Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ
BÀI 1: ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ
1. Đinh nghĩa:
Hàm số f đồng biến trên K ⇔ (∀x
1
, x
2
∈ K, x
1
< x
2
⇒ f(x
1
) < f(x
2
)
Hàm số f nghịch biến trên K ⇔ (∀x
1
, x
2
∈ K, x
1
< x
2
⇒ f(x
1
) > f(x
2
)
2. Điều kiện cần:
Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I.

2
−−= xxy
Cho



=
−=
⇒=−−⇔=
3
1
09630'
2
x
x
xxy
• BBT
• Vậy: hàm số đồng biến:
)1;( −−∞
và
);3( +∞
Hàm số nghịch biến:
)3;1(−
b)
733
23
++−= xxxy
• D=R
•
363'

3
x
x
xxy
• BBT
• Vậy: hàm số tăng :
)0;1(−
và
);1( +∞
Hàm số giảm:
)1;( −−∞
và
)1;0(
d)
122
34
++−= xxxy
• D=R
•
264'
23
+−= xxy
Cho




−=
=
⇒=+−⇔=

}1{\R
•
0
)1(
2
'
2
<
−
−
=
x
y
• BBT
• Vậy: hàm số luôn giảm trên D
f)
1
22
2
−
+−
=
x
xx
y
• D=
}1{\R
•
2
2

và
);2( +∞
g)
2
4 xy −=
•
]2;2[−∈D
•
2
4
'
x
x
y
−
−
=
Cho
00' =⇔= xy
• BBT
• Vậy: hàm số giảm: (0;2)
Hàm số tăng:
)0;2(−

h)
xxy −= 4
•
]4;(−∞∈D
•
x

GV:Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu 2 Nghệ an
2
BÀI TẬP VỀ NHÀ
Baøi 1. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
a)
2
2 4 5y x x= − + +
b)
2
5
4 4
x
y x= + −
c)
2
4 3y x x= − +

d)
3 2
2 2y x x x= − + −
e)
2
(4 )( 1)y x x= − −
f)
3 2
3 4 1y x x x= − + −
g)
4 2
1
2 1

1
1
1
y
x
= −
−
n)
2
2 26
2
x x
y
x
+ +
=
+
o)
1
3
1
y x
x
= − + −
−
p)
2
4 15 9
3
x x

+ +

d)
2
2 1x
y
x
−
=
e)
2
3 2
x
y
x x
=
− +
f)
3 2 2y x x= + + −

g)
2 1 3y x x= − − −
h)
2
2y x x= −
i)
2
2y x x= −
VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến
trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng xác định)

′
= 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm.
2) Nếu
y ax bx c
2
' = + +
thì:
•

0
0
' 0,
0
0
a b
c
y x R
a


= =


≥

≥ ∀ ∈ ⇔


>



≤


∆
3) Định lí về dấu của tam thức bậc hai
2
( )g x ax bx c= + +
:
•
Nếu
∆
< 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a.
•
Nếu
∆
= 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a (trừ x =
2
b
a
−
)
•
Nếu
∆
> 0 thì g(x) có hai nghiệm x
1
, x
2
và trong khoảng hai nghiệm thì g(x) khác dấu với

1 2
0
0 0
0
x x P
S

>

< < ⇔ >


>

∆
•

1 2
0 0x x P< < ⇔ <
5) Để hàm số
3 2
y ax bx cx d= + + +
có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) (x
1
; x
2
) bằng d
thì ta thực hiện các bước sau:
•
Tính y

23
3
• D=R
•
mxxy ++= 63'
2
Hàm số luôn đồng biến



>=
≤∆
⇔≥⇔
01
0'
0'
a
y
3039 ≥⇒≤−⇒ mm
• Vậy: với
3
≥
m
thì hs luôn đồng biến trên D.
b)
2)2()12(
23
−−+−−= xmxmmxy
• D=R
•

≤+
⇔
0
0)1(
2
m
m
0>⇔ m
• Vậy: với
0
>
m
thì hs luôn đồng biến trên D.
c)
mx
mx
y
+
+
=
4
• D=
}{\ mR −
•
2
2
)(
4
'
mx

GV:Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu 2 Nghệ an
4
VD2: Định m để hàm số luôn nghịch biến:
xm
mxx
y
−
++
=
3
2
• D=
}{\ mR
•
2
22
)(
32
'
mx
mmxx
y
+
+++−
=
Hàm số luôn nghịch biến



