S tng giao gia hai th hm s
Đ1. th hm s cha du giỏ tr tuyt i
A. Phng phỏp gii toỏn
v th hm s cha du giỏ tr tuyt i, ta s dng ba nguyờn tc sau õy:
Nguyờn tc 1. (v s phõn chia th hm s) th hm s
( )
( )
( )
( )
1 1
2 2

neỏu
neỏu
neỏu
n n
f x x D
f x x D
y f x
f x x D




= =






Hai trng hp hay gp:
th hm s
( )
y f x=
Vỡ
( )
( )
( )
0
laứ haứm chaỹny f x
f x f x x

=


=


nờn th hm s
( )
y f x=
gm hai phn:
+) Phn 1 l phn th hm s
( )
y f x=
nm bờn phi
Oy
;
+) Phn 2 i xng vi phn 1 qua
Oy

+) Phn 2 i xng vi phn th hm s
( )
y f x=
phớa di trc honh qua
trc honh.
1

B. Các ví dụ
Ví dụ 1. Vẽ các đồ thị hàm số
1)
( )
1
1
1
x
f x
x
−
=
+

( )
1
C
;
2)
( )
2
1
1

1
1
x
f x
x
−
=
+

( )
4
C
;
5)
( )
5
1
1
x
f x
x
−
=
+

( )
5
C
.
Giải. Trước hết, ta vẽ đồ thị



. Do đó đồ thị
( )
1
C
gồm hai phần (hình 1):
• Phần 1: là phần đồ thị
( )
C
nằm trên
Ox
;
• Phần 2: đối xứng với phần đồ thị
( )
C
nằm dưới
Ox
qua
Ox
.
2) Ta có
( )
( )
2
f x f x=
là hàm chẵn, đồ thị nhận
Oy
làm trục đối xứng. Lại có
( ) ( )

f x f x
f x f x
f x f x
≥

= =

− <


. Do đó đồ thị
( )
3
C
gồm hai phần (hình 3):
• Phần 1: là phần đồ thị
( )
2
C
nằm trên
Ox
;
• Phần 2: đối xứng với phần đồ thị
( )
2
C
nằm dưới
Ox
qua
Ox

;
• Phần 2: đối xứng với phần đồ thị
( )
C
ứng với
1x <
qua
Ox
.
2

5) Ta có
( )
( )
( )
5
1
1
neáu
neáu
f x x
f x
f x x
> −

=

− < −



1)
( )
2
3 3 5y x x x= − − + +
2)
1 1y x x= − − +
3)
2
3 5y x x= − −
4)
2
3 5y x x= − −
5)
2
3 5y x x= − −
6)
2 2
1
3
3 1y x x x x= − − +
7)
3 2
1
3
3 1y x x x= − − +
8)
2 2
1
3
3 1y x x x x= − − +

1 3y x x= − −
15)
( )
2 2
3 1y x x= − −
16)
( )
3 2
1 3 3y x x x x= − + − −
17)
4 2
5 4y x x= − +
18)
( )
3 2
1 4 4y x x x x= − + − −
19)
( )
3 2
1 4 4y x x x x= + − − +
20)
( )
3 2
2 2 2y x x x x= − + − −
21)
( )
3 2
2 2 2y x x x x= + − − +
22)
( )

−
=
28)
1
2
x
x
y
−
−
=
29)
1
2
x
x
y
−
−
=
30)
1
2
x
x
y
−
−
=
31)

2
3
1
x x
x
y
−
+
=
35)
2
3
1
x x
x
y
−
+
=
36)
3
1
x
x
y x
−
+
=
37)
1

Trong phần này, ta sử dụng các kết luận sau đây về mối liên
hệ giữa tập nghiệm của phương trình
( )
f x m=

( )
*
với tập
tập các điểm chung của đường thẳng
:d y m=
với đồ thị
( ) ( )
:C y f x=
:
•
( )
*
có nghiệm
⇔

d
có điểm chung với
( )
C
.
• Số nghiệm của
( )
*
bằng số điểm chung của đường thẳng
d

