Khảo sát hàm số
KSHS 01: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
A. Kiến thức cơ bản
Giả sử hàm số
y f x( )=
có tập xác định D.
• Hàm số f đồng biến trên D ⇔
y x D0,
′
≥ ∀ ∈
và
y 0
′
=
chỉ xảy ra tại một số hữu
hạn điểm thuộc D.
• Hàm số f nghịch biến trên D ⇔
y x D0,
′
≤ ∀ ∈
và
y 0
′
=
chỉ xảy ra tại một số
hữu hạn điểm thuộc D.
• Nếu
y ax bx c a
2
' ( 0)= + + ≠
thì:

:
+ Nếu ∆ < 0 thì
g x( )
luôn cùng dấu với a.
+ Nếu ∆ = 0 thì
g x( )
luôn cùng dấu với a (trừ
b
x
a2
= −
)
+ Nếu ∆ > 0 thì
g x( )
có hai nghiệm
x x
1 2
,
và trong khoảng hai nghiệm thì
g x( )
khác dấu với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì
g x( )
cùng dấu với a.
• So sánh các nghiệm
x x
1 2
,
của tam thức bậc hai
g x ax bx c
2



>

+
x x P
1 2
0 0< < ⇔ <
•
a b
g x m x a b g x m
( ; )
( ) , ( ; ) max ( )≤ ∀ ∈ ⇔ ≤
;
a b
g x m x a b g x m
( ; )
( ) , ( ; ) min ( )≥ ∀ ∈ ⇔ ≥
B. Một số dạng câu hỏi thường gặp
1. Tìm điều kiện để hàm số
y f x( )=
đơn điệu trên tập xác định (hoặc trên
từng khoảng xác định).
• Hàm số f đồng biến trên D ⇔
y x D0,
′
≥ ∀ ∈
và
y 0
′


≤

+
a
y x R
0
' 0,
0
∆

<
≤ ∀ ∈ ⇔

≤

2. Tìm điều kiện để hàm số
y f x ax bx cx d
3 2
( )= = + + +
đơn điệu trên khoảng
( ; )
α β
.
Ta có:
y f x ax bx c
2
( ) 3 2
′ ′
= = + +

( ) max ( )≥
α β
• Nếu bất phương trình
f x h m g x( ) 0 ( ) ( )
′
≥ ⇔ ≤
(**)
thì f đồng biến trên
( ; )
α β
⇔
h m g x
( ; )
( ) min ( )≤
α β
Trường hợp 2: Nếu bất phương trình
f x( ) 0
′
≥
không đưa được về dạng (*) thì
đặt
t x= −
α
. Khi đó ta có:
y g t at a b t a b c
2 2
( ) 3 2(3 ) 3 2
α α α
′
= = + + + + +

– Hàm số f đồng biến trên khoảng
a( ; )+∞
⇔
g t t( ) 0, 0≥ ∀ >
⇔
a
a
S
P
0
0 0
0 0
0
∆
∆

>



> >
∨
 
≤ <


≥


b) Hàm số f nghịch biến trên

• Nếu bất phương trình
f x h m g x( ) 0 ( ) ( )
′
≥ ⇔ ≤
(**)
Trang 2
Khảo sát hàm số
thì f nghịch biến trên
( ; )
α β
⇔
h m g x
( ; )
( ) min ( )≤
α β
Trường hợp 2: Nếu bất phương trình
f x( ) 0
′
≤
không đưa được về dạng (*) thì
đặt
t x= −
α
. Khi đó ta có:
y g t at a b t a b c
2 2
( ) 3 2(3 ) 3 2
α α α
′
= = + + + + +

– Hàm số f nghịch biến trên khoảng
a( ; )+∞
⇔
g t t( ) 0, 0≤ ∀ >
⇔
a
a
S
P
0
0 0
0 0
0
∆
∆

<



< >
∨
 
≤ <


≥


3. Tìm điều kiện để hàm số

1 2
− =
thành
x x x x d
2 2
1 2 1 2
( ) 4+ − =
(2)
• Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m.
• Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm.
4. Tìm điều kiện để hàm số
ax bx c
y a d
dx e
2
(2), ( , 0)
+ +
= ≠
+
a) Đồng biến trên
( ; )
α
−∞
.
b) Đồng biến trên
( ; )
α
+∞
.
c) Đồng biến trên

