TRẦN SĨ TÙNG
›š & ›š
BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12 ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT & ĐẠI HỌC

2
)
Hàm số f nghòch biến trên K Û ("x
1
, x
2
Ỵ K, x
1
< x
2
Þ f(x
1
) > f(x
2
)
2. Điều kiện cần:
Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I.
a) Nếu f đồng biến trên khoảng I thì f¢(x) ³ 0, "x Ỵ I
b) Nếu f nghòch biến trên khoảng I thì f¢(x) £ 0, "x Ỵ I
3. Điều kiện đủ:
Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I.
a) Nếu f¢ (x) ³ 0, "x Ỵ I (f¢(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên I.
b) Nếu f¢ (x) £ 0, "x Ỵ I (f¢(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f nghòch biến trên I.
c) Nếu f¢(x) = 0, "x Ỵ I thì f không đổi trên I.
Chú ý: Nếu khoảng I được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì f phải liên tục trên đó.

VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên của hàm số
Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước như sau:
– Tìm tập xác đònh của hàm số.
– Tính y

d)
32
22
yxxx
=-+-
e)
2
(4)(1)
yxx
=
f)
32
341
yxxx
=-+-

g)
42
1
21
4
yxx
=
h)
42
23
yxx
= +
i)
42

=-
-

n)
2
226
2
xx
y
x
++
=
+
o)
1
3
1
yx
x
=-+-
-
p)
2
4159
3
xx
y
x
-+
=

xx
-+
=
++

d)
2
21
x
y
x
-
= e)
2
32
x
y
xx
=
-+
f) 322
yxx
=++-

g) 213
yxx
=
h)
2
2

, m là tham số, có tập xác đònh D.

·
Hàm số f đồng biến trên D
Û
y
¢

³
0,
"
x
Ỵ
D.

·
Hàm số f nghòch biến trên D
Û
y
¢

£
0,
"
x
Ỵ
D.
Từ đó suy ra điều kiện của m.
Chú ý:
1) y

>
ê
í
ê
£
ỵ
ë
D

·

0
0
'0,
0
0
ab
c
yxR
a
é
ì
==
í
ê
£
ỵ
£"ỴÛ
ê
ì

·
Nếu
D
> 0 thì g(x) có hai nghiệm x
1
, x
2
và trong khoảng hai nghiệm thì g(x) khác dấu
với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì g(x) cùng dấu với a.
4) So sánh các nghiệm x
1
, x
2
của tam thức bậc hai
2
()
gxaxbxc
=++
với số 0:

·

12
0
00
0
xxP
S
ì
>

xxP
<<Û<

5) Để hàm số
32
yaxbxcxd
=+++
có độ dài khoảng đồng biến (nghòch biến) (x
1
; x
2
) bằng
d thì ta thực hiện các bước sau:

·
Tính y
¢
.

·
Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghòch biến:

0
0
a
ì
¹
í
>
ỵ

=++
b)
3
2
391
3
x
yxx
=-++
c)
21
2
x
y
x
-
=
+

d)
2
23
1
xx
y
x
+-
=
+
e)

32
3(2)
yxmxmxm
=-++-
b)
32
21
32
xmx
yx
= +
c)
xm
y
xm
+
=
-

d)
4
mx
y
xm
+
=
+
e)
2
21

=-+-+
nghòch biến trên một khoảng có độ dài bằng 3.
c)
32
1
(1)(3)4
3
yxmxmx
=-+-++-
đồng biến trên một khoảng có độ dài bằng 4.
Bài 5. Tìm m để hàm số:
a)
3
2
(1)(1)1
3
x
ymxmx
=++-++
đồng biến trên khoảng (1; +¥).
b)
32
3(21)(125)2
yxmxmx
=-++++
đồng biến trên khoảng (2; +¥).
c)
4
(2)
x

y
x
+
=
+
nghòch biến trên khoảng
1
;
2
ỉư
-+¥
ç÷
èø
.

Khảo sát hàm số Trần Só Tùng
Trang 4
VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức
Để chứng minh bất đẳng thức ta thực hiện các bước sau:

·
Chuyển bất đẳng thức về dạng f(x) > 0 (hoặc <,
³
,
£
). Xét hàm số y = f(x) trên tập
xác đònh do đề bài chỉ đònh.

