CtnSharing.Com – Download Ebook Free !!!

1
HÀM SỐ
1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Dạng 1: Tính đơn điệu của hàm số
I. Kiến thức cơ bản
1. Định nghĩa
Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K:
+ Hàm số y = f(x) đƣợc gọi đồng biến trên khoảng K nếu:
1 2 1 2 1 2
, , ( ) ( )x x K x x f x f x

+ Hàm số y = f(x) đƣợc gọi là nghịch biến trên khoảng K nếu:
1 2 1 2 1 2
, , ( ) ( )x x K x x f x f x

2. Qui tắc xét tính đơn điệu
a. Định lí
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K:
+ Nếu f‟(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số đồng biến
+ Nếu f‟(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số nghịch biến
b. Qui tắc
B1: Tìm tập xác định của hàm số
B2: Tính đạo hàm của hàm số. Tìm các điểm x
i
(i = 1, 2,…,n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác
định.
B3: Sắp xếp các điểm x
i
theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

+ Dựa vào định lí.
Ví dụ 3.
Chứng minh hàm số
2
2y x x
nghịch biến trên đoạn [1; 2]
Ví dụ 4
a. Chứng minh hàm số
2
9yx
đồng biến trên nửa khoảng [3; + ).
b. Hàm số
4
yx
x
nghịc biến trên mỗi nửa khoảng [-2; 0) và (0;2]
Ví dụ 5. Chứng minh rằng
a. Hàm số
3
21
x
y
x
nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
b. Hàm số
2
23
21
xx
y

x
đồng biến trên khoảng
(1; )

Ví dụ 8. Với giá trị nào của m, hàm số:
2
1
m
yx
x
đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
Ví dụ 9
Xác định m để hàm số
3
2
( 1) ( 3)
3
x
y m x m x
đồng biến trên khoảng (0; 3)
Ví dụ 10
Cho hàm số
4mx
y
xm

a. Tìm m để hàm số tăng trên từng khoảng xác định
b. Tìm m để hàm số tăng trên
(2; )


2
23
11
. tanx > sinx, 0< x < b. 1 + 1 1 , 0 < x < +
2 2 8 2
xx
. cosx > 1 - , 0 d. sinx > x - , x > 0
26
x
a x x x
cx

Ví dụ 2.
Chohàm số f(x) = 2sinx + tanx – 3x
a. Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên nửa khoảng
0;
2

b. Chứng minh rằng
2sin tan 3 , (0; )
2
x x x x

Ví dụ 3
Cho hàm số
( ) tanx - xfx

CtnSharing.Com – Download Ebook Free !!!

3

 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Dạng 1. Tìm cực trị của hàm số
Phƣơng pháp:
Dựa vào 2 qui tắc để tìm cực trị của hàm số y = f(x)
Qui tắc I.
B1: Tìm tập xác định.
B2: Tính f‟(x). Tìm các điểm tại đó f‟(x) = 0 hoặc f‟(x)
không xác định.
B3. Lập bảng biến thiên.
B4: Từ bảng biến thiên suy ra các cực trị
Qui tắc II.
B1: Tìm tập xác định.
B2: Tính f‟(x). Giải phƣơng trình f‟(x) = 0 và kí hiệu
là x
i
là các nghiệm của nó.
B3: Tính f ”(x
i
)
B4: Dựa vào dấu của f ” (x
i
) suy ra cực trị
( f ”(x
i
) > 0 thì hàm số có cực tiểu tại x
i
; ( f ”(x

-
0
0
2
-3
+
-
y
y'
x

Vậy x = -3 là điểm cực đại và y
cđ
=71
x= 2 là điểm cực tiểu và y
ct
= - 54
Qui tắc II
TXĐ: R
2
2
' 6 6 36
' 0 6 6 36 0
2

3
y x x
y x x
x
x

2
2
x+1 x 5 (x - 4)
. y = b. y = c. y =
x 8 1 2 5
9 x 3 3 x
. y = x - 3 + e. y = f. y =
x - 2 1 x 4
x
a
x x x
x
d
x

