= 56, u

4 ALPHA A SHIFT STO Aì
(gán u
4
= 56 vào
A
)

4 ALPHA B SHIFT STO Bì
(gán u
5
= 209 vào
B
)

SHIFT

COPY

Lặp lại phím
=
Tìm đợc các u
n
tơng ứng
4. Dãy Phi - bô - na - xi bậc ba
Dạng u
1
= u
2
= 1, u
3

1
= 1 vào
A
, gán u
3
= 2 vào
B
.
Bấm:
ALPHA B ALPHA A 1 SHIFT STO C+ +
tính u
4
và gán vào
C

ALPHA B ALPHA A SHIFT STO A+ +
tính u
5
và gán vào
A

ALPHA C ALPHA B SHIFT STO B+ +
tính u
6
và gán vào
B

ALPHA A ALPHA C SHIFT STO C+ +
tính u
7

=
- Giải thích:
Bấm
b SHIFT STO A
gán u
2
= b vào
A

2 2
x a x SHIFT STO B+
tính u
3
= b
2
+ a
2
và gán vào
B
Lặp lại dãy:
2 2
x ALPHA A x SHIFT STO A+
tính u
4
=
2 2
3 2
u + u
và gán vào
A

a) Bấm 3
( Ans ^ 3 Ans ) ( 1 Ans ^ 3 )= + ữ +
Lặp lại phím
=
ta đợc :
0,195615199; 0,447318398; 0,672491028; 0,757778244; 0,761046838;
0,760889819; 0,76089781; 0,760897404; 0,760897425; 0,760897424; 0,760897424;
0,760897424,0,760897424
Giải thích:
Bấm 3
=
gán a
1
= 3 vào ô nhớ
Ans
Bấm
( Ans ^ 3 Ans ) ( 1 Ans ^ 3 )+ ữ +
tính a
2
Bấm
=
gán u
2
vào ô nhớ
Ans
(Mỗi lần bấm phím
=
thì giá trị trên màn hình đợc gán vào ô nhớ
Ans
)

với mọi n= 1, 2, 3,
Hớng dẫn giải trên máy Casio fx - 500 MS, Casio fx - 570 MS:
a) Khai báo giá trị đầu: x
0
= 1
Bấm: 1
=
Khai báo công thức
n
n 1
n
3x 1
x
x 3
+

=
+
Bấm tiếp:
( 3 Ans 1 ( Ans 3 )ì ữ +
(1)
Liên tiếp bấm phím
=
đợc x
n
.
Khai báo lại giá trị đầu x'
0
= 3 Bấm 3
=

= - 4,886751346
x
6
= 1 x'
6
= 3
x
7
= 0,267949192 x'
7
= 0,886751345
x
1
= - 0,267949192 x'
8
= 0,204634926
9
. . . . . . . . . . .
Tính theo công thức truy hồi ta đợc:
0 0
1 2 3
0
0 0
0 0
4 5 6 0
0 0
3x 1 x 3
1
x ; x ; x
x

.
Bài 2: Cho dãy số u
1
= 1, u
2
= 2, u
n+1
= 2003u
n
+ 2004u
n-1
( n = 2, 3, 4, )
a) Tính u
4
, u
5
, u
6
.
b) Lập quy trình tính u
n+1
.

Cho dãy số u
n
=(3 +
7
)
n
+(3 -

9
= 5827680; u
10
= 32901632;
B i t ập 3: Cho dãy số
n n
n
(10 3) (10 3)
u
2 3
+
=
a) Tính các giá trị u
1
, u
2
; u
3
, u
4
.
b) Xác định công thức truy hồi tính u
n+2
theo u
n+ 1
và u
n
.
c) Lập quy trình tiên tục tính u
n+2

n
b) Tính u
10
, u
11
, u
12
, u
14
, u
15
.
Hớng dẫn: Tính trên máy Casio fx - 500 MS:
1 2 3 4 SHIFT STO Aì + ì
Lặp lại dãy phím
3 4 ALPHA A 2 SHIFT STO Aì = ì + ì
nhờ
=
Tính trên máy Casio fx - 570 MS:
1SHIFT STO A 2 SHIFT STO B
4 ALPHA B 2 ALPHA A SHIFT STO A
3 ALPHA A SHIFT STO B
SHIFT COPY
+
=V
Kết quả: u
10
= 115548; u
11
= 537824; u
11