·
Xét dấu f

+><<
p

c) tan,0
2
xxvớix
<<<
p
d) sintan2,0
2
xxxvớix
+><<
p

Bài 2. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
tan
,0
tan2
aa
vớiab
bb
<<<<
p
b) sinsin,0
2
aabbvớiab
-<-<<<
p


b)
ln(1),0
xxvớix
+<>

c)
1
ln(1)ln,0
1
xxvớix
x
+->>
+
d)
(
)
22
1ln11
xxxx
+++³+
Bài 5. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
0
tan551,4
> b)
0
17
sin20
320
<< c)

và
0
17
,sin20,
320
Ỵ

11
;
22
ỉư
-
ç÷
èø
.
c) Xét hàm số
()log(1)
x
fxx
=+
với x > 1.
Trần Só Tùng Khảo sát hàm số
Trang 5
VẤN ĐỀ 4: Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất
Để chứng minh phương trình f(x) = g(x) (*) có nghiệm duy nhất, ta thực hiện các bước sau:

·

571614
xxxx
+-++++=
d)
22
15328
xxx
+=-++

Bài 2. Giải các phương trình sau:
a)
555
1230
xxx
+++++=
b)
ln(4)5
xx
-=-

c)
345
xxx
+=
d)
23538
xxx
++=

Bài 3. Giải các bất phương trình sau:

b)
32
32
32
2
2
2
xyyy
yzzz
zxxx
ì
=++-
ï
í
=++-
ï
=++-
ỵ

c)
tantan
5
23
4
xyyx
xy
ì
-=-
ï
í

2
()6128
fttt
=-+
Khảo sát hàm số Trần Só Tùng
Trang 6 I. Khái niệm cực trò của hàm số
Giả sử hàm số f xác đònh trên tập D (D Ì R) và x
0
Ỵ D.
a) x
0
– điểm cực đại của f nếu tồn tại khoảng (a; b) Ì D và x

II. Điều kiện cần để hàm số có cực trò
Nếu hàm số f có đạo hàm tại x
0
và đạt cực trò tại điểm đó thì f¢ (x
0
) = 0.
Chú ý: Hàm số f chỉ có thể đạt cực trò tại những điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc
không có đạo hàm.
III. Điểu kiện đủ để hàm số có cực trò
1. Đònh lí 1: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x
0
và có đạo hàm
trên (a; b)\{x
0
}
a) Nếu f¢ (x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x
0
thì f đạt cực tiểu tại x
0
.
b) Nếu f¢ (x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x
0
thì f đạt cực đại tại x
0
.
Đònh lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a; b) chứa điểm x
0
, f¢ (x
0
) = 0 và có

¢
(x). Nếu f
¢
(x) đổi dấu khi x đi qua x
i
thì hàm số đạt cực trò tại x
i
.
Qui tắc 2: Dùng đònh lí 2.

·
Tính f
¢
(x).

·
Giải phương trình f
¢
(x) = 0 tìm các nghiệm x
i
(i = 1, 2, …).

·
Tính f
¢¢
(x) và f
¢¢
(x
i
) (i = 1, 2, …).

415
3
yxxx
=-+-
d)
4
2
3
2
x
yx
=-+
e)
42
45
yxx
=-+
f)
4
2
3
22
x
yx
=-++

g)
2
36
2

(2)(1)
yxx
=-+
b)
2
2
421
23
xx
y
xx
+-
=
+-
c)
2
2
344
1
xx
y
xx
++
=
++

d)
2
4
yxx

yee
-
=+
d)
2
552ln
yxxx
=-++ e)
2
4sin
yxx
=- f)
2
ln(1)
yxx
=-+

VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trò
1. Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trò tại điểm x
0
thì f
¢
(x
0
) = 0 hoặc tại x
0
không có đạo hàm.

=+++

+
00
()
yxAxB
=+
, trong đó Ax + B là phần dư trong phép chia y cho y
¢
.