Bài 3. Tìm cực trị các hàm số
2
22
3
22
x+1 5 - 3x
. y = x 4 - x b. y = c. y =
x 1 1 - x
xx
. y = e. y = f. y = x 3 - x
10 - x 6
a
d
x


2
+ 2 có :
2
0
' 3 6 ' 0
2
x
y x x y
x
tại x = 2 hàm số đạt giá trị cực
tiểu
Vậy m = 1 là giá trị cần tìm
Bài 1. Xác định m để hàm số
32
3 5 2 ®³t cùc ®³i t³i x = 2y mx x x

Bài 2. Tìm m để hàm số
32
2
( ) 5 cã cùc trÞ t³i x = 1. Khi ®ã h¯m sè cã C§ hay CT
3
y x mx m x

Bài 3. Tìm m để hàm số
2
1
®³t cùc ®³i t³i x = 2
x mx
y
xm


5
2
2
1
21
'( ) 0
( 1)
1
xq
x x q
fx
x
xq

Lập bảng biến thiên để xem hàm đạt cực tại tại giá trị x nào.
Dạng 3. Tìm điều kiện để hàm số có cực trị
Bài toán: „Tìm m để hàm số có cực trị và cực trị thoả mãn một tính chất nào đó.‟
Phƣơng pháp
B1: Tìm m để hàm số có cực trị.
B2: Vận dụng các kiến thức khác Chú ý:
Hàm số
32
ax ( 0)y bx cx d a
có cực trị khi và chỉ khi phƣơng trình y‟ = 0 có hai nghiệm phân
biệt.
Cực trị của hàm phân thức
()
()
px


2
' 2 6y x mx m
.
Để hàm số có cực trị thì phƣơng trình:
2
2 6 0 cã 2 nghiÖm ph©n biÖtx mx m

2
3
' 6 0
2
m
mm
m

b. TXĐ:
\222
22
2
(2 )( 2) ( 2 4) 4 4 4
'
( 2) ( 2)
¯m sè cã cùc ®³i, cùc tiÓu khi ' 0 ã hai nghiÖm ph©n biÖt kh²c -2 4 4 4 0
' 0 4 4 4 0
0
4 8 4 4 0 0

Bài 5. Cho hàm
2
1
x mx
y
x
. Tìm m để hàm số có cực trị
Bài 6. Cho hàm số
2
24
2
x mx m
y
x
. Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu.

Dạng 4. Tìm tham số để các cực trị thoả mãn tính chất cho trƣớc.
Phƣơng pháp
+ Tìm điều kiện để hàm số có cực trị
CtnSharing.Com – Download Ebook Free !!!

6
+ Vận dụng các kiến thức về tam thức, hệ thức Viet để thoả mãn tính chất.
Ví dụ .

Bài1. Tìm cực trị của các hàm số sau:
2 3 4 3
3 2 4 2
3 2
. y = 10 + 15x + 6x b. y = x 8 432

x+1 5 - 3x
. y = x 4 - x b. y = c. y =
x 1 1 - x
xx
. y = e. y = f. y = x 3 - x
10 - x 6
a
d
x

Bài 4. Tìm cực trị các hàm số:
. y = x - sin2x + 2 b. y = 3 - 2cosx - cos2x c. y = sinx + cosx
1
d. y = sin2x e. y = cosx + os2x f.
2
a
c y = 2sinx + cos2x víi x [0; ]

Bài 5. Xác định m để hàm số
32
3 5 2 ®³t cùc ®³i t³i x = 2y mx x x

Bài 6. Tìm m để hàm số
32
2
( ) 5 cã cùc trÞ t³i x = 1. Khi ®ã h¯m sè cã C§ hay CT
3
y x mx m x

Bài 7. Tìm m để hàm số

( 1) 1x m m x m
y
xm
luôn có cực đại và cực tiểu.
Bài 13. Cho hàm số
32
2 ± 12 13y x x
. Tìm a để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực tiểu của đồ thị
cách đều trục tung.
Bài 14. Hàm số
32
2( 1) 4 1
3
m
y x m x mx
. Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu.
Bài 15. Cho hàm
2
1
x mx
y
x
. Tìm m để hàm số có cực trị
Bài 16. Cho hàm số
2
24
2
x mx m
y
x

