Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số
KSHS 06: ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA ĐỒ THỊ
Kiến thức cơ bản:
1) Khoảng cách giữa hai điểm A, B: AB =
B A B A
x x y y
2 2
( ) ( )− + −
2) Khoảng cách từ điểm
M x y
0 0
( ; )
đến đường thẳng ∆:
ax by c 0+ + =
:

ax by c
d M d
a b
0 0
2 2
( , )
+ +
=
+
Đặc biệt: + Nếu ∆:
x a=
thì
d M x a
0
( , )

A B I
x x x
y y y
2
2

+ =

+ =

5) Các điểm A, B đối xứng nhau qua đường thẳng ∆ ⇔
AB
I
∆
∆

⊥

∈

(I là trung điểm AB).
Đặc biệt: + A, B đối xứng nhau qua trục Ox ⇔
B A
B A
x x
y y

=

= −

A x y
0 0
;
,
B
là điểm đối xứng với A qua điểm
M( 1;3)−
( )
B x y
0 0
2 ;6⇒ − − −
A B C, ( )∈
⇔

y x x
y x x
3
0 0 0
3
0 0 0
3 2
6 ( 2 ) 3( 2 ) 2

= − + +


− = − − − + − − +


( ) ( )

1 1 2 2
( ; ), ( ; ) ( )∈
đối xứng nhau qua Oy
⇔

x x
y y
2 1
1 2
0

= − ≠


=


⇔

x x
x x
x x x x
2
2 1
3 3
2 3
1 2
1 1 2
0
11 11

3
3

= −


=



Vậy hai điểm thuộc đồ thị (C) và đối xứng qua Oy là:
M N
16 16
3; , 3;
3 3
   
−
 ÷  ÷
   
.
Câu 3. Cho hàm số
y x x
3
3 2= − + +
(C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm trên (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng d:
x y2 2 0− + =
.
•

2 2 2
− + + + − + +
+ +
= = +

( ) ( ) ( ) ( )
x x
x x x x x x x x x x
x x x x
3
1 2
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 1 2 2
0
3 3 2
1

+ =
⇒ − + + + + + = + ⇒

− + =


Mặt khác:
( ) ( )
MN d x x y y
2 1 2 1
.1 .2 0⊥ ⇒ − + − =


1 2
9
1
4
7
5
2
4


+ =
− + =

 
⇔ ⇒
 
+ + =
 
=



vô nghiệm
Vậy 2 điểm cần tìm là:
7 1 7 7 1 7
;2 ; ;2
2 2 2 2 2 2
   
− − +
 ÷  ÷

= −

⇒

A B( 5;0), (1;0)−
. Gọi
M a a a a C M A B
3 2
1 5
; 3 ( ), ,
3 3
 
+ − + ∈ ≠
 ÷
 
⇒

AM a a a a
3 2
1 5
5; 3
3 3
 
= + + − +
 ÷
 
uuur
,
BM a a a a
3 2

a a a a
4 3 2
2 12 14 4 0 (*)+ − + + =
Đặt
y a a a a
4 3 2
2 12 14 4 0= + − + + =
, có tập xác định D = R.
y a a a
3 2
4 6 12 14
′
= + − +
;
y 0
′
=
có 1 nghiệm thực
a y
0 0
7 2043
2 16
≈ − ⇒ ≈ −
Dựa vào BBT ta suy ra (*) luôn có 2 nghiệm khác 1 và –5.
Vậy luôn tồn tại 2 điểm thuộc (C) cùng nhìn đoạn AB dưới một góc vuông.
Câu 5. Cho hàm số
y x x
4 2
2 1= − +
.