·
Hàm số
2
''
axbxc
y
axb
++
=
+
=
()
()
Px
Qx
(aa
¢¹
0) có cực trò
Û

()
'()
Px
yx
Qx
=

·
Khi sử dụng điều kiện cần để xét hàm số có cực trò cần phải kiểm tra lại để loại bỏ
nghiệm ngoại lai.

·
Khi giải các bài tập loại này thường ta còn sử dụng các kiến thức khác nữa, nhất là
đònh lí Vi–et. Khảo sát hàm số Trần Só Tùng
Trang 8
Bài 1. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn có cực đại, cực tiểu:
a)
3223
33(1)
yxmxmxm
=-+
b)
32
23(21)6(1)1
yxmxmmx
=-++++


yxmxmmxmm
= +-+
có cực đại, cực tiểu.
c)
322
3(1)2
yxmxmx
=-+-+
đạt cực đại tại x = 2.
d)
42
2(2)5
ymxmxm
=-+-+-
có một cực đại
1
.
2
x
=

e)
2
22
xmx
y
xm
-+
=
-

3(1)1
ymxmxmx
=+

c)
2
5
3
xmx
y
x
-++
=
-
d)
22
(1)42
1
xmxmm
y
x
-+-+-
=
-

Bài 4. Tìm a, b, c, d để hàm số:
a)
32
yaxbxcxd
=+++

=
+
đạt cực trò tại x = 0 và x = 4.
e)
2
2
2
1
axxb
y
x
++
=
+
đạt cực đại bằng 5 tại x = 1.
Bài 5. Tìm m để hàm số :
a)
3222
2(1)(41)2(1)
yxmxmmxm
=+-+-+-+
đạt cực trò tại hai điểm x
1
, x
2
sao
cho:
12
12
111

1
, x
2
sao cho:
12
21
xx
+=
.
Trần Só Tùng Khảo sát hàm số
Trang 9
Bài 6. Tìm m để hàm số :
a)
2
2
1
xmxm
y
xm
+-+
=
-+
có cực đại, cực tiểu và các giá trò cực đại, cực tiểu cùng dấu.
b)
22
(1)42
1
xmxmm
y
x

có
12
CĐCT
yy
-<
.
Bài 7. Tìm m để đồ thò hàm số :
a)
32
4
yxmx
=-+-
có hai điểm cực trò là A, B và
2
2
900
729
m
AB = .
b)
42
4
yxmxxm
=-++
có 3 điểm cực trò là A, B, C và tam giác ABC nhận gốc toạ độ
O làm trọng tâm.
c)
2
2
xmxm

2
23
xxm
y
xm
+++
=
-
có hai điểm cực trò và khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất.
Bài 8. Tìm m để đồ thò hàm số :
a)
32
21213
yxmxx
=+
có hai điểm cực trò cách đều trục tung.
b)
323
34
yxmxm
=-+ có các điểm cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường phân
giác thứ nhất.
c)
323
34
yxmxm
=-+ có các điểm cực đại, cực tiểu ở về một phía đối với đường
thẳng (d):
3280
xy

b)
222
2(41)322
2
mxmxmm
y
xm
++++
=
+
có một điểm cực trò nằm trong góc phần tư thứ
hai và điểm kia nằm trong góc phần tư thứ tư của mặt phẳng toạ độ.
Khảo sát hàm số Trần Só Tùng
Trang 10
c)
222
(1)4
mxmxmm
y
xm
-+++
=
-
có một điểm cực trò nằm trong góc phần tư thứ nhất
và điểm kia nằm trong góc phần tư thứ ba của mặt phẳng toạ độ.
d)
22
(21)1
1
xmxm

2
) là các điểm cực trò thì:

111
222
()
()
yfxAxB
yfxAxB
ì
==+
í
==+
ỵÞ
Các điểm (x
1
; y
1
), (x
2
; y
2
) nằm trên đường thẳng y = Ax + B.
2) Hàm số phân thức
2
()
()

Pxaxb
y
Qxd
+
== .