;ab
(i = 1, 2, , n) làm cho đạo hàm bằng 0 hoặc không xác đònh .
B2: Tính
12
( ), ( ), ( ), , ( ), ( )
n
f a f x f x f x f b

B3: GTLN = max{
12
( ), ( ), ( ), , ( ), ( )
n
f a f x f x f x f b
}
GTNN = Min{
12
( ), ( ), ( ), , ( ), ( )
n
f a f x f x f x f b
}
Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
1
yx
x
trên khoảng
(0; )

Hƣớng dẫn:
Dễ thầy h àm số liên tục trên
(0; )

3
16 16
( 4) , ( 3) 4, ( 1) , (0) 4
33
Ëy Max 4 x = -3 hc x = 0
16
Min khi x = -4 hc x = -1
3
x
x
x
f x x x f x x x
x
f f f f
V y khi
y

Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số (nếu có):
3 2 3
4 2 3 2
. f(x) = x 3 9 1 trªn [-4; 4] b. f(x) = x 5 4 trªn ®o³n [-3; 1]
c. f(x) = x 8 16 trªn ®o³n [-1; 3] d. f(x) = x 3 9 7 trªn ®o³n [-4; 3]
a x x x
x x x

Bài 2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số (nếu có):
GTLN
-
+
y

8
2
x1
. f(x) = trªn nöa kho°ng (-2; 4] b. f(x) = x +2 + trªn kho°ng (1; + )
x + 2 x- 1
c. f(x) = x 1 - x d. f(x)
a
13
= trªn kho°ng ( ; )
cosx 2 2

 TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ
I. Kiến thức cần nắm
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C)
y = y
0
là tiệm cận ngang của nếu một trong hai điệu kiên sau đƣợc thoả mãn:
00
lim ( ) , hoÆc lim ( )
xx
f x y f x y

x = x
0
là tiệm cận đứng của (C) nếu một trong các điều kiện sau đựơc thoả mãn:
0 0 0 0
lim , lim , lim , lim
x x x x x x x x

Đƣờng thẳng y = ax + b (

2x- 1 x 7 x + 2
. y = b. y = c. y =
x + 2 3 x 1
x
a
x

Hƣớng dẫn
a. Ta thấy
22
2 1 2 1
lim ; lim
22
xx
xx
xx
nên đƣờng thẳng x= 2 là tiệm cận đứng.
Vì
1
2
21
lim lim 2
2
2
1
xx
x
x
x
x

1
x
x
x
Nên x = 1 là đƣờng tiệm cận đứng.
+
2
1
2
lim
1
x
x
x
. Nên x = -1 là tiệm cận đứng.
+
2
2
2
12
2
lim 0
1
1
1
x
x
xx
x
x

x
x
khi ú
()
2
b
y a x
a
cú tim cn xiờn bờn tr ỏi
Ví dụ
Tìm tiệm cận của hàm số:
2
9 18 20y x x

H-ớng dẫn
2
9( 2) 6yx

Các tính giới hạn vô cực của hàm số
()
()
fx
y
gx

lim ( )
0
fx
xx



Bài 1. Tìm tiệm cận các hàm số sau:
2x - 1 3 - 2x 5 -4
. y = b. y = c. y = d. y =
x + 2 3x + 1 2 - 3x x + 1
x+ 1 1
e. y = f. y = 4 +
2x + 1 x- 2
a
-x + 3 4 - x
g. y = h. y =
x 3x + 1

Bài 2. Tìm tiệm cận của các hàm số sau:
2 2 2
2 2 2 2
2
x 12 27 x 2 x 3 2- x
. y = b. y = c. y = d. y =
4 5 ( 1) 4 x 4 3
1 x 2
. y = 2x -1 + f. y =
x3
x x x
a
x x x x x
x
e
x
32

3
2( 2) 1
x
y
x m x m
có đúng 2 tiệm cận đứng.
2
-2
-4
-5
5
2
-2
-4
-5
5
2
-2
-4
-5
5
CtnSharing.Com Download Ebook Free !!!