Nếu bpt:
f x( ) 0≥
không đưa được về dạng (i)
thì ta đặt:
t x
α
= −
.
Khi đó bpt:
f x( ) 0≥
trở thành:
g t( ) 0≥
, với:
g t adt a d e t ad ae be dc
2 2
( ) 2 ( ) 2
α α α
= + + + + + −

a) (2) đồng biến trên khoảng
( ; )
α
−∞
e
d
g x h m x( ) ( ),
α
α

−

g t t ii( ) 0, 0 ( )
α

−

≥
⇔


≥ ∀ <

a
a
ii
S
P
0
0 0
( )
0 0
0

>



> ∆ >
⇔ ∨
 
∆ ≤ >

α
+∞

−
≤

⇔

≤


b) (2) đồng biến trên khoảng
( ; )
α
+∞
e
d
g t t iii( ) 0, 0 ( )
α

−

≤
⇔


≥ ∀ >

a
a

( ) ( ), ( ; )
α β
α β

−

∉
⇔


≥ ∀ ∈

( )
e
d
h m g x
[ ; ]
;
( ) min ( )
α β
α β

−
∉

⇔

≤



=
 
 
,
( ) ( )
adx aex be dc f x
y
dx e dx e
2
2 2
2 ( )
'
+ + −
= =
+ +
Trang 4
Khảo sát hàm số
Trường hợp 1 Trường hợp 2
Nếu
f x g x h m i( ) 0 ( ) ( ) ( )≤ ⇔ ≥
Nếu bpt:
f x( ) 0≥
không đưa được về dạng (i)
thì ta đặt:
t x
α
= −
.
Khi đó bpt:
f x( ) 0≤

( ; ]
( ) min ( )
α
α
−∞

−
≥

⇔

≤


a) (2) đồng biến trên khoảng
( ; )
α
−∞
e
d
g t t ii( ) 0, 0 ( )
α

−

≥
⇔


≤ ∀ <

e
d
g x h m x( ) ( ),
α
α

−

≤
⇔


≥ ∀ >

e
d
h m g x
[ ; )
( ) min ( )
α
α
+∞

−
≤

⇔

≤





< ∆ >
⇔ ∨
 
∆ ≤ <


≥


c) (2) đồng biến trong khoảng
( ; )
α β
( )
e
d
g x h m x
;
( ) ( ), ( ; )
α β
α β

−

∉
⇔



1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi
m 2=
.
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên tập xác
định của nó.
•
Tập xác định: D = R.
y m x mx m
2
( 1) 2 3 2
′
= − + + −
.
(1) đồng biến trên R
⇔

y x0,
′
≥ ∀

⇔

m 2≥
Câu 2. Cho hàm số
y x x mx
3 2
3 4= + − −
(1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi
m 0=

′
≥ ∀

⇒
hàm số đồng biến trên R
⇒

m 3≤ −
thoả
YCBT.
+ Nếu
m 3> −
thì
0
∆
′
>

⇒
PT
y 0
′
=
có 2 nghiệm phân biệt
x x x x
1 2 1 2
, ( )<
. Khi đó
hàm số đồng biến trên các khoảng
x x

⇔

m
m
3
0
2 0

> −

− ≥


− >


(VN)
Vậy:
m 3≤ −
.
Câu 3. Cho hàm số
y x m x m m x
3 2
2 3(2 1) 6 ( 1) 1= − + + + +
có đồ thị (C
m
).
Trang 6
Khảo sát hàm số
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.

⇔
m 1≤
Câu 4. Cho hàm số
y x m x m x m
3 2
(1 2 ) (2 ) 2= + − + − + +
.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
2) Tìm m để hàm đồng biến trên khoảng
K (0; )= +∞
.
•
Hàm đồng biến trên
(0; )+∞

y x m x m
2
3 (1 2 ) (22 ) 0
′
⇔ += − + − ≥
với
x 0 )( ;∀ ∈ +∞

x
f x m
x
x
2
23
( )

trên
(0; )+∞
, từ đó ta đi đến kết luận:
f m m
1 5
2 4
 
≥ ⇔ ≥
 ÷
 
.
Câu hỏi tương tự:
a)
y m x m x m x
3 2
1
( 1) (2 1) 3(2 1) 1
3
= + − − + − +

m( 1)≠ −
,
K ( ; 1)= −∞ −
. ĐS:
m
4
11
≥
b)
y m x m x m x

1
( 1) ( 1) 2 1
3
= − + − − +
(1)
m( 1)≠ ±
.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0.
2) Tìm m để hàm nghịch biến trên khoảng
K ( ;2)= −∞
.
•
Tập xác định: D = R;
y m x m x
2 2
( 1) 2( 1) 2
′
= − + − −
.
Đặt
t x –2=
ta được:
y g t m t m m t m m
2 2 2 2
( ) ( 1) (4 2 6) 4 4 1 0
′
= = − + + − + + −
Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng
( ;2)−∞
g t t( ) 0, 0⇔ ≤ ∀ <

0
0
0
0

<


∆ >

>

≥



⇔

m
m m
m m
m
m
2
2
2
1 0
3 2 1 0
4 4 10 0
2 3

1
( 1) ( 1) 2 1
3
= − + − − +
(1)
m( 1)≠ ±
.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0.
2) Tìm m để hàm nghịch biến trên khoảng
K (2; )= +∞
.
•
Tập xác định: D = R;
y m x m x
2 2
( 1) 2( 1) 2
′
= − + − −
.
Đặt
t x –2=
ta được:
y g t m t m m t m m
2 2 2 2
( ) ( 1) (4 2 6) 4 4 1 0
′
= = − + + − + + −
Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng
(2; )+∞
g t t( ) 0, 0⇔ ≤ ∀ >