3 3x x k k− = −
.
Nếu đặt
( )
3 2
3f x x x= −
thì phương trình trở thành
( ) ( )
f x f k=
.
( )
*
có ba nghiệm phân biệt
⇔
đường thẳng
( )
y f k=
có ba
điểm chung với đồ thị hàm số
( )
y f x=

⇔

( )
4 0f k− < <
.
Từ đồ thị hàm số
( )
y f k=

1
có hai nghiệm
phân biệt khác
k
, tức là
( ) ( )
( )
2 2
1 3 0
3 3 0
k k
k k k k k
∆ = − + − >



+ − + − ≠



⇔

( )
{ }
1;3
0;2
k
k
∈ −


Trước hết ta vẽ đồ thị
( )
C
của hàm số
( )
3 2
2 9 12f x x x x= − +
. Hàm
( )
f x
là hàm chẵn,
( )
( )
f x f x=

0x∀ ≥
. Do đó, đồ thị
( )
'C
của hàm số
( )
f x
gồm hai phần
• Phần 1: là phần
( )
C
nằm ở bên phải
Oy
;
• Phần 2: đối xứng với phần 1 qua

( )
1
Giải. Cách 1. Đặt
2
t x=
,
( )
1
trở thành
2t t m− =
.
( )
2
( )
1
có
6
nghiệm phân biệt
⇔

( )
2
có
3
nghiệm dương phân biệt
⇔
đường thẳng
:d y m=
có
3

− − <



⇒

( )
C
gồm hai phần:
• Phần 1: là phần đồ thị hàm số
2
2y t t= −
ứng với
2t ≥
.
• Phần 2: đối xứng với phần đồ thị hàm số
2
2y t t= −
ứng với
2t <
, qua trục hoành.
Vậy
( )
1
có
6
nghiệm phân biệt
⇔

0 1m

≥

=

− <



⇒
Đồ thị
( )
'C
của hàm số
( )
f x
gồm hai phần
• Phần 1: là phần
( )
C
nằm phía trên trục hoành.
• Phần 2: đối xứng với phần
( )
C
nằm phía dưới trục hoành, qua
trục hoành.
( )
1
có
6
nghiệm phân biệt

.
3) Trong trường hợp phương trình có
4
nghiệm phân biệt, gọi
4
nghiệm đó là
1
x
,
2
x
,
3
x
,
4
x
, hãy tính tổng
1 2 3 4
x x x x+ + +
.
Bài 2. Cho
3 2
3 9y x x x m= + − +

( )
C
.
1) Khảo sát và vẽ đồ thị
( )

3 6 2 0
m
x x
−
− + − =
có ba nghiệm phân biệt.
Bài 4. Cho hàm số
3
3 2y x x= − +

( )
C
.
1) Khảo sát và vẽ đồ thị
( )
C
.
2) Biện luận số nghiệm của phương trình
2
2
3
1
3 2 2x x
m
m
 
+
− + =
 ÷
 

k
−
−
+ + =
−
có
3
nghiệm phân biệt.
Bài 6. Cho hàm số
( ) ( )
2
1 2y x x= + −

( )
C
.
1) Khảo sát và vẽ đồ thị
( )
C
.
2) Biện luận số nghiệm của phương trình
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
1 2 1 2x x m m+ − = + −
.
Bài 7. Cho hàm số
2 1
2
x
y

3 3
log log 1 2 1 0x x m+ + − − =
.
1) Giải phương trình khi
2m
=
.
2) Tìm
m
để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn
3
1;3
 
 
.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
8
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ
§3. Sử dụng phương trình để xét bài toán về sự tương giao giữa hai
đồ thị hàm số
A. Tóm tắt lý thuyết
Cho
( )
y f x=

( )
1
C
và
( )

( )
*
được gọi là phương trình hoành độ giao điểm của
( )
1
C
và
( )
2
C
.
• Bước 2: Tìm giao điểm. Nếu
0
x
là một hoành độ giao điểm thì
( )
( )
0 0
;x f x
(
( )
( )
0 0
;x g x≡
) là
một giao điểm của
( )
1
C
và




