121
VAN ẹE 6 BAT PHệễNG TRèNH LOGARIT-
MUế VAỉ HE BAT PHệễNG TRèNH
LOGARIT-MUế
122
Vấn đề 6
Bất phương trình Logarit-Mũ và hệ
bất phương trình Logarit-Mũ
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I. Giả sử f(x) và g(x) là hai hàm số xác đònh trên một tập con D
của R, khi đó :
a) Nếu a > 1 thì bất phương trình log
a
f(x) > log
a
g(x)
(1) tương đương với hệ bất phương trình
(
)
() ()

II. Giả sữ f(x) , g(x) và α(x) là hững hàm số trên một tập hợp con
D của R .Khi đó bất phương trình log
α(x)
f(x) > log
α(x)
g(x) tương
đương với 2 hệ bất phương trình :
()
()
() ()
()
1
0
x
gx
f
xgx
xD
α
>⎧
⎪
>
⎪
⎨
>
⎪
⎪
∈
⎩
hay

Giải bất phương trình sau :
()
(
)
3
3log3log xx
x
≤
Giải
Điều kiện x > 0 và x ≠ 1
Bpt ⇔
()
()
[]
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≤
≥
⎩
⎨

x
⇔
(
)
(
)
()
()
⎩
⎨
⎧
<−−
<−−
0131
0131
3
xx
xx
⇔ x >
3
3
1
(a)
Giải (2) ⇔
()( )
()
⎪
⎩
⎪
⎨

3
1
0
x
xx

⇔
()
()
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
≥
≤<
⇔
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎪
⎩
⎪

⎨
⎧
≤≤−
<<
c 3
b
3
1
0
3
1
1
3
1
3
1
x0
13log2
1
13log2
3
1
0
2
2
x
x
x
x
x

9
x >
2
1
− ⇔ log
9
x >
2
1
− log
3
3 ⇔ x >
3
1

Bài 3
Giải bất phương trình sau :
233
5lg2lg
2
−<
++ xx
(1)
Giải
Điều kiện : x > 0
(1) ⇔ 3
lgx
.9 < 3
2lgx
.3

lgx
>
9
1
⇔ ⇔
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
>
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
− 2lg
3
1
3
1
x
-lgx < 2 ⇔ lgx > -2 = -2lg10
⇔ x > 10
-2
⇔ x >
100
1

⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
2
53
2
53
= 1 . Vậy ta có BPT : t
2
+ 2at + 2a + 1 < 0.
Vậy ta có f(t) = t
2
+ 2at + 2a + 1 < 0 với mọi t
(
]
1;0
∈

⇔
⎩
⎨
⎧
<
≤
0)1(f

≥++−+ (3)
Coi (3) là bậc hai đối với t = log
2
x
∆ = (2x + 5)
2
– 4.6(x + 1) = 4x
2
– 4x + 1 = (2x – 1)
2

t
1
, t
2
=
)1x(2
)1x2(5x2
+
−
±+
⇒ t
1
= 2 , t
2
=
1x
3
+


≤ t
2
và BPT (3) dẫn tới

⎢
⎢
⎣
⎡
+
≥
≤
⇔
⎢
⎣
⎡
≥=
≤=
1x
3
xlog
2xlog
txlogt
txlogt
2
2
22
12

)5(
)4(

• m = -1 : 0.x
2
+ 2x + 1 > 0 ⇔ x > -
2
1

⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+∞− ,
2
1
⊂ R nên không thỏa yêu cầu (*) đúng ∀x ∈ R.
• m ≠ -1 (*) ⇔
⎩
⎨
⎧
>+
<∆
01m
0'
⇔
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧

8exxe8x
1x21x4
−>−
−−
⇔ x(x
3
+ 8) – e
x-1
(x
3
+ 8) > 0
⇔ (x
3
+ 8) (x – e
x-1
) > 0 (*)
Xét hàm số : f(x) = x – e
x-1

f’(x) = 1 – e
x-1
= 0 ⇔ x = 1
Bảng biến thiên :
x -∞ 1 +∞
f’(x) + 0 -
f(x) 0
-
∞ +∞
Bảng biến thiên cho :
f(x) ≤ 0 ; ∀x ∈ R (f(x)=0⇔x=1)

⎩
⎨
⎧
<++−
>
⎩
⎨
⎧
<++−
<<
11mx2x
1m
11mx2x
1m0
2
2
⇔
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎩
⎨
⎧
>+−
>
⎩

+
+−<với mọi giá trò của m : 0 < m ≤ 4
(Đại học Giao thông vận tải )
Giải
Vì x > 1
⇒ 2(x
2
+ x) > 4 ; cùng với 0 < m ≤ 4

⇒
m
)xx(2
2
+
> 1 và x + m – 1 > 0.
Bất phương trình đã cho được viết thành : 128
x+ m –1 <
m
)xx(2
2
++