Bài 1. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trò của đồ thò hàm số :
a)
32
21
yxxx
= +
b)
23
32
yxx
=- c)
32
368
yxxx
= +

d)
2
21
3
xx
y
x
-+

c)
322
3(1)(232)(1)
yxmxmmxmm
= +-+
d)
2
2
1
xmxm
y
xm
+-+
=
-+

Bài 3. Tìm m để hàm số:
a)
32
23(1)6(2)1
yxmxmx
=+-+
có đường thẳng đi qua hai điểm cực trò song song
với đường thẳng y = –4x + 1.
b)
32
23(1)6(12)
yxmxmmx
=+-+- có các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thò nằm trên
đường thẳng y = –4x.

:()
D
fxMxD
Mfx
xDfxM
ì
£"Ỵ
=Û
í
$Ỵ=
ỵ

b)
00
(),
min()
:()
D
fxmxD
mfx
xDfxm
ì
³"Ỵ
=Û
í
$Ỵ=
ỵ

2. Tính chất:
a) Nếu hàm số f đồng biến trên [a; b] thì

Tính f
¢
(x).

·
Giải phương trình f
¢
(x) = 0 tìm được các nghiệm x
1
, x
2
, …, x
n
trên [a; b] (nếu có).

·
Tính f(a), f(b), f(x
1
), f(x
2
), …, f(x
n
).

·
So sánh các giá trò vừa tính và kết luận.

{
}
12

yxx
=+-

d)
2
2
yxx
=+-
e)
2
1
22
x
y
xx
-
=
-+
f)
2
2
245
1
xx
y
x
++
=
+


Bài 2. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
a)
32
23121
yxxx
=+-+
trên [–1; 5] b)
3
3
yxx
=-
trên [–2; 3]
c)
42
23
yxx
=-+
trên [–3; 2] d)
42
25
yxx
=-+
trên [–2; 2]
e)
31
3
x
y
x
-

1
1
xx
y
xx
-+
=
+-
trên [0; 1]
i)
2
100
yx
=-
trên [–6; 8] k) 24
yxx
=++-

Bài 3. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
a)
2sin1
sin2
x
y
x
-
=
+
b)
2

-+

g)
22
42523
yxxxx
=-++-+
h)
22
443
yxxxx
=-++-+VẤN ĐỀ 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách dùng bất đẳng thức
Cách này dựa trực tiếp vào đònh nghóa GTLN, GTNN của hàm số.

·
Chứng minh một bất đẳng thức.

·
Tìm một điểm thuộc D sao cho ứng với giá trò ấy, bất đẳng thức vừa tìm được trở
thành đẳng thức.

Bài 1. Giả sử
{
}
(;;)/0,0,0,1
Dxyzxyzxyz
=>>>++=

ç÷
+++
èøÞ
P
£

3
4
. Dấu “=” xảy ra
Û
x = y = z =
1
3
. Vậy
3
min
4
D
P
=
.
Bài 2. Cho D =
5
(;)/0,0,
4
xyxyxy
ìü

++³
ç÷
èø

Þ
S
³
5. Dấu “=” xảy ra
Û
x = 1, y =
1
4
. Vậy minS = 5.
Bài 3. Cho D =
{
}
(;)/0,0,1
xyxyxy
>>+<
. Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức:

22
1
11
xy
Pxy
xyxy
=++++
+
.

Trần Só Tùng Khảo sát hàm số
Trang 13
Û

1119
112
xyxy
++³
+Þ
P
³

5
2
. Dấu “=” xảy ra
Û
x = y =
1
3
. Vậy minP =
5
2
.
Bài 4. Cho D =
{
}
(;)/0,0,4

Theo bất đẳng thức Cô–si:
11
2.1
44
xx
xx
+³=
(2)

3
22
113
3
88884
yyyy
yy
++³=
(3)

Þ
P
³

9
2
. Dấu “=” xảy ra
Û
x = y = 2. Vậy minP =
9
2

min();max()
DD
fxmfxM
==Bài 1. Tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của các hàm số sau:
a)
2
2
1
1
xx
y
xx
++
=
-+
b)
2
2
2723
210
xx
y
xx
++
=
++
c)