0
0

<


∆ >

<

≥



⇔

m
m m
m m
m
m
2
2
2
1 0
3 2 1 0
4 4 10 0
2 3
0
1

' 3 6= + +
có
m9 3
∆
′
= −
.
+ Nếu m ≥ 3 thì
y x R0,
′
≥ ∀ ∈

⇒
hàm số đồng biến trên R
⇒
m ≥ 3 không thoả
mãn.
+ Nếu m < 3 thì
y 0
′
=
có 2 nghiệm phân biệt
x x x x
1 2 1 2
, ( )<
. Hàm số nghịch biến
trên đoạn
x x
1 2
;

( ) 4 1+ − =

⇔

m
9
4
=
.
Trang 8
Khảo sát hàm số
Câu 8. Cho hàm số
y x mx
3 2
2 3 1= − + −
(1).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
2) Tìm các giá trị của m để hàm số (1) đồng biến trong khoảng
x x
1 2
( ; )
với
x x
2 1
1− =
.
•

y x mx
2

( ; )
với
x x
2 1
1− =

⇔

x x m
x x m
1 2
1 2
( ; ) (0; )
( ; ) ( ;0)

=

=

và
x x
2 1
1− =

⇔

m
m
m
0 1

m 0≤
thoả mãn.
+
m 0>
,
y 0
′
=
có 3 nghiệm phân biệt:
m m, 0,−
.
Hàm số (1) đồng biến trên (1; 2)
⇔

m m1 0 1≤ ⇔ < ≤
. Vậy
(
m ;1

∈ −∞

.
Câu hỏi tương tự:
a) Với
y x m x m
4 2
2( 1) 2= − − + −
; y đồng biến trên khoảng
(1;3)
. ĐS:

Trang 9
Khảo sát hàm số
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định
⇔

y m0 2 2
′
< ⇔ − < <
(1)
Để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng
( ;1)−∞
thì ta phải có
m m1 1− ≥ ⇔ ≤ −
(2)
Kết hợp (1) và (2) ta được:
m2 1− < ≤ −
.
Câu 11. Cho hàm số
x x m
y
x
2
2 3
(2).
1
− +
=
−

Tìm m để hàm số (2) đồng biến trên khoảng

( ; 1]
' 0, ( ; 1) min ( )
−∞ −
⇔ ≥ ∀ ∈ −∞ − ⇔ ≤
Dựa vào BBT của hàm số
g x x( ), ( ; 1]∀ ∈ −∞ −
ta suy ra
m 9≤
.
Vậy
m 9≤
thì hàm số (2) đồng biến trên
( ; 1)−∞ −
Câu 12. Cho hàm số
x x m
y
x
2
2 3
(2).
1
− +
=
−

Tìm m để hàm số (2) đồng biến trên khoảng
(2; )+∞
.
•
Tập xác định:

⇔ ≥ ∀ ∈ +∞ ⇔ ≤
Dựa vào BBT của hàm số
g x x( ), ( ; 1]∀ ∈ −∞ −
ta suy ra
m 3≤
.
Vậy
m 3≤
thì hàm số (2) đồng biến trên
(2; )+∞
.
Câu 13. Cho hàm số
x x m
y
x
2
2 3
(2).
1
− +
=
−

Tìm m để hàm số (2) đồng biến trên khoảng
(1;2)
.
•
Tập xác định:
D R {\ 1}=
.

g x x( ), ( ; 1]∀ ∈ −∞ −
ta suy ra
m 1≤
.
Vậy
m 1≤
thì hàm số (2) đồng biến trên
(1;2)
.
Câu 14. Cho hàm số
x mx m
y
m x
2 2
2 3
(2).
2
− +
=
−

Tìm m để hàm số (2) nghịch biến trên khoảng
( ;1)−∞
.
•
Tập xác định:
D R { m}\ 2=
.
x mx m f x
y

≤ ∀ <

i
S
P
' 0
' 0
( )
0
0

∆ =


∆ >

⇔

>



≥




m
m
m

≥ +

Vậy: Với
m 2 3≥ +
thì hàm số (2) nghịch biến trên
( ;1)−∞
.
Câu 15. Cho hàm số
x mx m
y
m x
2 2
2 3
(2).
2
− +
=
−

Tìm m để hàm số (2) nghịch biến trên khoảng
(1; )+∞
.
•
Tập xác định:
D R { m}\ 2
=
.
x mx m f x
y
x m x m

≤ ∀ >

ii
S
P
' 0
' 0
( )
0
0

∆ =


∆ >

⇔

<



≥




m
m
m