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = –2.
2) Chứng minh rằng khi m thay đổi thì (C
m
) luôn luôn đi qua hai điểm cố định A, B. Tìm m
để các tiếp tuyến tại A và B vuông góc với nhau.
•
Hai điểm cố định A(1; 0), B(–1; 0). Ta có:
y x mx
3
4 2
′
= +
.
Các tiếp tuyến tại A và B vuông góc với nhau
⇔

y y(1). ( 1) 1
′ ′
− = −

⇔

m
2
(4 2 ) 1+ =

⇔

m m
3 5

⇔

x x x x
2
1 5 1 5
1 0 ;
2 2
− +
− − = ⇔ = =
Trang 79
Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng
Hai điểm cần tìm là:
1 5 1 5 1 5 1 5
, ; ,
2 2 2 2
   
− − + +
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
Câu 8. Cho hàm số
x
y
x
3 4
2
−
=
−
(C).

=
−

Vậy có 2 điểm thoả mãn đề bài là : M
1
( 1; 1) và M
2
(4; 6)
Câu 9. Cho hàm số
x
y
x
2 1
1
+
=
+
(C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm trên (C) những điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận của (C) nhỏ nhất.
•
Gọi
M x y
0 0
( ; )
∈
(C), (
x
0
1≠ −

0
1
2 . 2 1. 2
1
+ ≥ = + =
+
⇒
MA + MB nhỏ nhất bằng 2 khi
x
x
x
x
0
0
0
0
0
1
1
2
1

=
+ = ⇔

= −
+

.
Vậy ta có hai điểm cần tìm là (0; 1) và (–2; 3).

1
−
=
+
(C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) để tiếp tuyến của (C) tại M với đường thẳng đi qua M và
giao điểm hai đường tiệm cận có tích các hệ số góc bằng –9.
•
Giao điểm 2 tiệm cận là
I( 1;2)−
.
Gọi
M I
IM
M I
y y
M x C k
x x x
x
0
2
0
0
3 3
;2 ( )
1
( 1)
−
 

0
2

=

= −

. Vậy có 2 điểm M thỏa mãn: M(0; –3) và M(–2; 5)
Câu 11. Cho hàm số
x
y
x
2
1
+
=
−
.
Trang 80
Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm điểm M trên (C) sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng
d x y:2 2 0+ − =
bằng
k
6 5
5
=
.
•


M M M M
5 1
(2;4); ;3 ; ( 2;0); ; 5
2 2
   
− −
 ÷  ÷
   
.
Câu hỏi tương tự:.
a)
x
y d x y k
x
3 1 12
; :3 4 1 0;
2 5
−
= − + = =
−
. ĐS:
M M M M
16 15 7 11
(1; 2); ; ; 2; ; ;6
3 4 4 3
     
− −
 ÷
 ÷  ÷

= +
hoặc
x
y
2
13
:
4 4
∆
= +

Các tiếp điểm tương ứng:
M M
1 2
3 5
1; , 3;
2 2
   
−
 ÷  ÷
   
. Ta tính được
d M d M
1 2
( , ) ( , )
∆ ∆
<
.
⇒


x
2 1
1
−
=
+
.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm tọa độ điểm M ∈ (C) sao cho khoảng cách từ điểm
I( 1; 2)−
tới tiếp tuyến của (C) tại
M là lớn nhất.
•
Giả sử
M x C
x
0
0
3
; 2 ( )
1
 
− ∈
 ÷
 ÷
+
 
. PTTT
∆
của (C) tại M là:

x
x
x
0 0 0
4 4
2
0
0
0
2
0
3( 1 ) 3( 1) 6 1
6
9
9 ( 1)
9 1
( 1)
( 1)
− − − + +
= = =
+ +
+ +
+ +
+
.
Theo BĐT Cô–si:
x
x
2
0

( )
M 1 3;2 3− + −
hoặc
( )
M 1 3;2 3− − +
Câu 14. Cho hàm số
x
y
x
2 4
1
−
=
+
.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm trên (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng MN biết M(–3; 0) và N(–1; –1).
•

MN (2; 1)= −
uuuur

⇒
Phương trình MN:
x y2 3 0+ + =
.
Phương trình đường thẳng (d)
⊥
MN có dạng:
y x m2= +