<−=


<
<−
⇔
0)1(
0)1(
af
af



<−++
<−+−
⇔
0)163(3
0)163(3
m
m



−<
<
⇔
8
4
m
m
8−<⇒ m
• Vậy:








<
≥
>∆
≤∆
⇔
2
2
0)2(
0'
0'
S
af












≤≤−
⇔
5
2
2
3
m
m
2
2
3
≤≤−⇒ m
• Vậy:
2
2
3
≤≤− m
thì hs tăng trên
);2( +∞
VD5: Định m để hàm số
mmxxxy +++=
23
3
nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1.
• D=R
•
mxxy ++= 63'
2
Hàm số nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1.
0'≤⇔ y

• Vậy:
4
3
=m
thì hs nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1.
BÀI TẬP VỀ NHÀ
Baøi 1. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn đồng biến trên từng khoảng xác định (hoặc tập
xác định) của nó:
a)
3
5 13y x x= + +
b)
3
2
3 9 1
3
x
y x x= − + +
c)
2 1
2
x
y
x
−
=
+

d)
2

3 2
3 ( 2)y x mx m x m= − + + −
b)
3 2
2 1
3 2
x mx
y x= − − +
c)
x m
y
x m
+
=
−
d)
4mx
y
x m
+
=
+
e)
2
2 1x mx
y
x m
− −
=
−

a)
3
2
( 1) ( 1) 1
3
x
y m x m x= + + − + +
đồng biến trên khoảng (1; +∞).
b)
3 2
3(2 1) (12 5) 2y x m x m x= − + + + +
đồng biến trên khoảng (2; +∞).
c)
mx
y m
x m
4
( 2)
+
= ≠ ±
+
đồng biến trên khoảng (1; +∞).
d)
x m
y
x m
+
=
−
đồng biến trong khoảng (–1; +∞).

VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức
Để chứng minh bất đẳng thức ta thực hiện các bước sau:
GV:Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu 2 Nghệ an
6
•
Chuyển bất đẳng thức về dạng f(x) > 0 (hoặc <,
≥
,
≤
). Xét hàm số y = f(x) trên tập xác
định do đề bài chỉ định.
•
Xét dấu f
′
(x). Suy ra hàm số đồng biến hay nghịch biến.
•
Dựa vào định nghĩa sự đồng biến, nghịch biến để kết luận.
Chú ý:
1) Trong trường hợp ta chưa xét được dấu của f
′
(x) thì ta đặt h(x) = f
′
(x) và quay lại tiếp
tục xét dấu h
′
(x) … cho đến khi nào xét dấu được thì thôi.
2) Nếu bất đẳng thức có hai biến thì ta đưa bất đẳng thức về dạng: f(a) < f(b).
Xét tính đơn điệu của hàm số f(x) trong khoảng (a; b).
VD 1: chứng minh
0,sin >∀< xxx

x
xxxf +−=
•
2
1cos)('
2
x
xxf +−=
•
0sin)('' >+−= xxxf
(chứng minh trên)
( )
0,0
6
sin0)(0)('
3
>∀>+−⇒>⇒>⇒ x
x
xxxfxf
đpcm.
BÀI TẬP VỀ NHÀ
Baøi 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
3
sin , 0
6
x
x x x vôùi x− < < >
b)
2 1

tan tan , 0
2
a a b b vôùi a b− < − < < <
π
Baøi 3. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
2
sin , 0
2
x
x vôùi x> < <
π
π
b)
3 3 5
sin , 0
6 6 120
x x x
x x x vôùi x− < < − + >
c)
x x x vôùi xsin cos 1, 0
2
π
+ > < <
Baøi 4. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
1 , 0
x
e x vôùi x> + >
b)

tan55 tan(45 10 )= +
. Xét hàm số
1
( )
1
x
f x
x
+
=
−
.
b) Xét hàm số
3
( ) 3 4f x x x= −
.
f(x) đồng biến trong khoảng
1 1
;
2 2
 