⇔ 2x
2
+ (2 – m) x – m
2
+ m > 0

của bất phương trình :
(m
2
+ 1)x + m(x + 3) + 1 > 0
(Đại học An ninh – Đại học cảnh sát , khối G năm 1998 – 1999)
Giải
a) Ta có : 2
2x+1
– 9.2
x
+ 4 ≤ 0 (1) ⇔ 2.2
2x
= 9.2
x
+ 4 ≤ 0
Đặt t = 2
x
> 0 , ta sẽ có : (1) ⇔ 2t
2
– 9t + 4 ≤ 0
Nghiệm của tam thức theo t là
2
1
và 4.
Tam thức âm hoặc bằng 0 khi :
2
1
≤ t ≤ 4
Do đó ta có :
2

()
⎩
⎨
⎧
>
>−
02
01
f
f
⇔ 0 < m < 2
Đáp số : 0 < m < 2
Bài 12
Giải bất phương trình :
3
1
6
5
log
3
−≥
−
x
x
x

(Đại học An ninh – Đại học cảnh sát , khối A năm 1998 – 1999)
Giải
Ta phải có điều kiện x > 0 và x
≠ 1

(1)
⇔ ⏐x - 5⏐ ≥ 6 ⇔
⎢
⎣
⎡
≥
−≤
11
1
x
x

Do đó ta có 0 < x < 1 hay x
≥ 11
Bài 13
Tìm tham số a sao cho 2 bất phương trình sau đây tương đương :
(
)
()
⎩
⎨
⎧
>+−+
>+−−
021
031
axa
axa

(Cao đẳng Hải quan năm 1998)

1/log (x 1) 1/log x 1;
−
<+
15)
1/2 1/2
1/log x 3 1/log (x 1);+≤ + 16)
2
33
3
log (x 2) log x 1 ;
2
⎛⎞
−< −
⎜⎟
⎝⎠

17)
2
1/3 1/3
log (3 x ) log (4 x 2).−< −

25.
1)
22
log (3x 1) log (2 x);+< − 2)
77
log (7x 3) log (1 2x);
−
≥−
3)

77
log (x 6) log x ;−≤ 11)
2
lg x 3x 4 lg x 1;
−
+> +

12)
23 0,50,(3)
x1 x1
log log log log ;
x1 x1
−+
<
+−

13)
4
4
11
;
x1
log (x 3)
log
x2
>
+
+
+
14)

44
7
log (x 5) log x 3 .
3
⎛⎞
−< −
⎜⎟
⎝⎠26.
1)
0,5 3
log x log x 1;+> 2)
31/3
3
log x log x log x 6;
+
+<

3)
0,5 0,5
log (x 0,5) log x 1;++ ≥ 4)
1/9 3
12log (x 2) log(x3);
−
+> − 131

-
2
xx1
25
−+
> 0
⇔ m + (m + 1).
2
xx
2
5
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
- 25
2
xx
2
2
5
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢

⇔ f(y) có 2 nghiệm y
1
; y
2
thoả y
1
≤ 0 < 1 < y
2
⇔
⎩
⎨
⎧
<
≤
0)1(f
0)0(f
⇔
⎩
⎨
⎧
<+−
≤−
024m2
0m
⇔ m > 12 132
Bài 16
1. Giải bất phương trình :

5
(x – 5) .
(1)
⇔ y
2
– 3y + 2 ≤ 0 ⇔ 1 ≤ y ≤ 2
Vậy 1
≤ log
5
(x – 5) ≤ 2 ⇔ 5 ≤ x – 5 ≤ 25 ⇔ 10 ≤ x ≤ 30
2/ (x – m)(x – 35)
≥ 0 (1)

• Trường hợp 1 : khi m ≥ 35
(1)
⇔
⎢
⎣
⎡
≤
≥
35x
mx
(không thoả)

• Trường hợp 2 : khi m < 35
(1)
⇔
⎢
⎣

22
≤+−−+

Điều kiện của nghiệm:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>
>−−+
0x
01x3x
22
⇔ 0 < x < 1
Khi đó : log
2
x < 0 và )1x(3x
22
+−+ < 1
⇒ log
2
(
)
1x3x
22
−−+
< 0
Vậy vế trái bất phương trình luôn âm với 0 < x < 1
Nghiệm của bất phương trình là : 0 < x <1

(x
2
+ mx – 2m
2
)
⇔
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>−+
−+=−+−
0m2mxx
m2mxxm4m2xx2
22
2222

⇔
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>−+
=−++−
0x2mxx
0)m1(m2x)1m(x
22
2

>−+
>−−+−
>−+
m1m2
1)m1()m2(
0m2)m1(m)m1(
0m2)m2(m)m2(
22
22
22
⇔
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
≠
>−
>+−−
>
3
1
m
0m2m5
01mm2
0m4

