Một số dạng toán liên quan đến vấn đề cực trị
***
Một số kiến thức cần nhớ:
-Giả sử hàm số f(x) liên tục trên (a;b) chứa điểm
0
x
, có đạo hàm trên
}{\);(
0
xba
, và có
đạo hàm khác 0 tại
0
x
, khi đó:
- Nếu f'(x) đổi dấu khi đi qua
0
x
thì f(x) đạt cực trị tại
0
x
.
- Nếu
0)("
0
xf
thì f(x) đạt cực tiểu tại
0
x
,nếu
0)("







4
27
)1(4
3
)1(2
40
0')1(23'
3
2
m
y
m
x
yx
yxmxy










mm
I
là trung điểm AB.












27
)1(4
;
3
)1(2
3
mm
BA

đường thẳng d có VTCP:
)1;2(u


Vì A,B đối xứng với nhau qua d nên AB vuông góc với d và I thuộc d.


3
1
0
27
)1(4
3
)1(4
1
0.
3
3

























2/1
2
)22()1(9)22()1(93
222222
m
m
mmmmOAOBOAOB

*Cực trị của hàm số trùng phương:
RDTXDcbxaxy  :
24

Nhận xét:
)2(224'
23
baxxbxaxy 

- Nếu
0
2

a
b
thì hàm số có 3 cực trị phân biệt, hơn nữa chúng tạo thành 1 tam giác cân
có đỉnh nằm trên trục Oy


Vì





CB
CB
yy
xx
nên B,C đối xứng nhau qua Oy, mà A thuộc Oy nên tam giác ABC cân tại
A. Mặt khác ABC là tam giác vuông nên AB vuông góc AC.
   
22
12;112;1 mmmACmmmAB 

Suy ra:
 
1)1(012)1(
4
2
2
 mmmmm
. So điều kiện suy ra m=0
Ví dụ 2: Cho hàm số
12
24
 mmxxy
, tìm m để hàm số có 3 cực trị lập thành 1 tam

)1(2 mxmxy 

 
 
 



















11
11
11
1)1(
11
2

mmmmmm

So điều kiện ta nhận
2
51
;1

 mm

-Với m-1-b=-1 thì:
00)12(1)1(
322
 mmmmmm
(loại.Vì không thỏa điều kiện m>0)
Tóm lại, giá trị của m cần tìm là:
2
51
;1

 mm

B) *Cách 1: gọi H là trung điểm AC.
 
 
 
11111.2.
2
1
.
2

35
 DTXDttttfy

Dttty  0265'
24
Hàm số f(t) đồng biến trên khoảng
);0( 

-Nếu t>1 thì f(t)>f(1)=0
-Nếu t<1 thì f(t)<f(1)=0
Suy ra phương trình (**) có nghiệm duy nhất: t=1. Suy ra m=1 (loại)
Vậy m=1

*Cách 2: Áp dụng tính chất:
Cho 3 điểm A,B,C phân biệt, giả sử
);();(
2211
yxCByxAB 

thì diện tích của tam
giác ABC được tính bởi công thức:
1221

2
1
yxyxS
ABC




qpx
cbxax
y \:
)(
)(
2

Nếu điểm
0
x
là cực trị thì giá trị cực trị có thể tính bằng 2 cách:
)('
)('
)(
)(
)(
0
0
0
0
0
xh
xg
xh
xg
xy 

Do đó đường thẳng qua 2 cực trị của hàm số là:
)('
)('2

mxx
y

Để hàm số có 2 cực trị phân biệt thì phương trình
0522
2
 mxx
có 2 nghiệm thực
phân biệt:
2042'  mm

Đường thẳng qua 2 cực trị:
mxy 22 

Gọi A(a;-2a+2m) B(b;-2b+2m) là 2 cực trị của hàm số. Khi đó theo định lí Viet ta có:
a+b=2 và a.b=2m+5
Theo đề ta có:

  
  
0)(24
0)2)(2(
0222222
022
2




mbamab

2
k
k

Bài 2: Cho hàm số
23
23
 xxy
có đồ thị (C),tìm m để đường thẳng đi qua 2 điểm cực
trị của (C) tiếp xúc với đường tròn:
5)1()(
22
 mymx
?
DS: m=2, m=-4/3
Bài 3: Cho hàm số
23
23
 xxy
có đồ thị (C),tìm điểm M thuộc đường thẳng y=3x-2
sao cho tổng khoảng cách từ điểm M đến 2 điểm cực trị đạt GTNN?
DS: M(4/5;2/5)