( ;2 ), ( ;2 )+ +
với
x x
1 2
,
là các nghiệm của (1)
Trung điểm của AB là
x x
I x x m
1 2
1 2
;
2
 
+
+ +
 ÷
 
≡
m m
I ;
4 2
 
−
 ÷
 
(theo định lý Vi-et)
A, B đối xứng nhau qua MN
⇔
I

1
=
−
.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm trên đồ thị (C) hai điểm B, C thuộc hai nhánh sao cho tam giác ABC vuông cân tại
đỉnh A với A(2; 0).
•
Ta có
C y
x
2
( ) : 2
1
= +
−
. Gọi
B b C c
b c
2 2
;2 , ;2
1 1
+ +
− −
   
 ÷  ÷
   
với
b c1< <
.

c
c
b
2
2 2
1
1
2
3
2 2
1
− = +
= −
−
⇔
=
+ = −
−







.
Vậy
B C( 1;1), (3;3)−
Câu 16. Cho hàm số
x

a b a b
2
2 2 2
2 2 2 2
1 1 16 16 64
( ) 16 ( ) 1 4 1 4 32
     
= + + + = + + ≥ + = + ≥
 ÷
   
 
   
Trang 82
H
K
B
A
C
Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số
AB nhỏ nhất
⇔

a b
a b
AB a b
ab
a
ab
4
4

−
=
−
. ĐS:
( ) ( )
A B3 3;4 3 , 3 3;4 3− − + +
Câu 17. Cho hàm số
x
y
x
1
2
− +
=
−
.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm trên đồ thị (C), các điểm A, B sao cho độ dài đoạn AB bằng 4 và đường thẳng AB
vuông góc với đường thẳng
d y x: =
.
•
PT đường thẳng AB có dạng:
y x m= − +
. PT hoành độ giao điểm của (C) và AB:
x
x m
x
1
2

+ − + >

− + + + ≠


⇔

m∀
.
Ta có:
A B
A B
x x m
x x m
3
. 2 1

+ = +

= +

. Mặt khác
A A B B
y x m y x m;= − + = − +
Do đó: AB = 4
⇔

B A B A
x x y y
2 2


= + ⇒ = −
− + = ⇔

= − ⇒ =

⇒

A B(3 2; 2), (3 2; 2)+ − −
hoặc
A B(3 2; 2), (3 2; 2)− + −
+ Với
m 1= −
, thay vào (1) ta được:
x y
x x
x y
2
1 2 2 2
2 1 0
1 2 2 2

= + ⇒ = − −
− − = ⇔

= − ⇒ = − +

⇒

A B(1 2; 2 2); (1 2; 2 2)+ − − − − +

⇔

x Z
y x Z
x
1 53
2 3
4 6 1

∈

 

= + + ∈
 ÷

+
 

⇔

x Z
x Z
x
x
x
53
2 3
6 1
53

6 1
53
2 3 4
6 1

∈


∈

+

 
+ +
 ÷

+
 

M

⇔

x Z
x x
x
x
6 1 1 6 1 53
53
2 3 4

Trang 83
Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng
Câu 19. Cho hàm số
x x
y
x
2
3 6
2
− +
=
−
có đồ thị (C).
Tìm những cặp điểm trên đồ thị (C) đối xứng nhau qua điểm
I
1
;1
2
 
 ÷
 
.
•
Gọi
M x y N x y C
1 1 2 2
( ; ), ( ; ) ( )∈
đối xứng nhau qua điểm
I
1

x
x x
y
x
2
1 1
1
1
2
1 1
1
1
3 6
2
4
2
1

− +
 =
−


− +

− =

− −



.
•
ĐS:
A B
21 13
5; , 3;
4 4
   
− −
 ÷  ÷
   
.
Chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp và các em học sinh đã đọc tập tài liệu này.

Trang 84