10
Bài 5. Tính diện tích của tam giác tạo bởi tiệm cận xiên của đồ thị tạo với hai trục toạ độ của các hàm số:
22
3x 1 -3x 4
. y = b. y =
12
xx

32
(a 0)y ax bx cx d

Ph-ơng pháp
1. Tìm tập xác định.
2. Xét sự biến thiên của hàm số
a. Tìm các giới hạn tại vô cực và các giới hạn tại vô cực (nếu có). Tìm các đ-ờng tiệm cận.
b. Lập bảng biến thiên của hàm số, bao gồm:
+ Tìm đạo hàm, xét dấu đạo hàm, xét chiều biến thiên và tìm cực trị.
+ Điền các kết quả vào bảng.
3. Vẽ đồ thị của hàm số.
+ Vẽ đ-ờng tiệm cận nếu có.
+ Xác định một số điểm đặc biệt: Giao với Ox, Oy, điểm uốn.
+ Nhận xét đồ thị: Chỉ ra tâm đối xứng, trục đối xứng (không cần chứng minh)
Ví dụ 1. Cho hàm số:
32
31y x x

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
b. Tuỳ theo giá trị của m, biện luận số nghiệm của ph-ơng trình:
32
31x x m

H-ớng dẫn
a.
1. TXĐ:
D

2. Sự biến thiên của hàm số
a. Giới hạn tại vô cực

=y(2)= 3
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x =0 và y
CT
= y(1) = -1
3. Đồ thị
+ Giao với Oy: cho x = 0
0y
. Vởy giao với Oy tại điểm O(0; -1)
+
'' 0 6 6 0 1y x x
. Điểm A (1; 1)
+ Nhận điểm A làm tâm đối xứng.
b.
3
-
+
-1
-
-
+
0
0
2
0
+
-
y
y'
x
2

32
2 3 1x x mBài 2 (TN THPT- lần 2 2008)
Cho hàm số y = x
3
- 3x
2

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho.
b. Tìm các giá trị của m để ph-ơng trình
32
30x x m
có 3 nghiệm phân biệt.

Bi 3 (TNTHPT - 2007)
Cho hm s y=
3
32xx
cú th l (C) .
a/ Kho sỏt v v th hm s .
b/ Vit phng trỡnh tip tuyn ti im A(2 ;4) .

Bi 4 (TNTHPT - 2006)
Cho hm s y=
32
3xx
cú th (C) .
a/ Kho sỏt v v th hm s .

b. Tìm k để ph-ơng trình:
3 2 3 2
3 3 0x x k k
có 3 nghiệm phân biệt.
c. Viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).
Bài 8 (CĐ SP MGTW- 2004)
Cho hàm số y = x
3
- 3x
2
+ 4m
CtnSharing.Com Download Ebook Free !!!

12
a. Chứng minh đồ thị hàm số luôn có 2 cực trị.
b. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1

Bài 9 (ĐH-B- 2007)
Cho hàm số
3 2 2 2
3 3( 1) 3 1y x x m x m

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m =1
b. Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu và các điểm cực trị cách đều điểm O.
Bài 10 (ĐH - D - 2004)
Cho hàm số y = x
3
3mx
2
+ 9x + 1

;y
0
) có hệ số góc m có dạng: y = m(x - x
0
) + y
0
)
Bài 7
Cho hàm số y = (x - m)
3
- 3x
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 1
b. Tìm m để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 0
Bài 8
Cho hàm số y = (x -1)(x
2
+ mx + m)
c. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
d. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m= 4
Bài 11
Cho hàm số y =
3 2 2
22x mx m x

a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m =1
b. Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 1

Hàm bậc bốn trùng ph-ơng và một số bài tập có liên quan
I. Một số tính chất của hàm trùng ph-ơng
Hàm số luôn có cực trị với mọi giá trị của tham số sao cho