−
 ÷
 
và
0
1 7
,sin20 ,
3 20
∈

0
) đgl giá trị cực đại (cực đại) của f.
b) x
0
– điểm cực tiểu của f nếu tồn tại khoảng (a; b) ⊂ D và x
0
∈ (a; b) sao cho
f(x) > f(x
0
), với ∀x ∈ (a; b) \ {x
0
}.
Khi đó f(x
0
) đgl giá trị cực tiểu (cực tiểu) của f.
c) Nếu x
0
là điểm cực trị của f thì điểm (x
0
; f(x
0
)) đgl điểm cực trị của đồ thị hàm số f.
II. Điều kiện cần để hàm số có cực trị
Nếu hàm số f có đạo hàm tại x
0
và đạt cực trị tại điểm đó thì f′ (x
0
) = 0.
Chú ý: Hàm số f chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không
có đạo hàm.

b) Nếu f′′ (x
0
) > 0 thì f đạt cực tiểu tại x
0
.
VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trị của hàm số
Qui tắc 1: Dùng định lí 1.
•
Tìm f
′
(x).
•
Tìm các điểm x
i
(i = 1, 2, …) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm.
•
Xét dấu f
′
(x). Nếu f
′
(x) đổi dấu khi x đi qua x
i
thì hàm số đạt cực trị tại x
i
.
Qui tắc 2: Dùng định lí 2.
•
Tính f
′
(x).

VD 1: tìm cực trị của hàm số sau:
593
23
+−−= xxxy
• D=R
•
963'
2
−−= xxy
Cho



=
−=
⇒=−−⇔=
3
1
09630'
2
x
x
xxy
• BBT
• Vậy: hàm số đạt cực đại tại (-1;10)
Hàm số đạt cực tiểu tại (3;-22)
 Cũng bài trên thầy sẽ làm theo dấu hiệu II.
Các e tính thêm
66'' −= xy
.

4 2
4 5y x x= − +
f)
4
2
3
2 2
x
y x= − + +
g)
2
3 6
2
x x
y
x
− + +
=
+
h)
2
3 4 5
1
x x
y
x
+ +
=
+
i)

y
x x
+ +
=
+ +
d)
2
4y x x= −
e)
2
2 5y x x= − +
f)
2
2y x x x= + −
Baøi 3. Tìm cực trị của các hàm số sau:
GV:Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu 2 Nghệ an
9
a)
3
2
1y x= +
b)
3
2
2 1
x
y
x
=
+

(x) đổi dấu khi x đi qua x
0
.
Chú ý:
•
Hàm số bậc ba
3 2
y ax bx cx d= + + +
có cực trị
⇔
Phương trình y
′
= 0 có hai nghiệm
phân biệt.
Khi đó nếu x
0
là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y(x
0
) bằng hai cách:
+
3 2
0 0 0 0
( )y x ax bx cx d= + + +
+
0 0
( )y x Ax B= +
, trong đó Ax + B là phần dư trong phép chia y cho y
′
.
•

là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y(x
0
) bằng hai cách:

0
0
0
( )
( )
( )
P x
y x
Q x
=
hoặc
0
0
0
'( )
( )
'( )
P x
y x
Q x
=
•
Khi sử dụng điều kiện cần để xét hàm số có cực trị cần phải kiểm tra lại để loại bỏ
nghiệm ngoại lai.
•
Khi giải các bài tập loại này thường ta còn sử dụng các kiến thức khác nữa, nhất là định

22
−+−= mmxxy
Cho
0)1(3630'
22
=−+−⇔= mmxxy
⇒>+−=∆ 0999'
22
mm
hs sau luôn có cực đại, cực tiểu. đpcm.
b)
mx
mxmmx
y
−
+−−+
=
1)1(
422
• D=
}{\ mR
GV:Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu 2 Nghệ an
10
•
2
22
2
4222
)(
12

2
hs có cực đại, cực tiểu
0'=⇔ y
có 2 nghiệm phân biệt



<<−
−≠
⇔



>+−−
−≠
⇔



>+−
−≠
⇔



>∆
−≠
⇔
13
2

=
x
mxx
y
không có cực trị
• D=
}1{\R
•
2
2
)1(
22
'
−
−−−
=
x
mxx
y
hs không có cực trị
0'=⇔ y
vô nghiệm hoặc có nghiệm kép
30210' −≤⇒≤++⇒≤∆⇔ mm
• Vậy:
3
−≤
m
thì hs không có cực trị.
VD4: tìm m để hs
233

23
đạt cực đại tại x =1 và cực tiểu tại x = 2.
• D=R
•
123'
2
++= bxaxy
•
baxy 26'' +=
hs đạt cực đại tại x =1 và cực tiểu tại x = 2