ì
=
í
Ỵ
ỵ
a
có nghiệm
Û
m
£

a

£
M.
2) Hệ bất phương trình
()fx
xD
ì
³
í
Ỵ
ỵ
a
có nghiệm
Û
M
³

a

5) Bất phương trình f(x)
£

b
đúng với mọi x
Û
M
£

b
. Bài 1. Giải các phương trình sau:
a)
44
242
xx
-+-=
b)
3562
xx
x
+=+
c)
55
1
(1)
16
xx

c)
4
40
mxxm
-+³

Bài 4. Cho bất phương trình:
32
210
xxxm
-+-+<
.
a) Tìm m để bất phương trình có nghiệm thuộc [0; 2].
b) Tìm m để bất phương trình thoả mọi x thuộc [0; 2].
Bài 5. Tìm m để các bất phương trình sau:
a)
31
mxxm
£+
có nghiệm. b)
(2)1
mxmx
+-³+
có nghiệm x Ỵ [0; 2].
c)
22
(1)1
mxxxx
-+£++
nghiệm đúng với mọi x Ỵ [0; 1].


1. Đònh nghóa:
Điểm
(
)
00
;()
Uxfx
đgl điểm uốn của đồ thò hàm số y = f(x) nếu tồn tại một khoảng (a;
b) chứa điểm x
0
sao cho trên một trong hai khoảng (a; x
0
) và (x
0
; b) tiếp tuyến của đồ
thò tại điểm U nằm phía trên đồ thò còn trên khoảng kia tiếp tuyến nằm phía dưới đồ thò
2. Tính chất:
· Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên một khoảng chứa điểm x
0
, f¢¢(x
0
) = 0 và
f¢¢(x) đổi dấu khi x đi qua x
0
thì
(
)
00
;()

4
x
yx
=-+
e)
432
124810
yxxx
=-++
f)
54
3532
yxxx
=-+-

Bài 2. Tìm m, n để đồ thò của hàm số sau có điểm uốn được chỉ ra:
a)
32
3334
yxxmxm
=-+++
; I(1; 2). b)
3
2
8
(1)(3)
33
x
ymxmx
=-+-++-

32
34
ymxmx
=++
; I(–1; 2)
Bài 3. Tìm m để đồ thò của các hàm số sau có 3 điểm uốn:
a)
5
43
4
(43)51
53
x
yxmxx
=-+++-
b)
2
2
1
1
xmx
y
x
+-
=
+

Bài 4. Chứng minh đồ thò của các hàm số sau có 3 điểm uốn thẳng hàng:
a)
2

d)
2
21
1
x
y
x
+
=
+
e)
2
1
x
y
x
=
+
f)
2
2
25
1
xx
y
xx
++
=
-+


-+

Bài 5. Tìm m, n để đồ thò của các hàm số:
a)
432
2621
yxxxmxm
= ++-
có hai điểm uốn thẳng hàng với điểm A(1; –2).
b)
3
2
2
33
x
yxmx
= ++
có điểm uốn ở trên đường thẳng
2
yx
=+
.
c)
42
1
4
yxmxn
=-++
có điểm uốn ở trên Ox.


lim()
xx
fx
+
®
=-¥
;
0
lim()
xx
fx
-
®
=+¥
;
0
lim()
xx
fx
-
®
=-¥

· Đường thẳng
0
yy
=
đgl đường tiệm cận ngang của đồ thò hàm số
()
yfx

]
lim()()0
x
fxaxb
®+¥
-+=
;
[
]
lim()()0
x
fxaxb
®-¥
-+=

2. Chú ý:
a) Nếu
()
()
()
Px
yfx
Qx
== là hàm số phân thức hữu tỷ.
· Nếu Q(x) = 0 có nghiệm x
0
thì đồ thò có tiệm cận đứng
0
xx
=

x
y
x
-
=
-
b)
103
12
x
y
x
+
=
-
c)
23
2
x
y
x
+
=
-

d)
2
43
1
xx

x
y
xx
=
-+
b)
2
2
9
x
y
x
+
=
-
c)
2
2
45
1
xx
y
x
++
=
-

d)
2
2


Bài 3. Tìm các tiệm cận của đồ thò các hàm số sau:
a)
2
4
yxx
=- b)
2
42
9
x
y
x
+
=
-
c)
2
1
43
y
xx
=
-+

V
.
ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ
21
21
x
x
y
+
=
-
b) ln
2
xx
ee
y
-
-
= c)
2
ln(56)
yxx
=-+

