Chuyên đề 11: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Tóm tắt giáo khoa
Đònh nghóa
y
f
)(x
: Cho hàm số
=
[]
xác đònh trên khoảng (a;b)
[
]
)
2
()
1
(
21
:);(
2
,
1

f xfxfxxbaxx <⇒<∈∀⇔
đn
b)(a; trên (tăng) biếnđồng

•
•
[]

xf
)(
2
xf
a
bO
)(f
(f
2
x
)
1
x
a
b
1
x
2
x
)(:)( xfyC
=

1. Điều kiện cần của tính đơn điệu:
Đònh lý 1: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a;b)

f f ⇒∈∀>
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡

•
•
[
]
b)(a; trên (giảm) biếnnghòchb)(a;x 0(x)
'
f f ⇒∈∀<
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡

•
[
]
b)(a; trên đổi khôngb)(a;x 0(x)
'
f f ⇒∈∀=
⎥
⎦

b)(a; của điểm hạnhữu
sốmột tại raxảy chỉ thức đẳng
b)(a;x 0(x)
'
f
f ⇒
∈∀≥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡

[]
b)(a; trên (giảm) biếnnghòch
b)(a; của điểm hạnhữu
sốmột tại raxảy chỉ thức đẳng
b)(a;x 0(x)
'
f
f ⇒

⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∈∀≥⇔ b)(a;x 0(x)
'
fb)(a; trên (tăng) biếnđồng
•
[]
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∈∀≤⇔ b)(a;x 0(x)
'
fb)(a; trên (giảm) biếnnghòch f
•
[]
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∈∀=⇔ b)(a;x 0(x)
'

Bước 2: Tính và xét dấu
)(
'
xf )(
'
xf
Bước 3: Dựa vào đònh lý điều kiện đủ để kết luận.

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: Khảo sát sự biến thiên của hàm số:
1)
xxy −= 4
2)
1
2
3
+
+
=
x
x
y
3)
1
2
2
−
=
x
x

23)12(
2
2
3
3
1
)( +−+++−== axaxxxfy
(1). Tìm a để hàm số nghòch biến trên R
Bài 3: Tìm m để hàm số
4)3(
2
)1(
3
3
1
−++−+−= xmxmxy
đồng biến trên khoảng (0;3)
Bài 4: Cho hàm số
3
2
)32(
2
)1(
3
3
1
)( −−+−+== xmxmxxfy
(1)
a) Với giá trò nào của m, hàm số (1) đồng biến trên R
b) Với giá trò nào của m, hàm số (1) đồng biến trên khoảng (1;+∞)

=
1)1(2
2
. Đònh m để hàm số đồng biến trong khoảng (1;
+
∞
)
Bài 8: Chứng minh rằng: với mọi
xtgxx 3sin2 >+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∈
2
;0
π
x

Bài 9: Chứng minh rằng:
3
3
x
xtgx +>
với mọi
⎟
⎠
⎞

3
yxax axa
=−+−−+

Tìm a để hàm số nghòch biến trong khoảng (-2;0)
Bài 12: Cho hàm số (1) 1
23
++−= xmxxy
Tìm các giá trò của m để hàm số (1) nghòch biến trong khoảng (1;2)
Bài 13: Cho hàm số
2
1
1
x
mx
y
x
+−
=
−

Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (-
∞
;1) và (1;+
∞
).
Bài 14: Cho hàm số
2
2
2

+−+−
=
−−

Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (0;+
∞
) 71
ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ
CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH - HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
********
Cơ sở để giải quyết vấn đề này là dùng đạo hàm để xét tính đơn điệu của hàm số và dựa vào
chiều biến thiên của hàm số để kết luận về nghiệm của phương trình , bất phương trình, hệ phương trình .
CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN

I. Đònh nghóa : Cho hàm số y = f(x) xác đònh trong khoảng (a,b).
a) f tăng ( hay đồng biến ) trên khoảng (a,b)
⇔

∀
x
1
, x
2

∈
(a,b) : x

f(u) = f(v) u = v (với u, v ⇔
∈
(a,b) )

72

2) Tính chất 2: Giả sử hàm số y = f(x) tăng trên khoảng (a,b) ta có :

f(u) < f(v) u < v (với u, v ⇔
∈
(a,b) )

3) Tính chất 3: Giả sử hàm số y = f(x) giảm trên khoảng (a,b) ta có :

f(u) < f(v) u > v (với u, v ⇔
∈
(a,b) )

4) Tính chất 4:

Nếu y = f(x) tăng trên (a,b) và y = g(x) là hàm hằng hoặc là một hàm số giảm
trên (a,b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm thuộc khỏang (a,b)

*Dựa vào tính chất trên ta suy ra :

Nếu có x
0
∈ (a,b) sao cho f(x
0
) = g(x

5x4x2
3xx
(log
2
2
2
3
++=
+
+
++

Bài 3 : Giải các hệ :
1) với x, y
⎩
⎨
⎧
π=+
−=−
2y8x5
yxgycotgxcot
∈
(0,
π
)
2)
⎪
⎩
⎪
⎨

x
2
< cosx với x 0
≠

Hết

x
y
O
a
b
0
x
x
)(xf
)(
0
xf
)(:)( xfyC
=
•

⎥
⎦
⎤
⎢
⎣

⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∈∀>⇔
0
x\Vx )
0
f(xf(x)
n

0
x
đ
f số hàmcủa TIỂU CỰC điểmlà
II.Điều kiện cần của cực trò:
Đònh lý Fermat : Giả sử y=f(x) liên tục trên khoảng (a;b) và
);(
0
ba
x
∈

yf
x=
có đạo hàm tại điểm x
0
và đạt cực trò tại điểm đó thì tiếp tuyến của đường cong
(C):
()
yf
x=
tại điểm M(x
0
,f(x
0
)) phải cùng phương với Ox
III. Điều kiện đủ để hàm số có cưcï trò:
1)
Đònh lý 1: Giả sử hàm số y=f(x) có đạo hàm trên một lân cận của điểm x
0
( có thể trừ
tại điểm x
0
)
•
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥

⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⇒
+−
0
x tại TIỂU CỰCđạt f
sang từ dấu đổi
'
f
mà
0
x qua đi x khiNếu

)(

x
Bảng tóm tắt:
x
a
b
)(' xf
)(xf

(x
0
)≠0

•
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⇒<
0
x tại ĐẠICỰCđạt f
''
f Nếu 0)
0
( x
•
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣

1
2
2
−
=
x
x
y

4) 5)
xx
ey
+−
=
2
x
x
e
y =
6) xxy ln
2
2
1
−=

7)
x
x
y
ln

1
xx
xx
+=+

Bài 3: Cho hàm số
1
2
2
−
−+
=
mx
mxx
y
. Xác đònh m để hàm số có cực đại, cực tiểu
với hoành độ thỏa mãn
21
4
21
x
x
x
x
=
+
Bài 4: Tìm m để hàm số
m
x
mxx

0
(
'
)
0
(
xv
xu
xf =Áp dụng : Tìm giá trò cực trò của hàm số:
2
53
2
+
++
=
x
xx
y

Bài 6: Cho hàm số . Chia f(x) cho f
dcxbxaxxf +++=
23
)(
'
(x), ta được:

βα

) là đồ thò hàm số
x
mxy
1
+= (1)
Tìm m để hàm số (1) có cực trò và khoảng cách từ điểm cực tiểu của (C
m
)
đến tiệm cận xiên của (C
m
) bằng
2
1

Bài 8: Gọi (C
m
) là đồ thò hàm số
1
1)1(
2
+
++++
=
x
mxmx
y
(1)
Chứng minh rằng với m bất kỳ, đồ thò (C
m
) luôn luôn có điểm cực đại,

223
+−++−= xmmmxxy
Tìm m để đồ thò hàm số (1) có điểm cực đại và cực tiểu ở về hai phía của trục tung
Bài 13: Cho hàm số :
3
()3yxm x=− −
Xác đònh m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 0.
Bài 14: Cho hàm số :
42 2
(9)1ymx m x=+−+0
Tìm m để hàm số có ba điểm cực trò.
Bài 15: Cho hàm số :
32 23
33(1)
2
y
xmx mxmm=− + + − + −
Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trò của đồ thò hàm số .
Bài 16: Cho hàm số
2
1
x
mx
y
x
+
=
−

Tìm m để hàm số có cực đại ,cực tiểu . Với giá trò nào của m thì khoảng cách giữa hai điểm cực

Tóm tắt giáo khoa
1. Đònh nghóa: Cho hàm số
y
f
)(x=
xác đònh trên D
• Số M được gọi là GTLN của hàm số nếu:

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=∈
∈
∀
≤
MD
Mxf
)
Dx )(
0
f(x cho sao
0
x tại Tồn

Ký hiệu: y
D
x
M

= mi
n

0
x
O
M
)(xf
x
x
y
0
x
)(:)( xfyC
=
m
D

Minh họa:

2. Các phương pháp tìm GTLN & GTNN của hàm số

y

b) Phương pháp 2: Sử dụng đạo hàm, lập BBT của hàm số f trên D rồi suy ra kết qua
Ví dụ 1: Tìm GTLN của hàm số :
4
3
3
4 xxy −=

Ví dụ 2: Tìm GTNN của hàm số :
x
xy
2
2
+=
với x > 0

77

Ví dụ 3: Tìm GTLN và GTNN của hàm số :
xxy −+−= 42Ví dụ 4: Tìm GTLN và GTNN của hàm số :
x-2xsin
=
y
trên
⎥
⎦

Ví dụ 8: Tìm GTLN và GTNN của hàm số :

)8cos4(cos
2
1
)4cos.2sin1(2 xxxxy −−+=

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: Tìm GTLN và GTNN của hàm số:
với
xxxxy 9
2
2
3
3
4
+−−=
]2;2[
−
∈
x

Bài 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số :

xx
y
−
= 2sin
trên
⎥


Bài 5: Tìm GTLN và GTNN của hàm số:
2
2
3
2
+
+
+
=
x
x
x
y

Bài 6: Tìm GTLN và GTNN của hàm số:
2
312 xxy
−+=

Bài 7: Tìm GTLN và GTNN của hàm số:
2
4)2( xxy
−+=

Bài 8: Tìm GTLN và GTNN của hàm số:

1
2
)3( +−= xxy


Bài 11: Tìm GTNN của hàm số :
3
32
2 xxy
−=
trên đoạn
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
− 3;
2
178
Bài 12: Cho phương trình với . Tìm a để nghiệm lớn 013)62(
2
=−+−+ axax
1≥a
của phương trình đạt giá trò lớn nhất.
Bài 13: Cho hàm số
1
24
2
)1(
2

x
x
x
y
Bài 17: Tìm GTLN và GTNN của hàm số:
=+ − −
1
2(1 sin2 cos4 ) (cos4 cos8 )
2
y
xx x x
Bài 18: Tìm GTLN và GTNN của hàm số:
=++
33
2(sin cos ) 8sin .cos
y
xx xx

Bài 19: Chứng minh các bất đẳng thức sau :
17
4
sin
4
)sin1(
8
1
≤+−≤ xx

R
x