−=
=
⇒







>
=
<

);(),;(
2211
yxNyxM
là hai điểm cực trị.
CMR:
)1)((2
212121
−−=− xxxxyy
• D=R
GV:Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu 2 Nghệ an
11
•
mxxy 363'
2
+−=
Cho
03630'
2
=+−⇔= mxxy
Theo định lý Vi-ét thì
2
21
=+ xx
và
mxx =
21
.
•
)1.)((2 )363(363
21212

x
x
x
x
2
2
1
2
2
1
−
=+
;
P
S
xx
=+
21
11
;
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1

<⇔<<
αα
afxx







<
>
>∆
⇔<<
α
αα
2
0)(
0
21
S
afxx







>






<
>
>∆
<
⇔<<<
β
β
α
βα
2
0)(
0
0)(
21
S
af
af
xx

VD7: Cho
3223
)1(33 mxmmxxy −−+−=
. Tìm m để hàm số có cực trị trái dấu nhau.
• D=R
•

sao cho
2
21
≤− xx
.
• D=R
•
.9)1(63'
2
++−= xmxy
GV:Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu 2 Nghệ an
12
Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại
21
, xx

⇔
phương trình
0'=y
có hai nghiệm pb là
21
, xx⇔
Pt
03)1(2
2
=++− xmx
có hai nghiệm phân biệt là

2121
≤−+⇔≤−+⇔≤− mxxxxxx

)2(134)1(
2
≤≤−⇔≤+⇔ mm
Từ (1) và (2) suy ra giá trị của m là
313 −−<≤− m
và
.131 ≤<+− m
VD9: Cho hàm số y = - x
3
+ 3mx
2
-3m – 1. Tìm các giá trị của m để hàm số có cực đại, cực
tiểu. Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu đối xứng với nhau
qua đường thẳng d: x + 8y – 74 = 0.
• D=R
• y’ = - 3x
2
+ 6mx ; y’ = 0 ⇔ x = 0 v x = 2m.
Hàm số có cực đại , cực tiểu ⇔ phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ m ≠ 0.
Hai điểm cực trị là A(0; - 3m - 1) ; B(2m; 4m
3
– 3m – 1)
Trung điểm I của đoạn thẳng AB là I(m ; 2m
3
– 3m – 1)
Vectơ
3

3 2 2 3
3 3( 1)y x mx m x m m= − + − − +
(1)
Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến
góc tọa độ O bằng
2
lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến góc tọa độ O.
• D=R
•
, 2 2
3 6 3( 1)y x mx m= − + −
Để hàm số có cực trị thì PT
,
0y =
có 2 nghiệm phân biệt

2 2
2 1 0x mx m⇔ − + − =
có 2 nhiệm phân biệt

1 0, m⇔ ∆ = > ∀

Cực đại của đồ thị hàm số là A(m-1;2-2m) và cực tiểu của đồ thị hàm số là B(m+1;-2-
2m)
Theo giả thiết ta có
2
3 2 2
2 6 1 0
3 2 2
m


GV:Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu 2 Nghệ an
13
• Ta có
33)3(
6
1
63
1
'.
22
−+−−−






−+= mmxm
m
xyy
33)3(
22
−+−−−=⇒ mmxmy
là đường thẳng qua 2 điểm cực trị.
VD12: Cho hs
1
2
2
−

−>⇒
m

• Ta có
mxy
v
u
y +=⇒= 2
'
'
là đường thẳng qua 2 điểm cực trị
b) YCBT
4)(2
21
=−=− xxyy
CTCĐ
43
2
=−⇔ PS
24634 −=⇒=++⇔ mm
(thỏa đk)
VD13: Cho hàm số
3 2
1 1
y x (m 1)x 3(m 2)x
3 3
= − − + − +
.Với giá trị nào của m thì hàm số có
cực đại, cực tiểu đồng thời hoành độ các điểm cực đại, cực tiểu x
1

  
− −
∆ = − − − > − + + >
< <
 


Theo định lí Viet và theo đề bài, ta có:
1 2
1 2
1 2
2(m 1)
x x (1)
m
3(m 2)
x .x (2)
m
x 2x 1 (3)
−

+ =


−

=


+ =


=

(thỏa(*)). Vậy giá trị cần tìm là:
2
m m 2
3
= ∨ =
VD14: Cho hàm số
4 2 4
y x 2mx 2m m= − + +
. Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu, đồng
thời các điểm cực đại và cực tiểu lập thành một tam giác đều.
GV:Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu 2 Nghệ an
14
Giải: TXĐ: D = R.
3
y' 4x 4mx= −
. y’= 0
2
x 0
x m(*)
=