Bài 5. Tìm m để đồ thò của các hàm số sau có đúng hai tiệm cận đứng:
a)
2
3
221
y
xmxm
=
++-

+++-
=
+
b)
2
(21)3
2
mxmxm
y
x
++++
=
+

Bài 7. Tính diện tích của tam giác tạo bởi tiệm cận xiên của đồ thò các hàm số sau chắn
trên hai trục toạ độ:
a)
2
31
1
xx
y
x
++
=
-
b)
2
34
2

2
(21)23
1
xmxm
y
x
+ +
=
+
; S = 8
c)
2
22(21)45
1
xmxm
y
x
+++-
=
+
; S = 16 d)
2
22
1
xmx
y
x
+-
=
-

+-
=
-
Khảo sát hàm số Trần Só Tùng
Trang 18 1. Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số
· Tìm tập xác đònh của hàm số.

– 3ac > 0

y’ = 0 có nghiệm kép
Û D’ = b
2
– 3ac = 0

y’ = 0 vô nghiệm
Û D’ = b
2
– 3ac < 0

y

x

0

I

y

x

0

I

y



0

I

Trần Só Tùng Khảo sát hàm số
Trang 19
3. Hàm số trùng phương
42
(0)
yaxbxca
=++¹
:
· Tập xác đònh D = R.
· Đồ thò luôn nhận trục tung làm trục đối xứng.
· Các dạng đồ thò:

4. Hàm số nhất biến
(0,0)
axb
ycadbc
cxd
+
=¹-¹
+
:
· Tập xác đònh D = \
d
R
c

:
· Tập xác đònh D =
'
\
'
b
R
a
ìü
-
íý
ỵþ
.
· Đồ thò có một tiệm cận đứng là
'
'
b
x
a
=-
và một tiệm cận xiên. Giao điểm của hai
tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thò hàm số.

a > 0 a < 0
y’ = 0 có 3 nghiệm
phân biệt
Û ab < 0

x

0

y

x

0

0

ad
–
bc > 0

x

y

0

ad
–
bc < 0

x

y


2
(1)(4)
yxx
=
e)
3
2
1
33
x
yx
=-+
f)
32
342
yxxx
= +

Bài 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của các hàm số:
a)
42
21
yxx
=
b)
42
41
yxx
=-+
c)

y
x
+
=
+
b)
21
1
x
y
x
+
=
-
c)
3
4
x
y
x
-
=
-

d)
12
12
x
y
x

++
=
+
b)
2
2
1
xx
y
x
++
=
-
c)
2
2
1
xx
y
x
+-
=
+

d)
1
1
1
yx
x

yxx
=-+-
c)
42
23
yxx
=

d)
1
1
x
y
x
+
=
-
e)
2
2
1
xx
y
x
-+
=
-
f)
2
33

y

Trần Só Tùng Khảo sát hàm số
Trang 21 1. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA CÁC ĐỒ THỊ
1. Cho hai đồ thò (C
1
): y = f(x) và (C
2
): y = g(x). Để tìm hoành độ giao điểm của (C
1
) và
(C
2
) ta giải phương trình: f(x) = g(x) (*) (gọi là phương trình hoành độ giao điểm).
Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của hai đồ thò.
2. Đồ thò hàm số bậc ba
32
(0)
yaxbxcxda
=+++¹
cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
Û Phương trình
32
0
axbxcxd
+++=
có 3 nghiệm phân biệt.

ï
ỵ
b)
2
24
1
24
x
y
x
yxx
ì
-
=
ï
í-
ï
=-++
ỵ
c)
3
43
2
yxx
yx
ì
=-
í
=-+
ỵ

2
1
31
x
y
x
yx
ì
ï
=
í
-
ï
=-+
ỵ

Bài 2. Biện luận theo m số giao điểm của các đồ thò của các hàm số sau:
a)
3
32
(2)
yxx
ymx
ì
=-+
í
=-
ỵ
b)
32