+
−+−≤
Đặt :
x
t2(t0)=>
(1)
2
2
t2mt32m0
t3
2m
t1
⇔− +− ≤
+
⇔≤
+

Đặt :
2
t3
f(t)
t1
(t > 0)
+
=
Ta có :
2
2
t2t3
f'(t)

2x x 2x x 2x x
m.9 (2m 1).6 m.4 0
−−−
−
++ ≤
Xác đònh các giá trò của tham số m để bất phương trình có nghiệm .
Giải

222
2x x 2x x 2x x
m.9 (2m 1).6 m.4 0 (1)
−−−
−+ + ≤
(1)
()
22
2x x 2x x
33
m2m1m0
22
−−
⎛⎞ ⎛⎞
⇔−++≤
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠

Đặt :
()
()
2


()
g' x 4x 1=−
Ta có :
()
1
xgx0
2
≥⇒ ≥

o
3
t1
2
⎛⎞
⇒≥ =
⎜⎟
⎝⎠

() ( )
2
1mt2m1tm0⇔−++≤
()
()
2
2
t
mt 2t 1 t m t 1
t1
⇔−+≤⇔≤ ∀>

⎩
⎨
⎧
≠
>
2
ax
0x

Đặt t =
xlog
a
, ta có bất phương trình theo t :
0
2
t
4t
1
2
t
2tt
22
>
−
+
⇔>
−
++
⇔ t – 2 > 0 ⇔ t > 2
Vậy

(Đề ĐH Bách Khoa Hà Nội )
Giải
(1)
⇔
2
1
1 −
sin
2
2x = cos2x ⇔ cos
2
2x – 2cos2x + 1 = 0
⇔ cos2x = 1 ⇔ x = k Zk;
∈
π

(2)
⇔
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−≥−+
>−+
1)xx2(log
0xx2
2
2
1

⎧
<≤
≤<−
2x1
0x1

Nghiệm của (1) thoả mãn (2) khi
⎢
⎣
⎡
≤π≤
≤π<−
2k1
0k1
⇔ k = 0
Vậy x = 0 . 137
Bài 23
Giải các bất phương trình :
a)
1xx
x2x
3
1
3
2
−−
−

2x1xx
x2x
3
1
3
2
−−
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
≥
⇔
x1x
x2x
33
2
−−
−
≥
⇔ 1xxx2x
2
−+−≥− (**)
Vì ( x – 1)

2
(x +1)
2
– log
3
(x + 1)
3
=
3log.2log
2log33log2
3log
3
2log
2
1x1x
1x1x
1x1x ++
++
++
−
=−
=
()()
)1x(log.
8
9
log
3log2log
8
9

3
2
2
−−
+−+
> 0 (1) trở thành :
)4x)(1x(
2log.
8
9
log
1x3
−+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
> 0 ⇔ (x – 4)log
x+1
2 > 0 ⇔
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎩
⎨

Bài 24
Giải bất phương trình :
)3x(log
2
1
2xlog6x5xlog
3
1
3
1
2
3
+>−++−
(Đề ĐH Bách Khoa Hà Nội )
Giảøi
Điều kiện :
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
−>
>⇔>
⎢
⎣
⎡
<
>

+>−++−
⇔
)3x(log
2
1
)2x(log
2
1
)3x)(2x(log
2
1
333
+−>−−−−

⇔
0)3x(log
2x
)3x)(2x(
log
33
>++
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−−


2
2
>+− ⇔
⎩
⎨
⎧
<+−
>+−
8mx2x
0mx2x
2
2

⇔
⎩
⎨
⎧
=++<
=−>
)x(f8x2xm
)x(fxx2m
2
2
1
2

Xét các điểm M(x,m) thuộc miền trong của (f
2
) và miền ngoài của
(f

1-\
12x82.x2.32.xx4
222
x2x1x2
++>++
+

⇔ 0)x3x2(2)3x2x(4
2x2
2
>−++−−
⇔
[
]
024)3x2x(
2
x2
>−−− ⇔
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎩
⎨
⎧
>
<−−
⎩

⎢
⎣
⎡
−<
>
<<−
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
<<−
⎢
⎣
⎡
−<
>
2x
2x
3x1
2x2
1x
3x
⇔
⎢
⎣
⎡
<<
−<<−
3x2

2
π

f’(x) = 2cosx +
)xcos2xcos31(
xcos
1
3
xcos
1
32
22
+−=−
=
xcos
1
2
(1 – cosx )(1 + cosx – 2cos
2
x)
=
xcos
1
2
(1 – cosx )
2
(1 + 2cosx) > 0
⇒ f(x) là hàm tăng , f(x) > f(0) = 0 với 0 < x <
2
π