Bài tập hàm số trùng ph-ơng
Bài 1. Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau:
4 2 4 2 4 2
4 2 4 2 4 2
. y= -x 2 b. y = x 2 c. y = x 6 1
15
. y = 3 e.y = -x +2x +3 f. y = x +2x+
22
a x x x
d x x 1

Bài 2.
Cho hàm số
4 2 2
21y x m x

a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m =1
b. Tìm m để đồ thị hàm số có ba cực trị là ba đỉnh của tam giác vuông cân.
Bài 3 (ĐH Đà Lạt - 2002)
a. Giải ph-ơng trình
42
2 1 0xx

b. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y =
42
21xx

c. Biện luận theo m số nghiệm của ph-ơng trình
42

b. Biện luận theo k số giao điểm của (C) với đồ thị (P) của hàm số
2
2y k x

Bài 7
Cho hàm số
4 2 3 2
2y x mx m m

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1
b. Xác định m để đồ thị
()
m
C
của hàm số đã cho tiếp xúc với trục hoành tại 2 điểm
Bài 8. (ĐH Cần thơ - 2002)
Cho hàm số
42
22y x x m
(C
m
)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 0
b. Tìm các giá trị của m để đồ thị (C
m
) của hàm số chỉ có hai điểm chung với Ox
c. Chứng minh với mọi m tam giác có 3 đỉnh là ba cực trị là một tam giác vuông cân.
CtnSharing.Com – Download Ebook Free !!!

14

(1)
Xem (1) là phương trình theo ẩn m.
Tùy theo số nghiệm của phương trình (1) ta suy ra số đường cong của họ (Cm) đi qua M
0

Cụ thể:
Nếu phương trình (1) có n nghiệm phân biệt thì có n đường cong của họ (Cm) đi qua M
0

Nếu phương trình (1) vô nghiệm thì mọi đường cong của họ (Cm) đều không đi qua M
0

Nếu phương trình (1) nghiệm đúng với mọi m thì mọi đường cong của họ (Cm) đều đi qua M
0

Trong trường hợp này ta nói rằng M
0
là điểm cố đònh của họ đường cong
)(
m
CD¹ng 1:
TÌM ĐIỂM CỐ ĐỊNH CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG
BÀI TOÁN TỔNG QUÁT:
Cho họ đường cong
),(:)( mxfyC
m
( m là tham số )

Áp dụng đònh lý:
0BAm
0
0
B
A
m
(2)

0
0
0
0
2
C
B
A
mCBmAm
(3)
Bước 3: Giải hệ (2) hoặc (3) ta sẽ tìm được
);(
00
yx
Bµi tËp
Bµi 1. Cho hä (C
m
)

3
32y x mx m

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 1.
b. Chứng minh rằng họ đ-ờng cong luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 5. Cho hàm số:
1
, m 1
mx
y
xm
. Gọi (H
m
) là đồ thị của hàm số đã cho.
a. Chứng minh rằng với mọi
1m
, họ đ-ờng cong luôn qua 2 điểm cố định.
b. Gọi M là giao điểm của 2 tiệm cận. Tìm tập hợp các điểm M khi m thay đổi.
Bài 6. Cho hàm số:
32
m
( 2) 2( 2) ( 3) 2 1 (C )y m x m x m x m
. Chứng minh rằng họ đồ thị luôn qua ba
điểm cố định và 3 điểm cố định đó cùng nằm trên một đ-ờng thẳng.

Dạng 2: Tìm điểm họ đồ thị hàm số không đi qua
Ph-ơng pháp:
B1: Giả sử M(x
0
; y

m
2 3( 3) 18 8 (C )y x m x mx
. Chứng minh rằng trên đ-ờng cong y = x
2
có hai
điểm mà (C
m
) không đi qua với mọ m.