= −


.
Nhận xét.
• Hai đồ thị hàm số có giao điểm
⇔
phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm.
• Số giao điểm của hai đồ thị hàm số bằng số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm.
B. Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho
3 2
2 5y x x x= + − +

( )
1
C
và hàm số
7y x=

( )
2
C
. Hãy xác định các giao điểm của
hai đồ thị
( )
1

3 29
2
x
x
x


=

− +

=


− −

=


.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
9
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Vậy hai đồ thị đã cho có ba giao điểm:
( )
1
1;7M
,
2
3 29 21 7 29


( )
2
C
. Tìm điều kiện của
m
để
( )
1
C
có
giao điểm với
( )
2
C
.
Giải. Xét phương trình hoành độ giao điểm của
( )
1
C
và
( )
2
C
:
( )
2
2 1x m x m x+ − + = −

( )

2 2 3
2
m
m

−
≤


⇔

+
≥


.
Ví dụ 3. Cho
3
4 2y x mx= − +

( )
1
C
và
2
3 4y x m= −

( )
2
C

2
1
2 4 2 0 2 ' 4 3
x
x x m m
=


− − − = ∆ = +

.
Số giao điểm của
( )
1
C
và
( )
2
C
bằng số nghiệm của phương trình
( )
1
. Do đó
•
3
0
4
m∆ < ⇔ < −
:
( )

2
2 1 0 1 0 1x x x x− + = ⇔ − = ⇔ =
. Trong trường
hợp này,
( )
1
cũng có nghiệm duy nhất (
1x
=
)
⇒

( )
1
C
và
( )
2
C
có một giao điểm.
•
3
4
0 m∆ > ⇔ > −
:
( )
2
có hai nghiệm phân biệt. Ta thấy
( )
1 4 3 0t m= − − ≠

4
m ≤ −
:
( )
1
C
và
( )
2
C
có một giao điểm.
•
3
4
m > −
:
( )
1
C
và
( )
2
C
có ba giao điểm.
Ví dụ 4. [ĐHD03] Cho
2
2 4
2
x x
y

2
x x
mx m
x
− +
= + −
−⇔

( ) ( )
2
2 4 2 2 2x x x mx m− + = − + −
(
⇒

2x ≠
).

⇔

( ) ( ) ( )
2
1 4 1 4 2 0m x m x m− − − + + =
.
( )
*
m
d

Ví dụ 5. [ĐHA04] Cho hàm số
( )
2
3 3
2 1
x x
y
x
− + −
=
−

( )
C
. Tìm
m
để đường thẳng
:d y m=
cắt đồ
thị hàm số tại hai điểm
A
,
B
sao cho
1AB =
.
Giải. Xét phương trình hoành độ giao điểm của
( )
C
và

tại
2
điểm khi và chỉ khi
( )
*
có hai nghiệm phân biệt, tức là:

0∆ >

⇔

2
4 4 3 0m m − >−

⇔

1
2
3
2
m
m

< −



>




.
Mặt khác vì
A
,
B
cùng thuộc đường thẳng
:d y m=
nên
A B
y y m= =
.
Áp dụng công thức tính khoảng cách, ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 2
4 3 2 4 3 2 4 4 3
A B A B A B A B
AB x x y y x x x x m m m m= − + − = + − = − − − = − −
.
Do đó
2 2
1 5
2
1 1 4 4 3 1
1 5
2
m
AB AB m m
m

m
để
( )
C
cắt trục hoành
tại
3
điểm phân biệt có hoành độ là
1
x
,
2
x
,
3
x
sao cho
2 2 2
1 2 3
4x x x+ + <
.
Giải. Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị
( )
C
của hàm số với trục hoành (
0y =
):
( )
3 2
2 1 0x x m x m− + − + =

( )
1
có ba nghiệm phân biệt
⇔

( )
t x
có hai nghiệm phân biệt khác
1

⇔

( )
0
1 0t
∆ >



≠



⇔

1 4 0
0
m
m
+ >

là các nghiệm của
( )
t x
. Theo định lý Vi-ét, ta có:
2 3
2 3
1x x
x x m
+ =


= −

.
Do đó:

( )
2
2 2 2
1 2 3 2 3 2 3
1 2 2 2x x x x x x x m+ + = + + − = +
,
2 2 2
1 2 3
4 2 2 4 1x x x m m+ + + < ⇔⇔ <<
.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
12
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Vậy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại

x
y x= − + −
và
1
2 2
x
y = +
; 2)
2
1
x
y
x
=
−
và
3 1y x= − +
;
3)
1
2
x
y
x
−
=
+
và
3 5y x= − +
;

2 4y x x= − + +
;
8)
2
2
3 6
2
x x
y
x x
+ +
=
− +
và
3 2y x= −
;
9)
4 2
1y x x= − +
và
2
4 5y x= −
.
Bài 2. Biện luận theo
m
số giao điểm của các cặp đồ thị hàm số sau đây
1)
3
3 2y x x= − −
và

2
x
y
x
+
=
+
và
2y x m= +
;
5)
1
1
x
y
x
+
=
−
và
2y x m= − +
;
6)
2
6 3
2
x x
y
x
− +

3
2 1y x x= + +
và
( )
2
1y m x= −
.
Bài 3. Tìm
m
để
1) Đường thẳng
: 2d y x m= +
đồ thị hàm số
( )
2
2 3
:
1
x x m
C y
x
− +
=
−
tại hai điểm phân biệt;
2) Đường thẳng
:d y mx=
cắt đồ thị hàm số
( )
3 2

: 2 2C y x x= − +
cắt nhau tại ba điểm
phân biệt;
7) Các đồ thị hàm số
( )
3 2 2
1
: 2 3C x x m x m+ − +
và
( )
2
2
: 2 1C y x= +
cắt nhau tại ba điểm phân
biệt;
8) Đường thẳng
:d y m=
cắt đồ thị hàm số
( )
4 2
1: 2C y x x= − −
tại bốn điểm phân biệt;
9) Đồ thị hàm số
( ) ( )
4 2 3
: 1C y x m m x m= − + +
cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt;
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
13
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ

=
tại hai điểm phân biệt.
Bài 4. Tìm
m
để
1) Đường thẳng
: 2d y mx= +
cắt đồ thị hàm số
( )
2
4 5
:
2
x x
C y
x
+ +
=
+
tại hai điểm có hoành độ
trái dấu;
2) Đường thẳng
: 2d y mx= +
cắt đồ thị hàm số
( )
2
:
1
mx x m
C y

mx x m
C y
x
+ +
=
−
cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ dương;
5) [ĐHA03]
( )
2
:
1
m
mx x m
C y
x
+ +
=
−
cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương;
6) [ĐHD09] Đường thẳng
: 1d y = −
cắt
( ) ( )
4 2
3 2: 3
m
C y x m x m= − + +
tại
4

( )
3 1
:
4
x
C y
x
+
=
−
tại hai điểm
A
,
B
sao cho
đoạn thẳng
AB
ngắn nhất;
3) Đường thẳng
:d y x m= − +
cắt đồ thị hàm số
( )
4 1
:
2
x
C y
x
−
=

ngắn nhất;
5) Đường thẳng
: 2 2d y mx m= + −
cắt đồ thị hàm số
( )
2
2 4
:
2
x x
C y
x
− +
=
−
tại hai điểm
A
,
B
.
Khi đó, hãy tính độ dài đoạn thẳng
AB
theo
m
.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
14
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Bài 6. [ĐHD08] Cho
( )

y C
x
− +
=
−
. Tìm
m
để đường thẳng
: 2 2
m
d y mx m= + −
cắt
( )
C
tại hai điểm
A
,
B
phân biệt sao cho trung điểm của đoạn thẳng
AB
thuộc trục tung.
Bài 8. [ĐHB10] Cho
2 1
1
x
y
x
+
=
+

− +
=
−

( )
C
. Chứng minh với mọi
m
, đường thẳng
:d y x m= +
luôn
cắt
( )
C
tại hai điểm phân biệt
A
và
B
. Gọi
1
k
,
2
k
là hệ số góc các tiếp tuyến với
( )
C
tại
A
và

B
sao cho khoảng cách từ
A
và
B
đến trục hoành bằng nhau.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
15