⎝
⎛
−
−
1x
1x2
log
x
> 1 ⇔ xlog
1x
1x2
log
xx
>
−
−
141
⇔
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧

−
1x
2
1
x
1x;0x
01x3x
0
1x
1x2
1x;0x
0x
1x
1x2
)1x(
2

⇔
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
<<
<<
−
⇔
⎪

0x
2
53
x
2
53

Bài 29
Giải bất phương trình : 214
x
+ 349
x
– 4
x
≥ 0
(Đề Đại Học Giao Thông Vận Tải )
Giải

Bất phương trình được viết thành :
03
7
2
2
49
4
xx
≤−
⎟
⎠
⎞

⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
≤ 3 ⇔ x ≥ 3log
7
2
142
Bài 30
Cho bất phương trình :
01m24)1m(
1xx
>+++−
+
(1)
1-\ Giải bất phương trình (1) khi m = 1
−

2-\ Tìm tất cả các giá trò của m để bất phương trình (1) thoả mãn với
mọi x .
(Đề Đại Học Giao Thông Vận Tải )
Giải
1-\ Khi m =
1− : (1) ⇔ 024.2
1xx
>+−

)
(
)
1x
3x
1x
3x
310310
+
+
−
−
−<+
(Đề Đại Học Giao Thông Vận Tải )
Giải
Vì
1)310)(310( =−+ nên
1
)310(
310
1
310
−
+=
+
=−
Vậy
()
(
)

3x
3x
1x
1x
3x
<
+
+
+
−
−
⇔
+
+
−<
−
−⇔ 0)5x)(1x)(3x)(5x(0
)3x)(1x(
1x9x
22
<−−++⇔<
+−
−+−

⇔
⎢
⎣

−−− ≤ 0
• (x – 2)(x – 3)(2x – 1 – 2
0
) ≤ 0
• (x – 1)(x – 2)(x – 3) ≤ 0
⎢
⎣
⎡
≤≤
≤
3x2
1x

Bài 33
Giải bất phương trình :
2lgxlg
)2x3xlg(
2
+
+−
> 2
(Đề Đại Học Kiến Trúc Hà N ội )
Giải
2lgxlg
)2x3xlg(
2
+
+−
> 2 ⇔ 2
x2lg

>
22
x42x3x
1x2
hoặc (3)
⎩
⎨
⎧
<+−
<
22
x42x3x
1x2

(1) vô nghiệm (không thoả điều kiện );
(2) cho ta
3
11
1x
2
1
+−<<

KL: nghiệm bất phương trình đã cho .là:
3
11
1x
2
1
+−<<

2
≤≤
(Đề Đại Học Kiến Trúc Hà N ội )
Giải
3
)2x(4log
)2x(2)2x(
2
−=−
α
−
. (1)
1. Khi
α = 2 : (1) ⇔
)2x(4log
2
)2x(
−
− = 4(x – 2)
3

x – 2 = 1 hay x = 3 không phải là nghiệm nên lấy log
2
hai vế được:
(1)
⇔ 2)2x(log3)2x(log).2x(4log
222
+
−
=

⎣
⎡
=−
−=−
−
622x
2
5
22x
2)2x(log
1)2x(log
2
1
2
2
(thoả điều kiện )
2. Vì x > 2 và không thể có duy nhất x = 3 là nghiệm nên
0 < x – 2 + 1
Lúc đó : (1)
⇔
[]
)2x(log3)2x(log.)2x(log
222
−
+
α
=
−
+
−

– t
α
−
= 0 (2) có 2 nghiệm
phân biệt trong [
1− , 1 ]. 145
⇔ 0
4
1
4
1
0
041
0
02
1
2
1
1
0
0)1(f
0)1(f
≤α<−⇔
⎪
⎩
⎪
⎨

2
1
2
−≤++−
1. Chứng minh rằng với m = 2 thì bất phương trình vô nghiệm .
2. Giải và biện luận bất phương trình theo m .
(Đề Đại Học Kinh Tế Quốc Dân Hà Nội )
Giải
1-\ Với m = 2 , bất phương trình có dạng :
xlog)2x(6x5x
2
1
2
−<+−

⇔ (x – 2)( x – 3) < (x – 2) xlog
2
1
⇔ (x – 2)(x + log
2
– 3) < 0
* Nếu x – 2 = 0
⇔ x = 2 bất phương trình vô nghiệm .
* Nếu x > 2
⇒ x – 2 > 0 ; x + log
2
x – 3 > 2 + 1 – 3 = 0 (vô nghiệm )
* Nếu 0 < x < 2
⇒ x – 2 < 0 ; x + log
2

* Nếu m = 2 (1) vô nghiệm (theo phần I )
* Nếu m > 2 (1 ) có nghiệm : 2 < x < m .