CHUYấN : PHNG PHP GII PHNG TRèNH Vễ T
I. PHNG PHP BIN I TNG NG
1. Bỡnh phng 2 v ca phng trỡnh
a) Phng phỏp
Thụng thng nu ta gp phng trỡnh dng :
A B C D
, ta thng bỡnh phng 2 v , iu
ú ụi khi li gp khú khn hóy gii vớ d sau

3 3 3 3
33
3.A B C A B A B A B C

v ta s dng phộp th :
33
A B C
ta c phng trỡnh :
3
3 . .A B ABC C
Bài 2. Giải phƣơng trình sau :
3
2
1
1 1 3
3
x
x x x x
x

Giải:
Điều kiện :
1x

Bình phƣơng 2 vế phƣơng trình ?
Nếu chuyển vế thì chuyển nhƣ thế nào?
Ta có nhận xét :
3
2
1
. 3 1. 1
3
x
x x x x
x
, từ nhận xét này ta có lời giải nhƣ sau :
3
2
1
(2) 3 1 1


2. Trục căn thức
2.1. Trục căn thức để xuất hiện nhân tử chung
a) Phƣơng pháp
Một số phƣơng trình vô tỉ ta có thể nhẩm đƣợc nghiệm
0
x
nhƣ vậy phƣơng trình luôn đƣa về đƣợc dạng
tích
0
0x x A x
ta có thể giải phƣơng trình
0Ax
hoặc chứng minh
0Ax
vô nghiệm , chú ý
điều kiện của nghiệm của phương trình để ta có thể đánh gía
0Ax
vô nghiệm
b) Ví dụ
Bài 1 . Giải phƣơng trình sau :
2 2 2 2
3 5 1 2 3 1 3 4x x x x x x x

Giải:
Ta nhận thấy :
22
3 5 1 3 3 3 2 2x x x x x
v
22

22
22
22
22
44
12 4 3 6 5 3 3 2
12 4 5 3
21
2 3 0 2
12 4 5 3
xx
x x x x
xx
xx
xx
xx

Dễ dàng chứng minh đƣợc :
22
2 2 5
3 0,
3
12 4 5 3
xx
x
xx

Bài 3. Giải phƣơng trình :
23
3

3
33
1 1 2
1 2 1 4 1 1 3
xx
x x x
2
3
39
25
xx
x

Vậy pt có nghiệm duy nhất x=3
2.2. Đƣa về “hệ tạm “
a) Phƣơng pháp
 Nếu phƣơng trình vô tỉ có dạng
A B C
, mà :
A B C

ở dây C có thể là hàng số ,có thể là biểu thức của
x
. Ta có thể giải nhƣ sau :
AB
C A B
AB
, khi đĩ ta có hệ:
2
A B C

2
22
0
2 9 2 1 2
2 2 9 6
8
2 9 2 1 4
7
x
x x x x
x x x
x
x x x x x

Thử lại thỏa; vậy phƣơng trình có 2 nghiệm : x=0 v x=
8
7Bài 5. Giải phƣơng trình :
22
2 1 1 3x x x x x

Ta thấy :
2 2 2
2 1 1 2x x x x x x
, nhƣ vậy không thỏa mãn điều kiện trên.
Ta có thể chia cả hai vế cho x và đặt
1
t


22
2 16 18 1 2 4x x x x

22
15 3 2 8x x x
3. Phƣơng trình biến đổi về tích
 Sử dụng đẳng thức
1 1 1 0u v uv u v

0au bv ab vu u b v a

22
AB

Bài 1. Giải phƣơng trình :
2
3
33
1 2 1 3 2x x x x

Giải:
33
0
1 1 2 1 0
1
x


pt
1
3 2 1 1 0
0
x
x x x
x

Bài 4. Giải phƣơng trình :
4
34
3
x
xx
x

Giải:
Đk:
0x

Chia cả hai vế cho
3x
:
2
4 4 4
1 2 1 0 1
3 3 3
x x x
x

Đk:
3x
phƣơng trình tƣơng đƣơng :
2
2
1
3 1 3
1 3 9
5 97
3 1 3
18
x
xx
xx
x
xx

Bài 3. Giải phƣơng trình sau :
2
2
3
3
2 3 9 2 2 3 3 2x x x x x

Giải : pttt
3
33
2 3 0 1x x x
1
21tt
t

Thay vào tìm đƣợc
1x

Bài 2. Giải phƣơng trình:
2
2 6 1 4 5x x x

Giải
Điều kiện:
4
5
x

Đặt
4 5( 0)t x t
thì
2
5
4
t
x
. Thay vào ta có phƣơng trình sau:
42
2 4 2
10 25 6
2. ( 5) 1 22 8 27 0

và đƣa về hệ đối xứng (Xem phần dặt ẩn phụ đƣa về hệ)
Bài 3. Giải phƣơng trình sau:
5 1 6xx