⇔

=

. Hàm số có cực đại và cực tiểu thì
y’ = 0 có ba nghiệm phân biệt và y’ đổi dấu khi x qua các nghiệm đó
⇔

=

2 2 4 3
AB BC m m 4m m(m 3) 0⇔ = ⇔ + = ⇔ − =
. Vậy
3
m 3 (m 0)= >
VD15: Cho hàm số
4 2
y kx (k 1)x 1 2k= + − + −
. Xác định các giá trị của tham số k để đồ thị
hàm số chỉ có một điểm cực trị.
Giải: TXĐ: D = R.
3
y' 4kx 2(k 1)x= + −
.
2
x 0
y' 0
2kx k 1 0(*)
=

= ⇔

+ − =

. Hàm số chỉ có một
cực trị khi và chỉ khi y’ = 0 có một nghiệm duy nhất và y’ đổi dấu khi x đi qua nghiệm đó
⇔
phương trình (*) vô nghiệm hoặc có nghiệm x = 0.

2 2
= − +
. Xác định m để đồ thị của hàm số có cực tiểu mà
không có cực đại.
Giải: TXĐ: D = R.
3
y' 2x 2mx= −
.
2
x 0
y' 0
x m(*)
=

= ⇔

=

. Hàm số có cực tiểu mà không có
cực đại
y' 0⇔ =
có một nghiệm duy nhất và y’ đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua nghiệm
đó
⇔
phương trình (*) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép x = 0
⇔
m 0
≤
BÀI TẬP VỀ NHÀ
Baøi 1. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn có cực đại, cực tiểu:

3 2 2
3( 1) (2 3 2) ( 1)y x m x m m x m m= − − + − + − −
có cực đại, cực tiểu.
c)
3 2 2
3 ( 1) 2y x mx m x= − + − +
đạt cực đại tại x = 2.
d)
4 2
2( 2) 5y mx m x m= − + − + −
có một cực đại
1
.
2
x =
GV:Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu 2 Nghệ an
15
e)
2
2 2x mx
y
x m
− +
=
−
đạt cực tiểu khi x = 2.
f)
2 2
( 1) 4 2
1

x
− + +
=
−
d)
2 2
( 1) 4 2
1
x m x m m
y
x
− + − + −
=
−
Baøi 4. Tìm a, b, c, d để hàm số:
a)
3 2
y ax bx cx d= + + +
đạt cực tiểu bằng 0 tại x = 0 và đạt cực đại bằng
4
27
tại x =
1
3
b)
4 2
y ax bx c= + +
có đồ thị đi qua gốc toạ độ O và đạt cực trị bằng –9 tại x =
3
.

đạt cực đại bằng 5 tại x = 1.
Baøi 5. Tìm m để hàm số :
a)
3 2 2 2
2( 1) ( 4 1) 2( 1)y x m x m m x m= + − + − + − +
đạt cực trị tại hai điểm x
1
, x
2
sao cho:
1 2
1 2
1 1 1
( )
2
x x
x x
+ = +
.
b)
3 2
1
1
3
y x mx mx= − + −
đạt cực trị tại hai điểm x
1
, x
2
sao cho:

2 2
( 1) 4 2
1
x m x m m
y
x
− + − + −
=
−
có cực đại, cực tiểu và tích các giá trị cực đại, cực tiểu
đạt giá trị nhỏ nhất.
c)
2
3
4
x x m
y
x
− + +
=
−
có giá trị cực đại M và giá trị cực tiểu m thoả
4M m− =
.
GV:Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu 2 Nghệ an
16
d)
2
2 3 2
2

2x mx m
y
x m
+ + −
=
−
có hai điểm cực trị nằm hai phía đối với trục tung. Chứng minh hai
điểm cực trị luôn luôn nằm cùng một phía đối với trục hoành.
d)
2
1
x mx
y
x
+
=
−
có khoảng cách giữa hai điểm cực trị bằng 10.
e)
2
2 5
1
x mx
y
x
− + +
=
−
có hai điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với đường thẳng
y = 2x.