í
ï
=-
ỵ

d)
21
2
2
x
y
x
yxm
ì
+
ï
=
í
+
ï
=+
ỵ
e)
1
1
2
x
y
x
yxm

1
3
yx
x
ymx
ì
ï
=-++
í
-
ï
=+
ỵ
h)
2
33
2
41
xx
y
x
ymxm
ì
-+
ï
=
í
-
ï
=

2
23
;2
1
xxm
yyxm
x
-+
==+
-
cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
c)
2
;2
1
mxxm
yymx
x
++
==+
-
cắt nhau tại hai điểm có hoành độ trái dấu.
d)
2
45
;2
2
xx
yymx
x

Bài 4. Tìm m để đồ thò các hàm số:
a)
32
32;2
yxxmxmyx
=+++=-+
cắt nhau tại ba điểm phân biệt.
b)
32
3(12)1
ymxmxmx
=+
cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
c)
22
(1)(3)
yxxmxm
= +-
cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
d)
322
2221;22
yxxxmyxx
=+-+-=-+
cắt nhau tại ba điểm phân biệt.
e)
3222
23;21
yxxmxmyx
=+-+=+

AB ngắn nhất.
b)
41
;
2
x
yyxm
x
-
==-+
-
cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Khi đó tìm m để đoạn
AB ngắn nhất.
c)
2
24
;22
2
xx
yymxm
x
-+
==+-
-
cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Khi đó tính
AB theo m.
Bài 7. Tìm m để đồ thò của các hàm số:
a)
32
368
Trần Só Tùng Khảo sát hàm số
Trang 23
2. BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ

· Cơ sở của phương pháp: Xét phương trình: f(x) = g(x) (1)
Số nghiệm của phương trình (1) = Số giao điểm của (C
1
): y = f(x) và (C
2
): y = g(x)
Nghiệm của phương trình (1) là hoành độ giao điểm của (C
1
): y = f(x) và (C
2
): y = g(x)

· Để biện luận số nghiệm của phương trình F(x, m) = 0 (*) bằng đồ thò ta biến đổi (*) về
một trong các dạng sau:
Dạng 1: F(x, m) = 0 Û f(x) = m (1)
Khi đó (1) có thể xem là phương trình hoành độ
giao điểm của hai đường:
(C): y = f(x)

để biện luận.
Dạng 4: F(x, m) = 0 Û f(x) = m(x – x
0
) + y
0
(4)
Khi đó (4) có thể xem là phương trình
hoành độ giao điểm của hai đường:
(C): y = f(x)
d: y = m(x – x
0
) + y
0

· d quay quanh điểm cố đònh M
0
(x
0
; y
0
).
· Viết phương trình các tiếp tuyến d
1
, d
2
, …
của (C) đi qua M
0
.
· Cho d quay quanh điểm M


x

m

A

(C)
c.
(d) : y = m
c.
y
CĐ

y
CT

x
A

y

x

A

y = kx
c.
m


3

d
1

y
0

0

(C)
c.
M
1

M
2

d
2

m =
–
¥

m = +
¥

m > 0


m số nghiệm của phương trình:
a)
33
31;310
yxxxxm
=-+-+-=
b)
33
31;310
yxxxxm
=-+ ++=

c)
332
31;3220
yxxxxmm
=-+ =
d)
33
31;340
yxxxxm
=-+ ++=

e)
4
242
22;4420
2
x
yxxxm

x
-+
=-+-+=
+

c)
2
2
1
;(1)210
x
ymxx
x
+
=-+-=

d)
2
2
24
;2(1)4(1)0
24
xx
yxmxm
x
-+
=-+++=
-

Bài 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số. Dùng đồ thò (C) biện luận theo

33
;cos(3)cos320(0)
2
xx
ymm
x
++
=+-+-=££
+
aaap

d)
3232
36;cos3cos60
yxxxxm
=-+-+-=

Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số. Dùng đồ thò (C) biện luận theo
m số nghiệm của phương trình:
a)
2
57
;2(37)25
3
tt
xx
ymm
x
-
-+


d)
2
2
54
;(5)40
tt
xx
yeme
x
-+
=-++=

Bài 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số. Từ đồ thò (C) hãy suy ra đồ thò
(T). Dùng đồ thò (T) biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
a)
222
363636
():;():;20
111
xxxxxx
CyTym
xxx
-+-+-+
==-=