Điều kiện:
16x

Đặt
1( 0)y x y
thì phƣơng trình trở thnh:
2 4 2
5 5 10 20 0y y y y y
( với
5)y
22
( 4)( 5) 0y y y y
1 21 1 17
,
22
(loaïi)yy

CtnSharing.Com – Download Ebook Free !!!

20
Từ đó ta tìm đƣợc các giá trị của
11 17
2
x

Bài 4. (THTT 3-2005) Giải phƣơng trình sau :

tx
x
, ta giải đƣợc.
Bài 6. Giải phƣơng trình :
2 4 2
3
21x x x x

Giải:
0x
không phải là nghiệm , Chia cả hai vế cho x ta đƣợc:
3
11
2xx
xx

Đặt t=
3
1
x
x
, Ta có :
3
20tt
15
1
2
tx
( 3 2)( 9 18) 168x x x x x

3
22
1 2 1 3xx
Nhận xét : đối với cách đặt ẩn phụ nhƣ trên chúng ta chỉ giải quyết đƣợc một lớp bài đơn giản, đôi khi phƣơng
trình đối với
t
lại quá khó giải
2. Đặt ẩn phụ đƣa về phƣơng trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến :
 Chúng ta đã biết cách giải phƣơng trình:
22
0u uv v
(1) bằng cách
Xét
0v
phƣơng trình trở thành :
2
0
uu
vv

0v
thử trực tiếp
Các trƣờng hợp sau cũng đƣa về đƣợc (1)

a A x bB x c A x B x

4 2 2
4 1 2 2 1 2 2 1x x x x x

Hãy tạo ra những phƣơng trình vô tỉ dạng trên ví dụ nhƣ:
24
4 2 2 4 1x x x

Để có một phƣơng trình đẹp , chúng ta phải chọn hệ số a,b,c sao cho phƣơng trình bậc hai
2
0at bt c
giải “
nghiệm đẹp”
Bài 1. Giải phƣơng trình :
23
2 2 5 1xx

Giải: Đặt
2
1, 1u x v x x

Phƣơng trình trở thành :
22
2
25
1
2
uv
u v uv
uv
Tìm đƣợc:

, ta đƣợc:
9
3 2 7
1
4
vu
u v uv
vu

Ta đƣợc :
46x

Bài 4. Giải phƣơng trình :
3
32
3 2 2 6 0x x x x

Giải:
Nhận xét : Đặt
2yx
ta hãy biến pt trên về phƣơng trình thuần nhất bậc 3 đối với x và y :
3 2 3 3 2 3
3 2 6 0 3 2 0
2
xy
x x y x x xy y
xy

Pt có nghiệm :
2, 2 2 3xx

Đk
1
2
x
. Bình phƣơng 2 vế ta có :
2 2 2 2
2 2 1 1 2 2 1 2 2 1x x x x x x x x x x

Ta có thể đặt :
2
2
21
u x x
vx
khi đó ta có hệ :
22
15
2
15
2
uv
uv u v
uv

Do
,0uv
.
2
1 5 1 5
2 2 1

Ta viết lại phƣơng trình:
22
2 4 5 3 4 5 ( 4 5)( 4)x x x x x x
. Đến đây bài toán đƣợc giải quyết
.
Các em hãy tự sáng tạo cho mình những phƣơng trình vô tỉ “đẹp “ theo cách trên

3. Phƣơng pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn
 Từ những phƣơng trình tích
1 1 1 2 0x x x
,
2 3 2 3 2 0x x x x