x m x m
y
x
+ + + +
=
+
có hai điểm cực trị nằm ở hai phía đối với đường thẳng (d):
2 3 1 0x y− − =
.
Baøi 9. Tìm m để đồ thị hàm số :
a)
2
( 1) 2 1x m x m
y
x m
− + + −
=
−
có hai điểm cực trị ở trong góc phần tư thứ nhất của mặt
phẳng toạ độ.
b)
2 2 2
2 (4 1) 32 2
2
mx m x m m
y
x m
+ + + +
=
+

2 3
3 2y x x= −
c)
3 2
3 6 8y x x x= − − +
d)
2
2 1
3
x x
y
x
− +
=
+
e
2
1
2
x x
y
x
− −
=
−
Bài 11. Khi hàm số có cực đại, cực tiểu, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị
của đồ thị hàm số:
a)
3 2 2 3
3 3( 1)y x mx m x m= − + − −

2 3( 1) 6 (1 2 )y x m x m m x= + − + −
có các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị nằm trên
đường thẳng y = –4x.
c)
3 2
7 3y x mx x= + + +
có đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu vuông góc với
đường thẳng y = 3x – 7.
d)
3 2 2
3y x x m x m= − + +
có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng
(∆):
1 5
2 2
y x= −
.
BÀI 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
1. Định nghĩa:
Giả sử hàm số f xác định trên miền D (D ⊂ R).
a)
0 0
( ) ,
max ( )
: ( )
D
f x M x D
M f x
x D f x M


a b a b
f x f a f x f b= =
.
VẤN ĐỀ 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách lập bảng biến thiên
Cách 1: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng.
•
Tính f
′
(x).
•
Xét dấu f
′
(x) và lập bảng biến thiên.
•
Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.
Cách 2: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn [a; b].
•
Tính f
′
(x).
•
Giải phương trình f
′
(x) = 0 tìm được các nghiệm x
1
, x
2
, …, x
n
trên [a; b] (nếu có).

+−−= xxxy
• D=R
•
963'
2
−−= xxy
Cho



=
−=
⇒=−−⇔=
3
1
09630'
2
x
x
xxy
• BBT
Vậy: không có Maxy, Miny
VD2: Tìm GTLN-GTNN của hs:
122
34
++−= xxxy
• D=R
•
264'
23

+−= xxy
,
]3;2[−∈x
•
]3;2[−∈D
(hoặc D=R xét
]3;2[−∈x
)
•
xxy 44'
3
−=
Cho



±=
=
⇒=−⇔=
1
0
0)1(40'
2
x
x
xxy
.68)3(;13)2(;4)1(;4)1(;5)0( ==−==−= yyyyy
Vậy:
368
]3;2[




−∉=
=
=
⇒=+−⇔=
]2;1[3
1
0
0152050'
234
x
x
x
xxxy
.6)2(;9)1(;3)1(;2)0( −=−=−== yyyy
Vậy:
13
]2;1[
=⇔=
−∈
xyMax
x
và
19
]2;1[
−=⇔−=
−∈
xyMin

−
−−
=
x
xx
y
Cho
610520'
2
±=⇒=−−⇔= xxxy
• BBT
Vậy:
39
]3;1(
=⇔=
∈
xyMin
x
và
yMax
x ]3;1(∈
không tồn tại.
VD6: Tìm GTLN-GTNN của hs:
2
4 xy −=
•
]2;2[−∈D

•
2

+
=
xx
x
y
• Đặt
1,sin ≤= txt
•
1
1
2
++
+
=
tt
t
y
;
]1;1[−∈t
•
22
2
)1(
2
'
++
−−
=
tt
tt

−∈
xyMin
x
BÀI TẬP VỀ NHÀ
Baøi 1. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
a)
2
4 3y x x= + +
b)
3 4
4 3y x x= −
c)
4 2
2 2y x x= + −
d)
2
2y x x= + −
e)
2
1
2 2
x
y
x x
−
=
− +
f)
2
2

x x
y x
x x
+ +
= >
+

Baøi 2. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
a)
3 2
2 3 12 1y x x x= + − +
trên [–1; 5] b)
3
3y x x= −
trên [–2; 3]
GV:Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu 2 Nghệ an
21
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ
c)
4 2
2 3y x x= − +
trên [–3; 2] d)
4 2
2 5y x x= − +
trên [–2; 2]
e)
3 1
3
x

x x
y
x x
− +
=
+ −
trên [0; 1]
i)
2
100y x= −
trên [–6; 8] k)
2 4y x x= + + −
Baøi 3. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
a)
2sin 1
sin 2
x
y
x
−
=
+
b)
2
1
cos cos 1
y
x x
=
+ +