Khai triển và rút gọn ta sẽ đƣợc những phƣơng trình vô tỉ không tầm thƣờng chút nào, độ khó của phƣơng trình
dạng này phụ thuộc vào phƣơng trình tích mà ta xuất phát .
Từ đó chúng ta mới đi tìm cách giải phƣơng trình dạng này .Phƣơng pháp giải đƣợc thể hiện qua các ví dụ sau .
Bài 1. Giải phƣơng trình :
2 2 2
3 2 1 2 2x x x x

Giải:
2
2tx
, ta có :
2
3
2 3 3 0
1
t
t x t x

Từ một phƣơng trình đơn giản :
1 2 1 1 2 1 0x x x x
, khai triển ra ta sẽ đƣợc pt sau
Bài 3. Giải phƣơng trình sau :
2
4 1 1 3 2 1 1x x x x

Giải:
Nhận xét : đặt
1tx
, pttt:
4 1 3 2 1x x t t x
(1)
Ta rút
2
1xt
thay vào thì đƣợc pt:
2
3 2 1 4 1 1 0t x t x

Nhƣng không có sự may mắn để giải đƣợc phƣơng trình theo t
2
2 1 48 1 1xx
không có
dạng bình phƣơng .
Muốn đạt đƣợc mục đích trên thì ta phải tách 3x theo
22
1 , 1xx

Cụ thể nhƣ sau :

3 3 3
3a b c a b c a b b c c a
, Ta có
3
3 3 3
0a b c a b c a b a c b c

Từ nhận xét này ta có thể tạo ra những phƣơng trình vô tỉ có chứa căn bậc ba .
22
33
3
7 1 8 8 1 2x x x x x

3 3 3 3
3 1 5 2 9 4 3 0x x x x

Bài 1. Giải phƣơng trình :
2 . 3 3 . 5 5 . 2x x x x x x x

Giải :
2
3
5
ux
vx
wx
, ta có :
2
2
2

2
ax
b x x
c x x
d x x
, khi đó ta có :
2 2 2 2
2
a b c d
x
a b c d

Bài 3. Giải các phƣơng trình sau
1)
22
4 5 1 2 1 9 3x x x x x

2)
3
32
4
4
4
4
1 1 1 1x x x x x x x x

5. Đặt ẩn phụ đƣa về hệ:
5.1 Đặt ẩn phụ đƣa về hệ thông thƣờng
 Đặt
,u x v x

1
21
2
xx

Điều kiện:
0 2 1x

Đặt
4
4
21
0 2 1,0 2 1
xu
uv
xv

Ta đƣa về hệ phƣơng trình sau:
4
4
2
24
4
4
1
1
2
2
1
21

( )( 1) 0 1 0 1
5
ab
a b a b a b a b
ba

Vậy
11 17
1 1 5 1 1 5
2
x x x x x

CtnSharing.Com – Download Ebook Free !!!

25
Bài 8. Giải phƣơng trình:
6 2 6 2 8
3
55
xx
xx

Giải
Điều kiện:
55x

Đặt
5 , 5 0 , 10u x v y u v
.
Khi đó ta đƣợc hệ phƣơng trình:

sao cho (2) luôn đúng ,
21yx
, khi
đó ta có phƣơng trình :
2
2
1 ( 2 1) 1 2 2x x x x x

Vậy để giải phƣơng trình :
2
22x x x
ta đặt lại nhƣ trên và đƣa về hệ
Bằng cách tƣơng tự xét hệ tổng quát dạng bậc 2 :
2
2
x ay b
y ax b
, ta sẽ xây dựng đƣợc phƣơng trình dạng
sau : đặt
y ax b
, khi đó ta có phƣơng trình :
2
a
x ax b b

Tƣơng tự cho bậc cao hơn :
n
n
a
x ax b b

( 1) 1 2 2 1xx

Đặt
1 2 1yx
thì ta đƣa về hệ sau:
2
2
2 2( 1)
2 2( 1)
x x y
y y x

Trừ hai vế của phƣơng trình ta đƣợc
( )( ) 0x y x y

Giải ra ta tìm đƣợc nghiệm của phƣơng trình là:
22x

Bài 6. Giải phƣơng trình:
2
2 6 1 4 5x x x

Giải
Điều kiện
5
4
x