( ; ; )/ 0, 0, 0, 1D x y z x y z x y z= > > > + + =
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
1 1 1
x y z
P
x y z
= + +
+ + +
.
Giải:
1 1 1
3
1 1 1
P
x y z
 
= − + +
 ÷
+ + +
 
Sử dụng bất đẳng thức Cô–si:
[ ]
1 1 1
( 1) ( 1) ( 1) 9
1 1 1
x y z
x y z
 
+ + + + = + + ≥
 ÷

4 1
4
S
x y
= +
.
Giải:
( )
1 1 1 1 1
4 25
4
x x x x y
x x x x y
 
+ + + + + + + + ≥
 ÷
 

⇔

4 1
4( ) 25
4
x y
x y
 
+ + ≥
 ÷
 
⇒

− − +
=
1 1 1
2
1 1x y x y
+ + −
− − +
.
Sử dụng bất đẳng thức Cô–si:
[ ]
1 1 1
(1 ) (1 ) ( ) 9
1 1
x y x y
x y x y
 
− + − + + + + ≥
 ÷
− − +
 
GV:Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu 2 Nghệ an
22
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ
⇔

1 1 1 9
1 1 2x y x y
+ + ≥
− − +

Giải:
2
1 1
2
4 8 8 2
x y y x y
P
x
y
 
+
= + + + + +
 ÷
 
(1)
Theo bất đẳng thức Cô–si:
1 1
2 . 1
4 4
x x
x x
+ ≥ =
(2)
3
2 2
1 1 3
3 . .
8 8 8 8 4
y y y y
y y

;
0
lim ( )
x x
f x
+
→
= −∞
;
0
lim ( )
x x
f x
−
→
= +∞
;
0
lim ( )
x x
f x
−
→
= −∞
• Đường thẳng
0
y y=
đgl đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
( )y f x=
nếu ít nhất một trong

f x ax b
→−∞
− + =
2. Chú ý:
a) Nếu
( )
( )
( )
P x
y f x
Q x
= =
là hàm số phân thức hữu tỷ.
• Nếu Q(x) = 0 có nghiệm x
0
thì đồ thị có tiệm cận đứng
0
x x=
.
• Nếu bậc(P(x)) ≤ bậc(Q(x)) thì đồ thị có tiệm cận ngang.
• Nếu bậc(P(x)) = bậc(Q(x)) + 1 thì đồ thị có tiệm cận xiên.
b) Để xác định các hệ số a, b trong phương trình của tiệm cận xiên, ta có thể áp dụng các công thức
sau:
[ ]
( )
lim ; lim ( )
x x
f x
a b f x ax
x

1
=⇒+∞=
+
→
xy
x
là đường tiệm cận đứng.
•
11lim =⇒=
+∞→
yy
x
là đường tiệm cận ngang.
b)
1
1
2
1
33
2
−
+−=
−
+−
=
x
x
x
xx
y

là đường tiệm cận xiên
.c)
x
x
y
1
2
+
=
• D=
}0{\R
•
0lim
0
=⇒+∞=
+
→
xy
x
là đường tiệm cận đứng.
•
11lim =⇒=
+∞→
yy
x
là đường tiệm cận ngang.
•
11lim −=⇒−=
−∞→
yy

=
−
c)
2 3
2
x
y
x
+
=
−
d)
2
4 3
1
x x
y
x
− +
=
+
e)
2
( 2)
1
x
y
x
−
=

c)
2
2
4 5
1
x x
y
x
+ +
=
−
d)
2
2
2 3 3
1
x x
y
x x
+ +
=
+ +
e)
3
2
1
1
x x
y
x

1
4 3
y
x x
=
− +
d)
1
1
x
y x
x
−
=
+
e)
3
2 3
3y x x= −
f)
2
3 2
2
x x
y
x
− +
=
−
BÀI 5: KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

2
– 3ac > 0
y’ = 0 có nghiệm kép
⇔ ’ = b
2
– 3ac = 0
y’ = 0 vô nghiệm
⇔ ’ = b
2
– 3ac < 0
3. Hàm số trùng phương
4 2
( 0)y ax bx c a= + + ≠
:
• Tập xác định D = R.
• Đồ thị luôn nhận trục tung làm trục đối xứng.
• Các dạng đồ thị:
GV:Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu 2 Nghệ an
y
x0
I
y
x0
I
y
x
0
I
y
x